人教A版2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：平面向量_20210103224739

1、平面向量知識(shí)講解一、向量的基本概念1.向量的概念：在高中階段，我們把具有大小和方向的量稱(chēng)為向量2.向量的表示：幾何表示法：用有向線段表示向量，有向線段的方向表示向量的方向，線段的長(zhǎng)度表示向量的長(zhǎng)度字母表示法：，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后3.相等向量：同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量，或相等向量4.向量共線或平行：通過(guò)有向線段的直線，叫做向量的基線如果向量的基線互相平行或重合，則稱(chēng)這些向量共線或平行向量平行于向量，記作5零向量：長(zhǎng)度等于零的向量，叫做零向量記作：零向量的方向不確定，零向量與任意向量平行二、平面向量的線性運(yùn)算1.向量的加法：1）向量加法的三角形法則：已知向量，在平面上任取一點(diǎn)，作，再作

2、向量，則向量叫做和 的和（或和向量），記作，即2）向量求和的平行四邊形法則：已知兩個(gè)不共線的向量，作，則，三點(diǎn)不共線，以， 為鄰邊作平行四邊形，則對(duì)角線上的向量，這個(gè)法則叫做向量求和的平行四邊形法則向量的運(yùn)算性質(zhì)：向量加法的交換律：向量加法的結(jié)合律：關(guān)于：2.向量的減法：1）相反向量：與向量方向相反且等長(zhǎng)的向量叫做的相反向量，記作2）零向量的相反向量仍是零向量3）差向量定義：如果把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起，則這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為始點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量4）一個(gè)向量減去另一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量3.數(shù)乘向量：實(shí)數(shù)和向量的乘積是一個(gè)向量，記作，且的長(zhǎng)4.向量共線的條件：

3、如果，則；反之，如果，且，則一定存在唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)，使三、平面向量的基本定理1.平面向量基本定理：如果和是一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行的向量，那么該平面內(nèi)的任一向量，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使2.基底：我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記叫做向量關(guān)于基底的分解式注意：定理中，是兩個(gè)不共線向量；是平面內(nèi)的任一向量，且實(shí)數(shù)對(duì)，是惟一的；平面的任意兩個(gè)不共線向量都可作為一組基底四、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：1.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則；2.坐標(biāo)表示：若，則向量；即：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于向量的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)3.用平面向量坐標(biāo)表示向量共線條件：設(shè)，則就是兩個(gè)向量平行的條件若向量不平行于坐標(biāo)

4、軸，即，則兩個(gè)向量平行的條件是，相應(yīng)坐標(biāo)成比例五、平面向量的數(shù)量積1.兩個(gè)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量，作，則稱(chēng)作向量和向量的夾角，記作，并規(guī)定，在這個(gè)規(guī)定下，兩個(gè)向量的夾角被唯一確定了，并且有當(dāng)時(shí)，我們說(shuō)向量和向量互相垂直，記作2.向量的數(shù)量積（內(nèi)積）定義：叫做向量和的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即3.向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)1）是單位向量，則；2），且；3），即；4）；5）4.向量數(shù)量積的運(yùn)算律1）交換律：；2）分配律：5.向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式1）向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算：建立正交基：，已知，2）用向量的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量垂直的條件：3）向量的長(zhǎng)度公式：已知，則，即向量的長(zhǎng)度等于它的坐標(biāo)平方和的算術(shù)平

5、方根4）兩點(diǎn)間的距離公式：如果，則5）兩個(gè)向量夾角余弦的坐標(biāo)表達(dá)式：經(jīng)典例題一選擇題（共12小題）1在如圖的平面圖形中，已知om=1，on=2，mon=120°，bm=2ma，cn=2na，則bcom的值為（）a15b9c6d0【解答】解：解法，由題意，bm=2ma，cn=2na，bmma=cnna=2，bcmn，且bc=3mn，又mn2=om2+on22omoncos120°=1+42×1×2×（12）=7，mn=7；bc=37，cosomn=om2+mn2-on22ommn=1+7-42×1×7=27，bcom=|bc|

6、×|om|cos（omn）=37×1×（27）=6解題：不妨設(shè)四邊形oman是平行四邊形，由om=1，on=2，mon=120°，bm=2ma，cn=2na，知bc=acab=3an3am=3om+3on，bcom=（3om+3on）om=3om2+3onom=3×12+3×2×1×cos120°=6故選：c2已知a，b，e是平面向量，e是單位向量若非零向量a與e的夾角為3，向量b滿(mǎn)足b24eb+3=0，則|ab|的最小值是（）a31b3+1c2d23【解答】解：由b24eb+3=0，得(b-e)(b-3

7、e)=0，（b-e）（b-3e），如圖，不妨設(shè)e=(1，0)，則b的終點(diǎn)在以（2，0）為圓心，以1為半徑的圓周上，又非零向量a與e的夾角為3，則a的終點(diǎn)在不含端點(diǎn)o的兩條射線y=±3x（x0）上不妨以y=3x為例，則|ab|的最小值是（2，0）到直線3x-y=0的距離減1即|23|3+1-1=3-1故選：a3若e1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則向量a=e1+e2，b=-e1+2e2的夾角為（）a30°b60°c90°d120°【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)a、b的夾角為，又由e1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，且a=e

8、1+e2，b=-e1+2e2，則ab=（e1+e2）（e1+2e2）=e12+2e22+e1e2=32，又由a=（e1+e2），則|a|=1+1+1=3，b=（e1+2e2），則|b|=1+4-2=3，則有cos=ab|a|b|=12，則=60°；故選：b4如圖，在平面四邊形abcd中，abbc，adcd，bad=120°，ab=ad=1若點(diǎn)e為邊cd上的動(dòng)點(diǎn)，則aebe的最小值為（）a2116b32c2516d3【解答】解：如圖所示，以d為原點(diǎn)，以da所在的直線為x軸，以dc所在的直線為y軸，過(guò)點(diǎn)b做bnx軸，過(guò)點(diǎn)b做bmy軸，abbc，adcd，bad=120°

9、;，ab=ad=1，an=abcos60°=12，bn=absin60°=32，dn=1+12=32，bm=32，cm=mbtan30°=32，dc=dm+mc=3，a（1，0），b（32，32），c（0，3），設(shè)e（0，m），ae=（1，m），be=（32，m32），0m3，aebe=32+m232m=（m34）2+32316=（m34）2+2116，當(dāng)m=34時(shí)，取得最小值為2116故選：a5已知點(diǎn)g是abc內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足ga+gb+gc=0，若bac=3，abac=1，則|ag|的最小值是（）a33b22c63d62【解答】解：點(diǎn)g是abc內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足ga+g

10、b+gc=0，g是abc的重心，ag=13（ ab+ac），ac2=19（ab2+ac2+2abac）=19（|ab|2+|ac|2）+29，abac=12|ab|ac|=1，|ab|ac|=2，ab2+ac22|ab|ac|=4，ag249+29=23|ag|63故選：c6已知o1，o2，o3的半徑依次為1，2，3，o1，o2外切于點(diǎn)m，o2，o3外切于點(diǎn)n，o1，o3外切于點(diǎn)p，則o1n（o1m+o1p）=（）a85b175c145d195【解答】解：如圖，o1o2=3，o2o3=5，o3o1=4；o1o2o1o3；o1n=o1o2+o2n=o1o2+25o2o3=o1o2+25(o1o3

11、-o1o2)=35o1o2+25o1o3；o1n(o1m+o1p)=(35o1o2+25o1o3)(o1m+o1p)=35×3×1+0+0+25×4×1=175故選：b7在abc中，a=60°，ab=ac=3，d是abc所在平面上的一點(diǎn)若bc=3dc，則dbad=（）a1b2c5d92【解答】解：由題意建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則a（0，0），b（3，0），c（32，332），設(shè)d（x，y），則bc=(-32，332)，dc=(32-x，332-y)，由bc=3dc，得(-32，332)=(92-3x，932-3y)，解得x=2，y=3d（2

12、，3），則db=(1，-3)，ad=(2，3)，dbad=1×2-3×3=-1故選：a8如圖，在abc中，點(diǎn)d，e是線段bc上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且ad+ae=xab+yac，則1x+4y的最小值為（）a32b2c52d92【解答】解：設(shè)ad=mab+nac，ae=ab+ac，b，d，e，c共線，m+n=1，+=1ad+ae=xab+yac，則x+y=2，1x+4y=12（1x+4y）（x+y）=12（5+yx+4xy）12(5+2yx4xy)=92則1x+4y的最小值為92故選：d9如圖，在平行四邊形abcd中，bad=3，ab=2，ad=1，若m、n分別是邊bc、cd上的點(diǎn)，且滿(mǎn)

13、足bmbc=ncdc=，其中0，1，則aman的取值范圍是（）a0，3b1，4c2，5d1，7【解答】解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則b（2，0），a（0，0），d（12，32）bmbc=ncdc=，0，1，am=ab+bc=ab+ad=m（2+2，32），即m（2+2，32）；an=ad+dn=ad+（dcdc）=（12，32）+（1）（2，0）=（522，32），即 n（522，32）所以am=（2+2，32）（522，32）=22+5=（+1）2+6因?yàn)?，1，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為：=1，故當(dāng)0，1時(shí)，22+52，5故選：c10已知向量ab與ac的夾角為120°，|ab|=5，|

14、ac|=2，若ap=ab+ac，且apbc=6，則實(shí)數(shù)的值為（）a12b12c-110d110【解答】解：ab，ac=120°，|ab|=5，|ac|=2，ap=ab+ac；apbc=(ab+ac)(ac-ab)=-ab2+(-1)|ab|ac|cos120°+ac2=255（1）+4=6；解得=12故選：b11設(shè)abc的面積為s，若abac=1，tana=2，則s=（）a1b2c55d15【解答】解：tana=2，可得cosa=11+tan2a=15=55，sina=255，abac=1，可得bccosa=1，可得bc=5，abc的面積為s=12bcsina=12

15、5;5×255=1故選：a12已知向量a，b滿(mǎn)足|a+b|=|a-b|=5，則|a|+|b|的取值范圍是（）a0，5b5，52c52，7d5，10【解答】解：向量a，b滿(mǎn)足|a+b|=|a-b|=5，|a|+|b|a±b|=5，當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)取“=”；又(a+b)2=(a-b)2，a2+2ab+b2=a22ab+b2，ab=0，ab；|a|+|b|2×|a±b|2=52，當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|=52時(shí)“=”成立；|a|+|b|的取值范圍是5，52故選：b二填空題（共8小題）13在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)a（1，0）、b（2，0），e、f是y軸上的兩

16、個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|ef|=2，則aebf的最小值為3【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)e（0，a），f（0，b）；|ef|=|a-b|=2；a=b+2，或b=a+2；且ae=(1，a)，bf=(-2，b)；aebf=-2+ab；當(dāng)a=b+2時(shí)，aebf=-2+(b+2)b=b2+2b-2；b2+2b2的最小值為-8-44=-3；aebf的最小值為3，同理求出b=a+2時(shí)，aebf的最小值為3故答案為：314在平面直角坐標(biāo)系xoy中，a為直線l：y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，b（5，0），以ab為直徑的圓c與直線l交于另一點(diǎn)d若abcd=0，則點(diǎn)a的橫坐標(biāo)為3【解答】解：設(shè)a（a，2a），a0，b（5，0），c（

17、a+52，a），則圓c的方程為（x5）（xa）+y（y2a）=0聯(lián)立&y=2x&(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0，解得d（1，2）abcd=(5-a，-2a)(-a-32，2-a)=a2-2a-152+2a2-4a=0解得：a=3或a=1又a0，a=3即a的橫坐標(biāo)為3故答案為：315已知向量a，b滿(mǎn)足|a|=3，|b|=1，|a-b|=7，則|a+b|=13【解答】解：向量a，b滿(mǎn)足|a|=3，|b|=1，|a-b|=7，可得|a-b|2=a22ab+b2=92ab+1=7，即有ab=32，|a+b|2=a2+2ab+b2=9+3+1=13，則|a+b|=13故答案為：

18、1316已知平面向量a，b滿(mǎn)足|a|=1，|b|=2，|ab|=3，則a在b方向上的投影是12【解答】解：|a|=1，|b|=2，|ab|=3，|a|2+|b|22ab=3，解得ab=1，a在b方向上的投影是ab|b|=12，故答案為：1217已知向量a=（1，2），b=（2，4），|c|=5，若（a+b）c=52，則a與c的夾角為23【解答】解：設(shè)c=（x，y），由向量a=（1，2），b=（2，4），|c|=5，且（a+b）c=52，可得x2y=52，即有x+2y=52，即ac=52，設(shè)a與c的夾角為等于，則cos=ac|a|c|=-525×5=12再由0，可得 =23，故答案為：

19、2318如圖，在梯形abcd中，abdc，且ab=4，ad=2，bad=3，e為bc的中點(diǎn)，若aedb=9，則對(duì)角線ac的長(zhǎng)為23【解答】解：在梯形abcd中，abdc，且ab=4，ad=2，bad=3，可知a（0，0），b（4，0），d（1，3），設(shè)c（m，3）e為bc的中點(diǎn)，可得e（m+42，32），aedb=9，db=(3，-3)可得（m+42，32）(3，-3)=9，解得m=3，ac=（3，3）所以對(duì)角線ac的長(zhǎng)為：9+3=23故答案為：2319已知g為abc的重心，點(diǎn)m，n分別在邊ab，ac上，滿(mǎn)足ag=xam+yan，其中x+y=1，若am=34ab，則abc和amn的面積之比為2

20、09【解答】解：設(shè)bc的中點(diǎn)為d，則ag=23ad=13ab+13ac，又am=34ab，即ab=43am，ag=49am+13ac，x=49，又x+y=1，y=59，59an=13ac，即an=35ac，sabcsamn=12abacsinbac12amansinbac=abamacan=4353=209故答案為：20920已知腰長(zhǎng)為2的等腰直角abc中，m為斜邊ab的中點(diǎn)，點(diǎn)p為該平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若|pc|=2，則（papb+4）（pcpm）的最小值為48322【解答】解：根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；則c（0，0），b（2，0），a（0，2），m（1，1），由|pc|=2知，點(diǎn)p

21、的軌跡為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓，設(shè)點(diǎn)p（2cos，2sin），0，2）；則pa=（2cos，22sin），pb=（22cos，2sin），pc=（2cos，2sin），pm=（12cos，12sin），（papb+4）（pcpm）=（2cos）（22cos）+（2sin）（22sin）+4（2cos）（12cos）+（2sin）（12sin）=（84cos4sin）（42cos2sin）=8（44cos4sin+2sincos+1）=8（54cos4sin+2sincos）設(shè)t=sin+cos，t=2sin（+4）2，2，t2=1+2sincos，2sincos=t21，y=8（54t+t2

22、1）=8（t2）2，t=2時(shí)，y取得最小值為48322故答案為：48322三解答題（共6小題）21已知向量a=（cosx，1），b=（3sinx，12），函數(shù)f(x)=(a+b)a-2（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在abc中，三內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a，12)，b、a、c成等差數(shù)列，且abac=9，求a的值【解答】解：f(x)=(a+b)a-2=|a|2+ab-2=12cos2x+32sin2x=sin(2x+6)，（1）最小正周期：t=22=由2k-22x+62k+2(kz)得：k-3xk+6(kz)，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為

23、：k-3，k+6(kz)；（6分）（2）由f(a)=sin(2a+6)=12可得：2a+6=6+2k或56+2k(kz)所以a=3，又因?yàn)閎，a，c成等差數(shù)列，所以2a=b+c，（8分）而，abac=bccosa=12bc=9，bc=18，cosa=12=(b+c)2-a22bc-1=4a2-a236-1=a212-1，a=32（12分）22已知向量a=(2sin，1)，b=(1，sin(+4)（1）若角的終邊過(guò)點(diǎn)（3，4），求ab的值；（2）若ab，求銳角的大小【解答】解：（1）角的終邊過(guò)點(diǎn)（3，4），r=32+42=5，sin=yr=45，cos=xr=35；ab=2sin+sin（+4）

24、=2sin+sincos4+cossin4=2×45+45×22+35×22=322；（2）若ab，則2sinsin(a+4)=1，即2sin(sincos4+cossin4)=1，sin2+sincos=1，sincos=1sin2=cos2，對(duì)銳角有cos0，tan=1，銳角=423在abc中，角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c 已知c=52b（1）若c=2b，求cosb的值；（2）若abac=cacb，求cos（b+4）的值【解答】解：（1）因?yàn)閏=52b，則由正弦定理，得sinc=52sinb （2分）又c=2b，所以sin2b=52sinb，即2sinbcosb=52sinb （4分）又b是abc的內(nèi)角，所以sinb0，故cosb=54 （6分）（2）因?yàn)閍bac=cacb，所以cbcosa=bacosc，則由余弦定理，得b2+c2a2=b2+a2c2，得a=c （10分）從而cosb=a2+c2-b22ac=c2+c2-45c22c2=35，（12分）又0b，所以sinb=1-cos2b=45從而cos（b+4）=cosbcos4sinbsin4=35×22-45×22=-210 （14分）24在abc中，