勾股定理及兩點間的距離公式

1、知識精講(1) 直角三角形中，兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方利用勾股定理往往構(gòu)造方程，已達到 解決問題的目的;(2) 應用勾股定理解決實際問題，要注意分析題目的條件，矢注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根據(jù)所給的三邊條件，建立方程，從而解決問題；如果問題中沒有直角三角形，可以通過添加輔助線構(gòu)造出直角三角形，尋求等量矢系，再根據(jù)勾股定理建立相應的方程，因此，在解決直角三角形中有矢邊長的問題時，要靈活的運用方程的思想例(1 )在直角 abc 中 z c=90° z a=30° 、 bc=1 、貝 ab= (2)在直角 abc 中 z c=90° z a

2、=45° ab=3，則 ac=例 2 ( 1)等邊三角形的邊長是 3，則此三角形的面積是；(2)等腰三角形底邊上的長為 2，腰長為 4，則它底邊上的高為 例 3】(1)直角三角形兩邊長為 3 和 4，則此三角形第三邊長為；(2) 直角三角形兩直角邊長為 3 和 4，則此三角形斜邊上的高為 (3) 等腰三角形兩邊長是 2、4，則它腰上的高是(2)如果直角三角形的三邊長為連續(xù)偶數(shù)，則此三角形的周長為 例 6】 如圖，已知：r t abc 中，z acb 是直角，adc 的周例 8】如圖，直線 mn 是沿南北方向的一條公路，某施工隊在公路的點a 測得北偏西 30。的方向上有 棟別墅c， 朝

3、正北方向走了 400 米到達點b 后，測得別墅c 在北偏西 75°的方向上，如果要從別墅 c 修一條通向 mn 的最短小路，請你求出這條小路的長（結(jié)果保留根號）例 9 如圖，公路 mn 和公里 pq 在點 p 處交匯，且z qpn=30°，點 a 處有一所中學，ap=160 米，假 設(shè)拖拉機行駛時，周圍 100 米以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在 mn 上沿 pn 方向行駛時，學校是 否會受到噪音的影響？請說明理由；如果受影響，已知拖拉機的速度是 18 千米/時，那么學校受影響的例 10】如圖，矩形 abcd 中，ab=8，bc=4，將矩形沿 ac 進行翻折，點d 落在e

4、 處，求出重疊部分時間是多少秒？ afc 的面積亠例 11】如圖，ab 兩個村子在河邊 cd 的同側(cè)，a、b 兩村到河邊的距離分別為 ac=1 千米 bd =3 千米cd =3 千米現(xiàn)在河邊 cd 建一座水廠，建成后的水廠，可以直接向 a、b 兩村送水，也可以將水送 一村再轉(zhuǎn)送另一村鋪設(shè)水管費用為每千米 2 萬元，試在河邊 cd 選擇水廠位置p 確定方案，使鋪設(shè)水管費用最低，并求出鋪設(shè)水管的總費用（精確到0. 01 萬元）知識精講2、逆定理:(1 )如果三角形一條邊的平方等于其他兩邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形；利用逆定理來判斷三角形是否為直角三角形(2)在直角三角形的三邊中，首先弄清

5、楚哪條邊是斜邊，另外應用逆定理時，最大邊的平方和等于較 小兩邊的平方和例 12】下列命題中是假命題的是()a 在厶 abc 中，若z b=z c-za，則厶 abc 是直角三角形b 在 aabc 中，若 a2 (be) (be)，則 abc 是直角三角形c在 zxabc 中，若z b : zc : za=3:4:5，則厶 abc 是直角三角形dzxabc 中，若 a:b:c 5:4:3 則厶 abc 是直角三角形例 13 ( 1)將直角三角形的三邊都擴大相同的倍數(shù)后，得到的三角形是三角形；(2)若 abc 的三邊 a、b、c 滿足(ab) (a2 b2 c2) 0 則 abc 是三角形例 14

6、】1) 一根旗桿在離地面 9 米處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部 12 米處，則旗桿折斷之前有多少米？222例 16】如圖，公路上 a、b 兩點相距 25 千米，c、d 為兩村莊，da 丄 ab 于點a，cb 丄 ab 于點b，已 知da=15 千米，cb=10 千米，現(xiàn)要在公路 ab 上建一車站eaeb(1 )若使得 c、d 兩村到e 站的距離相等，e 站建在離a 站多少千米處？ (2)若使得 c、d 兩村到e 站的距離和最小，e 站建在離 a 站多少千米處？例 17】如圖、在四邊形 abcd 中，ab=bc=2 ，cd=3 da=1 且z b=90 求'dab 的度數(shù)交 ab 于點e

7、，交 ac 于點f，求 ae : be 的值知識精講模塊三：兩點間的距離公式3、距離公式：如果平面內(nèi)有兩點a (xi » yi ) 、b (x2，y2)，則 a、b 兩點間的距離為：(xi x2) 2 ( yi y2)2 (1 )當 a (xi » yi) 、b(x2，«)兩點同在 x 軸上或平行于x 軸的直線上，則有 yi y2 » ab= | xi x21 :例題解析例 19已知點 a (2，2)、b ( 5，1) (1)求 a、b 兩點間的距離； (2)在 x 軸上找一點c，使 ac=bc 2)當 a (xi » yi)、b(x2，

8、71;)兩點同在 y 軸上或平銜軸的直線上則有 xi x2 ab=| yi y2|2）已知點p 在第二、四象限的平分線上，且到q （2，3）的距離為 5，則點p 的坐標為例 21】（1）以點 a （1，2）、b （2，1），c （4 為頂點的三角形是 _ ；（2）已知點a（0,3）、b（01），zabc 是等邊三角形，則點c 的坐標是 例 22】已知直角坐標平面內(nèi)的點 a （4，1）、b （6，3），在坐標軸上求點p '使 pa=pb例 23】已知直角坐標平面內(nèi)的點 p （4，m ），且點p 到點a （2，3）、b （1，2）的距離相等，求點p的坐標個最小值；若不存在，說明理由例 25

9、】已知直角坐標平面內(nèi)的點人（4，3）、b （6,3），在 x 軸上求一點c 牡 abc 是等腰三角形隨吐檢測例 26】 已知點a （4，0）、b （2，1），點 c 的坐標是（x，2-x），若厶 abc 是等腰三角形，求 c 坐標 習題 1】六根細木棒，她們的長度分別是 2、4、6、8、10、12 （單位：cm ）從中取出三根，首尾順次連接搭成一個直角三角形，則這些木棒的長度分別為（）d 810 > 12a 等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形d以上都不是習題 3】(1)如果等腰直角三角形一邊長為 2，另外兩邊長為；(2)如果直角三角形兩邊長為 5 和 12，第三邊長度為 習題 4】如

10、圖，將長方形 abcd 沿 ae 折疊，使得點 d 落在 bc 上的點f 處，ab=8，ad=10 求 ec 的面積習題 5如i 圖在四邊形 abcd 中、ab±bc ab=9 、bc=12 cd=15，da=15 2 求四邊形 abcd 的習題 7】若a、b、c 是三角形的邊長且矢于x 的方程 x2 2(a b)x c2 2ab 0 有兩個相等的實數(shù)根，試判斷這個三角形的形狀習題 8】如圖，在一條公路上有p、q 兩個車站，相距 27km，a、b 是兩個村莊，ap 丄 pq，bq 丄 pq，且 ap=15km，bq=24km，現(xiàn)在要在公路上建立一個商場莊到商場m 的距離相等，求 pm

11、 的長m 使得 a、b 兩個村習題 9】已知點 a2,8b1,4c 在y 軸上，使babc 為直角直角三角形，求滿足條件的點c 的坐標pmq習題 11】 若在 abc 中，ab=c，ac=b bc=a，z acb=90°，則 a2 b2 c2 試用兩種方法證明作業(yè) 1】下列命題中，正確的有()個(1 )腰長及底邊上的高對應相等的兩個等腰三角形全等am 3，bm 1，cm 2,求 bmc 的度數(shù)(2)(3)有一直角邊和斜邊上對應相等的兩個直角三角形全等有兩邊和其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等222作業(yè) 3】 如圖，rt abc 中，斜邊 ab 1，則 ab2 bc2 ac2 的值

12、是作業(yè) 4】已知點 a3，5，點 b 的橫坐標為3，且 a、b 兩點之間的距離為 10，那么點 b 的坐標是作業(yè) 5現(xiàn)將直角三角形 abc 的直角邊 ac 沿直線 ad 折疊，使它落在斜邊 ab 上，c 與 e 重合，且ac=3 bc=4，則 cd 等于.作業(yè) 6如果 abc 的周長為 12，而 ab bc 2ac，ab bc 2，那么 abc 的形狀是0apq 若 ab 1，則兩個三角形重疊部分的面積為 作業(yè) 9】 已知：如圖，四邊形 abcd 的三邊（ab、bc、cd）和 bd 都為 5 厘米，動點 p 從a 出發(fā)abd ），速度為 2 厘米/秒，動點q 從點 d 出發(fā)（dcba）到 a，速度為 28 厘米/ 秒，5 秒后p、q 相距 3 厘米，試確定 5 秒時 apq 的形狀.作業(yè) 10】閱讀下已知 a b、c解： q a2c2 b2c2列題目的解題過程：abc 的二功，且滿足a2c2 b2c2 a4 4422222a4 b4 (a)、 c a b a babc 是直角三角形b4，試判斷 abc 的形狀22ab( b)c2 a2 b2(c)，問：（1 ）上述解題過程中，從哪一步開始出錯？請寫出該步的