2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）黃金卷02（理）（新課標(biāo)Ⅲ卷）（解析版）

1、黃金卷02（新課標(biāo)卷）理科數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1設(shè)集合，則( )。a、b、c、d、【答案】a【解析】，解得或，故，則，故選a。2已知復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為，則實(shí)數(shù)的值為( )。a、b、c、d、【答案】b【解析】由題意可得：，實(shí)部與虛部之和為，解得，故選b。3函數(shù)的圖像大致為( )。a、 b、 c、 d、【答案】a【解析】，是奇函數(shù)，故排除cd，又，故排除b，故選a。4射線測厚技術(shù)原理公式為，其中、分別為射線穿過被測物前后的強(qiáng)度，是自然對數(shù)的底數(shù)，為被測物厚度，為被測物的密

2、度，是被測物對射線的吸收系數(shù)。工業(yè)上通常用镅()低能射線測量鋼板的厚度。若這種射線對鋼板的半價(jià)層厚度為，鋼板的密度為，則鋼板對這種射線的吸收系數(shù)為( )。(注：半價(jià)層厚度是指將已知射線強(qiáng)度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度，結(jié)果精確到)a、b、c、d、【答案】c【解析】由題意可知、，代入得：，即，即，故選c。5已知雙曲線：(，)的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )。a、或b、或c、或d、或【答案】d【解析】兩條漸近線的夾角為，或，又，解得或，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，故選d。6在中，點(diǎn)滿足，若，則的值為( )。a、b、c、d、【答案】c【解析】取的中點(diǎn)為，連接，則，設(shè)，則，解得

3、，是等邊三角形，故選c。7素?cái)?shù)分布是數(shù)論研究的核心領(lǐng)域之一，含有眾多著名的猜想。世紀(jì)中葉，法國數(shù)學(xué)家波利尼亞克提出了“廣義孿生素?cái)?shù)猜想”：對所有自然數(shù)，存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)對。其中當(dāng)時(shí)，稱為“孿生素?cái)?shù)”，時(shí)，稱為“表兄弟素?cái)?shù)”。在不超過的素?cái)?shù)中，任選兩個(gè)不同的素?cái)?shù)、()，令事件，記事件、發(fā)生的概率分別為、，則下列關(guān)系式成立的是( )。a、b、c、d、【答案】d【解析】不超過的素?cái)?shù)有、，共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的素?cái)?shù)、()，有(種)選法，事件發(fā)生的樣本點(diǎn)為、共4個(gè)，事件發(fā)生的樣本點(diǎn)為、共4個(gè)，事件發(fā)生的樣本點(diǎn)為、，共個(gè)，故，故選d。8已知(其中)的展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為，則( )。a、b、c、d、【答

4、案】d【解析】原二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，則常數(shù)項(xiàng)為，則，則，故選d。9函數(shù)()的圖像關(guān)于對稱，且在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為( )。a、b、c、d、【答案】b【解析】由題意得：()，解得()，且，故，即，、，故在區(qū)間上的最小值為，故選b。10已知單位向量、，滿足。若常數(shù)、的取值集合為，則的最大值為( )。a、b、c、d、【答案】a【解析】由條件得，和的取值只有三種可能，分別為、，但二者不可能同時(shí)一個(gè)取，另一個(gè)取，的化簡結(jié)果只有四種形式：、，而，故所有可能取值只有或兩種結(jié)果，的最大值為，故選a。11已知、四點(diǎn)在同一個(gè)球面上，且、兩兩垂直，當(dāng)、與面積之和的最大值為時(shí)，該球的表面積為( )。a

5、、b、c、d、【答案】b【解析】設(shè)、，則、與面積之和為，故的最大值為，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，即，、四點(diǎn)所在的同一個(gè)球即以、為鄰邊的長方體的外接球，該球的直徑，則該球的表面積，故選b。12已知函數(shù)(是以為底的自然對數(shù)，)，若存在實(shí)數(shù)、()，滿足，則的取值范圍為( ) 。a、b、c、d、【答案】c【解析】根據(jù)題意，作出函數(shù)的圖像如圖所示：存在實(shí)數(shù)、()，滿足，根據(jù)函數(shù)圖像可得，即，構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)取極小值也是最小值，的取值范圍為，故選c。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知，則 ?！敬鸢浮俊窘馕觥?，則，由正弦二倍角公

6、式得。14已知實(shí)數(shù)、滿足約束條件，且目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則的取值范圍是 。【答案】【解析】作圖，目標(biāo)函數(shù)改寫為，作直線，目標(biāo)直線斜率為負(fù)，且截距最大時(shí)也最大，則時(shí)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)，目標(biāo)直線為，與交于點(diǎn)，則，、，設(shè)，表示點(diǎn)到點(diǎn)的斜率，其在為正數(shù)時(shí)范圍為，在負(fù)值時(shí)范圍為，又，則的取值范圍為。15已知拋物線：，其準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過其焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，記直線、的斜率分別為、，則的最小值為 ?！敬鸢浮俊窘馕觥?、，設(shè)、，直線的方程為，聯(lián)立得：，、，、，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為。16在等腰直角中，為內(nèi)一點(diǎn)，則 ?！敬鸢浮俊窘馕觥咳鐖D建系，則、，故，故、，故，故。三、解答題（本大題共6小題，共70分。

7、解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17（12分）根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)(為整數(shù))的不同，可將空氣質(zhì)量分級(jí)如下表：級(jí)別1212狀況優(yōu)良輕微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染對某城市一年(天)的空氣質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測，獲得的數(shù)據(jù)按照區(qū)間、進(jìn)行分組，得到頻率分布直方圖如圖。(1)求直方圖中的值； (2)計(jì)算一年中空氣質(zhì)量分別為良和輕微污染的天數(shù)；(3)求該城市某一周至少有天的空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率。(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示，已知，)【解析】(1)由圖可知，解得； 3分(2)； 6分(3)該城市一年中每天空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率為：， 8分則空氣質(zhì)量不為良且不為輕微污染的概率為， 10分一周至少有兩天

8、空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率為：。 12分18（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(，)。(1)設(shè)，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和。【解析】(1)由已知得，即()， 2分()， 3分又，且，故數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列； 4分(2)由(1)知，則， 5分設(shè)， 6分， 7分兩式相減得：， 9分解得， 10分?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和。 12分19（12分）如圖所示，四棱錐中，底面，。(1)求證：平面平面；(2)若棱上存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值?！窘馕觥?1)證明：， 1分底面，平面， 2分，又，平面， 3分平面，平面平面； 4分(2)解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、所在射線分

9、別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，由點(diǎn)向作線，則，、， 5分設(shè)，在棱上，()，又， 6分設(shè)平面的向量，、，取，則、， 8分設(shè)平面的向量，、，取，則、， 10分，解得，又平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角的平面角為，。 12分20（12分）已知拋物線：，過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)、，分別以、為切點(diǎn)作拋物線的切線、，直線、交于點(diǎn)。(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)求面積的最小值，并求出此時(shí)直線的方程。【解析】(1)設(shè)，以為切點(diǎn)的切線為，整理得：， 1分同理：以為切點(diǎn)的切線為：， 2分聯(lián)立方程組：，解得， 3分設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組得：， 5分，點(diǎn)的軌跡方程為； 6分(2)由(1)知

10、：， 8分又到直線的距離為：， 9分， 11分時(shí)，取得最小值，此時(shí)直線的方程為。 12分21（12分）已知函數(shù)。(1)討論的單調(diào)性；(2)求證：當(dāng)時(shí) ，對都有?！窘馕觥?1)，其定義域?yàn)椋?1分當(dāng)時(shí)，即時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增， 2分當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有兩個(gè)根為：、， 3分當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增， 4分當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減； 5分(2)由(1)知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，對有，不妨設(shè)，在上單調(diào)遞增，則原式可以轉(zhuǎn)化為， 7分即有，即證，設(shè)， 9分則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增， 10分當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即，同理可證，即，則原不等式得證。 12分請考生在第22、23兩題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分。22選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為(為參數(shù))，直線的方程為。以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。(1)求曲線和直線的極坐標(biāo)方程；(2)已知射線的極坐標(biāo)方程是，且與曲線和直線在第一條限的交點(diǎn)分別為、，求的長?！窘馕觥?1)曲線：，化為極坐標(biāo)方程為：， 2分直線的極坐標(biāo)方程為， 4分(2)設(shè)點(diǎn)，則有，解得，即， 6分設(shè)