通用版2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第17講任意角和蝗制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案理新人教A版20190313353

1、第17講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1.角的概念的推廣(1)定義:角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.  (2)分類:按旋轉(zhuǎn)方向分為、和零角;按終邊位置分為和軸線角. (3)終邊相同的角:所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),構(gòu)成的角的集合是s=.  2.弧度制的定義和公式(1)定義:把長度等于的弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度的角.弧度記作rad.  (2)公式:角的弧度數(shù)的絕對(duì)值|=lr(弧長用l表示)角度與弧度的換算1°=180 rad,1 rad=180°弧長公式弧長l= 扇形面積公式s=1

2、2lr=12|r23.任意角的三角函數(shù)(1)定義:設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)p(x,y),則sin =,cos =,tan =yx(x0). (2)幾何表示(單位圓中的三角函數(shù)線):圖3-17-1中的有向線段om,mp,at分別稱為角的、和. () ()() ()圖3-17-1常用結(jié)論象限角與軸線角(1)象限角(2)軸線角題組一常識(shí)題1.教材改編 終邊落在第一象限角平分線上的角的集合是. 2.教材改編 (1)67°30'=rad;(2)12= °. 3.教材改編 半徑為120 mm的圓上長為144 mm的弧所對(duì)圓心

3、角的弧度數(shù)是. 4.教材改編 若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)p(-1,2),則sin -cos +tan =. 題組二常錯(cuò)題索引:對(duì)角的范圍把握不準(zhǔn);不能據(jù)函數(shù)值的符號(hào)確定角所在的象限;不熟悉角在不同象限時(shí)對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào);求弧長或者扇形面積把角化為弧度數(shù)時(shí)出錯(cuò).5.在abc中,若sin a=22,則a=. 6.已知p(-3,y)為角的終邊上的一點(diǎn),且sin =1313,則y=. 7.當(dāng)為第二象限角時(shí),|sin|sin-cos|cos|的值是. 8.若一扇形的圓心角為72°,半徑為20 cm,則扇形的面積為cm2. 探究點(diǎn)一角的集合

4、表示及象限角的判定例1 (1)2018·長春一模 若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊在x軸的非負(fù)半軸上,終邊在直線y=-3x上,則角的所有取值的集合是()a.=2k-3,kzb.|=2k+23,kzc.|=k-23,kzd.|=k-3,kz(2)集合|k+4k+2,kz中的角所表示的范圍(陰影部分)是()abcd圖3-17-2   總結(jié)反思 (1)角(0<2)與角2k+(kz)的終邊相同;(2)要求角所在的象限,只需將角表示成2k+(kz,0<2)的形式,則角所在的象限即為角所在的象限.變式題 (1)設(shè)集合m=x|x=k2·180°

5、;+45°,kz,n=x|x=k4·180°+45°,kz,那么()a.m=nb.mnc.nmd.mn=(2)若角的終邊在x軸的上方,則2是第象限角. 探究點(diǎn)二扇形的弧長、面積公式例2 (1)若圓弧長度等于該圓內(nèi)接等腰直角三角形的周長,則其圓心角的弧度數(shù)是. (2)已知扇形的圓心角為60°,其弧長為,則此扇形的面積為.    總結(jié)反思 應(yīng)用弧度制解決問題的策略:(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí),要注意角的單位必須是弧度;(2)涉及求扇形面積最大值的問題,常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題,

6、利用配方法使問題得到解決;(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí),要合理地利用圓心角所在的三角形.變式題 (1)將表的分針撥快10分鐘,則分針旋轉(zhuǎn)過程中形成的角的弧度數(shù)是()a.3b.6c.-3d.-6(2)若扇形的周長為18,則扇形面積取得最大值時(shí),扇形圓心角的弧度數(shù)是. 探究點(diǎn)三三角函數(shù)的定義角度1三角函數(shù)定義的應(yīng)用例3 (1)2018·濟(jì)南二模 已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)p(m,-2m),其中m0,則sin +cos 等于()a.-55b.±55c.-35d.±35(2)2018·北京通州區(qū)三模 在平面直角坐標(biāo)系xoy中,角以ox為始邊,終邊位于第

7、四象限,且與單位圓交于點(diǎn)12,y,則sin =.    總結(jié)反思 三角函數(shù)的定義主要應(yīng)用于兩方面:(1)已知角的終邊上一點(diǎn)p的坐標(biāo),則可先求出點(diǎn)p到原點(diǎn)的距離,然后用三角函數(shù)定義求解三角函數(shù)值.特別地,若角的終邊落在某條直線上,一般要分類討論.(2)已知角的某個(gè)三角函數(shù)值,可依據(jù)三角函數(shù)值設(shè)出角終邊上某一符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)來解決相關(guān)問題.角度2三角函數(shù)值的符號(hào)判定例4 (1)若sin ·cos <0,tansin>0,則角是()a.第一象限角b.第二象限角c.第三象限角d.第四象限角(2)若為第二象限角,則cos 2,cos2,1s

8、in2,1cos2中,其值必為正的有()a.0個(gè)b.1個(gè)c.2個(gè)d.3個(gè)   總結(jié)反思 判斷三角函數(shù)值的符號(hào),關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限,然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定所求三角函數(shù)值的符號(hào),特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.角度3三角函數(shù)線的應(yīng)用例5 2018·嘉興模擬 已知2,34,a=sin ,b=cos ,c=tan ,那么a,b,c的大小關(guān)系是()a.a>b>cb.b>a>cc.a>c>bd.c>a>b   總結(jié)反思 利用三角函數(shù)線比較大小或解三角不等

9、式,通常采用數(shù)形結(jié)合的方法,一般來說sin xb,cos xa,只需作直線y=b,x=a與單位圓相交,連接原點(diǎn)與交點(diǎn)即得角的終邊所在的位置,此時(shí)再根據(jù)方向即可確定相應(yīng)的x的范圍.變式題 函數(shù)f(x)=1-2cosx+lnsin x-22的定義域?yàn)? 第17講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)考試說明 1.任意角、弧度制(1)了解任意角的概念和弧度制的概念.(2)能進(jìn)行弧度與角度的互化.2.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.【課前雙基鞏固】知識(shí)聚焦1.(1)端點(diǎn)(2)正角負(fù)角象限角(3)|=+k·360°,kz2.(1)半徑長(2)|r3.(1)yx(2)

10、余弦線正弦線正切線對(duì)點(diǎn)演練1.|=k·360°+45°,kz解析 終邊落在第一象限角平分線上的最小正角為45°,所以與其終邊相同的角的集合為|=k·360°+45°,kz.2.(1)38(2)15解析 (1)67°30'=67.5×180=38(rad);(2)12=12×180°=15°.3.1.2解析 根據(jù)圓心角弧度數(shù)的計(jì)算公式得,=144120=1.2.4.35-105解析 r=(-1)2+22=5,所以sin =25=255,cos =-15=-55,tan

11、=2-1=-2,所以sin -cos +tan =35-105.5.4或34解析 因?yàn)?<a<且sin a=22,所以a=4或a=34. 6.12解析 因?yàn)閞=3+y2,所以由三角函數(shù)的定義可得y3+y2=1313,解得y=12.7.2解析 為第二象限角,sin >0,cos <0,|sin|sin-cos|cos|=1-(-1)=2.8.80解析 72°=25 rad,s扇形=12r2=12×25×202=80(cm2).【課堂考點(diǎn)探究】例1思路點(diǎn)撥 (1)先求出直線y=-3x的傾斜角,再根據(jù)終邊相同的角的要求得出角的取值集合;(2)對(duì)k

12、分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分析角所表示的范圍.(1)d(2)c解析 (1)因?yàn)橹本€y=-3x的傾斜角是23,所以終邊落在直線y=-3x上的角的取值集合為=k-3,kz.故選d.(2)當(dāng)k=2n(nz)時(shí),2n+42n+2,此時(shí)表示的范圍與42表示的范圍一樣;當(dāng)k=2n+1(nz)時(shí),2n+42n+2,此時(shí)表示的范圍與5432表示的范圍一樣.故選c.變式題(1)b(2)一或三解析 (1)m中,x=k2·180°+45°=k·90°+45°=45°·(2k+1),kz,2k+1是奇數(shù);n中,x=k4·180

13、6;+45°=k·45°+45°=45°·(k+1),kz,k+1是整數(shù).綜上可知,必有mn.(2)角的終邊在x軸的上方,k·360°<<180°+k·360°,kz,k·180°<2<90°+k·180°,kz.當(dāng)k=2n(nz)時(shí),有n·360°<2<90°+n·360°,可知2為第一象限角;當(dāng)k=2n+1(nz)時(shí),有n·360

14、6;+180°<2<270°+n·360°,可知2為第三象限角.例2思路點(diǎn)撥 (1)找出弧長與半徑,用弧度制公式求解;(2)設(shè)扇形的半徑為r,根據(jù)弧長公式可求出r的值,再由扇形的面積公式即可得出結(jié)論.(1)2+22(2)32解析 (1)設(shè)圓的半徑為r,則圓內(nèi)接等腰直角三角形的斜邊長為2r,一條直角邊長為2r,所以周長為2r+22r,所以圓弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)是2r+22rr=2+22.(2)設(shè)扇形的半徑為r,扇形的圓心角為60°,它的弧長為,60r180=,解得r=3, s扇形=12××3=32.變式題(1)c(

15、2)2解析 (1)將表的分針撥快應(yīng)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),為負(fù)角,故選項(xiàng)a,b不正確;又因?yàn)閾芸?0分鐘,故應(yīng)轉(zhuǎn)過的角的絕對(duì)值大小為周角的16,即為-16×2=-3.(2)設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l,則l+2r=18,即l=18-2r,所以扇形面積s=12l·r=12(18-2r)·r=-r2+9r,當(dāng)r=92時(shí),s取得最大值,此時(shí)l=18-2r=9,所以圓心角的弧度數(shù)是lr=992=2.例3思路點(diǎn)撥 利用任意角的三角函數(shù)的定義求解.(1)b(2)-32解析 (1)角的終邊經(jīng)過點(diǎn)p(m,-2m),其中m0,r=m2+(-2m)2=5m2=5·|m|.當(dāng)m>

16、;0時(shí),sin =-2m5m=-25,cos =m5m=15,sin +cos =-55;當(dāng)m<0時(shí),sin =-2m-5m=25,cos =m-5m=-15,sin +cos =55.sin +cos =±55.(2)角以ox為始邊,終邊位于第四象限,且與單位圓交于點(diǎn)12,y,y=-1-122=-32,sin =yr=-321=-32.例4思路點(diǎn)撥 (1)根據(jù)條件確定sin ,cos 的符號(hào),再確定所在的象限;(2)根據(jù)為第二象限角,分別確定2,2的終邊所在的象限,再根據(jù)象限確定對(duì)應(yīng)函數(shù)值的符號(hào).(1)d(2)a解析 (1)由tansin>0,得1cos>0,所以

17、cos >0.又sin ·cos <0,所以sin <0,所以為第四象限角,故選d.(2)由題意知,2k+2<<2k+(kz),則4k+<2<4k+2(kz),所以2的終邊在第三、第四象限或y軸的負(fù)半軸上,所以sin 2<0,cos 2可正可負(fù)也可為零.因?yàn)閗+4<2<k+2(kz),所以2的終邊在第一或第三象限,所以cos2可正可負(fù).故選a.例5思路點(diǎn)撥 作出位于區(qū)間2,34上的角的三角函數(shù)線,利用三角函數(shù)線比較大小.a解析 方法一:如圖,作出位于區(qū)間2,34上的角的三角函數(shù)線,則角的正弦線、余弦線、正切線分別為mp,om

18、,at,顯然有sin >cos >tan ,即a>b>c.方法二:此題也可采用特值法.2,34,可取=23,此時(shí)a=sin =32,b=cos =-12,c=tan =-3,即a>b>c,故選a.變式題x2k+3x<2k+34,kz解析 由題意得,自變量x應(yīng)滿足1-2cosx0,sinx-22>0,即cosx12,sinx>22,則如圖中陰影部分所示,不等式組的解集為x2k+3x<2k+34,kz.【備選理由】 例1考查判斷弧度制下的角所在的象限問題;例2考查弧長公式與等差數(shù)列的綜合問題;例3強(qiáng)化對(duì)三角函數(shù)定義的理解與應(yīng)用,并給出了方法二,即利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系也可求解;例4考查三角函數(shù)線的基本應(yīng)用.例1配合例1使用 若角=-4,則的終邊在()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限解析 b因?yàn)?32<=-4<-,所以依據(jù)負(fù)角的定義可知的終邊在第二象限.故選b.例2配合例2使用 如圖所示,一條螺旋線是用以下方法畫成的:abc是邊長為1的正三角形,曲線ca1,a1a2,a2a3分別是以a,b,c為圓心,以a