南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)論文

1、 本科畢業(yè)設(shè)計題目基于內(nèi)點法的電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流算法研究原 創(chuàng) 性 聲 明本人聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究成果。除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已發(fā)表或撰寫過的研究成果。參與同一工作的其他同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意。 簽 名： 日 期： 本論文使用授權(quán)說明本人完全了解南通大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保留論文及送交論文復(fù)印件，允許論文被查閱和借閱；學(xué)?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi)容。（保密的論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定）學(xué)生簽名： 指導(dǎo)教師簽名： 日期： 南 通 大 學(xué) 畢 業(yè) 設(shè) 計（論文）題目： 基于內(nèi)點

2、法的電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流算法研究 南通大學(xué)電氣工程學(xué)院 201 年 5 月20日南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文）摘 要隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，找到系統(tǒng)功率最優(yōu)的運行狀態(tài)也越發(fā)顯得重要，電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算的研究的重要性便也日益凸顯。最優(yōu)潮流實際上就是通過改變系統(tǒng)中的控制變量，在達(dá)到一些相對的約束的條件的情況下，使得系統(tǒng)中的某一項指標(biāo)運行在一個最好的工作狀態(tài)上。在各種最優(yōu)潮流計算方法中，內(nèi)點法，收斂快速，迭代的次數(shù)和系統(tǒng)的規(guī)模沒有什么關(guān)系，還不易出錯，這讓內(nèi)點法成為求解大規(guī)模電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流最為實用的方法之一。本文對原對偶內(nèi)點法進(jìn)行了詳細(xì)的介紹，給出了其具體的數(shù)學(xué)推導(dǎo)公式，建立了電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流的計算模

3、型，合理的處理了各個等式、不等式約束條件。利用IEEE-14標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)作為算例，使用MATLAB數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行編程計算，驗證本文提供的計算方法的正確性。關(guān)鍵詞：電力系統(tǒng)，最優(yōu)潮流，原對偶內(nèi)點法，約束條件ABSTRACTWith the enlargement of power system scale, finding the most advantages of power system operation is also becoming increasingly important, so the importance of studying on optimal power flow

4、calculation of power system is becoming increasingly prominent. Optimal power flow is actually under the condition of reaching some relative constraints, to make an index in the system operate in the best working state through changing the control variables of the system. In various methods of optim

5、al power flow calculation, the interior point method, fast convergence and the number of iterations has nothing to do with the scale of the system and is not easy to make a mistake, which let the interior point method become one of the most practical method for solving the optimal power flow in larg

6、e scale power system. This paper introduces the Primal-Dual Interior Method in detail, then given the specific mathematical derivation formula and established optimal power flow calculation model, Handling the various equality constraints and inequality constraints. Then use IEEE-14 standa

7、rd test system as an example, using MATLAB programming mathematical computing software, verify the reasonableness of the calculation method the paper provide.Key words: Power Systems, OPF, Primal-Dual Interior Method, Constraint conditions目 錄摘 要IABSTRACTII目 錄III1緒論11.1引言11.2電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算的發(fā)展歷史及現(xiàn)狀11.3本文所

8、做工作22、電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流算法介紹42.1最優(yōu)潮流計算的基本數(shù)學(xué)模型42.1.1目標(biāo)函數(shù)42.1.2等式約束條件52.1.3不等式約束條件52.2電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流的算法簡介62.2.1 線性規(guī)劃法62.2.2 二次規(guī)劃法62.2.3 牛頓法72.2.4 內(nèi)點法72.2.5電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算的新興算法83、原對偶內(nèi)點法93.1原對偶內(nèi)點法的數(shù)學(xué)原理93.2目標(biāo)函數(shù)的收斂條件123.3 初值的選取123.4 利用原對偶內(nèi)點法進(jìn)行潮流計算的方法134.基于原對偶內(nèi)點法的電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算154.1電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算中的各項數(shù)學(xué)模型154.1.1最優(yōu)潮流計算的目標(biāo)函數(shù)154.1.2最優(yōu)潮流計算

9、的等式約束條件154.1.3最優(yōu)潮流計算的不等式約束條件164.2各項數(shù)學(xué)模型的具體表達(dá)164.2.1目標(biāo)函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)及相應(yīng)矩陣164.2.2等式約束的各偏導(dǎo)數(shù)及相應(yīng)矩陣174.2.3不等式約束的各偏導(dǎo)數(shù)及相應(yīng)矩陣214.2.4對模型中各節(jié)點的不等式約束條件的處理244.3算例分析254.3.1 MATLAB簡介254.3.2具體的計算流程254.3.3 IEEE-14標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)運算結(jié)果265總結(jié)與展望295.1本文總結(jié)295.2今后展望29參考文獻(xiàn)30附錄IEEE-14標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)數(shù)據(jù)32致 謝34341緒論1.1引言在這個世界上，人們的生活已經(jīng)無法離開電能，電能也毫無爭議地成為世界上最

10、為重要的能源。而作為負(fù)擔(dān)電能產(chǎn)生、輸送、分配以及消費的電力系統(tǒng)更是當(dāng)今世界上最重要也是最復(fù)雜的系統(tǒng)之一。如何合理的控制電力系統(tǒng)，使得電力系統(tǒng)運行在一個最佳的狀態(tài)（即電力系統(tǒng)的最優(yōu)潮流計算）自然也就受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。所謂最優(yōu)潮流，指的是在系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)以及各種負(fù)荷情況都給定的同時，通過調(diào)整給定各種控制變量，在滿足電力系統(tǒng)中所有約束條件的前提下使系統(tǒng)的某一項性能指標(biāo)運行在最佳狀態(tài)時電力系統(tǒng)功率流的分布1。對電力系統(tǒng)的最優(yōu)潮流的研究是研究電力系統(tǒng)運行的重要組成部分之一，研究此類問題對在電力系統(tǒng)中如何在保證安全和電能質(zhì)量的前提下達(dá)到電力系統(tǒng)最優(yōu)的運行狀態(tài)具有十分重要的意義。1.2電力系統(tǒng)最優(yōu)

11、潮流計算的發(fā)展歷史及現(xiàn)狀對于電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算的歷史最早可以追回到第二十世紀(jì)。在當(dāng)時，經(jīng)典的經(jīng)濟(jì)調(diào)度法因為具有計算簡單，收斂速度快，適合實時性應(yīng)用等優(yōu)點，在當(dāng)時被廣泛應(yīng)用于最優(yōu)潮流計算當(dāng)中。而隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，經(jīng)典的經(jīng)濟(jì)調(diào)度法已經(jīng)很難完成當(dāng)時電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算的各項要求，這就促使研究人員不斷尋求更加高效可靠的最優(yōu)潮流計算理論來代替經(jīng)濟(jì)調(diào)度法。隨著計算機(jī)的高速發(fā)展，電力系最優(yōu)統(tǒng)潮流計算進(jìn)入了一個新的殿堂，計算速度十分迅速的計算機(jī)使得大規(guī)模的最優(yōu)潮流計算成為了可能。在初始階段，人們普遍采用對計算機(jī)內(nèi)存要求較小的導(dǎo)納法（高斯-塞德爾迭代法）來計算最優(yōu)潮流。到了20世紀(jì)60年代，計算機(jī)的

12、內(nèi)存容量以及計算速度有了很大的提升，這使得對內(nèi)存要求較高卻具有比導(dǎo)納法更好的收斂性的阻抗法得到了廣泛的應(yīng)用。但是，隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，阻抗法計算量大、對內(nèi)存要求高的缺點又再一次顯現(xiàn)出來。為了克服這個困難，到了70年代，人們又提出了新的潮流計算方法牛頓拉夫遜法（以下簡稱牛頓法）。在最優(yōu)潮流計算理論當(dāng)中，牛頓法是以節(jié)點導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)的，利用了稀疏矩陣的稀疏性直接對拉格朗日的KKT條件（Karush-Kuhn-Tucker Conditions，這是在非線性規(guī)劃中是否有最優(yōu)解的一個充分必要條件）進(jìn)行牛頓法迭代求解2。尤其是在采用了最佳順序消去法后，牛頓法在收斂性、對計算內(nèi)存的要求甚至在整個計

13、算速度方面都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了阻抗法。直到今天，牛頓法仍然在被廣泛的使用，廣大學(xué)者還在牛頓法的基礎(chǔ)上提出了許多優(yōu)秀的最優(yōu)潮流計算方法。、到了80年代，人們又提出了具有多項式的計算復(fù)雜性的內(nèi)點法，成為了潮流計算歷史上的一次重大突破。近年來，基于內(nèi)點理論的非線性規(guī)劃法在最優(yōu)潮流計算研究當(dāng)中已經(jīng)得到了成功的應(yīng)用3-5，如基于L1范數(shù)模型和內(nèi)點理論的潮流算法6、基于Taylor級數(shù)法的最優(yōu)潮流計算7以及基于內(nèi)點理論的半定規(guī)劃法（SDP）等方法8。以上理論都只是考慮到了電力系統(tǒng)處于穩(wěn)定運行的狀態(tài)下的靜態(tài)安全的約束，但是電力系統(tǒng)實際上是一個動態(tài)的系統(tǒng)，以上常規(guī)的方法很難對動態(tài)運行的電網(wǎng)的動態(tài)安全性做出保證。因此在

14、近幾年，研究者已經(jīng)開始把最優(yōu)潮流中的暫態(tài)穩(wěn)定的約束考慮到他們的研究范圍之中9，并建立了與之對應(yīng)的新的最優(yōu)潮流模型。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，一些智能化的科學(xué)理論也被運用到了電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算中來，這些算法一般被稱為現(xiàn)代智能算法10，主要有具有全局收斂性的遺傳算法、基于群體智能演化計算技術(shù)的粒子群算法、以及模擬固體退火物理過程的模擬退火法等等11。雖然目前已經(jīng)擁有了眾多的計算理論與先進(jìn)的計算工具，但是目前最優(yōu)潮流在實時性應(yīng)用方面仍然面臨著巨大挑戰(zhàn)。這主要有兩方面的原因：首先，隨著社會的飛速發(fā)展，電力系統(tǒng)的規(guī)模也在相應(yīng)地不斷擴(kuò)大，這直接導(dǎo)致了電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流模型里面所包含的各種約束條件的數(shù)量也在不

15、斷地增加，計算量自然也會相應(yīng)的不斷增加，這使得最優(yōu)潮流的計算速度相對變得緩慢，無法在短時間內(nèi)完成優(yōu)化，即無法滿足實時性要求。其次，目前絕大多數(shù)最優(yōu)潮流理論的數(shù)學(xué)模型只是考慮了系統(tǒng)處于正常狀態(tài)下的約束條件12，如果考慮到故障狀態(tài)下的約束條件的話，最優(yōu)潮流計算的計算量毫無疑問將變得更加巨大，其收斂時間也會變得更加漫長。因此，對電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算的研究仍將是一個漫長的道路。1.3本文所做工作本文主要對電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流的計算方法進(jìn)行了簡要的分析，并做了以下工作：（1）簡要的介紹了電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算的意義及其發(fā)展歷程。（2）介紹了目前電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算的幾種常見的計算方法。（3）詳細(xì)的介紹了原-對

16、偶內(nèi)點法，給出內(nèi)點法的具體數(shù)學(xué)推導(dǎo)公式，確認(rèn)其障礙參數(shù)、迭代步長以及計算初始值，判斷其收斂條件，簡化修正方程以減少計算步驟，提高整體計算速度。（4）基于原對偶內(nèi)點法建立電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流的計算模型，確定系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)、各等式、不等式約束條件，然后進(jìn)行電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算，最后利用數(shù)學(xué)計算軟件計算最優(yōu)潮流驗證該算法的正確性。2、電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流算法介紹電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算最早是在上個世紀(jì)60年代被提出，后來經(jīng)過各國學(xué)者幾十年的不斷研究完善，目前已經(jīng)出現(xiàn)了許多優(yōu)秀的最優(yōu)潮流計算方法，主要有：線性規(guī)劃法、二次規(guī)劃法、牛頓法、內(nèi)點法以及新型算法等。下文將簡要的介紹這些方法。2.1最優(yōu)潮流計算的基本數(shù)學(xué)模

17、型目前電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流的數(shù)學(xué)模型主要是基于以下幾個條件而建立的：（1）投入運行的火電（核電）機(jī)組已知（不解決機(jī)組停開問題）；（2）各個水電機(jī)組的出力已經(jīng)確定（由水庫經(jīng)濟(jì)調(diào)度決定）；（3）電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)已經(jīng)確定（不考慮接線方式以及網(wǎng)絡(luò)變化問題）13。在數(shù)學(xué)表達(dá)上，最優(yōu)潮流的問題就是一個帶著約束條件的優(yōu)化問題，其主要的構(gòu)成主要有：目標(biāo)函數(shù)、等式約束條件和不等式約束條件這三部分。2.1.1目標(biāo)函數(shù)在電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算之中，有著很多的目標(biāo)函數(shù)，最常見的有系統(tǒng)運行成本最小和系統(tǒng)有功傳輸功率的損耗最小兩種。電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流模型中目標(biāo)函數(shù)的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式為： (2-1)在上面的表達(dá)式中，為控制變量，主

18、要是各機(jī)組的有功/無功出力、變壓器抽頭的位置、并聯(lián)電抗器/電容器的容量等等；為狀態(tài)變量，主要是各個節(jié)點的電壓、各條支路的功率等。在電力系統(tǒng)中，對于有功優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)一般是求得發(fā)電機(jī)發(fā)電成本達(dá)到最小，其目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式為： （2-2）上式中，分別是發(fā)電機(jī)成本函數(shù)的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)以及常數(shù)，g為發(fā)電機(jī)個數(shù)。對于電力系統(tǒng)無功優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)一般是使得系統(tǒng)中的網(wǎng)損達(dá)到最小，相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)可以為： （2-3）式中，P為各線路損耗。2.1.2等式約束條件最優(yōu)潮流的等式約束條件主要為潮流計算中基本的潮流方程式，可表示為： （2-4）上式中，。在計算模型中，相應(yīng)的約束條件可以為： （2-5）式中，為發(fā)電機(jī)

19、對節(jié)點i發(fā)出的功率；，為節(jié)點i的負(fù)荷吸收的功率；，為節(jié)點i的凈注入功率。2.1.3不等式約束條件電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算中的不等式約束主要有：（1）各發(fā)電機(jī)以及無功補償裝置出力的上下限。（2）各變壓器變比的上下限。（3）各節(jié)點電壓幅值的上下限。（4）各節(jié)點之間電壓相角的上下限（5）各條支路功率的上下限。上述不等式約束可以用以下的數(shù)學(xué)表達(dá)式概括： （2-6）上式中，、分別為的上下限。因此，電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流的基本數(shù)學(xué)模型可以用下面的表達(dá)式表示： （2-7）2.2電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流的算法簡介電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流的計算是一個復(fù)雜的非線性計算問題，目前經(jīng)過國內(nèi)外學(xué)者多年的研究，提出了許多計算方法，下文將介紹幾種常

20、見的最優(yōu)潮流計算方法。2.2.1 線性規(guī)劃法在數(shù)學(xué)上，電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流問題是一個經(jīng)典的非線性問題，而線性規(guī)劃法就是將這個非線性問題轉(zhuǎn)化成線性問題進(jìn)而求解出最優(yōu)潮流的計算方法。該方法通常將一個非線性問題分成若干小段，并在該小段內(nèi)利用線性化的方法求得近似解。每段分得越小，那么每段之內(nèi)的非線性問題也就越接近線性問題，從而利用線性規(guī)劃方法求得的近似解也就越接近于該非線性問題的真實解。因此，只要每小段分得足夠小，利用線性化的方法求得的結(jié)果就能夠滿足計算精度的要求。線性規(guī)劃法在1968年由威爾斯首次提出并用這個方法來求解安全約束的經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題14。1970年，shen和laughton提出利用對偶線性規(guī)劃

21、技術(shù)，采用修正單純形法求解最優(yōu)潮流15。此方法原理簡單，能夠快速地處理各種計算，但是精度差，并且計算規(guī)模變大以后收斂性也變的很差，無法適用于大規(guī)模電力系統(tǒng)計算當(dāng)中。2.2.2 二次規(guī)劃法從本質(zhì)上來說，二次規(guī)劃法是非線性規(guī)劃法中的一種特殊情況，只有當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)形式接近二次函數(shù)的時候，這種計算方法才可以適用于最優(yōu)潮流的計算。1973年， Reid以及Hasdorf二人最早提出用二次規(guī)劃法來求解最優(yōu)潮流的經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題，這個方法引用了人工變量把目標(biāo)函數(shù)近似成二次函數(shù)，然后用泰勒展開式把約束條件線性化，最后用線性規(guī)劃方法中的弗蘭克沃爾夫算法解得最優(yōu)解，該算法的收斂性不受步長和懲罰因子的影響，但計算時

22、間會隨著系統(tǒng)規(guī)模的增大而明顯延長，并不適合求解大規(guī)模電網(wǎng)的最優(yōu)潮流16。直到1982年，利用二次規(guī)劃法進(jìn)行最優(yōu)潮流計算的研究才得到了突破性的進(jìn)展，Burchett等人將原來的非線性模型分解成為一系列二次規(guī)劃的子問題，然后運用增廣拉格朗日法從不可行點尋找原問題的最優(yōu)解，最后他們用2000節(jié)點的系統(tǒng)測試證明了算法的運算速度和魯棒性都有了很大的提高17。2.2.3 牛頓法David sun等人在1984年提出了利用牛頓法求解最優(yōu)潮流以用來優(yōu)化電力系統(tǒng)的無功功率，此方法的提出使得最優(yōu)潮流算法應(yīng)用于實際成為了可能，是最優(yōu)潮流實用化的一次巨大的飛躍18。這種方法使用了拉格朗日法處理潮流計算模型中的等式約束

23、，利用懲罰函數(shù)處理不等式約束，還把牛頓法與電力系統(tǒng)節(jié)點導(dǎo)納矩陣的稀疏性結(jié)合起來，減小了最優(yōu)潮流計算的計算量。牛頓法的優(yōu)點是收斂速度快，利用了稀疏技術(shù)節(jié)約內(nèi)存，適用于大規(guī)模電力系統(tǒng)的最優(yōu)潮流計算。但牛頓法也存在著一些缺點，首先就是難以確定“起作用的不等式約束集”，所謂起“作用的不等式約束集”，是指最優(yōu)解正好處于由某個約束集所定義的可行域的邊界上,則這個約束集就稱為起作用的不等式約束集19。其次，在每次迭代的過程中，牛頓法都需要計算相關(guān)的海森矩陣以及其逆矩陣，計算量頗大。盡管牛頓法有著上述的缺陷，但是具有稀疏矩陣的特點讓牛頓法在最優(yōu)潮流的計算上仍然有著巨大的優(yōu)勢，至今仍有不少學(xué)者在關(guān)注著此類方法。

24、2.2.4 內(nèi)點法內(nèi)點法最早是在1954年由Frish提出20，但是由于當(dāng)時科學(xué)計算技術(shù)的限制，內(nèi)點法并不能與當(dāng)時主流的計算方法相比，在當(dāng)時沒有得到很好的發(fā)展。直到1984年karmarkar提出了一種具有多項式計算復(fù)雜性的內(nèi)點法21,對內(nèi)點法的研究才算真正的得到了突破。該方法的計算速度超過當(dāng)時常用的最優(yōu)潮流計算方法單純形法50倍以上。目前內(nèi)點法已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用于電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算當(dāng)中，成為目前最優(yōu)潮流計算的主流算法之一。從本質(zhì)上講，內(nèi)點法就是牛頓法、對數(shù)障礙函數(shù)法以及拉格朗日函數(shù)法這三種方法的結(jié)合，其基本的思想是從可行域內(nèi)的一個內(nèi)點出發(fā)，接著沿著可行域的方向找到使目標(biāo)函數(shù)下降最快的新的內(nèi)點

25、，然后從這個新內(nèi)點繼續(xù)沿著可行域的方向找到使目標(biāo)函數(shù)下降最快的新內(nèi)點，如此周而復(fù)始，直到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值22。內(nèi)點法具有計算速度快、迭代次數(shù)與系統(tǒng)規(guī)模不大、對初值要求不高、數(shù)值魯棒性強等優(yōu)點，因而受到了廣大學(xué)者的密切關(guān)注。經(jīng)過國內(nèi)外學(xué)者多年不斷的研究，目前主要形成了三大類的內(nèi)點算法：（1）、投影尺度法；（2）、仿射尺度法；（3）、路徑跟蹤法（原對偶內(nèi)點法）23。當(dāng)然，內(nèi)點法也存在著許多不足之處，如對于原對偶內(nèi)點法，其對偶變量的初值以及修正變量的參數(shù)的選取尚無統(tǒng)一的選取方法，這些參數(shù)都需要使用者根據(jù)經(jīng)驗給出，沒有規(guī)律可循。此外，在迭代時步長的選取、各個離散變量的處理等方面，內(nèi)點法仍然無法給出具

26、體明確的方法。內(nèi)點法仍然需要廣大學(xué)者的進(jìn)一步探索研究。2.2.5電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算的新興算法最優(yōu)潮流的新興算法起源于20世紀(jì)80年代，這類計算方法主要是基于一定的自然現(xiàn)象或者原理而建立的，因此，此類算法一般被稱作智能優(yōu)化算法24。與傳統(tǒng)的潮流計算方法相比，新型的智能優(yōu)化算法在數(shù)學(xué)方面與導(dǎo)數(shù)無關(guān)，求解的效率高，對于復(fù)雜優(yōu)化問題的求解，與傳統(tǒng)的計算方法相比更是具有無可比擬的優(yōu)勢。目前，此類算法已經(jīng)引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注與研究。目前，智能算法已經(jīng)成功應(yīng)用在了電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流的求解上也取得了不錯的效果25。在智能優(yōu)化算法中比較具有代表性的算法有：遺傳算法、擬退火算法、粒子群算法、人工免疫算法等2

27、6。3、原對偶內(nèi)點法在內(nèi)點法理論之中，原對偶內(nèi)點法已經(jīng)在理論上被證明其具有收斂快、精度高，穩(wěn)定性好等優(yōu)點，目前已經(jīng)被廣泛運用于最優(yōu)潮流計算當(dāng)中，并逐步取代了其他傳統(tǒng)的算法，成為最優(yōu)潮流算法中的主流算法之一。3.1原對偶內(nèi)點法的數(shù)學(xué)原理最優(yōu)潮流問題是一個典型的非線性規(guī)劃的問題，其數(shù)學(xué)模型可用前文描述的表達(dá)式（2-7）表示，即：用原對偶內(nèi)點法求解上面的方程時，可以先對上面的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行一些處理。（1）引入松弛變量將約束條件中的不等式約束變成等式約束；（2）引入對數(shù)障礙函數(shù)把對松弛變量非負(fù)的要求給消去。則（2-4）式可以化為如下形式： （3-1）上式中， ，為松弛變量；表示障礙參數(shù)。對（3-1）這樣

28、的表達(dá)式可用拉格朗日法求解，對（3-1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)可得： （3-2）式中，、，是拉格朗日乘子，也被稱為對偶變量，、被稱為為原變量。要求得（3-2）式的最優(yōu)值，則（3-2）式應(yīng)滿足以下的KKT條件： （3-3）上式中，（共r個1）。顯然，（3-3）這個KKT條件是一非線性方程組，我們可以用牛頓法處理上面的方程組。首先將（3-3）線性化，可以得到： （3-4）可將上面的方程組表達(dá)成矩陣的形式，稍加整理后可以得到： （3-5）在上式中：。通過消元法將（3-5）的系數(shù)矩陣化成行階梯形，則可以得到修正方程： （3-6）在上式中：；。要求解上述的矩陣方程，我們可以先求解其中的一個子矩陣：求得與，然后

29、帶入（3-6）求得其他解。求得結(jié)果為： （3-7）如此便可以求出修正變量的值，將初始值加上修正量便構(gòu)成了新一次迭代的初始值。為使方程能夠正確快速的收斂，還應(yīng)確定每次迭代的修正量的步長，即修正量前乘以的系數(shù)。由此可知第k+1次迭代的初值可以由下列表達(dá)式確定： （3-8）在上式中，是原變量的迭代步長；是對偶變量的迭代步長。對于這兩個值，可以按照以下方式選取步長27： （3-9）根據(jù)（3-8）與（3-9）的算式不斷更新下一次迭代的初值并帶入（3-6）中求得新的修正量，如此反復(fù)迭代，直到求得最優(yōu)解。3.2目標(biāo)函數(shù)的收斂條件由（2-5）式可以知道，求解最優(yōu)潮流就是要求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值，而我們通過原對偶內(nèi)

30、點法求得的是下面函數(shù)的最優(yōu)值。 （3-10）根據(jù)Fiacco以及McCormick的理論28，在迭代的過程中，如果遞減到0，那么（3-10）的最優(yōu)解就是的最優(yōu)解。因而當(dāng)我們求解（3-10）的時候希望能夠在迭代的過程中將障礙參數(shù)給消去，即在迭代過程中的取值可以收斂為0。要確定的取值，我們可以將表達(dá)式（3-3）中的第五、第六項聯(lián)立起來，得到： （3-11）可以解得：，其中，稱為互補間隙。迭代過程中，的值為方程的個數(shù)，是確定的。故迭代中只要確定Gap為收斂為0，那么就可以確定的最優(yōu)解了。在本文中，將采用以下計算方法確定障礙參數(shù)使得目標(biāo)函數(shù)快速收斂，即： （3-12）在上式中，為中心參數(shù)，在本文中。3

31、.3 初值的選取在原對偶內(nèi)點法潮流計算理論中29，初值的選取只要滿足兩個非負(fù)的條件即可，即要求：對于其他方面則沒有什么嚴(yán)格的要求。3.4 利用原對偶內(nèi)點法進(jìn)行潮流計算的方法利用原對偶內(nèi)點法進(jìn)行潮流計算的步驟如下：（1）設(shè)置原變量、對偶變量的初值，迭代次數(shù)k=0，最大迭代次數(shù)，精度等數(shù)據(jù)；（2）確定最優(yōu)潮流計算的目標(biāo)函數(shù)，等式約束條件以及不等式約束條件；（3）引入松弛變量和對數(shù)障礙函數(shù)，將不等式約束條件化為等式約束條件；（4）利用拉格朗日函數(shù)，消去最優(yōu)潮流計算模型中的等式約束條件；（5）寫出（3-2）式最優(yōu)解的KKT條件，并將其線性化得到（3-6）式；（6）計算互補間隙、障礙參數(shù)，如果障礙參數(shù)小

32、于給定精度，則停止循環(huán)，輸出潮流計算的最優(yōu)解，否則進(jìn)行下面一步；（7）求解修正方程（3-6）得到各個修正變量；（8）利用（3-8）式解得新一次迭代的原變量與對偶變量；（9）使k=k+1，然后回到第六步進(jìn)行新一次的迭代計算。就這樣反復(fù)的迭代，直到計算結(jié)果滿足精度的要求，從而解得潮流計算的最優(yōu)解。計算流程圖為：圖3-1 原對偶內(nèi)點法計算流程圖4.基于原對偶內(nèi)點法的電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算在電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流的計算中，原對偶內(nèi)點法由于那收斂速度快、對初值要求不高、魯棒性強、迭代次數(shù)與系統(tǒng)規(guī)模無關(guān)的優(yōu)點，而被廣泛的應(yīng)用于電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算當(dāng)中30。下文將對其在電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算中的應(yīng)用作簡單的介紹。4.

33、1電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算中的各項數(shù)學(xué)模型4.1.1最優(yōu)潮流計算的目標(biāo)函數(shù)在實際應(yīng)用中，一般會把發(fā)電成本最小或者有功功率的損耗最小這二者之一作為目標(biāo)函數(shù)，在本文中，以求得電力系統(tǒng)中最小的發(fā)電成本為最優(yōu)潮流計算的目標(biāo)函數(shù)，即本文所要求解的目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型為： （4-1）上式中，分別是發(fā)電機(jī)成本函數(shù)的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)以及常數(shù)，g為發(fā)電機(jī)個數(shù)。除以上兩種目標(biāo)函數(shù)之外，也還有一些其他的目標(biāo)函數(shù)，在此就不一一敘述。4.1.2最優(yōu)潮流計算的等式約束條件最優(yōu)潮流模型中的等式約束的條件主要為電力系統(tǒng)中的功率平衡，用極坐標(biāo)可以表示為： （4-2）式中，分別為對應(yīng)發(fā)電機(jī)的有功、無功輸出；，分別為對應(yīng)節(jié)點的有功

34、、無功負(fù)載；，分別為相應(yīng)節(jié)點的電壓幅值；，分別為節(jié)點i與節(jié)點j之間的電導(dǎo)與電納；為節(jié)點i與節(jié)點j之間的相位差。4.1.3最優(yōu)潮流計算的不等式約束條件最優(yōu)潮流計算的不等式約束有很多，如發(fā)電機(jī)的出力限制、變壓器分接頭限制及其負(fù)載限制、各個節(jié)點的電壓限制，各條線路的電流以及功率限制等等。擁有這么多的不等式約束，如果全部考慮進(jìn)潮流的最優(yōu)計算當(dāng)中，那么最優(yōu)潮流問題將變得無比的復(fù)雜，甚至無法完成最優(yōu)計算。在本文中為了簡化計算，故只考慮幾個比較常見的約束作為不等式約束的條件。本文打算將以下的不等式約束考慮到計算當(dāng)中：（1）、發(fā)電機(jī)的有功、無功出力的最大最小值；（2）、節(jié)點電壓幅值的最大最小值；（3）、線路傳

35、輸電流的最大最小值（即線路功率的限制）。對于其他的不等式約束條件，為了計算方便暫時不考慮進(jìn)本文的潮流計算當(dāng)中。上述不等式約束條件用數(shù)學(xué)表達(dá)式可以表示為： （4-3）4.2各項數(shù)學(xué)模型的具體表達(dá)利用原對偶內(nèi)點法進(jìn)行潮流計算中的各個修正變量可以通過（3-6）來求得，下面介紹原對偶內(nèi)點法中各項數(shù)學(xué)表達(dá)式的具體表達(dá)。假設(shè)整個系統(tǒng)中有n個節(jié)點，g臺發(fā)電機(jī)，l條支路，p臺無功補償設(shè)備，那么，狀態(tài)變量的個數(shù)a=（2n-1+g+p）,等式約束條件的個數(shù)b=2n,不等式約束條件的個數(shù)c=(n-1+g+l+p)。4.2.1目標(biāo)函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)及相應(yīng)矩陣目標(biāo)函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)和雅可比矩陣為21： （4-4）相應(yīng)的二階偏

36、導(dǎo)數(shù)和海森矩陣為31： （4-5）其中，4.2.2等式約束的各偏導(dǎo)數(shù)及相應(yīng)矩陣等式約束條件的一階偏導(dǎo)數(shù)和雅可比矩陣為： （4-6）其中， ， ，而 當(dāng)n從1到n時，等式約束的二階偏導(dǎo)數(shù)和其海森矩陣為： (4-7)其中：，F(xiàn)、C、T、D的具體數(shù)學(xué)表達(dá)式為：當(dāng)n從n到2n時，等式約束的二階偏導(dǎo)數(shù)和海森矩陣為： (4-8)其中：， ，F(xiàn)、C、T、D的具體數(shù)學(xué)表達(dá)式為：4.2.3不等式約束的各偏導(dǎo)數(shù)及相應(yīng)矩陣不等式約束的一階偏導(dǎo)數(shù)和雅可比矩陣為： （4-9）矩陣中，和表示為：其相應(yīng)的二階偏導(dǎo)數(shù)和其海森矩陣為：當(dāng)i從1到g時： （4-10）當(dāng)i從g+1到g+r時： （4-11）當(dāng)i從g+r+1到g+r+

37、n-1時： （4-12）當(dāng)i從g+r+n到g+r+n+l時： （4-13）其中：4.2.4對模型中各節(jié)點的不等式約束條件的處理在電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流的計算模型中，不同類型的節(jié)點的不等式約束條件一般不同，其節(jié)點可以分為PQ節(jié)點、PV節(jié)點和平衡節(jié)點這三種32。對于PQ節(jié)點，知道的是其有功功率和無功功率，不知道的是它們的電壓的幅值和相角。因而在本文中，其不等式約束條件可以為：。對PV節(jié)點，已知的是有功功率和電壓幅值，未知的是其無功功率和電壓相角。因而在本文中，其不等式約束條件可以為：對于平衡節(jié)點，知道的是它們的電壓幅值和相角，它們的有功功率和無功功率是不知道的。因而在本文中，其不等式約束條件可以為：4.

38、3算例分析本文采用IEEE-14標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析測試，采用MATLAB R2014a軟件作為最優(yōu)潮流計算的實現(xiàn)工具。4.3.1 MATLAB簡介MATLAB是由美國The MathWorks公司出品的一款商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，主要用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值的計算33。MATLAB作為數(shù)學(xué)科學(xué)計算的應(yīng)用軟件，因其強大的計算能力而受到國內(nèi)外用戶一致的好評。目前MATLAB計算軟件已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用于工程計算、控制設(shè)計、信號處理、圖像處理等專業(yè)領(lǐng)域34。MATLAB的計算方式是以矩陣為基本單位而進(jìn)行的，其很多表達(dá)方式與日常中的數(shù)學(xué)、工程計算中常用的形式非常類似，因此用MATLAB編寫的

39、程序與c語言相比，更加的通俗易懂，完成同樣的任務(wù)，其指令也簡潔得多。目前，MATLAB已經(jīng)加入了對C語言等其他語言的支持，即可以直接調(diào)用其他語言，用戶也可以直接將自己編寫的語言直接導(dǎo)入到其函數(shù)庫中以便以后的調(diào)用，種種實用的功能，使得用戶可以十分方便地使用MATLAB軟件進(jìn)行計算。4.3.2具體的計算流程利用MATLAB數(shù)學(xué)計算軟件，以原對偶內(nèi)點法進(jìn)行最優(yōu)潮流計算的流程圖為：圖4-1利用MATLAB計算最優(yōu)潮流的流程圖4.3.3 IEEE-14標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)運算結(jié)果本文采用了IEEE-14標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)對系統(tǒng)利用原對偶內(nèi)點法最該系統(tǒng)的最優(yōu)潮流計算進(jìn)行了測試，IEEE-14標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)的具體數(shù)據(jù)參見附

40、錄。系統(tǒng)的功率數(shù)據(jù)用標(biāo)幺值表示，功率基準(zhǔn)值為100MVA，電壓相角單位是度，幅值為標(biāo)幺值，相應(yīng)及基準(zhǔn)值為該節(jié)點的額定電壓幅值，電壓的上下限為1.10和0.95，系統(tǒng)數(shù)據(jù)中與發(fā)電機(jī)相連的為PV節(jié)點，有*的為平衡節(jié)點，其余均為PQ節(jié)點。變比為正表示非標(biāo)準(zhǔn)變比在首段，反之表示非標(biāo)準(zhǔn)變比在末端。用正號表示并聯(lián)電容電納，用負(fù)號表示電抗電納。本文中為計算方便，對于初值的選取，都取值為1；取值為-0.5；取各個參數(shù)額定的標(biāo)幺值，對于精度，本文設(shè)置的精度為障礙參數(shù)小于10-6。其具體的計算結(jié)果如下表4-1 IEEE-14標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)計算結(jié)果節(jié)點號發(fā)電機(jī)有功發(fā)電機(jī)無功電壓幅值電壓相角負(fù)荷有功負(fù)荷無功10.752

41、0-0.24541.05000.00000.00000.000020.20000.17611.0500-0.03050.21700.12703 0.75810.27061.0500-0.06510.94200.190040.00000.00001.0344-0.05880.4780-0.039050.00000.00001.0332-0.04730.07600.016060.4500-0.07731.0500-0.05270.11200.075070.00000.00001.0475-0.04290.00000.000080.45000.03101.05000.02920.00000.0000

42、9 0.00000.00001.0431-0.07980.29500.1660100.00000.00001.0366-0.08030.09000.0580110.00000.00001.0396-0.06900.03500.0180120.00000.00001.0356-0.06910.06100.0160130.00000.00001.0309-0.07170.13500.0580140.00000.00001.0195-0.09430.14900.0500計算共用時0.758637 秒，共經(jīng)過了47次的迭代最終達(dá)到要求的精度。其互補間隙Gap的收斂趨勢圖為：圖4-2 互補間隙的變化趨勢

43、圖從Gap的收斂趨勢圖可以看出，互補間隙在總體上是呈現(xiàn)遞減的趨勢的，其變化趨勢在剛開始下降的時候變化十分迅速，但是隨著迭代次數(shù)的增加，這個變化趨勢逐漸變得緩慢，每次修正的效率變得不高。如此看出，使用以上方法在對精度要求不是太高時，能夠快速的收斂，但是當(dāng)計算的精度要求很高的時候收斂速度將變得很慢。但從計算的整體方面來看，其收斂速度還是比較令人滿意的。5總結(jié)與展望5.1本文總結(jié)自電能開始大規(guī)模應(yīng)用以來，找到電力系統(tǒng)運行的最優(yōu)狀態(tài)便一直是廣大電力研究工作者所關(guān)心的問題。廣大國內(nèi)外學(xué)者也一直在進(jìn)行研究，并不斷提出以及改進(jìn)各種各樣的最優(yōu)潮流計算理論，希望能夠找到最優(yōu)潮流計算的最好方法。在如此多的最優(yōu)潮流

44、的計算理論方法中，內(nèi)點法也算是一種相對比較優(yōu)異的計算方法了。用內(nèi)點法計算最優(yōu)潮流，其計算的時間以及重復(fù)迭代的次數(shù)并不會隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的增加而增大，對初值的要求又不高。這種種特點，都體現(xiàn)出了內(nèi)點法優(yōu)異的特性以及在最優(yōu)潮流計算中的優(yōu)勢。本文主要研究了利用原對偶內(nèi)點法進(jìn)行最優(yōu)潮流的計算，主要完成了以下工作：（1）、介紹了最優(yōu)潮流的發(fā)展，概略說明了目前最優(yōu)潮流幾種流行的計算方法，詳細(xì)介紹了原對偶內(nèi)點法并給出了詳細(xì)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。（2）、建立了電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算的數(shù)學(xué)模型，利用原對偶內(nèi)點法對各類約束進(jìn)行了適當(dāng)?shù)奶幚?，并且利用IEEE-14標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)進(jìn)行了測試計算。文章只是對內(nèi)點法進(jìn)行了初步的探討和研究

45、，依然存在著很多的不足之處。首先，本文為了計算方便，對不等式的約束只選取了發(fā)電機(jī)功率、節(jié)點電壓，線路電流這幾個約束條件，對于變壓器變比，線路功率限制等其他不等式約束并未考慮進(jìn)去，存在著缺陷。其次，對于算法中，每次迭代的修正方向并未給出良好的方案，是的迭代時偶爾出現(xiàn)的矯正方向出現(xiàn)錯誤的現(xiàn)象。最后，計算中迭代的開始階段，算法收斂速度很快，但是隨著迭代次數(shù)的增加，算法的收斂的速度下降得很快，沒能夠始終保持快速收斂的目的。5.2今后展望電力系統(tǒng)是一個龐大而又復(fù)雜的系統(tǒng)，因而在最優(yōu)潮流的計算當(dāng)中，其約束條件也是相當(dāng)?shù)腻e綜復(fù)雜。因而盡管國內(nèi)外廣大學(xué)者對最優(yōu)潮流進(jìn)行了很多的研究，也取得了無數(shù)的重大成果，但是

46、最優(yōu)潮流的計算研究依然無法全面的適用于實際情況，依然需要廣大的電力研究人員不停的研究創(chuàng)新。參考文獻(xiàn)1 謝亮. 基于內(nèi)點理論最優(yōu)潮流的算法及應(yīng)用研究D. 上海交通大學(xué). 2011.2 付敏, 毛晨峰, 楊永旺. 電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流算法綜述J. 中國新技術(shù)新產(chǎn)品, 2009(23): 130-130.3 蔡廣林, 韋化. 基于非線性互補方法的內(nèi)點最優(yōu)潮流算法J. 電網(wǎng)技術(shù), 2005, 29(21): 21-26.4 Quintana V H, Torres G L, Medina-Palomo J. Interior-point methods and their applications to

47、power systems: a classification of publications J. IEEE Transactions on Power Systems, 2000, 15(1): 170-176.5 韋化, 李濱, 杭乃善, 等. 大規(guī)模水火電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流的現(xiàn)代內(nèi)點理論分析J. 中國電機(jī)工程學(xué)報, 2003, 23(4): 5-8.6 韋化, 陽育德. 一種基于 L1 范數(shù)模型和內(nèi)點理論的潮流算法J. 電力科學(xué)與技術(shù)學(xué)報, 2007, 22(1): 31-36.7 游桂楊, 韋化, 陽育德. 基于 Taylor 級數(shù)法的暫態(tài)穩(wěn)定約束最優(yōu)潮流計算J. 中國高等學(xué)校電力系統(tǒng)及

48、其自動化專業(yè)第二十四屆學(xué)術(shù)年會論文集 (上冊), 2008.8 ALIZADeH F, Adler I. Primal-dual interior point algorithms for convex quadratically constrained and semidefinite optimization problemsR. Technical Report RRR-111-95, RUTCOR, Rutgers University, 1995.9 夏小琴, 韋化, 陽育德. 暫態(tài)穩(wěn)定約束最優(yōu)潮流的改進(jìn)降階內(nèi)點算法J. 電工技術(shù)學(xué)報, 2012, 27(9): 87-92.10 袁

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