專題訓(xùn)練 螞蟻爬行的最短路徑(含答案)

1、螞蟻爬行的最短路徑1一只螞蟻從原點(diǎn)0出發(fā)來回爬行，爬行的各段路程依次為：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10 回答下列問題：（1）螞蟻?zhàn)詈笫欠窕氐匠霭l(fā)點(diǎn)0；（2）在爬行過程中，如果每爬一個(gè)單位長(zhǎng)度獎(jiǎng)勵(lì)2粒芝麻，則螞蟻一共得到多少粒芝麻解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故沒有回到0；（2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒第6題2. 如圖，邊長(zhǎng)為1的正方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)B的最短距離是 .解：如圖將正方體展開，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”知，線段AB即為最短路線A

2、B= 3（2006茂名）如圖，點(diǎn)A、B分別是棱長(zhǎng)為2的正方體左、右兩側(cè)面的中心，一螞蟻從點(diǎn)A沿其表面爬到點(diǎn)B的最短路程是 cm4解：由題意得，從點(diǎn)A沿其表面爬到點(diǎn)B的最短路程是兩個(gè)棱長(zhǎng)的長(zhǎng)，即2+2=44如圖，一只螞蟻從正方體的底面A點(diǎn)處沿著表面爬行到點(diǎn)上面的B點(diǎn)處，它爬行的最短路線是（ ）AAPB BAQB CARB DASB解：根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知選A故選A5如圖，點(diǎn)A的正方體左側(cè)面的中心，點(diǎn)B是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，正方體的棱長(zhǎng)為2，一螞蟻從點(diǎn)A沿其表面爬到點(diǎn)B的最短路程是（）解：如圖，AB= 故選C6 正方體盒子的棱長(zhǎng)為2，BC的中點(diǎn)為M，一只螞蟻從A點(diǎn)爬行到M點(diǎn)的最短距離為（）解：展

3、開正方體的點(diǎn)M所在的面，BC的中點(diǎn)為M，所以MC= BC=1，在直角三角形中AM= = 7如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別是棱長(zhǎng)為20cm的正方體盒子上相鄰面的兩個(gè)中心，一只螞蟻在盒子表面由A處向B處爬行，所走最短路程是 cm。解：將盒子展開，如圖所示：AB=CD=DF+FC= EF+ GF=×20+×20=20cm故選C第7題8. 正方體盒子的棱長(zhǎng)為2，BC的中點(diǎn)為M，一只螞蟻從A點(diǎn)爬行到M點(diǎn)的最短距離為 . 解：將正方體展開，連接M、D1，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，MD=MC+CD=1+2=3，MD1= 9如圖所示一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個(gè)小正方形其邊長(zhǎng)

4、都為1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點(diǎn)A沿表面爬行至側(cè)面的B點(diǎn)，最少要用 2.52.5秒鐘解：因?yàn)榕佬新窂讲晃ㄒ?，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再?gòu)母鱾€(gè)路線中確定最短的路線（1）展開前面右面由勾股定理得AB= = cm；（2）展開底面右面由勾股定理得AB= =5cm；所以最短路徑長(zhǎng)為5cm，用時(shí)最少：5÷2=2.5秒10（2009恩施州）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是 。解：將長(zhǎng)方體展開，連接A、B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB= =2511. 如圖，一只螞蟻從實(shí)心

5、長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)C1處（三條棱長(zhǎng)如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長(zhǎng)為 .解：正面和上面沿A1B1展開如圖，連接AC1，ABC1是直角三角形，AC1=12如圖所示：有一個(gè)長(zhǎng)、寬都是2米，高為3米的長(zhǎng)方體紙盒，一只小螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，那么這只螞蟻爬行的最短路徑為 米。解：由題意得，路徑一：AB= = ；路徑二：AB= =5；路徑三：AB= = ； 5，5米為最短路徑13如圖，直四棱柱側(cè)棱長(zhǎng)為4cm，底面是長(zhǎng)為5cm寬為3cm的長(zhǎng)方形一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點(diǎn)B求：（1）螞蟻經(jīng)過的最短路程；（2）螞蟻沿著棱爬行（不能重復(fù)爬行同一條棱）的最長(zhǎng)路程解：

6、（1）AB的長(zhǎng)就為最短路線然后根據(jù)若螞蟻沿側(cè)面爬行，則經(jīng)過的路程為 （cm）；若螞蟻沿側(cè)面和底面爬行，則經(jīng)過的路程為 （cm），或 （cm）所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是 cm（2）5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，最長(zhǎng)路程是30cm14如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為50cm，寬為40cm，高為30cm的長(zhǎng)方體盒子的頂點(diǎn)A處有一只螞蟻，它要爬到頂點(diǎn)B處去覓食，最短的路程是多少？ 解：圖1中， cm圖2中， cm圖3中， cm采用圖3的爬法路程最短，為 cm15如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6cm，8cm，4cm一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B則螞蟻爬行的最短路徑的長(zhǎng)是 。解：

7、第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個(gè)平面，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是12cm和6cm，則所走的最短線段是 =6 cm；第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是10cm和8cm，所以走的最短線段是 = cm；第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是14cm和4cm，所以走的最短線段是 =2 cm；三種情況比較而言，第二種情況最短16如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20cm、3cm、2cmA和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程

8、為 cm解：三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為20cm，寬為（2+3）×3cm，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xcm，由勾股定理得：x2=202+（2+3）×32=252，解得x=25故答案為2517如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物.請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路是 cm。解：將臺(tái)階展開，如下圖，因?yàn)锳C=3×3+1×3=12，BC=5，所以AB2=AC

9、2+BC2=169，所以AB=13（cm），所以螞蟻爬行的最短線路為13cm答：螞蟻爬行的最短線路為13cm18（2011荊州）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm，高為5cm若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞奴爬行的最短路徑長(zhǎng)為 13cm解：PA=2×（4+2）=12，QA=5PQ=13故答案為：1319如圖，一塊長(zhǎng)方體磚寬AN=5cm，長(zhǎng)ND=10cm，CD上的點(diǎn)B距地面的高BD=8cm，地面上A處的一只螞蟻到B處吃食，需要爬行的最短路徑是多少？ 解：如圖1，在磚的側(cè)面展開圖2上，連接AB，則AB的長(zhǎng)即為A處到B處的最短路程 解：在RtABD中，因?yàn)锳D

10、=AN+ND=5+10=15，BD=8，所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172所以AB=17cm故螞蟻爬行的最短路徑為17cm20（2009佛山）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處（1）請(qǐng)你畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；（2）當(dāng)AB=4，BC=4，CC1=5時(shí)，求螞蟻爬過的最短路徑的長(zhǎng)；（3）求點(diǎn)B1到最短路徑的距離解：（1）如圖，木柜的表面展開圖是兩個(gè)矩形ABC'1D1和ACC1A1故螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的A1C'1和AC1（2分）（2）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段

11、A1B1到C1，爬過的路徑的長(zhǎng)是 （3分）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段BB1到C1，爬過的路徑的長(zhǎng)是 （4分）l1l2，故最短路徑的長(zhǎng)是 （5分）（3）作B1EAC1于E，則 為所求（8分）21有一圓柱體如圖，高4cm，底面半徑5cm，A處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到C處，求螞蟻爬行的最短距離 .第2題解：AC的長(zhǎng)就是螞蟻爬行的最短距離C，D分別是BE，AF的中點(diǎn)AF=25=10AD=5AC= 16cm故答案為：16cm22有一圓形油罐底面圓的周長(zhǎng)為24m，高為6m，一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對(duì)角B處吃食物，它爬行的最短路線長(zhǎng)為 . 第3題解：AB=m23如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AA1

12、的端點(diǎn)A到達(dá)A1，若圓柱底面半徑為，高為5，則螞蟻爬行的最短距離為 13 解：因?yàn)閳A柱底面圓的周長(zhǎng)為2×=12，高為5，所以將側(cè)面展開為一長(zhǎng)為12，寬為5的矩形，根據(jù)勾股定理，對(duì)角線長(zhǎng)為 =13故螞蟻爬行的最短距離為1324如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm，高AB為9cm，BC是上底面的直徑一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，則螞蟻爬行的最短路程是 解：如圖所示：由于圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm，則AD=24×=12cm又因?yàn)镃D=AB=9cm，所以AC= =15cm故螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程是15cm故答案為：1525（2006荊州）有

13、一圓柱體高為10cm，底面圓的半徑為4cm，AA1，BB1為相對(duì)的兩條母線在AA1上有一個(gè)蜘蛛Q，QA=3cm；在BB1上有一只蒼蠅P，PB1=2cm，蜘蛛沿圓柱體側(cè)面爬到P點(diǎn)吃蒼蠅，最短的路徑是 cm（結(jié)果用帶和根號(hào)的式子表示）解：QA=3，PB1=2，即可把PQ放到一個(gè)直角邊是4和5的直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：QP= 26同學(xué)的茶杯是圓柱形，如圖是茶杯的立體圖，左邊下方有一只螞蟻，從A處爬行到對(duì)面的中點(diǎn)B處，如果螞蟻爬行路線最短，請(qǐng)畫出這條最短路線圖 問題：某正方體盒子，如圖左邊下方A處有一只螞蟻，從A處爬行到側(cè)棱GF上的中點(diǎn)M點(diǎn)處，如果螞蟻爬行路線最短，請(qǐng)畫出這條最短路線圖 解：如圖

14、，將圓柱的側(cè)面展開成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖示，則A、B分別位于如圖所示的位置，連接AB，即是這條最短路線圖 如圖，將正方體中面ABCD和面CBFG展開成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖示，則A、M分別位于如圖所示的位置，連接AM，即是這條最短路線圖 第5題27如圖，圓錐的主視圖是等邊三角形，圓錐的底面半徑為2cm，假若點(diǎn)B有一螞蟻只能沿圓錐的表面爬行，它要想吃到母線AC的中點(diǎn)P處的食物，那么它爬行的最短路程是 .解：圓錐的底面周長(zhǎng)是4，則4= ，n=180°即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180°，在圓錐側(cè)面展開圖中AP=2，AB=4，BAP=90°，在圓錐側(cè)面展開圖中BP= ，這只螞蟻爬行

15、的最短距離是 cm故答案是： cm28如圖，圓錐的底面半徑R=3dm，母線l=5dm，AB為底面直徑，C為底面圓周上一點(diǎn)，COB=150°，D為VB上一點(diǎn)，VD= 現(xiàn)有一只螞蟻，沿圓錐表面從點(diǎn)C爬到D則螞蟻爬行的最短路程是（）解： = = ，設(shè)弧BC所對(duì)的圓心角的度數(shù)為n， = 解得n=90，CVD=90°，CD= =4 ，29已知圓錐的母線長(zhǎng)為5cm，圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示，且AOA1=120°，一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點(diǎn)A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)A則螞蟻爬行的最短路程長(zhǎng)為 。解：連接AA，作OCAA于C，圓錐的母線長(zhǎng)為5cm，AOA1=120

16、6;，AA=2AC=530 如圖，底面半徑為1，母線長(zhǎng)為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點(diǎn)出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到A點(diǎn)，它爬行的最短路線長(zhǎng)是 .第4題解：由題意知，底面圓的直徑為2，故底面周長(zhǎng)等于2設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°，根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開后扇形的弧長(zhǎng)得，解得n=90°，所以展開圖中圓心角為90°，根據(jù)勾股定理求得到點(diǎn)A的最短的路線長(zhǎng)是：31（2006南充）如圖，底面半徑為1，母線長(zhǎng)為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點(diǎn)出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到A點(diǎn)，它爬行的最短路線長(zhǎng)是 。解：由題意知底面圓的直徑=2，故底面周長(zhǎng)等于2設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°，

17、根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開后扇形的弧長(zhǎng)得2=，解得n=90°，所以展開圖中的圓心角為90°，根據(jù)勾股定理求得它爬行的最短路線長(zhǎng)為32（2009樂山）如圖，一圓錐的底面半徑為2，母線PB的長(zhǎng)為6，D為PB的中點(diǎn)一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)D，則螞蟻爬行的最短路程為 。解：由題意知，底面圓的直徑AB=4，故底面周長(zhǎng)等于4設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°，根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開后扇形的弧長(zhǎng)得4= ，解得n=120°，所以展開圖中APD=120°÷2=60°，根據(jù)勾股定理求得AD= ，所以螞蟻爬行的最短距離為33如圖，圓錐

18、底面半徑為r，母線長(zhǎng)為3r，底面圓周上有一螞蟻位于A點(diǎn)，它從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐面爬行一周后又回到原出發(fā)點(diǎn)，請(qǐng)你給它指出一條爬行最短的路徑，并求出最短路徑解：把圓錐沿過點(diǎn)A的母線展成如圖所示扇形，則螞蟻運(yùn)動(dòng)的最短路程為AA（線段） 由此知：OA=OA=3r， 的長(zhǎng)為2r2r= ，n=120°，即AOA=120°，OAC=30°OC=OA=AC=AA=2AC=r，即螞蟻運(yùn)動(dòng)的最短路程是r34如圖，一只螞蟻從圓錐底面的A點(diǎn)出發(fā)，沿側(cè)面繞行一周后到達(dá)母線SA的中點(diǎn)M螞蟻沿怎樣的路徑行走最合算？為了解決這一問題，愛動(dòng)腦筋的銀銀、慧慧與樂樂展開了研究（1）善于表現(xiàn)的銀銀首先列出了一組數(shù)據(jù)：圓錐底面半徑r=10cm，母線SA長(zhǎng)為40cm，就這組數(shù)據(jù)，請(qǐng)你求出螞蟻所走的最短路程；（2）一向穩(wěn)重的慧慧只給出一個(gè)數(shù)據(jù)：圓錐的錐角等于60°