數學建模優(yōu)秀論文-空中飛行器無源定位

1、2012年軍隊院校軍事建模競賽承諾書我們仔細閱讀了軍隊院校軍事建模競賽的競賽規(guī)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網 上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的 資料（包括網上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在止文引用處和參 考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如冇違反競賽規(guī) 則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從a/b/c/d中選擇一項填寫）：a我們的參賽隊號為： 0512078所屬學校（

2、請?zhí)顚懲暾娜盒畔⒐こ檀髮W參賽隊員（打印并簽名）：1. 何杰2. 張洋3. 趙永勝指導教師（打印并簽名）:日期：2012年6月25日2012年軍隊院校軍事建模競賽編號專用頁評閱編號:評閱記錄:評閱人評分備注空中飛行器無源定位摘要本文針對空中飛行器無源定位問題，采用最小二乘、遺傳算法、matlab仿真等方法, 得到了飛行器靜止和運動時的定位、可靠性分析、衛(wèi)星選擇策略。針對問題一，根據基于測向夾角的飛行器無源定位方法，得出三顆星可以定位。本 文采用了兩個模型，第一個使用遺傳算法。對于84組數據的處理，我們采用了先刪除誤 差點大的數據，再利用遺傳算法去逼近實際位置，求出飛行器的位置為 (-51

3、40.2,6512.5,3277.7) (km),距離地球表面25563.6 km；第二個角度誤差平方和最 小原理，用最小二乘法，用方程組得出的角度去逼近角度的實際測量值，進而得出比較 接近實際值的數據，求出飛行器的位置為(-5201.2,6603.5,3125.6) (km),距離地球表面 2600.5 km,兩種方法確定的飛行器的位置相差不大。針對問題二，我們利用20$時刻的位置和速度矢量表示出其余4個時刻的位置。 利用附表給出的5個時刻的測量數據，建立33個方程，并聯立方程。利用最小二乘法， 使得各個時刻的角度與其實際測量值之間的誤差平方和最小。從而逼近飛行器的真實位 置，獲得飛行器20

4、$吋刻的位置為(-41828.8,4627.0,6190.6) (km),速度矢量 (4.0,2.9,-0.2)伙加/$)。然后利用求得的/ = os吋刻的位置和速度矢量，計算出t = 70s時 飛行器的位置為(-3902.8,4830,6176.6)(血)。對于t = 70s時位置的可靠性的分析，影 響可靠性的因素有兩個，一是角度的測量誤差，二是最小二乘法解方程組求岀的解與真 實解間存在偏差。分析出這兩種謀差后，將其作為噪聲加入到附表小的角度測量值，然 后利用這些加入噪聲后的角度進行仿真定位實驗，統(tǒng)計定位位置的變化。得岀在角度測 量的誤差服從n(0,0.1)分布時x坐標的均值ux的置信度為9

5、5%置信區(qū)間為： -3871.6,-3943.5； y坐標的均值叭的置信度為95%置信區(qū)間為：4802.4,4857.5； z坐 標的均值冬的置信度為95%置信區(qū)間為:6109.4,6253.3 o針對問題三，本文以幾何精度因子gdop作為衛(wèi)星分布對定位精度影響的指標。通 過分析衛(wèi)星數口及一顆衛(wèi)星對gdop的影響，可知gdop隨衛(wèi)星數口增加單調遞減，但 遞減幅度變小。綜合考慮衛(wèi)星定位精度和定位效率，并根據不同情況卜對于定位精度和 定位效率的不同要求，給出了偏重精度、精度效率折中和偏重效率三種情況下，選星數 目分別為5顆、6顆和7顆三種數目的優(yōu)選方案。并著重分析精度和效率折中的6星組 合方案。遍

6、歷所有的6星組合方案，找出其gdop最小的衛(wèi)星組合作為最終的優(yōu)選方 案。在測量角度存在0.1°誤差限的情況下，我們對附表中的數據加入最大為0.1°高斯噪 聲，然后進行大量的仿真實驗，觀察加入噪聲后產生的定位誤并。統(tǒng)計定位誤差，發(fā)現 加入噪聲后有95.9%的定位結果誤差在600如2以內，即定位精度可以認為600如2。在本文的最后，針對每個問題對其結果進行了分析、對每個問題解決方法的優(yōu)缺點 進行了分析，并提出了相應的改進方案。關鍵詞：基于測向夾角的飛行器無源定位；最小二乘法；遺傳算法；gdop,精度分 析1. 問題的重述目標定位技術是導航與制導技術的重要基礎。在現有的導航與制導

7、技術中，衛(wèi)星定 位技術是精度最高的，也是較為理想的導航與制導技術。目前，較為成熟的衛(wèi)星導航系 統(tǒng)有gps系統(tǒng)、galileo系統(tǒng)等。衛(wèi)星定位的基木原理是目標接收機通過接收多顆衛(wèi)星 的信號測量出目標距各衛(wèi)星的距離（偽距），再通過一定的計算確定出目標的位置。對于空中飛行器，在其飛行過程中很容易接收到太空衛(wèi)星的信號?，F在考慮通過測 量飛行器與地球同步衛(wèi)星的方向角來實現空中飛行器的自定位。在球心坐標系下，空中 飛行器p的空間坐標記為（齊不妨設它同時能接收到n顆同步衛(wèi)星的信號，其n 顆同步衛(wèi)星&的空間坐標分別記為仗略網）（1 = 1為n）。為了方便檢測與同步衛(wèi)星的 方向角，在空中飛行器上固定安裝

8、了兩個相互垂直的測向陣列，它們的指向分別為 血ss氐切血）和鬲（抵皿吋如）。地球同步衛(wèi)星堆與空中飛行器p的位置關系示意 圖如圖所示，,氏分別裘示空中飛行器p的測向陣列方向右，血與地球同步衛(wèi)星 （1=1x-n）的夾角?，F在請你們建立數學模型研究解決下面的問題：（1）通過測量空中飛行器測向陣列方向心和血與多顆地球同步衛(wèi)星的夾角阿和何， 建立空中飛行器定位的數學模型；對于附表1所給出的9顆同步衛(wèi)星的數據，試確定空 中飛行器p的位置參數。（2）在某些特殊情況下，空屮飛行器能直接檢測到的同步衛(wèi)星數量較少，可以利 用空屮飛行器在勻速飛行過程中多次檢測的結杲來實現定位。針對這種情況，試建立空 中飛行器定位的

9、數學模型；對附表2中給出的3顆同步衛(wèi)星的檢測數據，確定空中飛行 器p在第70秒吋的位置參數，并分析其可靠性。（3）當可用同步衛(wèi)星數量較多時，為了提高定位精度和定位效率，需要對可用的同 步衛(wèi)星進行一定的優(yōu)選。試研究具體的優(yōu)選策略，并通過仿真，分析在檢測方向角誤差 限為0.1。時空中飛行器的定位方法和精度。2. 問題的分析木題旨在研究分析基于測向夾角的飛行器無源定位。根據測向陣列方向和地球同步 衛(wèi)星夾角對空中飛行器無源定位，需耍分析研究飛行器靜止和運動吋的定位、衛(wèi)星優(yōu)選 等問題。針對題目中的問題，我們進行了如下的分析過程。2.1飛行器靜止時的定位分析由于附件1列岀了某時刻地球同步衛(wèi)星的經度和測向陣

10、列方向和地球同步衛(wèi)星夾角 等信息，為了更好地描述地球同步衛(wèi)星和飛行器的位置以及測向陣列方向的關系，所以, 我們建立了以地球球心為中心的大地坐標系。在統(tǒng)一的坐標系下，需要分析測向陣列方向和地球同步衛(wèi)星夾角與飛行器位置的 關系，此吋有三個矢量：飛行器和衛(wèi)星連線矢量和兩個測向陣列方向矢量，9個未知數: 飛行器的位置、兩個測向陣列的方向，需要9個方程。兩個測向陣列本身相互垂直，模 為1可以確定3個方程，另外，已知了矢量間的兩個夾角，利用矢量點乘的關系構造方 程（每顆衛(wèi)星可以構造兩個方程，3顆衛(wèi)星確定6個方程），因此3顆衛(wèi)星總共可以確定 9個獨立方程，即3顆衛(wèi)星可以確定飛行器的一個位置。但是考慮到3顆衛(wèi)

11、星定位的誤 差非常大，精度難以滿足要求，因此應該聯立其他衛(wèi)星的測量數據，共同確定飛行器位 置。題口給出了 9顆衛(wèi)星，對于這9顆衛(wèi)星測量數據的利用，我們有以下兩種方法：在3顆衛(wèi)星和測向陣列方向的約束關系的基礎上建立9個方程，然后利用最小二乘 法，求出飛行器的一個位置，由于衛(wèi)星共有84種組合，所以共有84個位置。但是 怎樣利用84組數據來逼近飛行器的實際位置呢？我們的求解思路如卜stepl:求出位置的平均位置元、y> iostep2:算岀每個點到平均位置的距離,去除距離最大的那一點，求出剩下數據的 ©平方和的平均值。step3:重復第一步和第二步，在距離平方的平均值的一組數據屮找出

12、最小值，然后 把最小值z前數據點全部刪除，接著求出剩下數據點的平均值和變化區(qū)間。step4:把第三步求出的區(qū)間當作飛行器位置的取值區(qū)間，用遺傳算法尋找此位置區(qū) 間中方程誤差平方和最小吋的位置，我們認為此位置就是飛行器位置的最優(yōu)解。（2）利用方程算出的角度，與實際測量角度值的誤差平方和作為冃標函數，則當9 顆衛(wèi)星的所有角度與其實際測量值的謀差平方和最小時（用最小二乘法），可逼近飛行 器的真實位置。2. 2飛行器運動時的定位分析當同步衛(wèi)星數量較少時，可利用飛行器在勻速飛行過程屮多次檢測的結果來提高定 位的精度并確定速度參數。由問題（一）的分析可知，三顆衛(wèi)星即町確定飛行器的位置，利用五組數據，可以

13、分別確定五個時刻的位置，然后除以時間，即可求出每一段的速度。但是，由于三星定 位誤差過大，相比丁 10秒的位移量，三星定位的誤差是難以容忍的。所以我們冇以下 思路：假設飛行器是勻速直線運動，設岀飛行器在t = os時位置和速度，t = os后的位置 可以由t=qs時的位置和速度表示。利用5個時刻的數據，建立方程組。利用最小二乘 法，使角度與其測量值z間的誤差平方和最小，從而求出最小二乘解，即飛行器的位置 參數和速度參數。然后根據t二os時的位置和速度，即可預測t=70s時的位置。對于預測位置的可靠性的分析，影響可靠性的因素主要有兩個:一是角度的測量誤 井；二是最小二乘法解方程組求出的解與真實解

14、間的偏差。通過定量分析出這兩種誤井, 將其作為噪聲加到附表中的角度測量值上，然后利用這些加入噪聲后的角度進行仿真定 位實驗，接著對定位位置進行統(tǒng)計，從而可以給出以置信度為0. 95的置信區(qū)間。2. 3衛(wèi)星選擇策略分析當可用同步衛(wèi)星數量較多時，為了提高定位精度和定位效率，需要對可用的同步衛(wèi) 星進行一定的優(yōu)選，因此需要建立具體的優(yōu)選策略，也就是如何選，選兒顆，選哪兒顆。 而選擇幾何分布好的衛(wèi)星組合可以提高定位精度和定位效率。通常我們用幾何精度因子 gdop來表征用戶和可見衛(wèi)星在空間幾何分布的好壞。從m顆衛(wèi)星中選擇n顆衛(wèi)星， 共冇c：種選擇方案。從可見衛(wèi)星屮選擇參加導航定位計算的衛(wèi)星數目不同，gdo

15、p的 取值也不相同，gdop與衛(wèi)星數目之間有一定的變化規(guī)律，分析衛(wèi)星數目和gdop之間 的關系，從而找到一個合適的衛(wèi)星數目。同時，衛(wèi)星數目越多，意味著方程數量越多， 計算量越大，定位效率也就越低。因此，為了兼顧定位的效率，應該在保證定位精度的 前提下，盡可能減小定位衛(wèi)星的數量。根據對定位精度和定位效率的要求，確定一個合 適的衛(wèi)星數目。確定一衛(wèi)星數目為n之后，還需對一衛(wèi)星的幾何布局進行優(yōu)選，遍歷從所冇 衛(wèi)星中選擇n顆衛(wèi)星的所有方案，從中選擇gdop最小的衛(wèi)星組合，即為優(yōu)選的結杲。確定定位衛(wèi)星后，給測量角度加上最大為0.1。的高斯噪聲，進行多次的仿真實驗，統(tǒng) 計定位精度。3. 模型的假設與符號說明

16、3. 1模型的假設（1）假設附表中所有的數據都是真實可靠的；（2）假設飛行器是一個質點，不考慮飛機的飛行姿態(tài)；（3）衛(wèi)星信號強度都足夠的強；（4）不考慮地球的實際曲率變化，認為地球是一個均勻球體。3. 2符號說明同步衛(wèi)星x,的位置e行器的位置飛行器指向同步衛(wèi)星x,方向的矢量航與測向陣列瓦住“皿切俎）的夾角就與測向陣列屁（抵禺、蟲3）的夾角飛行器的速度矢最 每個點到平均位置的距離%a與實際測量值之間的誤差 a與實際測量值z間的誤丼&dld2%2測向陣列d|,2相互垂直關系確定的方程的解的誤差測向陣列模為1確定的方程的解的誤差測向陣列 2模為1確定的方程的解的謀差4. 模型的建立（與求解）

17、4. 1問題（一）的模型建立與求解4. 1. 1坐標系的建立建立以地球中心為原點，以赤道平面為基木平面，x軸在基本平面內由地心向外指 向格林威治子午圈與赤道的交點，z軸垂直基本平面，與地球自轉軸重合，y軸與x, z軸 組成右手系的三維直角坐標系，如圖（1）所示。p(“,y,z)圖（1）建立坐標系在此坐標系下，同步衛(wèi)星的位置是鳳仗“幵石）（1 = 1,29）,飛行器的位置是 p（x,yrz）,測向陣列方向矢量為瓦（仏山切cf“）和石s比覘嚴血j,矢量忒和可、石的 夾角分別為w、仇。則利用矢量點乘關系a 巨=間|司可以得到如卜非線性方程組：（阿石=i醱ii石i1 j 丄斗 q （1 =切4遍=|也

18、|亦隔除由兩個測向陣列本身相互垂直、模為1,得國| - 1 =式中,srfltfs >盹i、%2分別為計算誤差。4.1.2基于遺傳算法的模型的建立由上面的分析可知，矢量點乘關系px 一co<xt = aafi込補石一 i麗石|c“a =瞅務、唄為計算課差，聯立3顆衛(wèi)星和測向陣列關系，建立9個方程組，使z滿足如卜函數優(yōu)化問題：min吝=叱+囑）+雉倔+ &紅+碓2 t=l気t x2 + ya + s2 > r2式中r為地球半徑，表示飛行器到地球質心的距離大于地球半徑，利用最小二乘法就可以求解出飛行器位置p(yzx),測向陣列忑(爲屮圧切和忑(怠罔尸爲m)這9個 未知參數

19、。所以存在84個位置 得到一個位置數據比 曲于目標函數是一個 為此需耍把此區(qū)域當由于毎3顆衛(wèi)星就可以確定飛行器的一個位置，飛行器共有c= 84種不同的位置。 由于在實際測量時，測向陣列和地球同步衛(wèi)星夾角存在測量誤差， 是合理的。為了得到精確的位置，我們采用刪除誤差位置的方法， 較集中的區(qū)域，因為遺傳算法尋找方程的解時需要一個初始區(qū)間， 多元非線性特別復雜的方程，沒有全局最優(yōu)解，只有局部最優(yōu)解， 作飛行器位置初始區(qū)域，再用遺傳算法尋找飛行器位置的局部最優(yōu)解，具體的步驟如下:4.1.2. 1刪除部分誤差較大的數據stepl： 設定初值k二84.step2：利用平均公式求出位置的平均值壬、予、云k牙

20、二 一kk»=1k(1)式中，k為剩余的位置個數。step3：按式(1)算出每個點到平均位置的距離兮，刪除距離最大的那一點，令k=k-l,按式(2)求出距離均方誤差酉。xu,-x)2+(；.-刃2 +憶 _汀0=7kk玄二上(2)k式屮，k為剩余的位置個數。step4：重復step2和step3,找出距離平均值最小的那一，點，把均值最小點z前的 位置全部去除掉，算出均值最小點之后的平均位置和位置所在的區(qū)間。鮒址口牡ms0.81020304050數據點刪除個數60圖（2）刪除部分誤差較大的數據按如上步驟，畫出了以位置剩余點數為橫軸，距離均方誤差為縱軸的趨勢圖，如圖 （2）所示，由圖可以

21、看出紅點（去除了 25個位置時）所在處距離平均值最小，說明去 除25個位置后，誤差較大的點已經刪除，數據更加集屮。算出位置所在的區(qū)間范圍， 如表（1）所示。表（1）刪除誤差較大點后的位置范圍坐標軸下限（單位：km）上限（單位：km）x-5227. 24-5071.48y6534.756630. 44z2717.053336. 544. 1.2. 2利用遺傳算法搜尋最優(yōu)解群體大?。?00 參數范圍：見表（1）交叉概率:0.8變異概率：0.2終止代數：200目標函數:式屮，勺為計算誤差。由于目標函數是一個多元非線性特別復朵的方程，沒冇全局 最優(yōu)解，只冇局部最優(yōu)解，為了能更好的求出飛行器的最優(yōu)位置，

22、算法流程如圖（3）所示。圖(3)遺傳算法流程圖對應的具體步驟如下：stepl：設定x、y、z的初始空間和迭代步長;step2：保持%、% z的上限不變,下限分別以步長逼近上限;step3：調用mat lab遺傳算法工具箱求出此區(qū)間內的局部最優(yōu)解并保存，重復step2直 到跳出循環(huán)；step4：輸岀所冇局部最優(yōu)解屮，最小目標函數值對應的兄、¥、z坐標。用matlab的遺傳算法工具箱，畫出目標函數適應度變化趨勢如圖(4)所示：best fitness mea n fitness0)n-ea ssasiz406080100120140160180200gen eration圖(4)遺傳算法

23、結果求出飛行器的位置為（一 514山2£5口5呂（km）。4.1.3基于角度誤差平方和最小模型由丁誤差主要是由夾角測量不準和求解是帶來的，上述模型不能直接分析誤差與測 量夾角偏差的關系，因此，基于角度誤差平方和最小模型，從上面矢量點乘的分析可知,at 一 arc cos兀-x)%+(x-ym“+(&-z)d)"+ (x - y) + (召 - z) x jdj+di'+d 兀一 x)+ b 一 y)d2y + (& - z)d 土2)，pi - arc cos j(兀一汀 + ( x - y ) + ( « - x (2+2)，2 + d

24、2?久、切為計算誤差，同理聯立9顆衛(wèi)星和測向陣列關系，建立21個方程，使之滿 足如下函數優(yōu)化問題：9+嗽）+刃紅+瘍+血他t=is.t. x2 + y2 + z2 > r2式中r為地球半徑，表示飛行器到地球質心的距離人于地球半徑，利用最小二乘法就可以求解出飛行器位置鞏爲刃耳，測向陣列忑（瓦疋爐和忑（転心尸爲m）這9個 未知參數。求岀飛行器的位置為（一 5zm2q6w3久25q （km）。9o1best: 367578.8159 mean: 381861.84854. 2問題(二)的模型建立與求解4.2.1飛行器運動時的定位模型圖(5)勻速運動的飛行器各時刻位置如圖(5)所示，假設飛行器在

25、(=0時刻的位置為(x,y,z),飛行器作勻速直線運動, 設其速度矢量為v = (vx,vv,v.),則飛行器在各個時間的坐標可分別表示為：(x,y,z), (x+vxt,y+vyt,z + v:t) ,(x+2v/, y+2vyt, z + 2v j),(x+3 匕/,y+3vj,z + 3vj),(兀+4叮,)，+4叩採+ 4叩)。利用這5個時刻的數據，根據飛行器指向衛(wèi)星的矢量與測向陣 列方向的點乘關系，建立下列方程：arccosarccos（21,2,3,4,5）（21,2,3,4,5）（兀一兀一咕，x 一 v 一 m 心一 z - f） （d“，卜,dj、j（兀 _ 兀 _）2 +（x

26、 _ y _ v/ ）2 + （z, _ z _ 匕厶）2 x jd j + d j）丿（兀 一 - 匕人，x y 忖，& 一 z 叩j （2* 性.,2 jj（xj_x_匕右）2 + （開 _ y _片石）2 + （& _ z_匕）2 x風：+ x； + df）聯立這10個方程，利用最小二乘法，使各個時刻的角度與其實際測量值z間的謀差平 方和最小，建立目標函數：5min 心工(廟 + 磅)+昉 + /2 + 4.2(3)/=!利用最小二乘法，獲得飛行器的t二os時刻的位置為(-41828.8,4627.0,6190.6) (km), 速度矢量(4.0,2.9,-0.2) (k

27、m/s)o因此我們可以計算在t二70s時，飛行器的位置為(-3902.&4830,6176.6) (km)。4. 2. 2飛行器運動時的定位模型的可靠性分析對于預測的"70s吋位置參數，影響其可靠性的因素有：(1) 最小二乘法解方程組給出的解與真實解間存在偏差：角度的測量值與真實值z間存在誤差。用最小二乘法求解式(3)時，最后的角度 誤差平方和為4.6459x10°,則每個角度的誤并平方最大為4.6459x10"°,誤并為 ±2.1554x10_5o(2) 角度的測量誤差隨機產生，我們可假設角度的測量誤差符合高斯分布 (0,0.1) 0

28、這兩個因素影響了求出的飛行器位置和速度的可靠性，從而影響飛行器t=70s時位 置參數。給附表2中的測量角上加上上述兩種隨機誤差，然后進行100次的仿真，得到位置 參數和速度參數大量計算值。然后得到100個t二70s時位置參數。如圖(6)所示：(0,0.02)圖(6)不同測量誤差對位置的影響圖(6)屮的四幅圖分別是方差為m2、005、010和015時的預測位置的空間分布 圖，可以看出噪聲方差越小時，預測位置的空間分布越集中，即說明了誤差比較小時， 對位置的空間分布影響較??；而方差越大時，預測位置的空間分布越分散，即說明了誤 茅比較大時，對位置的空間分布影響較大。統(tǒng)計不同噪聲下的位置分布，得到叭匕

29、和 冬的置信度為95%置信區(qū)間，如表(2)所示表(2)不同噪聲下預測位置的置信區(qū)間/ = 0.02ff 2 = 0.05c- = 0.1er2 = 0.15-3905.7,-3895.13943.5, -3871.6-3916.1,-3883.4-3948.8,-3855.7wv4815.1, 4826.94802.4, 4857.54795.9, 4825.14664.1,4766.1l6110.1, 6154.3j6169.4, 6293.3j6055.1,6168.56055.1,6053.4表(2)給出了不同噪聲卜預測位置的置信區(qū)間，從中可以看出，噪聲越大，即測量誤 差越大，相同置信度

30、下，x, y, z坐標的置信區(qū)間的長度也就越大。這意味著位置確定 的可靠性降低。因此，對于模型確定的飛行器t二70s時的位置，隨著角度測量課差的不 同，其可靠性也就不同。角度測量誤差越小，可靠性越高；反之，可靠性越低。4.3問題(三)的模型建立與求解4. 3.1基于幾何精度(gdop )因子的優(yōu)選模型定義幾何精度因子如下:gdop = + £)22 + d33 + »441111式中，2是g = (l h)7的對角線元素。h是觀測矩陣，q(心1,2,3n)是沿飛行器接收機指向衛(wèi)星的直線方向的單位矢量。從上式可以看岀，gdop僅僅是平星和用戶集合布局的函數。為了提高定位精度,

31、 應選擇可見衛(wèi)星和用戶有較好的空間兒何分布，即gdop值最小。4. 3. 2衛(wèi)星數目及一顆衛(wèi)星對gdop的影響:從可見衛(wèi)星中選擇參加導航定位計算的衛(wèi)星數目不同，gdop的取值也不相同， gdop與衛(wèi)星數目z間有一定的變化規(guī)律。設0為選擇加顆衛(wèi)星定位時的觀測矩陣，從加顆衛(wèi)星中去掉第i顆星 (21,2,3肋，等到加顆衛(wèi)星的觀測矩陣,兩者有如下關系：h：h腫(hqth丄十h軌其中，也二冋,勺2，%，1為第，顆星的觀測矢量。由 she rm an -mo rrison 公式可得g = (hj= (h：嘰-町訂' =gm+gmhf(-higmhfyihigm其中，sh：是一標量，記為因此有gdo

32、p；j = traced) = traced) + teace(gmh；/ 5,)trace(gn) + teace(gmh/ s”)= gd0p： +trace(gmhlhigm / su)去掉一顆衛(wèi)星后的gdopj比gdo畫多出一項，trace(gmhh,gm / su)項，確定多 出這項的正負，即可確定減少一顆衛(wèi)星對gdop的影響。為確定tracedhtgtn is.)的正負，將h鳥進行奇異值分解。= usvt其中,u和v分別為(m-l)x(/h-l)和4x4的止交矩陣，是(/h-l)x4對角線矩陣。將式帶入，并將等式兩邊進行相同的止交變換，由sherman-morrison公式得出vt

33、(hlhm)v' = vt(usvt)t usvt)v +vth hy = (z + vvr)_,其中 z = sts =/dg(zii，z22，z33，z44)， v = vthf =vj,v2,v3,v4o 由于正交變化不改變矩陣的跡，因此冇tracehj) = traced) = trace(vt + tracekvytz)= trace(h；hj') + trace(kvytz)其中，v. =z_,v ,n vtrace(kv：v )匹丄因此，4. 3. 3優(yōu)選方案gdopj = gdop； +q> gdop我們對附表1中給出的9顆衛(wèi)星按照下面的步驟進行優(yōu)選，流程

34、圖如圖(7)所示。stepl:從n顆星中任選3顆星，共有c市種衛(wèi)星組合，計算每種組合的gdop ,及 其平均值。step2:顆數加1后并判斷是否大于n,如果是則執(zhí)行第三步，反z,重復第一步。step3:分析獲得的gdop,兼顧精度和效率原則，確定衛(wèi)星的數目step4:從n顆星中任選n顆星的用種衛(wèi)星組合中，找出其中對應gdop值最小的衛(wèi) 星組合，作為最終的優(yōu)選方案。設定初始選星個數n=3遍丿丿j種組合求gdop n=n+l根據gdop數據確圮選星個數n遍歷種組合取最小gdop対應的卩星分布圖（7）選星的流程圖選擇數目不同衛(wèi)星對應的gdop的如表3所示,表（3）衛(wèi)星數目和對應的gdop衛(wèi)星數量平均

35、gdop衛(wèi)星數量平均gdop34.5213x10970.1743x10647.1169x10680.1346x10650.7139x10690.1106x10660.2632x106從表屮可以看出隨著衛(wèi)星數量的增加，gdop的值變小，即精度越高，同時相鄰衛(wèi) 星數量的gdop的差值變化越來越小用圖展示如圖（8）所示：用圖表展示如下：6o1x i84567定位衛(wèi)星數量圖(8)定位衛(wèi)星數量對精度的影響從上圖屮可以看岀，當定位t星的數量達到6顆以后，再增加t星數量，對gdop 的改善已經不明顯。根據不同應用場合對定位精度和定位效率的不同要求，我們結合仿 真結果，提出下列的三種衛(wèi)星數目選擇方案。表(4)

36、不同需求下的選星方案注重精度兼顧精度與效率注重效率衛(wèi)星數量(顆)765下面分析其中兼顧精度與效率的選星方案，即選星數目確定為6顆。從9顆衛(wèi)星選擇6顆衛(wèi)星，共有c：種選擇方案，每一種方案對應的gdop如圖(9)所 示：5ox i4doooq |0102030405060708090選星方案圖(9)定位衛(wèi)星幾何分布對精度的影響我們選擇其中對應gdop最小的一種選擇方案，也就是選擇圖屮第12種方案： 選擇第 1,2, 3, 5, 6, 8 顆衛(wèi)星，經度分別為 e76°, £89°, £110°, £130°, £136&

37、#176;, e163。, 該組合對應的gdop為1.1475x10。4.3. 4角度誤差影響的仿真對角度的測量值隨機加入高斯噪聲，誤差限為0. 1。用加入噪聲后的角度值進行1000 次仿真定位實驗，來觀察角度誤差對定位的影響。仿真實驗的結果如下圖所示：o70004000-3000、一z 2000、一1000 八6660064006200-5600yx6800-5200-5400-50004800圖(10)測量數據加入噪聲后定位位置如圖(10)所示，紅色的位置表示未加入噪聲時的定位位置，而藍色點為加入噪聲 后的定位位置，由于角度測量值聲加入了噪聲，定位的位置也圍繞在紅色點附近波動。 計算100

38、0次仿真實驗的定位位置與未加噪聲時的定位位置z間的距離謀差，對統(tǒng)計這 些距離誤差，得到下圖：25020015010050-5000500100015002000250030003500定位距離誤差(km)圖(11)距離誤差統(tǒng)計上圖為經過統(tǒng)計后的定位距離的謀差的分布圖，統(tǒng)計結杲顯示，有95.9%的數據謀 差落在了 600km以內。因此，認為定位精度為600kmo5. 模型結果的分析與檢驗5.1問題一的結果分析(1) 由于在實際測量時，測向陣列和地球同步衛(wèi)星夾角存在測量誤差，產生誤差 的原因可分為兩部分，英一是由于系統(tǒng)設備的精度和測角方法而產生，稱為系統(tǒng)誤差叭 其二是由于測向陣列與地球同步衛(wèi)星之間

39、的環(huán)境干擾而產生，稱為環(huán)境誤差。因此模型 一屮對84個位置的進行刪除誤差位置、確定位置初始區(qū)域，再用遺傳算法在初始區(qū)域 尋找位置的最優(yōu)解，這樣處理是合理的。(2) 模型一求岀的飛行器距離地球表而2553.6千米，模型二求岀的飛行器距離地 球表面2600.5千米。5. 2問題二的結果分析問題二，利用5個時刻的測量數據，聯立方程組，用最小二乘法使得角度與測量值 之間的誤差最小，從而逼近飛行器的真實位置。得到的位置矢量為 (-41828.8,4627.0,6190.6),速度矢量(4.0,2.9,0.2),計算結果顯示e行器大約距離地面 2421km,應該是一顆空間飛行器，其速度為4. 9447km

40、/s,與空間飛行器的飛行速度也較 吻合。在進行可靠性分析時，z軸坐標的置信度為95%的置信區(qū)間的長度較x軸，y軸坐 標較寬，說明z軸坐標的可靠性較低。其原因可能是因為定位用的同步衛(wèi)星在坐標系小 的z坐標均為0,影響了對飛行器的z軸坐標的測算。5. 3問題三的結果分析問題三，利用幾何精度因子gdop來衡量衛(wèi)星幾何分布的好壞，遍歷所有方案后， 發(fā)現6星組合定位的平均精度和效率能夠取得一個較好的折中。其定位結果與9星定位 的結果很接近，說明6星定位的組合是較為合理的。在給測量值加入最人為0.1。的噪 聲后，大量的仿真實驗顯示，加入的噪聲給定位帶600km的誤差。說明模型建立的 定位方法對于角度測量冇

41、著很高的要求，否則就冇可能造成較大的誤差。即說明本模型 的對測量謀差很靈敏，仍需改進。6. 模型的優(yōu)缺點分析與改進方向61優(yōu)點：(1) 在解決問題一時，模型一：通過建立非線性方程組，三顆衛(wèi)星可以求出一個飛行 器位置參數，而9顆衛(wèi)星存在84種組合，對于84組數據，首先進行誤差分析， 去除一些誤差較大的位置，再對剩下的數據使用遺傳算法求出飛行器最終的位 置。正由于去除了一些誤差較大的數據，在一定程度上提高了精確度；模型二： 充分考慮9顆衛(wèi)星的數據，首先假設飛行器的位置參數，建立21個方程，然后 利用飛行器位置反求與9顆衛(wèi)星的18個夾角，再和給岀的測量值相比較，通過 最小二乘法，把誤井平方和最小時的

42、位置作為最優(yōu)解。(2) 在解決問題二時，假設飛行器勻速直線運動，本模型不是單獨考慮每一時刻的測 量數據，而是通過速度矢量將5個吋刻的測量數據聯系起來，利用最小二乘法， 使得與5個測量值的誤差達到最小，從而提高了定位精度；為了驗證其數據口j靠 性，我們采用定量的分析方法，把角度進行波動，綜合考慮角度測量誤差和方程 求解時的偏差帶來的影響，經過100次仿真實驗，對仿真結果進行統(tǒng)計，給出了 置信水平為0.95的置信區(qū)間，定量的描述了預測值的可靠性。(3) 在解決問題三時，考慮衛(wèi)星優(yōu)選策略時使用了精度幾何因子gdop的方法，兼顧 定位的精度和效率，選擇了合適的衛(wèi)星個數和衛(wèi)星分布，這種方法精度比較高。

43、當測量角度發(fā)生偏差時，假設偏差符合高斯分布，通過1000次的仿真，大量的 數據統(tǒng)計使結果更加符合實際。62缺點：(1) 在問題一的方法一中，三顆定出衛(wèi)星位置，謀差比較大，即使對84組數據進行 優(yōu)化處理，仍然是建立在謀差比較大的基礎z上的。(2) 在問題二中，最小二乘擬合出的直線給出70s的預測值是理論值，并沒有考慮環(huán) 境噪聲和測量誤茅帶來的影響。(3) 在問題三中，我們僅僅只考慮了衛(wèi)星個數帶來的運算量對定位效率的影響，沒 有沒有考慮其他因素的影響，這是不符合實際情況的。6.3改進方向:（1）對于問題一，對丁某吋刻計算出的目標位置，受測量條件的影響，按照本文提出 的定位方法解算出的口標位置與實際

44、位置點總是會存在一定的偏差，因此我們可 以把定位結果帶入卡爾曼濾波方程，經過濾波處理，提高其定位精度。（2）對于問題二，假設飛行器勻速圓周運動，利用已知數據建立非線性方程，另外還 需要滿足方程2 + /4-r=（/?+/7）2,使用多項式最小二乘曲線擬合，確定70s時 刻的飛行器位置參數。（3）對于問題三，當飛行器運動時，對于實時定位要求就比較高，就要求定位時間盡 量少，而選星時間與選星算法有關，因此我們在選星顆數不變的前提下，可以優(yōu) 化算法，采用快速計算兒何精度因子的改進算法，該算法基于矩陣的qr分解, 避免了傳統(tǒng)算法在計算量和存儲量較大導致定位解算實時性降低的問題，在計算 gdop值吋，數

45、值穩(wěn)定性更好，讓算復雜度更低，計算效率更高。當分析定位效 率時，定位效率需要考慮選星時間和方程求解時間兩方面因素，可以采用定量的 分析這兩方面因素對效率的影響，為提高定位時間提供參考價值。參考文獻1 叢麗，談展屮.提高衛(wèi)星導航定位精度和實時性的選星算法j,系統(tǒng)工程與電子技 術，2008, (6)2 程銘東，劉利姣，黃光明.基于遺傳算法的多傳感器網絡中目標定位算法j中國 科技論文在線3 沈文亮，李艷斌，陳衛(wèi)東等基于無源測距的快速定位方法研究j電子學報，2009, (6).4 陳小平，騰云龍，康榮雷等兒何精度因子改進算法研究j.電子科技大學學報， 2008, (6)附錄：附錄1.第一問遺傳算法的求

46、解%遺傳算法erro=inf；chu_f =；chu_x=；chu_y=;chu_z=；for i=l:2for j =1：2for k=l：10options=gaoptimset('generations 1,800, 'stallgenlimit',600,gaplotbestf);x,f=ga(thefirstyouhua,9, , , , , -5400+(i-l)*200；6300+(j-l)*350； (k-1)*400;-l;-l;-l;-l;-l;-l , -5000;7000；4000;1;1;1;1;1;1, zoptions);chu_x=chu

47、_x；x(1)；chu_y=chu_y；x(2)；chu_z=chu_z；x(3)；chu_f=chu_f；f； if (erro>f)x0=x；erro=f；endendendend附錄2第一問遺傳算法的求解的主函數%遺傳算法函數function f=thefirstyouhua (x) %viuo»ie %acaiadqe«oaviaer=6367;h=35800;thetal=142/360*2*pi;theta2=1630/360*2*pi;theta3=172.0/360*2*pi；theta4=136.0/360*2*pi；theta5=1300/360*

48、2*pi；theta6=125.0/360*2*pi；theta7=110.0/360*2*pi;theta8=89-0/360*2*pi；theta9=76.0/360*2*pi；al=100.32/360*2*pi;bl=ll.58/360*2*pi; a2=125.58/360*2*pi;b2=36.04/360*2*pi; a3=135.93/360*2*pi;b3=4634/360*2*pi; a4=92.91/360*2*pi;b4=5.99/360*2*pi; a5=85.46/360*2*pi;b5=6.95/360*2*pi; a6=79.24/360*2*pi;b6=ll.

49、99/360*2*pi; a7=60.73/360*2*pi;b7=29.81/360*2*pi; a8=3582/360*2*pi;b8=5463/360*2*pi; a9=21.33/360*2*pi；b9=69.25/360*2*pi； xm8=(r+h)*cos(theta8)；ym8=(r+h)*sin(theta8)；zm8=0;xml=(r+h)*cos(thetal)；yml xm2=(r+h)*cos(theta2)；ym2 xm3=(r+h)*cos(theta3)；ym3 xm4=(r+h)*cos(theta4)；ym4 xm5=(r+h)*cos(theta5)；ym

50、5 xm6=(r+h)*cos(theta6)；ym6 xm7=(r+h)*cos(theta7)；ym7(r+h)*sin(thetal)；zml=0 (r+h)*sin(theta2)；zm2=0 (r+h)*sin(theta3)；zm3=0 (r+h)*sin(theta4)；zm4=0 (r+h)*sin(theta5);zm5=0 (r+h)*sin(theta6)；zm6=0 (r+h)*sin(theta7)；zm7=0xm9=(r+h)*cos(theta9)；ym9=(r+h)*sin(theta9)；zm9=0；if(x(l)a2+x(2)a2+x(3)a2<636

51、7a2)f=inf;elsef=(xml-x(1)*x(4)+(yml-x(2)*x(5)+(-x(3)*x(6)-(xml-x(1)a2+(yml-x(2)a2+ (zml-x(3)x2)x0.5*cos(al) ) x2+.(xml-x(1)*x(7)+(yml-x(2)*x(8)+(-x(3)*x(9)-(xml-x(1)x2+(yml-x(2)x2+(z ml-x(3)a2)a0.5*cos(bl)x2+.(xm2-x(1)*x(4)+(ym2-x(2)*x(5)+(-x(3)*x(6)-(xm2-x(1)a2+(ym2-x(2)a2+(z m2-x(3)x2)x0.5*cos(a2)

52、x2+.(xm2-x(1)*x(7)+(ym2-x(2)*x(8)+(-x(3)*x(9)-(xm2-x(1)x2+(ym2-x(2)a2+(z m2-x(3)a2)a0.5*cos(b2)a2+.(xm3-x(1)*x(4)+(ym3-x(2)*x(5)+(-x(3)*x(6)-(xm3-x(1)a2+(ym3-x(2)a2+(z m3-x(3)a2)a0.5*cos(a3)a2+.(xm3-x(1)*x(7)+(ym3-x(2)*x(8)+(-x(3)*x(9)-(xm3-x(1)x2+(ym3-x(2)x2+(z m3-x(3)x2)x0.5*cos(b3)x2+.(xm5-x(1)*x

53、(4)+(ym5-x(2)*x(5)+(-x(3)*x(6)-(xm5-x(1)x2+(ym5-x(2)x2+(z m5-x(3)a2)a0.5*cos(a5)a2+.(xm5-x(1)*x(7)+(ym5-x(2)*x(8)+(-x(3)*x(9)-(xm5-x(1)x2+(ym5-x(2)x2+(z m5-x(3)a2)x0.5*cos(b5)x2+.(xm7-x(1)*x(4)+(ym7-x(2)*x(5)+(-x(3)*x(6)-(xm7-x(1)x2+(ym7-x(2)x2+(z m7-x(3)a2)a0.5*cos(a7)a2+.(xm7-x(l)*x(7)+(ym7-x(2)*x

54、(8)+(-x(3)*x(9)-(xm7-x(l)x2+(ym7-x(2)x2+(z m7-x(3)a2)x0.5*cos(b7)x2+.(xm8-x(1)*x(4)+(ym8-x(2)*x(5)+(-x(3)*x(6)-(xm8-x(1)人2+(ym8-x(2)2+(z m8-x(3)a2)a0.5*cos(a8)a2+.(xm8-x(1)*x(7)+(ym8-x(2)*x(8)+(-x(3)*x(9)-(xm8-x(1)人2+(ym8-x(2)2+(z m8-x(3)a2)a0.5*cos(b8) ) a2+.(x(4)*x(7)+x(5)*x(8)+x(6)*x(9)x2+.(x(4)x

55、2+x(5)x2+x(6)x2-l)x2+.(x(7)a2+x(8)a2+x(9)a2-1)a2;endend附錄3最小二乘法clc；clear；%令6xx=-6000;-3000;-1000;yy=2000;4000; 7000;zz= 1000; 3000; 5000;vx=-30;0;30;vy= -30;0;30;vz= -30;0;30;xxx=;x0= -6000;2000;1000;l;0;l;2;l;6;30;30;30;mm=10；nn=x0；for i=l:3for j =1：3for k=l:3for ii=l:3for j j =1：3for kk=l:3aal=xx(i) ；bbl=yy(j) ；ccl = zz(k)；vxl=vx(ii) ；vyl=vy(j j) ；vzl=vz(kk)；x0= aal ；bbl ； ccl ；l；0；l；2；l；6 ； vxl ； vyl ； vzl ； %onaoxid options = optimset(optimset,'maxfunevals1000