電磁場(chǎng)邊界條件極化模型分析

1、    電磁場(chǎng)邊界條件極化模型分析    周作黎 譚超先 劉衛(wèi)剛摘要：電磁場(chǎng)經(jīng)過(guò)不同電性界面邊界條件，運(yùn)用麥克斯韋方程組的積分形式可推導(dǎo)，這種方式的推導(dǎo)關(guān)于界面處源的問(wèn)題有點(diǎn)模糊，不便于理解記憶。本文將通過(guò)電場(chǎng)的極化模型束縛電荷來(lái)對(duì)比分析界面處關(guān)于電荷積累的問(wèn)題以及磁化模型束縛電流模型來(lái)分析界面處磁源的問(wèn)題，從而對(duì)邊界條件有更加清楚的認(rèn)識(shí)。關(guān)鍵詞：邊界條件；麥克斯韋方程組的積分形式；極化：g642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：a ：1674-9324（2018）23-0213-03一、麥克斯韋方程組的積分形式及邊界條件的推導(dǎo)（一）麥克斯韋方程組的積分形式e·

2、;dl=-·ds （1）h·dl=（i+i） （2）d·ds=q？搖 （3）b·ds=0？搖 （4）（二）邊界條件的分析及推導(dǎo)邊界條件是指電磁場(chǎng)穿過(guò)不同電性界面應(yīng)滿足的關(guān)系式，可通過(guò)上述積分方程組推導(dǎo)得出，我們作簡(jiǎn)單推導(dǎo)，看（4）式，它表明磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)，在電性界面處取體積元圓柱體，運(yùn)用（4）式，右邊項(xiàng)為零，側(cè)面積分在取極限時(shí)取為0，不難推出磁感應(yīng)強(qiáng)度b垂直分量連續(xù)。對(duì)于電位移d垂直分量不連續(xù)，分析（3）式，并和（4）式相比，右邊項(xiàng)多了累積電荷項(xiàng)，累積電荷是自由電荷，會(huì)對(duì)電位移失量d產(chǎn)生影響，導(dǎo)致d垂直分量不連續(xù)。關(guān)于切線方向e分連續(xù)及h分量連續(xù)，電流密度

3、法向分量連續(xù)都可通過(guò)方程組推出。二、電極化和磁化（一）電極化、束縛電荷電介質(zhì)依據(jù)電結(jié)構(gòu)不同，可把電介質(zhì)分為兩類(lèi)：一類(lèi)是無(wú)極分子，另一類(lèi)是有極分子。將無(wú)極或有極電介質(zhì)分子放在均勻外電場(chǎng)中，各分子的電偶極子受到外電場(chǎng)力偶的作用，都要轉(zhuǎn)向外電場(chǎng)方向，并有序的排列起來(lái)，但由于分子熱運(yùn)動(dòng)使這種排列不可能整齊。然而，從總體上看，這種排列的結(jié)果使電介質(zhì)沿電場(chǎng)方向前后兩個(gè)側(cè)面分別出現(xiàn)正、負(fù)電荷。這種電荷不能在電介質(zhì)內(nèi)自由移動(dòng)，也不能離開(kāi)電介質(zhì)表面，因而稱(chēng)為束縛電荷。（二）磁化、束縛電流磁化是指磁介質(zhì)放在磁場(chǎng)中會(huì)產(chǎn)生附加磁場(chǎng)的現(xiàn)象，磁介質(zhì)分為順磁質(zhì)、抗磁質(zhì)和鐵磁質(zhì)物質(zhì)，鐵磁質(zhì)磁化原理不同于順磁質(zhì)和抗磁質(zhì)。物質(zhì)內(nèi)

4、部原子、分子中每個(gè)電子都參與兩種運(yùn)動(dòng)，可以看作圓形電流，具有一定的軌道磁矩pm，同時(shí)電子本身固有自旋，有自旋磁矩。一個(gè)分子中所有電子的各種磁矩的總和構(gòu)成這個(gè)分子固有磁矩，可以等效為一個(gè)圓形分子電流i產(chǎn)生的。研究表明，抗磁質(zhì)分子在沒(méi)有外磁場(chǎng)作用時(shí)固有磁矩為零，順磁質(zhì)由于分子熱運(yùn)動(dòng)磁矩取向雜亂無(wú)章，宏觀上不呈磁性。三、邊界條件的極化模型分析（一）邊界條件的極化模型分析為了分析電場(chǎng)邊界條件問(wèn)題，我們依據(jù)電極化知識(shí)，建立如圖1和圖2電極化模型，該模型只能分析垂直方向的問(wèn)題，關(guān)于切向方向，我們只做簡(jiǎn)單分析。電場(chǎng)和界面累積電荷都會(huì)產(chǎn)生束縛電荷，首先只考慮電場(chǎng)，我們構(gòu)造電性界面s，界面兩側(cè)相對(duì)介電常數(shù)為 和

5、，界面兩側(cè)自由電荷面密度為+0和-0的帶電無(wú)限平板，設(shè)各界面由極化產(chǎn)生電荷密度分別為 -1、+1、-2、+2，兩邊介質(zhì)中電場(chǎng)強(qiáng)度分別為e1和e2，電位移矢量為d1和d2。然后考慮累積電荷模型，其他條件不變，不考慮電場(chǎng)即兩電板面電荷密度是未知的，設(shè)為3，設(shè)累積電荷產(chǎn)生的界面兩邊束縛電荷為-4、-5。圖1由于電板無(wú)限，可知介質(zhì)內(nèi)場(chǎng)均勻，過(guò)電介質(zhì)1作圓柱高斯面，通過(guò)極板a外側(cè)底面的電位移通量和圓筒側(cè)面的電位移通量皆為0，因此通過(guò)所作高斯面的電位移通量就等于通過(guò)位于電介質(zhì)1中圓柱底面的電位移d1的通量。根據(jù)高斯定理可得：sd·ds=d1s1=0s1（1）化簡(jiǎn)得d1=0（2）由d=e代入（2）

6、式得e1= （3）同上，通過(guò)電介質(zhì)2作高斯面d2=0（4）e2=（5）由圖2可知，這種不對(duì)稱(chēng)的電極化稍微復(fù)雜，只有界面處存在電荷，電場(chǎng)強(qiáng)度受自由電荷與束縛電荷的影響，電極化對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度的影響就相當(dāng)于在界面電荷和在真空產(chǎn)生的電場(chǎng)，也就是電通量的高斯定理，所以界面兩邊電場(chǎng)強(qiáng)度大小相同，方向相反。e1=-e2（6）由d=e代入（6）式可得d1=0e1（7）d2=0e2（8）在界面處作高斯面，依據(jù)高斯定理得sd·ds=（d1-d2）s1=3s1（9）將（6）式、（7）式及（8）式代入（9）得e1=-e2=（10）d1= （11）d2=（12）依據(jù)'=1-0 （13）4=（14）5=（1

7、5）這兩個(gè)模型通過(guò)疊加能較為詳細(xì)的解釋電位移矢量垂直分量的不連續(xù)以及計(jì)算電場(chǎng)與電位移矢量垂直分量之間明確的關(guān)系。（二）邊界條件磁化模型分析為了直觀的理解不同電性界面磁感應(yīng)強(qiáng)度垂直分量連續(xù)以及對(duì)磁場(chǎng)無(wú)源性質(zhì)做進(jìn)一步解釋?zhuān)覀兘⑷鐖D3的磁化模型，首先構(gòu)造分界面s，界面兩邊電性參數(shù)分別為和，我們考慮無(wú)限長(zhǎng)螺旋環(huán)，線圈中通有電流i，在兩界面產(chǎn)生束縛電流分別為i和i，設(shè)兩邊磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為b1和b2。和電極化一樣，我們同樣可以將得到的磁感應(yīng)強(qiáng)度分為兩部分即：b=h+m（1）m為磁極化失量，本質(zhì)上就是束縛電流在真空產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度，可得：b=h+i （2）我們知道傳導(dǎo)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)，實(shí)際上電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)都是無(wú)源的，束縛電流也一樣，無(wú)源場(chǎng)就是說(shuō)在空間不會(huì)產(chǎn)生像電荷一樣產(chǎn)生有一點(diǎn)發(fā)散的場(chǎng)，也就是在界面處磁感應(yīng)強(qiáng)度不會(huì)發(fā)生突變，由（2）式，前部分為定值，后部分為空間連續(xù)值，所以磁感應(yīng)強(qiáng)度垂直分量連續(xù)。直觀可以理解為兩界面束縛電流在界面處共同產(chǎn)生影響，因而界面處垂直分量連續(xù)。四、總結(jié)本文主要介紹了麥克斯韋理論，推導(dǎo)了電磁場(chǎng)穿過(guò)不同電性界面的邊界條件，還介紹了極化相關(guān)的知識(shí)，利用極化知識(shí)建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，分析了垂直方向上的邊界條件，能直觀理解邊界條件的連續(xù)問(wèn)題，對(duì)比分析自由電荷與束縛電荷及束縛電流對(duì)場(chǎng)的影響，進(jìn)一步討論電荷及電流