平面向量的坐標運算及共線坐標表示

1、2.3.3 平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算2.3.4 平面向量共線的坐標表示平面向量共線的坐標表示復習引入復習引入 如果如果 是同一平面內的是同一平面內的兩個不共線向量兩個不共線向量,那么那么對這一平面內的任一向量對這一平面內的任一向量 ,有且只有一對實數有且只有一對實數 , 使使1 12 2aee12, 12,e e a對于確定的一組基底對于確定的一組基底, ,平面內的任一向量會和平面內的任一向量會和一對實數對應一對實數對應平面向量基本定理平面向量基本定理平面向量的坐標表示平面向量的坐標表示Oxy平面內的任一向量平面內的任一向量 ,有且只有一對實數有且只有一對實數x,y,使使 成立成立

2、aaxiy j則稱（則稱（x，y）是向量）是向量 的坐標的坐標aji 如圖如圖,在平面直角坐標系中在平面直角坐標系中,分別取與分別取與x軸、軸、y軸正方向軸正方向同向的兩個同向的兩個單位向量單位向量 作基底作基底.i j 、記作：記作：( , )ax yaaa(4)如圖以原點如圖以原點O為起點作為起點作 ，點，點A的位置的位置 被被 唯一確定唯一確定.aOA a Oxy1212abxxyy且平面向量的坐標表示平面向量的坐標表示aaji(x, y)A此時點此時點A的坐標即為的坐標即為 的坐標的坐標a（5）區(qū)別點的坐標和向量坐標）區(qū)別點的坐標和向量坐標相等向量的坐標是相同的相等向量的坐標是相同的,

3、但起點、終點的坐標可以不同但起點、終點的坐標可以不同(2)0(1,0)0(0,1)0(0,0)iijjij （1）與）與 相等的向量的坐標均為（相等的向量的坐標均為（x, y)a注意：注意：（3）兩個向量）兩個向量 相等的充要條件：相等的充要條件：1122( ,),(,)ax ybxy(6)22axy請回顧本堂課的教學過程，你能說說你學了哪些知識嗎？1.平面向量坐標的加.減運算法則 =( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2)=( x1 , y1) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2)2.平面向量坐標實數與向量相乘的運算法則3.平面向量

4、坐標若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)則 =(x2 - x1 , y2 y1 ) ABa b a b ( , )(,)ax yxy =( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2)a b 2. 如何用坐標表示向量平行如何用坐標表示向量平行(共線共線)的等價條件的等價條件? 會得到什么樣的重要結論會得到什么樣的重要結論?1. 向量向量 與非零向量與非零向量 平行平行(共線共線)的等價條件是有且的等價條件是有且 只有一個實數只有一個實數 , 使得使得abba設設即即 中中,至少有一個不為至少有一個不為0 ,則由則由 得得),(11yxa ),(22yx

5、b ba0,b22, yx01221yxyx01221yxyx這就是說這就是說: 的等價條件是的等價條件是 )0(/bba 新課新課a=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)3、 其中其中 ,a0有且只有一個實數有且只有一個實數，使得，使得ab=即：即：（x2 , y2) =(x1 , y1) =(x1 , y1)所以所以x2=x1y2=y1消去消去得：得： x1y2- x2 y1=0a=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)其中其中x1y2- x2 y1=0abab(0)a 平面向量平面向量共線共線的坐標表示的坐標表示向量共線的充要條件向量共線的充要條件的兩種表示形式的兩種表示形式:x1y2

6、- x2 y1=0(2)a b(a0) a=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)有且只有一個實數有且只有一個實數,使得使得ab=(1)a b(a0) 例例1 1 已知已知 a = =（4 4，2 2）,b=,b=（6 6，y y） 且且a b b，求，求y y的值的值. .解：解： a b b 4y-2 4y-26=06=0 解得解得y=3y=3典型例題典型例題), 1(xa)2 ,( xb例例2 已知點已知點A(1，3)， B(3，13)，C(6，28) 求證：求證：A、B、C三點共線三點共線.證明：證明：AB=(3-1,13-3)=(2,10)AB=(3-1,13-3)=(2,10) B

7、C=(6-3,28-13)=(3,15) BC=(6-3,28-13)=(3,15) 2 225=525=51010 ABBC ABBC 又又 直線直線ABAB、直線、直線BCBC有公共點有公共點B B A A、B B、C C三點共線三點共線 典型例題典型例題例例3:設點設點P是線段是線段P1P2上的一點，上的一點，P1、P2的坐標分別是的坐標分別是 。（1）當點）當點P是線段是線段P1P2的中點時，求點的中點時，求點P的坐標；的坐標；（2）當點）當點P是線段是線段P1P2的一個三等分點時，求點的一個三等分點時，求點P的坐標。的坐標。1122( ,),(,)x yxyxyOP1P2P(1)(1

8、)M1212121()2(,)22 OPOPOPxxyy 解解: (1)所以，點所以，點P的坐標為的坐標為1212(,)22xxyyxyOP1P2P(2)(2)xyOP1P2P例例4:設點設點P是線段是線段P1P2上的一點，上的一點，P1、P2的坐標分別是的坐標分別是 。（1）當點）當點P是線段是線段P1P2的中點時，求點的中點時，求點P的坐標的坐標；（2）當點）當點P是線段是線段P1P2的一個三等分點時，求點的一個三等分點時，求點P的坐標的坐標。1122( ,),(,)x yxyxyOP1P2PxyOP1P2P. 221153 . 22212121PPPPPPPPPPP或有兩種情況，即，的一

9、個三等分點時，是線段，當點）如圖（xyOP1P2P32,323132)(3131212121211212111121yyxxOPOPOPOPOPPPOPPPOPOPPPPP，那么如果），的坐標是（即點32322121yyxxP 直線直線l上兩點上兩點 p1 、 p2，在，在l上取不同于上取不同于 p1 、p 2的任一點的任一點P，則則P點與點與p1 p2的位置有哪幾種情形？的位置有哪幾種情形？ P在之在之 間間21PP1P2PPP在在 的延長線上，的延長線上，21PP1P2PPP在在 的延長線上的延長線上. . 12PP1P2PP 能根據能根據P點的三種不同的位置和實數與向量的積的向量點的三種

10、不同的位置和實數與向量的積的向量方向確定方向確定的取值范圍嗎？的取值范圍嗎？ 0 1 01 存在一個實數存在一個實數，使，使 ，叫做點叫做點P分有向線分有向線段段 所成的比所成的比21PPPP 21PP 設設 ， ，P分分 所成的比為所成的比為 ，如何，如何求求P點的坐標呢？點的坐標呢？ ),(111yxP),(222yxP 21PP),(111yyxxPP ),(),(2211yyxxyyxx ),(222yyxxPP 21PPPP )()(2121yyyyxxxx 112121yyyxxx 112121yyyxxx有向線段有向線段 的的定比分點坐標公式定比分點坐標公式21PP有向線段 的中點坐標公式21PP 222121yyyxxx小 結1.熟悉平面向量共線