高考圓錐曲線解題技巧總結(jié)(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第五篇 高考解析幾何萬能解題套路解析幾何把代數(shù)的演繹方法引入幾何學(xué)，用代數(shù)方法來解決幾何問題。與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線有關(guān)的證明問題等，在圓錐曲線的綜合應(yīng)用中經(jīng)常見到。第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1.概念特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時(shí)，首先要判斷焦點(diǎn)位置，焦點(diǎn)F，F(xiàn)的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，而方程中的兩個(gè)參數(shù)，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時(shí)，首先要判斷開口方向； （2）在橢圓中，

2、最大，在雙曲線中，最大，。2.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：（1）橢圓（以（）為例）：范圍：；焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0），四個(gè)頂點(diǎn)，其中長軸長為2，短軸長為2；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。（2）雙曲線（以（）為例）：范圍：或；焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0），兩個(gè)頂點(diǎn)，其中實(shí)軸長為2，虛軸長為2，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長相等時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；兩條漸近線：。 （3）拋物線（以為例）：范圍：；焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn)，其中的幾何

3、意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；對(duì)稱性：一條對(duì)稱軸，沒有對(duì)稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)（0,0）；準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線； 離心率：，拋物線。3直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：判斷的大小。特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線相交,但只有一個(gè)交點(diǎn)；如果直線與拋物線的軸平行時(shí),直線與拋物線相交,也只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）過雙曲線1外一點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下：P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸

4、近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線。4、焦半徑（圓錐曲線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離）的計(jì)算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑，其中表示P到與F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。5、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，分別為A、B的縱坐標(biāo)，則，特別地，焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長的計(jì)算，一般不用弦長公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑

5、之和后，利用第二定義求解。 例 過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，旦|AB|=8，求傾斜角特別提醒：因?yàn)槭侵本€與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對(duì)稱問題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)！第二部分：解析幾何萬能解題套路 解析幾何把代數(shù)的演繹方法引入幾何學(xué)，用代數(shù)方法來解決幾何問題。正是在這一設(shè)想的指引下，笛卡兒創(chuàng)建了解析幾何的演繹體系。高考解析幾何剖析：1、很多高考問題都是以平面上的點(diǎn)、直線、曲線（如圓、橢圓、拋物線、雙曲線）這三大類幾何元素為基礎(chǔ)構(gòu)成的圖形的問題；2、演繹規(guī)則就是代數(shù)的演繹規(guī)則，或者說就是列方程、解方程的規(guī)則。有了以上兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)，我們可以毫不猶豫地下這么一個(gè)

6、結(jié)論，那就是解決高考解析幾何問題無外乎做兩項(xiàng)工作：1、幾何問題代數(shù)化。2、用代數(shù)規(guī)則對(duì)代數(shù)化后的問題進(jìn)行處理。二、高考解析幾何解題套路及各步驟操作規(guī)則步驟一：（一化）把題目中的點(diǎn)、直線、曲線這三大類基礎(chǔ)幾何元素用代數(shù)形式表示出來（“翻譯”）；口訣：見點(diǎn)化點(diǎn)、見直線化直線、見曲線化曲線。1、見點(diǎn)化點(diǎn)：“點(diǎn)”用平面坐標(biāo)系上的坐標(biāo)表示，只要是題目中提到的點(diǎn)都要加以坐標(biāo)化；2、見直線化直線：“直線”用二元一次方程表示，只要是題目中提到的直線都要加以方程化；3、見曲線化曲線：“曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）”用二元二次方程表示，只要是題目中提到的曲線都要加以方程化；步驟二：（二代）把題目中的點(diǎn)與直線、

7、曲線從屬關(guān)系用代數(shù)形式表示出來；如果某個(gè)點(diǎn)在某條直線或曲線上，那么這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就可代入這條直線或曲線的方程。口訣：點(diǎn)代入直線、點(diǎn)代入曲線。1、點(diǎn)代入直線：如果某個(gè)點(diǎn)在某條直線上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入這條直線的方程；2、點(diǎn)代入曲線：如果某個(gè)點(diǎn)在某條曲線上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入這條曲線的方程；這樣，每代入一次就會(huì)得到一個(gè)新的方程，方程逐一列出后，這些方程都是獲得最后答案的基礎(chǔ)，最后就是解方程組的問題了。在方程組的求解中，有時(shí)候能夠直接求解，如果不能直接求解的，則采用下面這套等效規(guī)則來處理可以達(dá)到同樣的處理效果，并讓方程組的求解更簡(jiǎn)單，具體過程：1、點(diǎn)代入這兩個(gè)點(diǎn)共同所在的直線：把這兩個(gè)點(diǎn)共同所在直線用點(diǎn)斜式方

8、程（如）表示出來，將這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入這條直線的方程；2、將這條直線的方程代入這條曲線的方程，獲得一個(gè)一元二次方程；3、把這個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不等于零的條件列出來；4、把這個(gè)一元二次方程的判別式列出來；5、把這個(gè)一元二次方程的根用韋達(dá)定理來表示（這里表示出來的實(shí)際上就是這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（可設(shè)而不求）之間的相互關(guān)系式）。步驟三：（三化）圖形構(gòu)成特點(diǎn)的代數(shù)化，或者說其它附加條件的代數(shù)化。前面幾個(gè)步驟構(gòu)成了解決所有問題的基礎(chǔ)。在解析幾何題目里，事實(shí)上就是附加了一些特殊條件的問題，如我們可以附加兩條直線垂直的條件，也可以附加一條直線與一條曲線相切的條件，等等，當(dāng)然，我們不用太擔(dān)心，這些條件都

9、是與我們教材上的基本數(shù)學(xué)概念相對(duì)應(yīng)的，它們分別與一個(gè)或一組固定模式的方程相對(duì)應(yīng)，而且，通過少數(shù)幾條通用規(guī)則就可以把所有這些方程羅列出來。而我們要做的，就是針對(duì)這些特定條件選擇合適的通用規(guī)則來列方程。這個(gè)步驟涉及的主要通用規(guī)則：1、 兩點(diǎn)的距離 2、兩個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) 3、兩條直線垂直 4、兩條直線平行 5、兩條直線的夾角 6、點(diǎn)到直線的距離7、正余鉉定理及面積公式 8、向量規(guī)則 9、直線與曲線的位置關(guān)系把直線方程代入曲線方程，得形如的一元二次方程：當(dāng)時(shí)，直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線相切；當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，或當(dāng)時(shí)，直線與曲線無交點(diǎn)；這個(gè)步驟的處理關(guān)鍵是根據(jù)條件的特點(diǎn)選擇適當(dāng)

10、的通用規(guī)則組合。步驟四：（四處理）按答案的要求解方程組，把結(jié)果轉(zhuǎn)化成答案要求的形式。一般情況步驟1、2、3 完成后，會(huì)得到一組方程，而答案就是這組方程組的解。這個(gè)步驟就是方程組的求解了，解方程組實(shí)際上就是用加減乘除四則混合運(yùn)算以及乘方、開方等來消除方程的參數(shù)。不過，這里我們也給出三條消參的原則：1、把方程中的所有未知量都視為參數(shù)。比如，如果某個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，而都是未知的，我們把它們都視為方程組的參數(shù)。2、消參的原則是，把與答案無關(guān)的參數(shù)消去，留下與答案有關(guān)的參數(shù)?；蛘哒f在解方程組的時(shí)候，用與答案有關(guān)的參數(shù)來表示與答案無關(guān)的參數(shù)。3、消參完成后，把結(jié)果表示成答案要求的形式。例題分析：2011年全國

11、卷理（21）文科（22）（本小題滿分12分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓 在軸正半軸上的焦點(diǎn)，過且斜率為的直線與交與兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足.(I)證明：點(diǎn)在上；(II)設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：四點(diǎn)在同一圓上.【命題意圖】本題考查直線方程、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系、曲線交點(diǎn)坐標(biāo)求法及四點(diǎn)共圓的條件?！窘馕觥?I),的方程為代入并化簡(jiǎn)得.   2分設(shè),則   由題意得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.              

12、;                    滿足方程,故點(diǎn)在橢圓上 6分(II)由和題設(shè)知，的垂直平分線的方程為.           設(shè)的中點(diǎn)為的垂直平分線的方程為.             

13、;由、得的交點(diǎn)為.         9分故 又   ,所以 由此知四點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上. 12分【點(diǎn)評(píng)】本題涉及到平面向量，有一定的綜合性和計(jì)算量，相對(duì)來講比較有利的方面，也就是這道題的特點(diǎn)是沒有任何的未知參數(shù)，我們看這道題橢圓完全給出，直線過了橢圓焦點(diǎn)，并且斜率也給出，平時(shí)做題斜率不給出，需要通過一定條件求出來，或者根本求不出來，這道題都給了，這個(gè)跟平時(shí)做的不太一樣，反而同學(xué)不知道怎么下手，完成有難度。這兩問出的非常巧妙，一個(gè)證明點(diǎn)在橢圓上的問題，還有一個(gè)四點(diǎn)共圓，

14、這都是平時(shí)很少涉及到的解析幾何本質(zhì)的內(nèi)容。讓學(xué)生掌握解析幾何的本質(zhì)，其實(shí)就是用代數(shù)方法研究幾何的問題，什么是四點(diǎn)共圓？首先在同一個(gè)圓上，首先找到圓心，四個(gè)點(diǎn)找圓心不好找，最簡(jiǎn)單的兩個(gè)點(diǎn)怎么找？這是平時(shí)的知識(shí)，怎么找距離相等的點(diǎn)，一定在中垂線，兩個(gè)中垂線交點(diǎn)必然是圓心，找到圓心再距離四個(gè)點(diǎn)距離相等，這就是簡(jiǎn)單的計(jì)算問題，方法確定以后計(jì)算量其實(shí)比往年少。建議：多練多體會(huì)！（2009）（22）（本小題滿分12分）已知橢圓C: 的離心率為 ，過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B 兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為（）求a,b的值；（）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存

15、在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由。（2010文）（20）（本小題滿分12分）設(shè),分別是橢圓E：+=1（）的左、右焦點(diǎn)，過的直線與E相交于A、B兩點(diǎn)，且，成等差數(shù)列。（）求 （）若直線的斜率為1，求b的值。（2012文）（20）（本小題滿分12分）設(shè)拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn)。（I）若BFD=90°,ABD的面積為4，求p的值及圓F的方程；（II）若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值。21(2013課標(biāo)全國，文21)(本小題滿分12分)已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，求|AB|.（2013課標(biāo)全國2理）（20）(本小題滿分12分)平面直角坐標(biāo)系中，過橢圓右焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且的斜率