線性代數(shù)知識點(diǎn)全面總結(jié)演示教學(xué)

1、 矩陣矩陣(j zhn) 矩陣是線性代數(shù)的核心，矩陣的概念、運(yùn)算及理論貫穿線性代數(shù)的始終，對矩陣的理解與掌握要扎實(shí)(zh shi)深入。 理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角(du jio)矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣，以及它們的性質(zhì)。掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置，以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式。正確理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣。掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的概念，正確理解矩陣的秩的概念，熟練掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。了解分塊矩陣及其運(yùn)算。必須會(huì)解

2、矩陣方程?？倧?fù)習(xí)總復(fù)習(xí)第一頁，共61頁。概念(ginin)特殊(tsh)矩陣 mn個(gè)數(shù)aij (i = 1,2,m ; j =1,2,n) 構(gòu)成(guchng)的數(shù)表單位矩陣: 主對角線元素都是1,其余元素都是零的 n 階方陣 E對角矩陣:主對角元素是 其余元素都是零的n階方陣 對稱矩陣:一、矩陣主要知識網(wǎng)絡(luò)圖一、矩陣主要知識網(wǎng)絡(luò)圖12n, ，AT = A反對稱矩陣: AT = A矩陣第二頁，共61頁。運(yùn)算(yn sun)A+B = ( aij + bij)kA= ( kaij )AB = C 其中其中(qzhng)A與B同型的第 i 行是 A 的第 i 列.|A|= detA, A必須(bx

3、)是方陣.伴隨矩陣 n 階行列式的 |A|所有元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣1nijikkj ,mssnmnkcabA,B,C AT: AT112111222212nnnnnnAAAAAAAAA A 第三頁，共61頁。逆矩陣(j zhn)概念(ginin)求法證法(zhn f)如果AB=BA=E,則A可逆， B是A的逆矩陣.用定義用伴隨矩陣分塊對角矩陣|A| 0 , A可逆 .|A| = 0 , A不可逆 .AB = E , A與B互逆.反證法.11AAA 1110000AABB 1110000ABBA 第四頁，共61頁。二、重要二、重要(zhngyo)定理定理1、設(shè)A、B是n階矩陣(j zhn)

4、，則|AB|=|A|B|。2、若A是可逆矩陣(j zhn)，則A的逆矩陣(j zhn)惟一。3、n階矩陣A可逆 |A| 0 R(A)=n A為滿秩矩陣。 4、若AB = E( 或BA =E ), 則B = A-1 。5、若A為對稱矩陣，則AT A 。6、若A為反對稱矩陣，則ATA 。第五頁，共61頁。三、重要三、重要(zhngyo)公式、法則。公式、法則。1、矩陣(j zhn)的加法與數(shù)乘 A + B = B + A ; (A + B ) + C = A + ( B + C ); A + O = O + A = A; A + (A) = O; k(lA) = (kl)A ; (k+l)A =

5、kA+ lA ; k( A + B )= kA + kB ; 1A = A, OA = O 。2、矩陣(j zhn)的乘法(AB)C = A ( BC ) ; (2) A ( B + C ) = AB + AC; ( A + B ) C = AC + BC; (3) (kA)(lB) = (kl)AB; (4) AO =OA = O.第六頁，共61頁。3、矩陣(j zhn)的轉(zhuǎn)置(AT)T = A; (2) (A+B)T = AT+BT;(3)(kA)T =kAT; (4) (AB)T = BTAT.4、矩陣(j zhn)的逆(A-1)-1 = A ; (2) (kA)-1 = k-1A-1

6、;(3) (AB)-1 = B-1A-1; (4) (AT)-1 = (A-1)T .5、伴隨(bn su)矩陣 AA* = A*A = |A|E ; (2) (kA)* =kn-1A* ;(3) (A*)-1 = (A-1)*= |A|-1A; (4) (AT)* = (A*)T .6、n階方陣的行列式|AT| = |A|; (2) |kA| = kn|A| ;(3) |AB| = |A|B| ; (4) |A-1| = |A|-1 ;(5) |A*| = |A|n-1 .第七頁，共61頁。四、典型四、典型(dinxng)例題例題1、方陣(fn zhn)的冪運(yùn)算2、求逆矩陣(j zhn)3、

7、解矩陣方程4、A*題第八頁，共61頁。 方陣方陣(fn zhn)的的行列式行列式 行列式是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)(shxu)工具，在代數(shù)學(xué)(shxu)中有較多的應(yīng)用。 應(yīng)當(dāng)(yngdng)在正確理解n階行列式的概念，掌握行列式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，熟練地計(jì)算3階、4階行列式，也要會(huì)計(jì)算簡單的n階行列式。還要會(huì)運(yùn)用行列式求解n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的n元一次線性方程組。 計(jì)算行列式的基本方法是用按行（列）展開定理，通過降階來實(shí)現(xiàn)，但在展開之前往往先運(yùn)用行列式的性質(zhì)，對行列式作恒等變形，以期有較多零或公因式，這樣可簡化計(jì)算。要熟練運(yùn)用計(jì)算行列式的典型的計(jì)算方法和計(jì)算技巧。第九頁，共61頁。一、行列式主要一、行列式主要(

8、zhyo)知識點(diǎn)網(wǎng)知識點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)圖絡(luò)圖概念(ginin)排列(pili)行列式逆序，奇排列，偶排列一般項(xiàng)是不同行不同列元素乘積的代數(shù)和. D = DT互換行列式的兩行(列)，行列式變號。某行有公因子可以提到行列式的外面。若行列式中某一行(列)的所有元素均為兩元素之和，則 該行列式可拆成兩個(gè)行列式.某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不變。行列式知識點(diǎn)性質(zhì)nnppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212222111211) 1(第十頁，共61頁。展開(zhn ki)計(jì)算(j sun)行展開(zhn ki)列展開10nkikjkDija Aij10nikjkkDija Aij定義法

9、遞推法加邊法數(shù)學(xué)歸納法公式法拆項(xiàng)法乘積法齊次線性方程組有非零解的充要條件克拉默法則應(yīng)用第十一頁，共61頁。二、主要二、主要(zhyo)定理定理1、行列式的展開(zhn ki)定理。111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa= ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin ( i= 1,2,n )= a1jA1j+ a2jA2j + + anjAnj2、行列式展開(zhn ki)定理的推論。 ai1 Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0 ( i j ) a1jA1k+ a2jA2k + + anjAnk = 0 ( j k ) 第十二頁，共61頁。3、非齊

10、次線性方程組克拉默法則(fz)。11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xb a xa xa xb其中Dj ( j = 1,2,n )是把系數(shù)行列式D 中的第j 列的元素用方程組的常數(shù)(chngsh)項(xiàng)替換后得到的n階行列式。1212,nnDDDxx x = .DDD的系數(shù)(xsh)行列式D 0 ， 原方程組有惟一解第十三頁，共61頁。11 1122121 122221 1220,0,00,nnnnnnnnna xa xa xa xa xa x a xa xa xD的系數(shù)行列式則方程組沒有非零解。4、齊次線性方程組的克拉默法則(fz

11、)。 若齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)(xsh)行列式必為零。第十四頁，共61頁。三、重要三、重要(zhngyo)公式公式121 21;、對角行列式nn D= 1(1)221 2( 1).n nnn D= 第十五頁，共61頁。111211122221221211222000000.nnnnnnnnnn aaaaaaaa D=aaaa = a aa、上、下三角行列式。1111212122122111(1)21211000000( 1).nnnnnnnnnnn nnnnaaaaaaaa D=aaaa = a aa第十六頁，共61頁。300ABAA BBm n D=、設(shè) 是階方陣， 是 階方陣，

12、則；0( 1)0AA BB mn D=。12222121111124111()nnijn ijn-n-n-n xxx xxxxxxxx 、范德蒙得行列式。第十七頁，共61頁。四、典型四、典型(dinxng)例題例題1、34階的行列式2、簡單(jindn)的n階行列式3、用公式(gngsh)第十八頁，共61頁。 可逆矩陣可逆矩陣(j zhn)與初等變與初等變換換 矩陣(j zhn)的初等變換是矩陣(j zhn)的一種十分重要的運(yùn)算，他在解線性方程組、求逆矩陣(j zhn)及矩陣(j zhn)理論的探討中都起到了十分重要的作用。 熟練掌握(zhngw)矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)和等價(jià)矩陣的

13、概念，理解矩陣秩的概念，熟練掌握(zhngw)用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。理解齊次線性方程組有非零解充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。深刻理解線性方程組通解的概念，掌握(zhngw)用初等變換求解線性方程組的方法。第十九頁，共61頁。矩陣(j zhn)的初等變換與線性方程組 矩陣(j zhn)的初等變換初 等 方 陣矩 陣 的 秩線 性 方 程 組第二十頁，共61頁。概 念1.對換(du hun)矩陣的i, j兩行（列）.2.用k0乘矩陣(j zhn)的第i行（列）.3.把某i行（列）的k倍加到另一行（列）的對應(yīng)(duyng)元素上去.性 質(zhì)1.初等變換不改變矩陣的秩.

14、2.對A經(jīng)過有限次初等變換得到B，則A等價(jià)B. 用 途求逆， 11AEEAAEEA列行求矩陣A的秩、最簡型、標(biāo)準(zhǔn)形.求線性方程組的解.第二十一頁，共61頁。性 質(zhì)初等方陣都是可逆矩陣，其逆仍然(rngrn)是同種的初等矩陣.對Amn矩陣實(shí)施(shsh)一次行初等變換，相當(dāng)于對A左乘一個(gè)相應(yīng)的 m 階初等方陣；對A實(shí)施(shsh)一次列初等變換，相當(dāng)于對A右乘一個(gè)相應(yīng)的 n 階初等方陣.任何可逆矩陣(j zhn)都可以表為若干個(gè)初等方陣的乘積.概 念對單位矩陣實(shí)施一次初等變換而得到的矩陣稱為初等方陣.三種初等變換對應(yīng)三種初等方陣.第二十二頁，共61頁。 概 念k階子式.秩：矩陣(j zhn)非零

15、子式的最高階數(shù). 性 質(zhì)零矩陣(j zhn)的秩為零.r(A)=r(AT)若B可逆，則r(AB)=r(A).r(A+B) r(A)+r(B)r(AB) minr(A), r(B)r(AB) r(A)+r(B)n若AB=0, 則r(A)+r(B) n第二十三頁，共61頁。AxOAx O 有非零解 r(A)n.求 解1.化系數(shù)(xsh)矩陣為最簡形.2.找等價(jià)的方程組.3.寫通解.bAx bAx 有解 r(A)=r(B).求 解1.把增廣矩陣B化為最簡形.2. 找等價(jià)(dngji)的方程組.3.寫通解.第二十四頁，共61頁。二、重要二、重要(zhngyo)定理定理1、若A 與B等價(jià)(dngji)，

16、則r(A) = r(B). 2、初等矩陣左（右）乘矩陣A，其結(jié)果就相當(dāng)于對A作相應(yīng)(xingyng)的初等行（列）變換。 3、初等方陣均可逆，且其逆仍是同種的初等方陣。 4、若A 與B等價(jià)，則存在可逆矩陣P和Q,使PAQ = B.5、若A可逆，則存在有限個(gè)初等方陣P1,P2,Pl,使 A P1P2Pl 。 6、n 元齊次線性方程組Amnx = 0 有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩r(A) n 。 7、n 元非齊次線性方程組Amnx = b 有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩r(A) 等于增廣矩陣r(A，b) 的秩。第二十五頁，共61頁。三、重要三、重要(zhngyo)公式公式1、矩陣(j z

17、hn)的秩 r(A) = r(AT) ; r(A+B) r(A) + r(B) r(AB) min r(A) r(B) 若P、 Q可逆，則r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)= r(A) r(A), k 0 , (5) r(kA) = 0 , k = 0; A 0(6) r = r(A) + r(B)。 0 B第二十六頁，共61頁。2、用初等變換求逆1()AEEA行變換（）3、用初等(chdng)行變換求A-1B1AB EA B行變換1AEEA列變換1AECCA列變換第二十七頁，共61頁。四、典型四、典型(dinxng)例題例題1、用初等變換求逆和求秩。2、用初等變換求解(qi ji)

18、線性方程組。3、用初等變換求A-1B。第二十八頁，共61頁。 向量向量(xingling)組的線性組的線性相關(guān)性相關(guān)性 向量組的線性相關(guān)性是代數(shù)學(xué)中一個(gè)十分重要的概念，對討論線性方程組解的存在(cnzi)性和解的結(jié)構(gòu)起到了至關(guān)重要的作用。 本章要求理解向量的線性組合和線性表示的概念，深刻理解向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義，會(huì)用向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法。了解向量組的極大無關(guān)組和向量組的秩的概念，會(huì)求向量組的極大無關(guān)組和秩。了解向量組等價(jià)的概念，以及向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系。了解n 維向量空間、子空間、基、維數(shù)、坐標(biāo)等概念。掌握線性方程組解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，正確理解非齊次線性方程組

19、和它所對應(yīng)的齊次線性方程組的解之間的關(guān)系，深刻理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解(tngji)、解空間的概念，熟練求解線性方程組的通解(tngji)。第二十九頁，共61頁。一、向量一、向量(xingling)組的線性相關(guān)性主要知識組的線性相關(guān)性主要知識網(wǎng)絡(luò)圖網(wǎng)絡(luò)圖向量組的線性相關(guān)性n維向量運(yùn)算(yn sun)線性表示(biosh)概念判定線性相關(guān)概念判定線性無關(guān)概念判定充要條件充分條件充要條件充分條件極大無關(guān)組概念求法向量空間概念向量空間的基第三十頁，共61頁。線性方程組Ax = 0初 等行變換(binhun)階梯形有解判定(pndng)總 有 解r(A)r(B)無解 r(A)=r(B)有解r

20、(A)=n僅有零解r(A) 0 （2）用順序(shnx)主子式全大于零； （3）用n個(gè)特征值全大于零； （4）用正慣性指數(shù)p = n； （5）存在可逆矩陣C，使A = CTC 。第五十一頁，共61頁。三、典型三、典型(dinxng)例題例題1、求方陣(fn zhn)的特征值、特征向量。2、方陣(fn zhn)對角化。3、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。4、二次型及矩陣正定性的判定。第五十二頁，共61頁。 線性空間線性空間(kngjin) 線性空間是線性代數(shù)中比較抽象的部分。概念的抽象性、理論的概括性固然增加了學(xué)習(xí)的難度，但是(dnsh)，只要掌握了抽象思維與論證的規(guī)律，我們就可以在更高的視點(diǎn)上觀察并解決某些

21、理論與實(shí)際方面的問題。 它研究的內(nèi)容包括數(shù)及其運(yùn)算、多項(xiàng)式及其運(yùn)算、矩陣（向量）及其運(yùn)算等。研究的方法(fngf)是針對每一種具體對象探索它們運(yùn)算所滿足的各種性質(zhì)，并用以解決本系統(tǒng)內(nèi)的相應(yīng)問題。第五十三頁，共61頁。線性空間線性空間(kngjin)基本基本(jbn)性性質(zhì)質(zhì)子空間子空間(kngjin)一、主要知識網(wǎng)絡(luò)圖一、主要知識網(wǎng)絡(luò)圖集合、數(shù)域、運(yùn)算律集合、數(shù)域、運(yùn)算律常用結(jié)論常用結(jié)論基底基底維數(shù)維數(shù)基向量的個(gè)數(shù)基向量的個(gè)數(shù)基不惟一基不惟一n維空間維空間中任意中任意n個(gè)線性無個(gè)線性無關(guān)向量。關(guān)向量。L(1 1，2 2，, ,s)=1siiik 定義定義第五十四頁，共61頁。坐標(biāo)坐標(biāo)(zubi

22、o)與坐標(biāo)與坐標(biāo)(zubio)變換變換坐標(biāo)坐標(biāo)(zubio)定定義義向量向量(xingling)與與其坐標(biāo)其坐標(biāo)過渡矩陣過渡矩陣坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式1212( ,)( ,) .Ann A保持加法數(shù)乘關(guān)系保持加法數(shù)乘關(guān)系保持線性相關(guān)保持線性相關(guān)（或無關(guān)）的一致性（或無關(guān)）的一致性第五十五頁，共61頁。 設(shè)設(shè)V是一個(gè)非空集合是一個(gè)非空集合,F是一個(gè)數(shù)域是一個(gè)數(shù)域.如果能定義一種如果能定義一種V的元素間的運(yùn)算的元素間的運(yùn)算,叫做加法叫做加法:對于對于V中任意兩個(gè)元素中任意兩個(gè)元素, ,都有都有V中惟一的元素中惟一的元素 之對應(yīng)之對應(yīng); 稱為稱為 與與 的和的和,記為記為 = + .另外另外(ln

23、 wi),還能定義一種數(shù)域還能定義一種數(shù)域F的數(shù)與集合的數(shù)與集合V的元素間的元素間的運(yùn)算的運(yùn)算,叫做數(shù)乘叫做數(shù)乘:對于數(shù)域?qū)τ跀?shù)域F中任一數(shù)中任一數(shù)k及集合及集合V中任一元素中任一元素 ,都有都有V中惟一的元素中惟一的元素與之對應(yīng)與之對應(yīng); 稱為稱為k與與的數(shù)積的數(shù)積,記為記為= k.并且并且,集合集合V在以上兩種運(yùn)算下具有如下性質(zhì)在以上兩種運(yùn)算下具有如下性質(zhì):對于任對于任意意, , V 及及 k,l F,1) + = + ; 2)( + )+ = +( + );3)V中存在零元素,通常(tngchng)記為0,對于任何,恒有 +0= ;4) 對于(duy)V,都有的負(fù)元素V,使+ =0; 5

24、) l = ;6) k(l)=(kl ) (式中是通常的數(shù)的乘法) ; 7)(k + l) = k + l (式中是通常的數(shù)的乘法) ;8) k( + )= k + k ;則稱V為數(shù)域F上的一個(gè)線性空間線性空間.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第五十六頁，共61頁。線性空間線性空間(kngjin)的基本性質(zhì)的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 線性空間線性空間(kngjin)的零元素惟一。的零元素惟一。 性質(zhì)性質(zhì)2 線性空間線性空間(kngjin)中任一元素的負(fù)元素惟一。中任一元素的負(fù)元素惟一。 性質(zhì)性質(zhì)3 設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，則對任何 V及k F ，總有：（i）0 =0； （ii） k0 =0； (iii)當(dāng)k0且 0時(shí)，定有k 0 . 性質(zhì)性質(zhì)4 設(shè)V 數(shù)域F上的線性空間，則對任何kF及V， 總有()()(). kkk第五十七頁，共61頁。 1一組向量 1，2，,s(s2)線性相關(guān)的充分必要條件是有某個(gè)向量i可以(ky)被組中其余s-1個(gè)