文科圓錐曲線大題復(fù)習(xí)

1、 高三數(shù)學(xué)圓錐曲線專題一知識要點1、直線的斜率公式：（為直線的傾斜角）兩種常用的直線方程：（1）點斜式（2）斜截式2、直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種，其判斷方法有：幾何法（常用方法）若圓心到直線的距離為 直線與圓相切 直線與圓相交 直線與圓相離 代數(shù)法 由直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組，消元得到一個一元二次方程，則： 直線與圓相切 直線與圓相離 直線與圓相交 3、圓的弦長 若圓心到弦的距離為.4、圓錐曲線的定義（包括長軸，短軸，實軸，虛軸，離心率，雙曲線的漸近線等)（1）橢圓：（2）雙曲線：（3）拋物線：5、點和橢圓（）的關(guān)系：（1）點在橢圓外；（2）點在橢圓上1；（3）點在橢圓內(nèi)6

2、、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：由直線方程與圓錐曲線聯(lián)立方程組，消元得到一個一元二次方程，則：（1）相交：直線與橢圓相交； 直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有

3、一個公共點時的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點7、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點、，且分別為、的橫坐標(biāo)，則，若分別為、的縱坐標(biāo)，則，若弦所在直線方程設(shè)為，則二例題分析題型1：圓錐曲線定義的問題例題1.（07年廣東高考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在第二象限，半徑為的圓與直線相切于坐標(biāo)原點，橢圓與圓的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為（1）求圓的方程；（2）試探究圓上是否存在異于原點的點，使到橢圓右焦點的距離等于線段的長若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由變式

4、1：（2012年佛山一模）已知圓，圓，圓,關(guān)于直線對稱.（1）求直線的方程；（2）直線上是否存在點，使點到點的距離減去點到點的距離的差為，如果存在求出點坐標(biāo)，如果不存在說明理由.變式2：（2013年廣州一模）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，兩個焦點分別為，點在橢圓上，過點的直線與拋物線交于兩點，拋物線在點處的切線分別為， 且與交于點.(1) 求橢圓的方程；(2) 是否存在滿足的點? 若存在，指出這樣的點有幾個（不必求出點的坐標(biāo)）； 若不存在，說明理由.題型2:圓錐曲線的定值問題例題2：（2011年佛山二模）已知橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）為橢圓的左右頂點，直線與軸交于點，點是橢圓

5、上異于的動點，直線分別交直線于兩點.證明：當(dāng)點在橢圓上運動時，恒為定值.變式1：（2011年佛山一模）橢圓上任一點到兩個焦點的距離的和為6，焦距為，分別是橢圓的左右頂點.（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若與均不重合，設(shè)直線與的斜率分別為，證明：為定值；題型3：直線與圓的位置關(guān)系問題例題3.（2011年廣州一模）動點與點的距離和它到直線的距離相等，記點的軌跡為曲線圓的圓心是曲線上的動點, 圓與軸交于兩點，且. （1）求曲線的方程； （2）設(shè)點2,若點到點的最短距離為,試判斷直線與圓的位置關(guān)系, 并說明理由.變式1：（2013年佛山一模）已知，（1）若，求的外接圓的方程；（2）若以線段為直徑的圓過點（異

6、于點），直線交直線于點，線段的中點為，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論題型4：直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題例題4.（2012年高考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點為，且點在上（1） 求橢圓的方程；（2） 設(shè)直線與橢圓和拋物線相切，求直線的方程變式1（11惠州二模）已知橢圓：的離心率為，過坐標(biāo)原點且斜率為的直線與相交于、，求、的值；若動圓與橢圓和直線都沒有公共點，試求的取值范圍題型5：圓錐曲線的相關(guān)最值（范圍）問題例題5.（2013年廣東高考）已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為設(shè)為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點(1) 求拋物線的方程；(2) 當(dāng)點為直線上的定

7、點時，求直線的方程；(3) 當(dāng)點在直線上移動時，求的最小值變式1：（2010年廣州一模）已知動點到定點的距離與點到定直線：的距離之比為（1）求動點的軌跡的方程；（2）設(shè)、是直線上的兩個點，點與點關(guān)于原點對稱，若，求的最小值變式2：（2010年佛山一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，過點作拋物線的切線，其切點分別為、（其中）（）求與的值；（）若以點為圓心的圓與直線相切，求圓的方程；（）過原點作圓的兩條互相垂直的弦，求四邊形面積的最大值.題型6：綜合性問題例題6.（2012年廣州一模）已知橢圓的左、右兩個頂點分別為、曲線是以、兩點為頂點，離心率為的雙曲線設(shè)點在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交于另一

8、點（1）求曲線的方程；（2）設(shè)點、的橫坐標(biāo)分別為、，證明：；（3）設(shè)與（其中為坐標(biāo)原點）的面積分別為與，且，求 的取值范圍參考答案例1、解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為（m，n）（m<0，n>0），則該圓的方程為已知該圓與直線yx相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則2即4， 又圓與直線切于原點，將點（0，0）代入，得m2n28 聯(lián)立方程和組成方程組解得，故圓的方程為（2）5，a225，則橢圓的方程為其焦距c4，右焦點為（4，0），那么4要探求是否存在異于原點的點Q，使得該點到右焦點F的距離等于的長度4，我們可以轉(zhuǎn)化為探求以右焦點F為頂點，半徑為4的圓與（1）所求的圓的交點數(shù)通過聯(lián)立兩

9、圓的方程解得x，y即存在異于原點的點Q（，），使得該點到右焦點F的距離等于的長變式1、解：（1）因為圓,關(guān)于直線對稱，圓的圓心坐標(biāo)為，圓的圓心坐標(biāo)為， 2分顯然直線是線段的中垂線， 3分線段中點坐標(biāo)是，的斜率是， 5分所以直線的方程是，即. 6分（2）假設(shè)這樣的點存在，因為點到點的距離減去點到點的距離的差為，所以點在以和為焦點，實軸長為的雙曲線的右支上， 即點在曲線上， 10分又點在直線上， 點的坐標(biāo)是方程組的解， 12分消元得，方程組無解，所以點的軌跡上是不存在滿足條件的點. 14分變式2、(1) 解法1：設(shè)橢圓的方程為,依題意: 解得: 2分 橢圓的方程為. 3分解法2：設(shè)橢圓的方程為，根

10、據(jù)橢圓的定義得，即， 1分， . 2分 橢圓的方程為. 3分(2)解法1：設(shè)點,，則，三點共線,. 4分, 化簡得：. 5分由,即得. 6分拋物線在點處的切線的方程為，即. 7分同理，拋物線在點處的切線的方程為 . 8分 設(shè)點，由得：，而，則 . 9分代入得 ， 10分則，代入 得 ，即點的軌跡方程為. 11分若 ，則點在橢圓上，而點又在直線上，12分直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點,直線與橢圓交于兩點. 13分解法2：設(shè)點,，由,即得. 4分拋物線在點處的切線的方程為，即. 5分， .點在切線上, . 6分同理， . 7分綜合、得，點的坐標(biāo)都滿足方程 . 8分經(jīng)過兩點的直線是唯一的，直線的方程為， 9分點

11、在直線上， . 10分點的軌跡方程為. 11分若 ，則點在橢圓上，又在直線上，12分直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點,直線與橢圓交于兩點. 13分滿足條件 的點有兩個. 14分解法3：顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為， 由消去，得. 4分設(shè),則. 5分由,即得. 6分拋物線在點處的切線的方程為，即. 7分， . 同理,得拋物線在點處的切線的方程為. 8分由解得 . 10分,點在橢圓上. 11分.化簡得.(*) 12分由, 13分可得方程(*)有兩個不等的實數(shù)根. 滿足條件的點有兩個. 14分滿足條件 的點有兩個. 14分例2、解：（1）由題意可知， 1分而， 2分且. 3分解得， 4分所以，橢圓的方程為.

12、 5分（2）.設(shè)， 6分直線的方程為，令，則，即； 8分直線的方程為，令，則，即； 10分 12分而，即，代入上式， 所以為定值. 14分變式1、解：（）由題意得， -1分又，故橢圓的方程為； -3分（）設(shè)，則，即， 則， -4分即， 為定值 -8分例3、(1)解法1: 設(shè)動點的坐標(biāo)為,依題意,得, 即, 2分 化簡得:, 曲線的方程為. 4分 解法2:由于動點與點的距離和它到直線的距離相等， 根據(jù)拋物線的定義可知, 動點的軌跡是以點為焦點,直線為準(zhǔn)線的拋物線. 2分 曲線的方程為. 4分（2）解: 設(shè)點的坐標(biāo)為,圓的半徑為， 點是拋物線上的動點, (). 6分 . ,則當(dāng)時,取得最小值為,

13、8分 依題意得 , 兩邊平方得, 解得或(不合題意,舍去). 10分 ,即. 圓的圓心的坐標(biāo)為. 圓與軸交于兩點，且, . . 12分 點到直線的距離, 直線與圓相離. 14分變式1、解：（1）法1：設(shè)所求圓的方程為，由題意可得，解得，的外接圓方程為，即-6分法2：線段的中點為，直線的斜率為，線段的中垂線的方程為，線段的中垂線方程為，的外接圓圓心為，半徑為，的外接圓方程為-6分法3：，而，的外接圓是以為圓心，為半徑的圓，的外接圓方程為-6分法4：直線的斜率為，直線的斜率為，即，的外接圓是以線段為直徑的圓，的外接圓方程為-6分（2）由題意可知以線段為直徑的圓的方程為，設(shè)點的坐標(biāo)為，三點共線，-8

14、分，而，則，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，-10分直線的斜率為，而，-12分，直線的方程為，化簡得，圓心到直線的距離，所以直線與圓相切 -14分例4、解：(1):依題意：c=1,1分則：,2分設(shè)橢圓方程為：3分將點坐標(biāo)代入，解得：4分所以 故橢圓方程為：5分（2）設(shè)所求切線的方程為：6分消除y7分化簡得：8分同理：聯(lián)立直線方程和拋物線的方程得：消除y得： 9分化簡得： 10分將代入解得：解得：12分故切線方程為：14分變式1、解：（1）證明：將，消去x，得 3分由直線l與橢圓相交于兩個不同的點，得所以 5分（2）解：設(shè)由，得 7分因為 8分所以， 消去，得 化簡，得 11分因F是橢圓的一個焦點，則c

15、=1，b2=a21 代入式，解得 13分所以，橢圓的方程為 14分例5、【解析】（1）依題意，解得（負(fù)根舍去）拋物線的方程為；（2）設(shè)點,，由,即得. ks5u拋物線在點處的切線的方程為，即. ， .點在切線上, . 同理， . 綜合、得，點的坐標(biāo)都滿足方程 . 經(jīng)過兩點的直線是唯一的，直線 的方程為，即；（3）由拋物線的定義可知，所以聯(lián)立，消去得， 當(dāng)時，取得最小值為 變式1、（1）解：設(shè)點，依題意，有 整理，得所以動點的軌跡的方程為 （2）解：點與點關(guān)于原點對稱，點的坐標(biāo)為 、是直線上的兩個點，可設(shè)，（不妨設(shè)），即即由于，則， 當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立故的最小值為變式2、解析：（）由可得，

16、-1分直線與曲線相切，且過點，即， ，或， ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u-3分同理可得：，或 ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5

17、uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u-4分， ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u-5分（）由（）知，,，則直線的斜率，-6分直線的方程為：，又，即k

18、s5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u-7分點到直線的距離即為圓的半徑，即， - ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5

19、uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u-8分故圓的面積為 ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u-9分（）四邊形的面積為不妨設(shè)圓心到直線的距離為，垂足為；圓心到直線的距離為，垂足

20、為；則 ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u-10分由于四邊形為矩形.且 -11分所以由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立. -14分例6、(1)解：依題意可得，A(1，0)、B(1，0)， 1分設(shè)雙曲線C的方程為，因為雙曲線的離心率為，所以，即b=2.所以雙曲線C的方程為. 3分(2)證法1：設(shè)點P(x1，y1)，T(x2，y2)，(xi>0，yi>0，i=1，2)，直線AP的斜率為k(k>0)，則直線AP的方程為y=k(x+1). 4分聯(lián)立方程組， 5分整理，得(4+k2)x2+2k2