橢圓大題中的向量問題—基礎篇

1、橢圓中的向量問題、基礎知識部分：向量的數(shù)量積運算、垂直關系 &角度判斷、橢圓內的平行四 邊形問題.1.向量的數(shù)量積問題記點P t,0是x軸上的一點,Xi，yi、B X22是直線l : y kx m （ l不經(jīng)過橢圓的兩個交點，則2 2的頂點）和橢圓仔與i a ba buuu urnPA PB計算過程可分為以下三步:urn uun寫出向量的坐標（末初），并將PA PB表示成f XiX2,Xi X2的形式II .IIIuiu uun PA PB聯(lián)立直線聯(lián)立則Xi.將Xiuun 二 PAX t,yiX2 t,y2k2 i xix2 km tl和橢圓，得出x1x2X t, kx mx2 t,

2、kx2mXiX2f1 k,m2 x2 m t,XiX2f2 k,m ；yb2kx2XX2X2 ,UUUPBma2y2a2b222kma2 2 72， a k bXiX2XiX2代入式中,得 a2k22 2 2 2 2 2b x 2kma x a m b 0,b2burn uu得到 PA PB g k,muuuPAuuiPB轉化為含k,m的式子2 2,2 2a m b2kmak i km ta k ba k bm2t22.222-2 . 22a b m a b k i2kmta2ta k ba k b其中I、II兩步可以互換順序uun uuu 2 同理，若點 P 0,t，則PA PB t2222

3、222a b m a b k i2mtb222722 2 r;a k ba k b2.2 2 2. 2 . 2 4 uuu urna b m a b k i特殊情況：當P為原點O時，OA OBa k b基礎練習：請按照以下條件作答22y 1交于A、B兩點,X1已知斜率為k的直線I經(jīng)過點1,0與橢圓一2uuu uuu(1) 若點0為原點，請寫出 OA OB關于斜率k的關系式;UUCI(2)已知點P 2,0，請寫出PAuuuPB關于斜率k的關系式;2 20),2 若斜率為k的直線I經(jīng)過點0,2與橢圓 y 1交于A B兩點(注意32(1) 若點O為原點，請寫出OA 0B關于斜率k的關系式；UUU U

4、JU(2) 若點P 1,0，請寫出PA PB關于斜率k的關系式；(3) 若點P 2,0，請寫出PA PB關于斜率k的關系式;1.1求向量數(shù)量積的問題2 2C : x_ y_43UJUPB關于直線例1:已知橢圓(1)UUU寫出PA(給出點 P的坐標)1 ,直線I經(jīng)過C的右焦點I的斜率k的關系式;ULWPAF與橢圓交于A B兩點，點P 3,0uuuPB7k2154k23若iun PAUULPB22,求直線I的方程；(y x7UUIujt求UUL UUD若OAOB2 ,PA PB的值；/ 2(k 2 ,求UjnUULulu uui7PAPB白勺取值范圍1；( PA PB-,5 )4UUUuur24U

5、iu ULUI若APPBW ,求PA PB的取值范圍；7記D、E分別為橢圓C的左右頂點,lultUULUUJuurI的方程;若ADEBAEDB90，求直線7mrUJLuuuuurluit uuu求ADEBAEDB的取值范圍.(AD EB(2)1)(3)(5)(6)(y.uuuAEuuu PAk2 >UULPB29 )11UJUDBUULPAUUUPB21,162練習1.12x1 已知橢圓4y21的離心率e ，若直線I2y kx 2與橢圓恒有兩個不同的交uur inn一點A、B且OA 0B 2，求k的取值范圍.2 22.已知橢圓|冷1的左焦點為F，設A B分別為橢圓的左右頂點，過點F且斜率

6、為kUULT UUI的直線與橢圓交于 C、D兩點，若AC DBUJIT UUTAD CB 8，求k的值.1.2動點分析問題（直線I過橢圓頂點的問題）2 2以I經(jīng)過橢圓務爲1 a b 0的左頂點A a,0為例.a b設I : y k x a且I過點A與橢圓交于點B x2,y2 ,聯(lián)立y2bk x a2 2 2 2 2 'x a y a b 0得2. 2.2a kb2 x44 22k a x a k2.2ca b0,422,2,23 2小2a k a b得aba k2abkax2x22，y22 :a k ba kba kb即點Bab2 a3k2 2ab2ka2k2_b2 ,a2k2 b2動

7、點分析問題的過程如下：I .分析問題中涉及的動點；II 按難易程度，通過聯(lián)立的方法用直線斜率k表示出問題中所涉及的動點坐標;III 按照目標向量所涉及的點，將向量坐標運用直線斜率k表示出來；IV 將向量的數(shù)量積運用含 k的式子表示出來.2例2:如圖，橢圓E : y2 1，記A B為橢圓的左右頂點，點C為橢圓的上頂點，直4線I經(jīng)過點C與橢圓交于另一點 D，并與x軸交于點P，直線AC與BD相交于點8k、D1 4k24k214kkQ 當點P異于點B時.(1 )記k為直線I的斜率，用k表示點P、D的坐標；(P(2) 用k表示出IbD的斜率；(kBD空_-)4k 2(3) 用k表示出點Q的坐標；(Q 4

8、k,2k 1 )Luuriur,uuu luruuu(4) 用k表示出OP、OQ的坐標，并求 OP OQ ( OPuur uuirOP OQ 4)練習1.2:2Xr1.已知橢圓C :y 1，若F為橢圓C的右焦點，經(jīng)過橢圓的上頂點B的直線I與橢圓2另一個交點為 A，且滿足BA BF=2(1) 用直線I的斜率k表示點A的坐標；(2) 用含k的式子表示BA的坐標，同時表示出 BF的坐標；uu uuu(3) 用含k的式子表示BA BF，構建方程f k 2 ；(4) 解出k的值，寫出直線I的方程X 22已知橢圓 y 1若C、D分別是橢圓長軸的左右端點，動點M滿足MD CD，連接2UULUl UUD ，亠

9、CM交橢圓于點P，證明：OM 0P為定值.(1) 記直線Icm的斜率為k，用含k的式子表示出點 M的坐標；(2) 用含k的式子表示出點 P的坐標；”UUU ULUU ，一(3) 用含k的式子分別表示出 OP、OM的坐標；LULU UUU(4) 證明OM OP為定值.2X23.已知橢圓y 1，點A 2,0 ，設直線I過點A與橢圓交于另一點 B，點Q(0,y°)在4LUU UUU線段AB的垂直平分線上，且 QA QB 4，求y0的值.(1) 設直線I的斜率為k，用含k的式子表示點B的坐標；(2) 用含k的式子表示出 AB的中點坐標，并寫出 AB的中垂線方程；(3) 用含k的式子表示出點

10、Q的坐標；UUU UUU(4) 用含k的式子分別表示出 QA , QB ；(5) 運用QA QB f k 4，求直線I的方程，并求出點 Q的坐標.2數(shù)量積問題的延伸一一垂直問題和角度判斷問題2.1直線的垂直問題，可以轉換為向量的數(shù)量積為零的問題.22x y記點P t,0是x軸上的一點，A xi,yi、B X2, y2是直線l : y kx m和橢圓 1 a b 0的兩個交點，由之前的討論可知，uuuPAPB t2 a bm abk 12 kmta2PB t22 222 2 ，a k ba k bum uuu例3:如圖，記A為橢圓2xa221 a b 0的上頂點，b為橢圓的兩焦點，B"

11、B2分別為OF、OF2的中點,F、F2QB2，求直線I的方程.若 PA PB，貝U PA PB 0 . AB?是面積為4的直角三角形.(1 )求橢圓的標準方程和離心率；(2)過點B,作直線I與橢圓相交于P、Q兩點，若PB2練習2.12X 21. 已知橢圓C :y 1 , Fp F2分別為橢圓的左、右焦點，若過點F2的直線I與橢圓C2uuir uuir一相交于P、Q兩點，且FP FQ，求直線I的方程.2 已知橢圓G : y2 1，短軸上、下頂點分別為 A B，若C、D是橢圓G上關于y軸2對稱的兩個不同點， 直線BC與x軸交于點M ,判斷以線段MD為直徑的圓是否過點 A , 并說明理由.2x3如圖

12、，已知橢圓一421，設點P、Q分別是橢圓和圓0上2與y軸的交點記為 M、N，試證明 MQN為直角.位于y軸兩側的動點，若直線PQ與x軸平行，直線AP、BP2.2角度問題判斷角度為鈍角、直角還是銳角,以及點與圓的位置關系.若 APB 90°,則 cos APB點P在以AB為直徑的圓外.若 APB 90°，則 cos APB點P在以AB為直徑的圓上.若 APB 90°，則 cos APBuuu PBuiu PAUJO PBcosAPB0uni PBuuu PAUJU PBcosAPB0ULUIPBUUL PAUJU PBcosAPB0uur PAuur PAuur P

13、A點P在以AB為直徑的圓內角度判斷2X21的左、右焦點，設過定點M 0,2的直線I與橢圓交例4：記Fi、F2分別是橢圓y4于同的兩點A B，且AOB為銳角，求直線I的斜率k的取值范圍.練習2 21.已知點F是橢圓1的右焦點，0為坐標原點，設過點 F ,斜率為k的直線I交432 2 2橢圓于A B兩點，若OA OB AB ，求k的取值范圍.2X22 設A B分別為橢圓 一y 1的左、右頂點，設 P為直線x 4上不同于點 4,0的任意4一點，若直線 AP與橢圓相交于異于 A的點M，證明：AMBP為鈍角三角形.222點與圓的位置關系問題2 2例5:已知橢圓E : X + y=1，設直線x = my-

14、1,(m?R)交橢圓E于A B兩點，判斷點9G(-_,0)與以線段AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由.4練習2x1 已知橢圓32y21，直線1經(jīng)過橢圓右焦點F與橢圓相交于A B兩點，試判斷點M (2,0)與以AB為直徑的圓的位置關系.(2)當點P運動時，判斷點 Q與以BP為直徑的圓的位置關系，并 證明你的結論.直線I經(jīng)過點B直線 AP交直線k2為定值；門JI2X22. 已知橢圓C :y 1 , A、B為C的左右頂點,4且I x軸，點P是C上異于A、B的任意一點，1于點Q .(1 )記匕、k2分別為直線OQ、BP的斜率，證明k3 向量線性運算問題向量的共線問題有很多種出題的模式，在這里我們只講

15、解最簡單的一種模型一一橢圓內的平行四邊形問題.2 2、XV記點A X,%、B X2, V2是直線I : y kx m與橢圓21 a b 0的兩交點，a b點 P X3,y3在橢圓上，且四邊形OAPB為平行四邊形，如下圖.聯(lián)立y kxb1 2X2a2k2b222kma xa2 m2 b21 ,X22kma22 2 a k b2 ,y1y2X2X22m22b m2 22，a k b再由平行四邊形的性質可得 OPuuuOAuuu OB ,X3X1X2 , 乂 %V，則點P22kmaa2k222b m2 272b2，a2k2 b將點P代入橢圓中可得2244k m aa2k2424b m21 ，2 2

16、2 2a k b4m2a2k2 b21，得4m2在橢圓方程已知的情況下(1)(2)當直線I過定點，或直線斜率確定，若直線I不過定點，也未知直線斜率，我們可以得到我們可以求出直線的方程；k,m的關系，結合 0 ,我們可以求出OP、 AB、點O到直線I的距離d , AOB或平行四邊形 OAPB的面積等幾何量的取值范圍.(3)若點P在以OA、OB為鄰邊的平行四邊形的對角線上，則uuu uuu luinOP OA OB，可以得出,這也是一個很有用的結論.OA、OB為令鄰P，使得當I繞P的坐標和直線例6:已知橢圓C: '乂 1，直線I經(jīng)過點P 0,1交橢圓于A B兩點,32邊做平行四邊形 OAPB，其中頂點P在橢圓上，0為坐標原點.(1) 驗證當直線I斜率k不存在時，是否存在這樣的點 P ;(2) 記直線I的斜率為k，用含k的式子表示x1 x2, y1 y2 ；(3) 由OA OB OOP，將點P的坐標用含k的式子表示；(4) 將點P代入橢圓方程，得到方程 f k 1 ;(5) 解方程，求出直線方程.練習3:2 21.已知橢圓C : y 1，點F為橢圓的右焦點，則橢圓上是否存在點32點F轉動到某一位置時，四邊形 OAPB為平行四邊形？若存在，求出點方程；反之，請說明理由.2已知橢圓C :2X 27 y1，直線I過點M2,0與橢圓相交于A、B兩點，點，且滿足Ouu uu