橢圓綜合測試題

1、橢圓測試題、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分）2 x2y 2 x2y2亠x2y_(A)1(B)1或959559222222xy xyxy(C)1(D)1或3620362020362、動點P到兩個定點F1 (- 4 , 0)、F2 (4 0)的距離之和為1、離心率為-，長軸長為6的橢圓的標準方程是（）3118，貝U P點的軌跡為（A.橢圓C.直線 F1F2D3、已知橢圓的標準方程A.（.10,0）2 2x y4、已知橢圓59A2 52,E x5、如果一2aA.（ 2,32ya 2)B.線段F1F22y 彳x1,10B.(0,、両則橢圓的焦點坐標為C.(0, 3)1上一點P到橢圓的

2、一焦點的距離為B.2C.31表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)B. 2, 12,C.(不能確定D.( 3,0)3，則P到另一焦點的距離是（D.6a的取值范圍為（,1) (2,)D.任意實數(shù)6、 關(guān)于曲線的對稱性的論述正確的是（）2y0的曲線關(guān)于X軸對稱0的曲線關(guān)于Y軸對稱2y 10的曲線關(guān)于原點對稱8的曲線關(guān)于原點對稱7、A.方程2 xxyB.方程3 x3yC.方程2 xxyD.方程3 x3y22xy2ka2kb方程1 (a> b> 0,k > 0且k工1)與方程2y-1 (a> b > 0)表示的橢圓(bA.有相同的離心率x2已知橢圓C : 2aA、B兩點若B.有共

3、同的焦點2xaC.有等長的短軸長軸D.有相同的頂點(A) 12yuLLuAF1(a> b> 0)的離心率為ULU3FB，則 k ()(B)2丄3，過右焦點F且斜率為k（k> 0）的直線與C相交于2(C)-.3(D) 2A. 45B.-5C.2D.51510、若點0和點F分別為橢圓2 xy21的中心和左焦點，占八、P為橢圓上的任意點，則43值為（）A. 2B.3C.6D.89、若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是（）uuu uuuOPgFP的最大2 2x y11、橢圓一2- 1 a> b>0的右焦點為F,其右準線與x軸的交點為 A 在

4、橢圓上存在點 P滿足線段a bAP的垂直平分線過點F,則橢圓離心率的取值范圍是（）（A）（ 0，（ B） （0, 1（ C） -2 1 , 1）（ D）丄,D2 2 212 若直線y x b與曲線y 34xx2有公共點，則b的取值范圍是（）A. 1 2、.2,1 2 2B. 1、.2,3C.-1,1 2、, 2D. 12,2 ,3二、填空題：（本大題共5小題，共20分.）13若一個橢圓長軸的長度短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 2 2X y14 橢圓1上一點P與橢圓兩焦點F1, F2的連線的夾角為直角，貝U RtA PF1F2的面積為 .492415 已知F是橢圓C的一個焦點，B

5、是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D , 且BF 2FD，貝U C的離心率為2x16已知橢圓c:y22圍為21,則IPF1I+PF2I的取值范1的兩焦點為F1, F2，點 P（x0,y0）滿足0 乂 y22三、解答題:（本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17. （10分）已知點2xM在橢圓一251上，m p'垂直于橢圓焦點所在的直線，垂足為P',并且M為線段P P'的中點，求P點的軌跡方程2 245）的焦點分別是F1和F2，已知橢圓的離心率 eO作直18.(12 分)橢圓 x 1(045 m線與橢圓交于 A, B兩點，O為原點，若V

6、ABF2的面積是20,求：（1） m的值（2）直線AB的方程2 2X y19 (12分)設(shè)Fi, F2分別為橢圓2 1 (a b 0)的左、右焦點，過 F2的直線l與橢圓C相交a b于A, B兩點，直線I的傾斜角為60°, F1到直線l的距離為2、3.(I)求橢圓C的焦距；ujununn(n)如果 AF2 2F2B,求橢圓C的方程.20 (12分)設(shè)橢圓C2 X2a2占1(a b 0)的左焦點為F,過點F的直線與橢圓C相交于A , B兩點,uuurmu直線I的傾斜角為60°, AF 2FB .(I) 求橢圓C的離心率；15(II) 如果|AB|=，求橢圓C的方程.421 (

7、12分)在平面直角坐標系xOy中，點B與點A (-1,1 )關(guān)于原點0對稱，P是動點，且直線 AP與BP1的斜率之積等于 .3(I )求動點P的軌跡方程;(n)設(shè)直線ap和bp分別與直線x=3交于點M,N,問：是否存在點P使得 PAB與厶PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。2 2xy22 （12分）已知橢圓2a b1 (a>b>0)的離心率e=3，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的2面積為4.(I)求橢圓的方程；(n)設(shè)直線I與橢圓相交于不同的兩點 A、B，已知點A的坐標為(-a, 0)(i)若| AB|=，求直線I的傾斜角；5(ii)若點Q(0, y0)在線

8、段AB的垂直平分線上，且 QA?QB 4 求y0的值.橢圓參考答案B作BE垂直于AA 1與E，由第二定義得,YF =3FB1選擇題:題號123456789101112答案BBCCBCABBCDD8【命題意圖】本試題主要考察橢圓的性質(zhì)與第二定義【解析】設(shè)直線I為橢圓的有準線，e為離心率，過 A，B分別作AA 1，BB1垂直于I, A1, B為垂足，過-|BF|AB|=4|BFtan *_BA£ - J5故選B.即k=2Xo42Yq3,解得 y°23(1uunuuuuuu因為FP(Xq 1,y。），OP（by。），所以O(shè)Puuu uur=OP FPXq(Xq1)3(12 2X。

9、、Xq)-Xo3 ,10【解析】由題意，F(xiàn)（-1， 0），設(shè)點P（x0, y0），則有uuuFPXo(Xo 1)2y。此二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的對稱軸為Xo2，因為Xo2，所以當Xouuu2 時，OPuuuFP取得最大值二 2 36，選Co422華：攻咗軸為2務(wù) 罷軸為"！離距為2d Jl 2 + 24 = 2 «印。士亡=4(d: -j*)墜邏得” 5c' *=0 » 5P加十加-了二0 n g二或夕二-1潔八選B【命題意圖】本題考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積的坐標運算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值 等，考查了同學(xué)們對基礎(chǔ)知識的熟練程序以及知識的綜合

10、應(yīng)用能力、運算能力。11 解析：由題意，橢圓上存在點P,使得線段AP的垂直平分線過點 F ,即F點到P點與A點的距離相等2 a 而 | FA =cb2 cc| PF| a c, a+ c于是 a c, a+ cc即 ac c2 w b2< ac+ c22 2 2ac ca c2 2 2a cac c又 e (0, 1)故 e 1,12答案：D12 （2010湖北文數(shù)）9若直線yx b與曲線y 3 . 4x x2有公共點，貝U b的取值范圍是A. 12、2,12 .2 B.1. 2 ,3C.-1,1 2 2D. 1 2 2 ,3【解析】曲進芳程可化閒利”2）口。-幼%!勺"*開表

11、示團小為0 3）半徑垢的半國 依據(jù)數(shù)形結(jié)合，當直綻尸丸“與此半悒惻時須満足顏？ 2 3）到直線距離等干匕辭得bL近趾忑,因?qū)澥荈半XI十2邁（舍）當直線過（U，舗時解得 y故1-2忑勺三3,所UAD正確存、填空題：（本大題共4小題，共16分.）13若一個橢圓長軸的長度短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 2 2X y14 橢圓1上一點P與橢圓兩焦點F1, F2的連線的夾角為直角，貝U RtA PF1F2的面積為 492415 （2010全國卷1文數(shù)）（16）已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交Cuiruur于點D ,且BF 2FD，則C的離心率為【命題意圖

12、】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識，考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想，本題凸顯解析幾何的特點：“數(shù)研究形，形助數(shù)”，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡化問題的捷徑.【解析1】如圖，IBF I b2 c2 a,作DD1uiry軸于點D1,則由BFuir2FD，得|OF |DDi |IBF IIBDI2，所以IDD133c即Xd,由橢圓的第二定義得2|FD|e叵 3C)c 2又由 |BF | 2|FD |,得 a 2a3c22X【解析2】設(shè)橢圓方程為第一標準形式飛a2b2Xc0 2x2X2332xc 2c； ycb 2y2y294 a24 b216 （2010湖北文數(shù)）15.已知橢圓2X

13、c: 一2IPF1I+PF2I的取值范圍為【答案】2,2 2,0【解析】依題意知，點P在橢圓內(nèi)部畫出圖形,當P在橢圓頂點處時，取到（I PF1 II PF2 I) max 為（£ 1）（2 1）=2 2，故范圍為3c22a3yc b2X2,y23 0b2,F分BD所成的比為1的兩焦點為F1 ,F2,點P（Xo, yo）滿足0由數(shù)形結(jié)合可得，當P在原點處時(I PF1 |22 $ 因為（by。）在橢圓21的內(nèi)部,則直線上的點（x, y）均在橢圓外，故此直線與橢圓不可能有交點，故交點數(shù)為二填空題:13314 24155162,2 2,0三.解答題:2X02Y0I PF2 I)maxX X

14、0T yy01x xoy 2 yo17.解：設(shè)p點的坐標為p(x, y), m點的坐標為(Xo,y°)，由題意可知Xo x2 2y y 因為點m在橢圓-y 1上，所以有yo 22592 2xo yo 1259把代入得2 x25236 1，所以P點的軌跡是焦點在y軸上，標準方程為2 21的橢圓253618.解：(1)由已知c . 5 ea453.5，得 c 5 ,a3所以mb222a c45 2520(2)根據(jù)題意 S/abif S/f)F2B20,設(shè) B(x, y)，則 Svf1f2b fgFly，丨 F1F2 2c 10,所2 2以y 4，把y 4代入橢圓的方程45盤1，得x 3，

15、所以B點的坐標為(3 4)，所以直線ab的方程為y19( 2010遼寧文數(shù))(20)(本小題滿分12 分)2 2設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C :仔 £1 (a b 0)的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C相交于A, Ba b兩點，直線I的傾斜角為60°，F(xiàn)1到直線l的距離為2.3.(I)求橢圓C的焦距；ujununn(n)如果 AF2 2F2B,求橢圓C的方程解：(I)設(shè)焦距為2c,由已知可得F1到直線I的距離.3c 2.3,故c 2.所以橢圓C的焦距為4.(n)設(shè) A(X1,yJ B(X2,y2),由題意知 0, y? 0,直線 I 的方程為 y -,3(x 2).y .3(

16、x 2),_聯(lián)立 x2y2得(3a2 b2)y2 4 - 3b2 y 3b4 0. 1a b、3b2(2 2a)T-2 2，y23a b,3b2(22a)223a buuur因為AF2uuur2F2B,所以 y12y2.即聞2c 2. 23a2a) b,3b2(2 2a)2 _3a2b22得a3.而ab24,所以b , 5.故橢圓C的方程為2y- 1.520 (2010遼寧理數(shù))(20)(本小題滿分12 分)設(shè)橢圓2y21(a b 0)的左焦點為F,b過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線I的傾斜角為uur60°, AFuuu2FB .解:(III)(IV)求橢圓C的離心率；15

17、如果|AB|= ，求橢圓C的方程.4設(shè) A(Xi,yJ, B(X2,y2)，由題意知 yi< 0, y2 >0.(1)直線l的方程為y . 3(x c)，其中cb2 .聯(lián)立y2X2a.3( x c), y2 得(3a21b2 )y22.3b2cy3b4解得y1因為uuurAFb23b2(c 2a)3a2b2,y2、3b2(c 2a)3a2b2uur2FB ,所以y12 y2 .即-3b2(c 2a)2, 23a b2?，3b2(c 2a)2, 23a b得離心率e -a23.(n)因為 ABy y1，所以2 3ab23 ' 3a2 b2154由c22得ba所以%15 /曰，

18、得a=3, b.5.a334422橢圓C的方程為xy1.- 12 分9521 (2O1O北京理數(shù)）(19)（本小J、題共14分）關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線 AP與BP的斜率之積在平面直角坐標糸 xOy中，點B與點A (-1,11 等于丄.3（I ）求動點P的軌跡方程；（II ）設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N,問：是否存在點P使得 PAB與厶PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。（I）解：因為點B與A（ 1,1）關(guān)于原點0對稱，所以點B得坐標為（1, 1）.設(shè)點P的坐標為（x, y）由題意得化簡得4(x1).故動點P的軌跡方程為x2 3y24（x1）（

19、II）解法設(shè)點P的坐標為（xo,y。），點M , N得坐標分別為（3,yM）,（3,yN）.則直線AP的方程為yoXo11（x 1），直線BP的方程為yy0 11 h 1)Xo2yo xo 3xo1于是VPMN得面積S/PMN| yMy 1(3X。）又直線AB的方程為xy o,|AB|點P到直線AB的距離d 1 xo yo 丨 d2 .于是VPAB的面積yN令x 3得yM 如一Xo2|x。y°|(3 xo)Ixo2 1|Svpab 1|AB|gd |X0y。I當 SVPABSVPMN 時,得 I x。yo |2| x°y0 | (3 怡)|x02 1|又 I x。yo |

20、0 ,所以（32 2X0) =|X01|，解得|X。因為X°23y024,所以yo339故存在點5P使得VPAB與VPMN的面積相等，此時點 P的坐標為（，3解法二：若存在點 P使得VPAB與VPMN的面積相等，設(shè)點 P的坐標為（x0,y0）則 1|PA|g|PB|sin APB 11 PM |c|PN |sin MPN .因為- - 2 sin APB sin MPN ,所以|PA|PM |PN |PB|所以|x° 1| |3 x°|3 x°|x 1|2即（3 X0）2| X01|，解得Xo2因為x° 3y204，所以y°v).故存

21、在點PS使得VPAB與VPMN的面積相等，此時點P的坐標為&22（ 2010天津文數(shù)）（21）（本小題滿分14 分）2234.已知橢圓 務(wù) 篤 1 （ a>b>0）的離心率e=-，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為a2b22（I）求橢圓的方程；（H）設(shè)直線I與橢圓相交于不同的兩點 A、B，已知點A的坐標為（-a, 0）.4伍（i ）若| AB|=，求直線I的傾斜角;umr umr（ii）若點Q（ 0, y°）在線段AB的垂直平分線上，且 QAgQB=4 .求y°的值.【解析】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點間的距離公式、直線的傾斜 角、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查綜合分析與 運算能力滿分14分.