正方體截面的探究

1、正方體截面的探究Document number : NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT正方體截面的探究教學(xué)設(shè)計(jì)無為縣襄安中學(xué)李向林背景介紹為了使專改工作開展的更有成效，很重要的方面！就是要重構(gòu)課堂，在現(xiàn) 代課堂的教學(xué)中，我們應(yīng)該清楚地認(rèn)識到：1課堂不是教師表演的舞臺.而 是師生之間交流、互動的舞臺。2課堂不是對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練的場所，而是引 導(dǎo)學(xué)生發(fā)展的場所。3課堂不只是傳授知識的場所，而更應(yīng)該是探究知識的 基地。4課堂不是教師教學(xué)行為模式化運(yùn)作的天堂，而是教師教育智慧充分 展現(xiàn)的競技場。在進(jìn)行立體幾何中“如何求作平面與平面的交線”這部分內(nèi)容的教學(xué)時(shí)， 為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)立體

2、幾何的興趣，幫助一些學(xué)生克服對立體幾何的畏懼心 理，我適時(shí)補(bǔ)充了 “正方體的截面”這個(gè)內(nèi)容口考慮到要通過會“求作平面與 平面的交線”從而學(xué)會“過已知點(diǎn)求作正方體的截面”對學(xué)生而言是有一定難 度的。因此，能否通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識就在我們身邊、感悟 到數(shù)學(xué)的美激發(fā)出學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和強(qiáng)烈的求知欲望，初步培養(yǎng)學(xué)生動 手實(shí)驗(yàn)、觀察比較、歸納總結(jié)的能力和探究意識、創(chuàng)新意識，就成為這節(jié)課首 要解決的問題。為了更好地突破以上難點(diǎn)落實(shí)新課標(biāo)的精神，我運(yùn)用"學(xué)生 為主體.教師為弓導(dǎo)，問題為核心，體驗(yàn)為紅線的探究性學(xué)習(xí)方式，逐步培 養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；在教學(xué)策略上我通過實(shí)物操作與電腦演

3、示相結(jié)合的方法 幫助學(xué)生了解正方體截面的各種可能的形狀以及有否特殊的形狀。教材分析正方體截面的探究是人民教育出版社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù) 學(xué)必修2關(guān)于正方體的篥截面?？深}的教學(xué)設(shè)計(jì)。本課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面的三 個(gè)基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，為了更深刻地理解平面圖形與立體圖形之間的關(guān)系及求作平面 與平面的交線，幫助學(xué)生初步建立空間觀念，發(fā)展幾何直覺，而安排的一節(jié)以實(shí)驗(yàn) 操作為主的探究課。新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)課程實(shí)施應(yīng)從學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知 水平岀發(fā)！倡導(dǎo)體驗(yàn)、實(shí)踐、參與、交流的學(xué)習(xí)方式和任務(wù)型的教學(xué)途徑，發(fā)展學(xué)生 的主動思維能力和大膽實(shí)踐的創(chuàng)新精神?；诖?，本節(jié)課設(shè)計(jì)如下：教學(xué)目標(biāo)（）知識與

4、技能：題。1. 了解正方體的截面的形狀，能熟練運(yùn)用正方體截面的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問2. 經(jīng)歷切截幾何體的活動過程，體會幾何體在切截過程中的變化，在面與 體的轉(zhuǎn)換中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。（二）過程與方法：在對實(shí)物模型雀r活動過程中學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、實(shí)際操作驗(yàn)證、推理等數(shù)學(xué) 活動過程，發(fā)展學(xué)生的動手操作、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、合作交流與分析歸納能力及空間思維能 力。（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生親身經(jīng)歷動手實(shí)踐操作過程，鼓勵學(xué)生自主探索與合作交流，發(fā)展學(xué)生 的空間觀念.使學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)活動充滿探索和創(chuàng)造，獲得成功的體 驗(yàn)，增強(qiáng)自信心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教學(xué)重點(diǎn).難點(diǎn):重點(diǎn):正方體截面的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

5、。難點(diǎn):正方體截面結(jié)構(gòu)的多重性。教學(xué)用具:大塊橡皮泥、小刀、一張CT片，透明正方體盒子（可用魚缸）、水，正方體模 型等。教學(xué)方法:1 采取直觀教具與多媒體相結(jié)合，通過師生互動進(jìn)行教學(xué)。2采取小組合作交流，動手操作實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)方法。教學(xué)過程：活動一：情境導(dǎo)入，引發(fā)思考師：（皐出西瓜）大家都知道西瓜是我們常吃的一種水果，那么他像我們巳經(jīng)學(xué)過的那種幾 何體（生：球體）師：按習(xí)慣我們是不吃西瓜皮，只吃西瓜輒的?，F(xiàn)在有一個(gè)外皮巳經(jīng)洗凈的西瓜，設(shè)想一 下，你一般是如何吃到里面的瓢呢第一步怎么辦（生：用刀切）師：那么刀經(jīng)過的面是一個(gè)什么形狀的圖形（生：圓）師：（演示用刀切西瓜的過程）用刀切西瓜的過程就奸像用一

6、個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截出 的面叫做截面。（動Hi演示）活動二：試驗(yàn)演示，截面探究問題1:什么皿幾何械的截面答：一個(gè)幾何和一個(gè)平面相交所得到的平面圖形（包含它的內(nèi)部），叫做 幾何體的截面。問題2 :截面的邊是如何得到的答：截面的邊是平面和幾何體各面的交線。問題3:正方體是立體幾何中一個(gè)重要的模型它是一種非常對稱的幾何 體。如果我們拿一個(gè)平面去截一個(gè)正方體。那么會得到什么形狀的截面圖呢 師：同學(xué)們手中都有橡皮泥及其小刀，以同桌為單位，先用橡皮泥握一個(gè)正方體， 小刀的刀面我們就可以將它當(dāng)成截這個(gè)正方體的面，當(dāng)我們用小刀截你手中的正方體 時(shí)，便可得到一個(gè)截面下面看我手中的這塊正方體的橡皮泥，我用小刀

7、去截這個(gè)正方 體，截面可能是什么形狀呢探究1 :截面多邊形的邊數(shù)最多有幾條小結(jié)：因?yàn)檎襟w只有六個(gè)面.所以它與平面最多有六條交線，即所截得截面圖 最多有六條邊。所以截圖可能是三角形，四邊形，五邊形，六邊形。（學(xué)生上黑板用 正方體玻璃模型演示）探究2 ：截面圖為三角形時(shí).有幾種情況1 是否可以截出等腰三角形2 是否可以截出等邊三角形3 是否可以截出直角三角形小結(jié):用一平面去截正方體能截出的三角形：（1）等腰三角形；（2）等邊三角形；（3）銳角三角形；（為什么）（4）不能截出直角 三角形。（為什么）交才可以（如圖所示）。下面只要說明這個(gè)截面APMN不是宜角三角形或鈍角三角形就首先，用一個(gè)平面截一個(gè)

8、正方體，要得到三角形，必然是要和三個(gè)兩兩相鄰的面相 可以啦。（4）菱形；（3）梯形；（6）等腰?圖中有三個(gè)直角三角形，ABMN> APMB 和APBNo如果MN是最長邊，那么只需要說明 PM2 +PN：和MN：不相等就可以了。在RtABMN中，根據(jù)勾月殳定理可得BW +BN2=MN3;同樣,BMS +BP2=MP BN2 +BP2=NP2。也就是、PN>BNo因此，PM: +PN2>MN由余弦定理可得， PMN是銳角三角形。同樣，也可以說明PM: +MN2>PN2探究3 ：如果截面為四邊形，那么可以截 出哪幾類呢1 是否可以截出長方形2 是否可以截出正方形3 是否可以截

9、出梯形小結(jié)：用一平面去截正方體能截岀的四邊形: （1）長方形；（2）正方形；（3）平行四邊形； 與不等腰梯形探究4:截面可能是正多邊形嗎可能有幾種小結(jié)：截面是正多邊形有可能?？赡苡姓切?，正方形和正六邊形。不可能是 正五邊形。（為什么）探究5:如果截面是三角形，其面積最大是多少四邊形呢探究6 ：正方體中能用幾個(gè)平面截出正四面體、正八面體嗎小結(jié)：以正方體的面對角線為棱長的三棱錐即為正四面體，以正方體的六個(gè)面的中心的 連線即為正八面體C最后，幾何畫板演示正方體的截面圖?；顒尤汉献鹘涣?，囲固提高一例1、如圖1 -1筋不，已知正方體A1B1CDABCD, Ab、BxCx. AD的中點(diǎn)，過三點(diǎn)E、F

10、、H作截面.E、F、H分別是5N于線接畫交長連所解答：連接EF,并且延長，與A:D1S D.C.的延長線、R兩點(diǎn)，連接NH并延長分別交AAj和DR的延 于S、連接TR分別交CD、CC】于H、G,順次G、M、H、S、E?則六邊形EFGMHS就是 1-1E、F、西.圖形b制在韻謠的vs療鶴m 面Bcc-Bi 1/的中心，則四邊策略：本題的關(guān)鍵是作岀截面所在的平面與正方體 的各面相交時(shí)的交線，因?yàn)镋、F兩點(diǎn)在截面內(nèi)，也在 平面乩C,內(nèi)，所以EF是截面與平面的交線若將 EF延長，它與棱A】*和C】*的延長線相交.其交點(diǎn)得 到的新點(diǎn)之一與H點(diǎn)又具有上述性質(zhì)，這樣下去，就解析：四邊形BFD.E在面ABCD

11、與面AB】CD】，在面ABBA 與面DCCD 的 射影都是，四邊形BFDXE在面ADD:AX與面BCC:BX的射影是答案：例2、（2008年福建高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為貳則其外接球的表面積是解析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高,然后再設(shè)出球心，利用直角 三角形計(jì)算球的半徑而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法，所以三 條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快聯(lián)想到長方體的一個(gè)角，馬上構(gòu)造匠方體，且側(cè) 棱長均相等，所以可構(gòu)造正方體模型，如圖1,則ac=bc=cd = V3,那么三棱 錐的外接球的直徑即為正方體的體對角線，故所求表亨積是9/r.（如圖1）圖1圖2例3、（2003年全國

12、卷）一個(gè)四面體的所有棱長都為血，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（A3龍B4兀解析：一般解法，需設(shè)岀球心，半徑在此，由于所有棱長都相等，_ 段，所以構(gòu)造一個(gè)正方體，再尋找棱長相等的四 A-BDE滿足條件，即 AB=AD=AE=BD=DE = BE = 長為1,體對角線為的，從而外接球的直徑也為 球的表面積便可求得，故選A.（如圖2）練習(xí)2（2010福建卷理6）如圖，若Q是長方體ABCDfBS 被平 面EFGH截去幾何體EFGHBC后得到的幾何體.其中E為線段± 異于d的點(diǎn)，F(xiàn)為線段B妨上異于色的點(diǎn)，且EH H 2、則下列結(jié)論 中不正確的是（D ）.A. EH / FG ；B.四

13、邊形EFGH是矩形；CQ.是棱柱；DQ是棱臺解析：因?yàn)镋H /, &DH BC、所以旦 公少U平面BCBC、所以陽平面BCB& ,又 一一 ，一一 一. BCBG二FG ,所以礎(chǔ) FG,故EH / FG/所以選項(xiàng)A、C正確；因?yàn)閬A平面AB輕,EH /D f所以礎(chǔ)丄平面ABBA ,又EF U平面初3人， 故礎(chǔ)丄EF ,所 以選瑣B也正確，故選D.練習(xí)3. （2010北京卷理8）如圖，正方體ABCDfBg 的棱長為2,動點(diǎn)E、F在棱 AB上 動點(diǎn)P, Q分別在棱AD, CD上，若EF二1, DP= Z（X. V . Z大干零），則四面體FEFQ的體C. 3&兀D. 6兀作出

14、高線，構(gòu)造直角三角形，再計(jì)算球的 我們聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線,如圖2,四面體 由此可求得正方體的棱所以此EH u平面EFGH ,平面EFGHQ平面z （x, y, z大于零），則四面體FEFQA與x, y, z都有關(guān)B與/E=xf DQ二y 2( D ) ,與y, z気CiC與y有關(guān)，與x , z無關(guān) D.與z有關(guān)，與x , y無解析：這道題目延續(xù)了北京高考今年& 14. 20的風(fēng)格，即在變化中尋找不變，從圖中可以分析出，的面積永遠(yuǎn)不變，為面 n 面積的£ 而當(dāng)P點(diǎn)變化時(shí)，它到面的距離是變化的，因此會導(dǎo)致四面體體積的變化。段蠢樹豔耦鱉考題棱長為“的正方體中連結(jié)相鄰面

15、的中心以這些線).c4解析：由題意易知，此八面體為正八面體,方式，切割成8個(gè)相同的小正方體，則八面體也被分割為8個(gè)相/ .、J/IZ十/1 /_ L J|21 /V/7r將正方體按圖2的同的四面體.考察四面體與小正方體體積的關(guān)系，即為圖3中四面體CBCD與正方體ABCD-MCQ的關(guān)系。飛”飛怙皿仲，八面體的體積為正方體體積的石,故選C.活動四：課堂小結(jié)，主動反思師：同學(xué)們，通過本課的學(xué)習(xí)，你們有什么收獲（學(xué)生自主完成，教師評價(jià)）活動五:回味無窮，深化拓展CT是一種醫(yī)學(xué)影像診斷技術(shù)，它就是類似于今天所要學(xué)習(xí)的“截個(gè)幾何 體”的方法，只不過這里的“截"并不是真正的截這里的“幾何體”是病人

16、 某個(gè)患病器官，“刀”是射線，它的原理是用射線透射人體，然后用檢測器測 定透射后的放射量，通過計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理重建人體斷層圖象并作出診斷，這 是數(shù)學(xué)的“圖象重建原理”在醫(yī)學(xué)上的成功應(yīng)用 CT的發(fā)明具有劃時(shí)代的意 義，獲得了諾貝爾獎我們在座的每位同學(xué)，我相信經(jīng)過勤奮、刻苦的努力，也會成為未來的諾 貝爾獎獲得者，為中華民族増光.教學(xué)反思：根據(jù)新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)置數(shù)學(xué)課程的基本目的，不再只是讓學(xué)生 獲得必要的數(shù)學(xué)知識、技能，它還包括在啟迪思維、解決問題、情感與態(tài)度等 方面的發(fā)展。關(guān)于正方體切截載體的選擇我想到了"以水代刀J意在以正方 體的截面問題為切入口，誘導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)源于生活、寓于生活、用

17、于生活。用水 面形狀來代替切口形狀即是將生活題材數(shù)學(xué)化的一個(gè)前所未有的創(chuàng)新。我的創(chuàng) 新過程將啟迪學(xué)生思維、解決問題的方式、方法，并増加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的勇 氣，増強(qiáng)探究的好奇心，加深對數(shù)學(xué)的理解，激發(fā)學(xué)生潛在的創(chuàng)造力，逐步形 成創(chuàng)新意識。當(dāng)代偉大的數(shù)學(xué)家皿阿蒂亞先生指出：幾何是數(shù)學(xué)中這樣的一 部分，其中視覺思維占主導(dǎo)地位,幾何直覺是増進(jìn)數(shù)學(xué)理解力的很有效的 途徑，而且它可以使人増加勇氣，提高修養(yǎng)，有人說，幾何作為一種直觀、形 象的數(shù)學(xué)模型，它在發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新精神方面的價(jià)值，卻是獨(dú)特的、難以替代 的。"從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，通過一個(gè)充滿探索、思考和合作的過程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，獲 取知識收獲的將是自信心、

18、責(zé)任感、求實(shí)態(tài)度、科學(xué)精神、創(chuàng)新意識實(shí) 踐能力等這些遠(yuǎn)比升學(xué)重要的公民素質(zhì)。円探究一個(gè)正方體的切口形狀作為教 學(xué)內(nèi)容是一個(gè)源于教材的很有意義的課程資源，以水代刀.將水面形狀代替切 口形狀作為教學(xué)媒體也是廉價(jià)的推廣可行的課程資源。"用教材刀（幾何體的霏疊切堤高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)考查內(nèi)容課本也有許 多，如P10B1. P28A3, P38練習(xí)2, P59例3, P63B4,基于此設(shè)計(jì)了本節(jié)課）而不是 "教教材J教材是我國學(xué)校教育的主要課程資源，但不是唯一的課程資源。教 師應(yīng)根據(jù)自身實(shí)際，創(chuàng)造性地使用教材。創(chuàng)新所帶給人的精神愉悅是任何物質(zhì)享受和感官享樂所無法比擬的，那是 燦爛的生命之花最深沉、最輝煌、最恣意的綻放，從某種意義上說，創(chuàng)新是自 我實(shí)現(xiàn)的最高表現(xiàn)形式，教育作為人道主義的事業(yè)，理所當(dāng)然應(yīng)該關(guān)注個(gè)人生 命質(zhì)量的提升。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該與學(xué)生建立一種新型的民主平等的師生關(guān)系.從 獨(dú)奏者的角色過渡到伴奏者的角色，從此不再主要是傳授知識，而是幫助學(xué)生 去發(fā)現(xiàn)、組織和管理知識，引導(dǎo)他們而非塑造他們。在整個(gè)課堂教學(xué)過程中，較好的實(shí)現(xiàn)了學(xué)生主體地位。當(dāng)學(xué)生面對問題 “用一個(gè)平面去