淺談反證法的原理及應用

1、 摘 要反證法是一種重要的證明方法,它不僅對數學科學體系自身的完善有促進作用,而且對人的思維能力的培養(yǎng)和提高也有極其重要的作用.如果能恰當的使用反證法,就能達到化繁為簡,化難為易,化不能為可能的目的.反證法的邏輯思維強,數學語言準確性高,對培養(yǎng)學生嚴謹的邏輯思維能力,閱讀能力,樹立正確的數學觀具有重要的意義.本論文主要研究的內容有反證法的由來;具體闡述了反證法的定義,即反證法的概念、分類和作用;反證法具有廣泛應用的科學根據;并且著重介紹了反證法的應用,包括反證法在初等數學和高等數學的應用,并提出應用反證法應注意的問題;針對各種問題提出一些具體的教學建議,從而為改進反證法教學提供參考.關鍵詞:反

2、證法,否定,矛盾,應用Principle and application of the reduction to absurdityABSTRACT:Reduction to absurdity is an important method, it not only to improve its own system of mathematical science have stimulative effect, but also has an extremely important role in cultivating and improving the people's thin

3、king ability. If you use apagoge properly, can be simplified, the difficult easy, words can not be as likely to. The logical thinking of reduction to absurdity, the language of mathematics of high accuracy, to cultivate students' rigorouslogical thinking ability, reading ability, is of great sig

4、nificance to establish a correct conception of mathematics. The origin of the main content of the paper is the reduction to absurdity;expounds the definition of absurdity, and concept, apagoge classification; the reduction to absurdity has wide application of scientific basis; and introducesthe appl

5、ication of reduction to absurdity, including the application of reduction to absurdity in elementary mathematics and higher mathematics, and proposed should note that the application of reduction to absurdity problems;to solve these problems and puts forward some specific suggestions for teaching, s

6、o as to provide reference for the improvement of the teaching of reduction to absurdity.Keywords: reduction to absurdity, negation, contradiction, application 目 錄一、引言1二、反證法的由來1三、反證法的概念及分類1（一）反證法的定義1（二）反證法的分類21歸謬法22窮舉法2（三）反證法的作用2四、 反證法的科學依據3（一）反證法的理論依據3（二）反證法的步驟3（三）反證法的可信性4五、反證法的應用4（一）反證法在初等數學中的應用4（二

7、）反證法在高等數學中的應用61在數學分析中的應用62在高等代數中的應用8（三）應用反證法應注意的問題91反設要正確92明確推理特點93善于靈活運用104了解矛盾種類10六、反證法的教學價值及建議10（一）反證法的教學價值101訓練逆向思維102促進數學思維的形成103培養(yǎng)思維嚴密性114滲透數學史11（二）反證法的教學建議111多次反復,螺旋上升112精心研究,訓練反設123滲透數學思想方法,訓練嚴密12七、結束語12八、參考文獻133一、引言在現代數學中反證法成為最有用和最有效的解決問題的方法之一,但在現行的各種教材中沒有對反證法給出系統(tǒng)的介紹,學生在運用上又不如直接證法那樣順理成章,而且在

8、歸謬過程學生對所學的定義、定理以及命題本身又要有分析、判斷、聯想和創(chuàng)造能力,對在怎樣的情況下才可采用反證法,學生又不容易判斷,所以對反證法的理解和在恰當地應用上都存在不少的問題,因此本文就反證法做一些介紹和探討.二、反證法的由來 反證法顧名思義是一種證明方法,在數學和邏輯上是統(tǒng)一的.早期古希臘的數學在畢達哥拉斯學派的影響下認為萬物皆數,用整數和幾何圖形構建了一個宇宙圖式.萬物皆數這個思想當時在數學家的腦海里是根深蒂固的.隨著的出現,希臘人漸漸開始重新審視他們的數學,圖形和直觀并不是萬能的,推理和邏輯走上了數學的舞臺.此時西方數學成為以證明為主的證明數學,他們要的是準確的數學,或者說他

9、們的數學推崇準確性.表現形式就是:邏輯、演繹的體系.可見它是指證明的數學與算的數學正好相反.希臘人重視邏輯和演繹的證明,反證法最早應用在歐幾里得的幾何原本中.三、反證法的概念及分類（一）反證法的定義反證法有多種不同的描述,其本質都是一樣的.最早的法國數學家J·阿達瑪在其所著初等數學教程（平面幾何卷）中作了如下的描述:“反證法在于表明,若肯定定理的假設而否定其結論,就會導致矛盾”.維基百科中這樣描述“反證法,就是由否定命題結論的正確性出發(fā),根據題設條件、定義、法則、公理、定理,進行一系列正確的邏輯推理,最后得到一個矛盾的結果.”即就是結論的反面不能成立,從而肯定命題結論的正確性,這種駁

10、倒命題結論反面的證法叫做反證法.（二）反證法的分類反證法分類分為:歸謬法和窮舉法.1歸謬法若命題的反面只有一種情形,則只需把這一種情形駁倒,便可達到反證的目的.例1兩條直線同時平行于第三條直線,則原兩條直線互相平行.ACEBDF圖1已知:求證:現用反證法予以證明.假設與不平行,則(利用平行定義的反面意義),(即)、(即)(題設),過點有兩條不同的直線與平行,但這與平行公理矛盾（平行公理）,臨時假設不平行（矛盾律),故(排中律).2窮舉法若命題題設反面不止一種情況,則必須將其逐一駁倒,才能間接證明題設的正面成立.這就叫窮舉法.例2若,則有,證明:若不然,則有,與題設矛盾,與題設矛盾,因此,.（三

11、）反證法的作用牛頓曾經說過:“反證法是數學家最精當的武器之一”.最早在數學中引用反證法的是古希臘畢達哥拉斯學派的希波克拉提斯（前460年左右）,在歐幾里得的幾何原本中也有不少用反證法的范例.我國在五世紀時張邱建算經中已有運用.反證法是數學證明中的一種重要方法,當正面不容易或者不能證明時,我們可以從命題的反面來思考問題,若能恰當使用,往往可以收到較好的效果.特別是有些數學命題至今除了反證法還別無它法,因此認識和掌握反證法就顯得十分重要.4、 反證法的科學依據（一）反證法的理論依據反證法所依據的是亞里士多德的形式邏輯的基本規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”.其基本內容是:在同一論證過程中,對同一對象的

12、兩個相矛盾的、對立的判斷,不能同時都為真,至少有一個是假的,這就是“矛盾律”.如對這個對象,“是有理數”和“是無理數”的兩個判斷中至少有一個是假的.在同一論證過程中,對同一對象的肯定判斷和否定判斷,這兩個相矛盾的判斷必有一個是真的,這就是“排中律”.如要證明“是無理數”,只要證明“是有理數”不真就夠了.因為“是有理數”和“不是有理數”,是對象的兩個相矛盾的判斷,依據排中律,其中必有一個判斷是真的.如能證明“不是有理數”不真,就可以證明“是無理數”為真.（二）反證法的步驟反證法的三個步驟:“反設”、“歸謬”、“結論”,三者之間相輔相成,不可分割.1、“反設”是基礎.“反設”是反證法證題的第一步.

13、反設的正確與否,直接影響反證法的后續(xù)步驟.因此,實施教學時,應指導學生做到:先弄清所證命題的條件部分和結論部分各是什么;再找出結論的相反情況,要求做到不重不漏;最后對結論加上“不”或“不是”,這樣就完成了“反設”.2、“歸謬”是關鍵.“歸謬”即利用“反設”導致矛盾.這不但是反證法的核心部分,而且也是反證法教學的難點所在.一些學生也知道需要經過邏輯推理,才能導出矛盾,但不明確怎樣去尋找矛盾.因此,實施教學時,應指導學生明確:反設后條件部分是什么;邏輯推理應向哪個方向前進;矛盾將在何處產生.3、“結論”是目的.“歸謬”后,其矛盾的產生并非別的原理,只因“反設”所致,所以命題的原結論就得以成立.至此

14、,反證法證題已經完成,目的也就達到了.（三）反證法的可信性反證法在其證明過程中,根據“矛盾律”,對“原結論”和“否定的原結論”來說,這兩個相矛盾的判斷不能同時都為真,必有一假,而已知條件、已知公理、定理、法則或者已證明為正確的命題都是真的,所以“否定的原結論”必為假.再根據“排中律”,“原結論”與“否定的原結論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假,必有一個是真,而“否定的原結論”為假,于是我們得到“原結論”必為真.綜上,我們可以看出反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據,通過邏輯推理,得出令人信服的正確結論.反證法也是唯物辯證法中“否定之否定”原理在數學中的具體應用.五、反證法的應用本部分

15、主要總結反證法在初等數學和高等數學的應用.（一）反證法在初等數學中的應用之前我們主要介紹了一些反證法的概念,對于反證法的定義、歷史及邏輯基礎有了一定的了解,反證法這種間接證明方法理論上可以用于證明任何題目,但是它像直接證明一樣總有局限性,這部分我們主要介紹常用反證法的幾類命題.否定性命題:結論以“沒有”、“不是”、“不能”等形式出現的命題,直接證法不容易入手,反證法可以發(fā)揮它的作用.例1.求證:在一個三角形中,不能有兩個角是鈍角. 證明:已知、是三角形的三個內角. 求證:中不能有兩個鈍角.證明:假如中有兩個鈍角, 則有,這與“三角形和為”產生矛盾,所以,一個三角形不可能有兩個鈍角.關于唯一性、

16、存在性、至多至少命題:例2.已知,求證關于的方程有且只有一個根.證明:假設方程（）至少存在兩個根,不妨設其中的兩根分別為,且,則, ,與已知矛盾,故假設不成立,結論成立.例3.當時,試證方程和中,至少有一個方程有實數根.證明:假設兩個方程,都沒有實根,即,.所以,又, 即 ,假設不成立,結論成立.所以說明 和 中至少有一個方程有實根. 例4.試證:不是有理數.分析 我們知道,有理數恒可表示為既約分數（為互質的自然數）的形式.直接證明這個命題需要證不是任何一個既約分數,這不僅涉及既約分數的無限集,而且也難于把與既約分數聯系起來（它們本來就沒有直接聯系）.如果使用反證法,情況就迥然不同了.證明:設

17、是有理數,則有互質的自然數,使 ,由此推出,這表明有因數2,設,代入上式,得 ,即,這又表示有因數2.于是,有公因數2,這與互質的假設矛盾,因此,不是有理數.評注:本命題使用反證法的優(yōu)點是只要考察某一特定的有理數,而且自然的把與這個特定的既約分數聯系起來了（）,這就為利用自然數的運算性質導致矛盾的結果創(chuàng)造了有利條件.（二）反證法在高等數學中的應用反證法雖然是在平面幾何教材中出現的,但對數學的其它各部分內容,如數學分析、高等代數都可應用.那么,究竟什么樣的命題可以用反證法來證呢?當然沒有絕對的標準,但證題的實踐告訴我們:下面幾種命題一般用反證法來證比較方便.1在數學分析中的應用要能熟練掌握一種解

18、題方法,僅僅滿足于會用這種方法解個別題目是不夠的,還要在解題的證明中注意積累經驗,總結規(guī)律,解決何時可以用這種方法來解決的問題,這有助于進一步加深對這種解題的方法實質的理解.下面就數學分析中幾類常見的運用反證法證明的命題類型,舉例說明反證法的應用.當結論中出現“唯一”或者量詞“只有一個”時,運用反證法也比較適宜.例1 收斂數列的極限都是唯一的.證明:假設有某一收斂數列,其極限不唯一,設與,且,不妨設,令,根據極限的定義,存在自然數,使 時,有, 時,有,因此,當時,有,注意到,便得,但這是不可能的,故假設不成了,所以結論成立.當結論中含有否定詞“無”或者“非”時,一般用反證法.例2.試證明:若

19、函數在有限區(qū)間內可微,但無界,則其導函數也無界.證明:假設在內有界,即,有,取定,由拉格朗日中值定理知,存在在與之間,使,而,故,這與已知無界相矛盾,故結論成立.當結論中以“至多”或者“至少”形式出現時用反證法可以收到良好的效果.例3設在上連續(xù),試證:在內至少有兩個零點.證明:, , , 至少存在一個零點,否則,假設在內只有一個零點,若在兩側異號,有,矛盾,若在兩側同號,有,矛盾,所以假設不成立,故結論成立,在內至少有兩個零點.2在高等代數中的應用反證法在數學中有著廣泛的應用,針對高等代數中許多結論、定理的證明雖然可以用構造法、數學歸納法等其他方法證明,但是證明過程比較復雜,有時用反證法證明達

20、到了化難為易的效果.例1.若可由線性表示,證明:表示方法唯一線性無關.證明:（必要性）已知由唯一的線性表示,設,假設線性相關,則存在不全為0,使,于是,不全為0,與不完全相同,這與可由表示方法唯一相矛盾,所以假設不成立,即線性無關.例2設為實矩陣,證:如果,則.證明:假設,設,則線性相關,從而存在不全為零的數,使,設,則,這與已知矛盾,所以假設不成立,（三）應用反證法應注意的問題反證法是數學中一種重要的證明方法,在許多方面有著不可替代的作用.它以其獨特的證明方法和思維方式對培養(yǎng)學生邏輯思維能力和創(chuàng)造性思維有著重大的意義.反證法不僅可以單獨使用,也可以與其他方法結合使用,并且可以在論證一道命題中

21、多次使用.只要我們正確熟練運用,就能做到:精巧、直接、巧解難題、說理清楚、論證嚴謹、提高教學解題能力. 1反設要正確正確否定結論是運用反證法的首要問題.如:命題“一個三角形中,至多有一個內角是直角”.“至多有一個”是指“只有一個”或“一個沒有”,其反面是“有兩個直角”或“三個內角都是直角”,即“至少有兩個是直角”.2明確推理特點 使用反證法證題,要明確我們的任務是否定結論導出矛盾,但何時出現矛盾,出現什么樣的矛盾是不能預測的,也沒有一個機械的標準,有的甚至是捉摸不定的.一般的總是在命題的相關領域里考慮（例如,平面幾何問題往往聯系到相關的公理、定理、公式、定義等）,這正是反證法推理的特

22、點.因此,在推理前不必要也不可能事先規(guī)定要得到什么樣的矛盾.我們在運用反證法時只需正確否定結論,嚴格遵守推理規(guī)則,進行步步有據的推理,一旦出現了矛盾,證明也就結束了.3善于靈活運用 雖然數學證明題一般都可采用反證法,但并不是說,所有證明題都應該使用反證法來證明,就多數題目來說,用直接證法就可以證出,不能一味往反證法上面靠,要靈活運用反證法,畢竟我們平時訓練的題目多是運用的直接證法.對待用反證法證題的策略思想是:首先試用直接證法,若一時不能成功,即可使用反證法.4了解矛盾種類 反證法推理過程中出現的矛盾種類是多種多樣的,推理導出的結果可能與題設或部分題設矛盾,可能與已知真命題

23、（定義或公理、或定理、或性質）相矛盾,可能與臨時假設矛盾或推出一對相互矛盾的結果等.六、反證法的教學價值及建議關于反證法的教學,從早期就要向學生滲透這種思想,凡事不一定非常謹慎,只要學生能夠明白、認可其中的原理即可.（一）反證法的教學價值1訓練逆向思維為了解決一個面臨的數學問題,通常總是先從正面入手進行思考,即根據問題中的已知條件,搜索運用已掌握的數學知識去推理運算逐步由已知導出未知.若從正面入手繁瑣或難度較大,不妨考慮問題的相反方面,往往會絕處逢生,開拓解題思路.這種逆向思維,在數學解題中有4種形式:正逆運算轉化、條件,結論轉化、互為反函數間的轉化、以反證法解題,反證法的教學能擺脫學生的思維

24、定勢、簡化運算過程,明晰解題思路,提高解題速度,促進創(chuàng)新思維.2促進數學思維的形成  數學思想方法是科學思維的方法和技術,是數學的精髓,它為揭示數學本質,提供了有力的思想武器.數學思想方法是動態(tài)思辯的,重在培養(yǎng)創(chuàng)造性、開拓性人才.新一輪課程教學改革強調創(chuàng)造性、生成性,得以形成數學文化、數學思維,如何去做是我們關注的.中國初等數學教育明顯的好于西方,但到大學階段的學生卻缺少創(chuàng)造性,很難有所成就 ,更不必說獲諾貝爾獎,這種情況早就應引起我們反思.我們的數學教學偏重于解題訓練,題海戰(zhàn)術,而啟發(fā)性思維、理解、悟得思想方法的不多.因而形成學生成績的兩極分化,討厭數學,甚至數

25、學尖子生也遠離數學,回想起數學來就心生畏懼.加強思想方法教學是數學的本質要求,是當下世界經濟競爭的需要,也是提高全民族整體素質的重要舉措,是社會發(fā)展的需要,更是提高數學質量的基本保證.而通過反證法的訓練是培養(yǎng)數學思想方法的很好途徑.歐幾里得很喜歡運用的歸謬法,它是數學家最有力的一件武器,比起象棋開局時犧牲一子以取得全局的讓子法,它還要高明.象棋奕者不外犧牲一卒或頂多一子,數學家索性把全局拱手讓給對方,這種先棄后取、欲擒故縱的策略實在是數學證明中極為有效的一種方法.3培養(yǎng)思維嚴密性  訓練邏輯思維能力,反證法是典型的間接證法,也是通過證明原命題的等價命題從而證明原命題.在證明

26、過程中的每一環(huán)節(jié)都要全面、不遺漏.比如否定原題結論反設后有幾種情況,必須進行分類討論一一加以否定.反證法與直接證法是密切聯系的,二者相結合往往相輔相成,相得益彰.就全局而言是反證法,但從局部看,在作反設后的推理過程用的是直接證法.有時在基本直接證法的推理中,又會穿插一段反證法,以確定某些所需論據,反設時,必須注意弄清原題結論的反面,周密地列出與原題結論相悖的所有不同情況,再否定,不能有所遺漏. 4滲透數學史   提高辯證思維的能力,反證法是一種重要的證明方法,無論在初等數學還是高等數學中,都有廣泛的應用,數學中一些基本性質,重要定理甚至某些著名的數學難題,往往用反證法證得.舉世聞名的費爾馬大定理,這個多年前的數學難題被攻克,就是反證法的的功績,歐幾里得曾用它證明素數有無窮多個.因此反證法對訓練學生辨證思維,提高哲學修養(yǎng)很有價值.（二）反證法的教學建議由于反證法的邏輯依據是邏輯學和集合論,比較復雜,所以書上沒有給出其概念,從小學、初中、到高中都會用到,代數、幾何都有使用,為此教學工作如下設想. 1多次反復,螺旋上升