[數學]高中數學：_矩陣與變換_1新人教A選修ppt課件

1、選修選修4-2 “矩陣與變換全書復習矩陣與變換全書復習2.1 二階矩陣與平面向量二階矩陣與平面向量2.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換2.3 變換的復合與矩陣的乘法變換的復合與矩陣的乘法2.4 逆矩陣與逆變換逆矩陣與逆變換2.5 特征值與特征向量特征值與特征向量2.6 矩陣的簡單運用矩陣的簡單運用 詳細內容詳細內容 定位 低起點以初中數學知識為根底； 低維度以二階矩陣為研討對象； 形數以(幾何圖形)變換研討二階矩陣。 意圖 在根本思想上對矩陣、變換等有一個初步了解，對進一步學習和任務打下根底。 主要數學思想1數學化思想； 2數學建模；3數形結合的思想；4算法思想。 重點 經過幾何圖形變

2、換，學習二階矩陣的根本概念、性質和思想。 難點 切變變換，逆變換(矩陣)，特征值與特征向量。2.1 二階矩陣與平面向量二階矩陣與平面向量2.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換2.3 變換的復合與矩陣的乘法變換的復合與矩陣的乘法2.4 逆矩陣與逆變換逆矩陣與逆變換2.5 特征值與特征向量特征值與特征向量2.6 矩陣的簡單運用矩陣的簡單運用2.1 二階矩陣與平面向量二階矩陣與平面向量2.在本章中點和向量不加區(qū)分在本章中點和向量不加區(qū)分.如如:1.1.本專題研討的矩陣是二階矩陣本專題研討的矩陣是二階矩陣, ,對高階矩陣只是要對高階矩陣只是要求學生初步了解求學生初步了解. .二階矩陣如二階矩陣如

3、: :1001,0 0,xx yOyP x yOP uuu r既可以表示點（），也可以表示以（ ， ）為起點，以（）為終點的向量。兩行兩列兩行兩列2.1 二階矩陣與平面向量二階矩陣與平面向量3.3.矩陣的概念矩陣的概念從表、網絡圖、坐標平面上的點向從表、網絡圖、坐標平面上的點向量、生活實例等引出量、生活實例等引出. . 即在大量舉例的根底上引出矩即在大量舉例的根底上引出矩陣的概念和表示方法陣的概念和表示方法. .如如: :某公司擔任從兩個礦區(qū)向三個城市送煤：某公司擔任從兩個礦區(qū)向三個城市送煤： 從甲礦區(qū)向城市從甲礦區(qū)向城市A,B,CA,B,C送煤的量分別是送煤的量分別是200200萬噸、萬噸、

4、240240萬噸、萬噸、160160萬噸；萬噸； 從乙礦區(qū)向城市從乙礦區(qū)向城市A,B,CA,B,C送煤的量分別是送煤的量分別是400400萬噸、萬噸、360360萬噸、萬噸、820820萬噸。萬噸。 200240 160400360820 城市A 城市B 城市C甲礦區(qū) 乙礦區(qū) 200240 1604003608202.1 二階矩陣與平面向量二階矩陣與平面向量4.4.矩陣通常用大寫黑體字母表示矩陣通常用大寫黑體字母表示. .如如; ;矩陣矩陣A, A, 行矩陣和列行矩陣和列矩陣通常用希臘字母矩陣通常用希臘字母、等表示等表示. .5.5.兩個矩陣的行數與列數分別相等兩個矩陣的行數與列數分別相等,

5、,并且對應位置的并且對應位置的元素也分別相等時兩矩陣相等元素也分別相等時兩矩陣相等. .6.6.二階矩陣與列向量的乘法法那么為二階矩陣與列向量的乘法法那么為: :0110120111221220210220 xaxayaaaayaxay2.1 二階矩陣與平面向量二階矩陣與平面向量7.7.強化學生對二階矩陣與平面列向量乘法的幾何意義強化學生對二階矩陣與平面列向量乘法的幾何意義了解了解. .使他們認識并了解矩陣是向量集合到向量集合使他們認識并了解矩陣是向量集合到向量集合的映射的映射, ,為后面學習幾種常見的幾何變換打下根底為后面學習幾種常見的幾何變換打下根底. .20201xxyy 表示的幾何變換

6、為表示的幾何變換為:縱坐標不變縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼臋M坐標變?yōu)樵瓉淼?倍倍.2:xxxTyyy 8.8.二元一次方程組二元一次方程組 可以表示為可以表示為ax byecx dyfabxecdyf 系數矩陣系數矩陣2.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換1.1.恒等變換矩陣恒等變換矩陣( (單位矩陣單位矩陣) )為為E:E:10012.2.恒等變換是指對平面上任何一點恒等變換是指對平面上任何一點( (向量向量) )或圖形施以或圖形施以矩陣矩陣 對應的變換對應的變換, ,都把本人變?yōu)楸救硕及驯救俗優(yōu)楸救? .10011001xxyy :xxxTyyy 2.2 幾種常見的平面變換幾種常見的

7、平面變換3.3.伸壓變換矩陣是指將圖形作沿伸壓變換矩陣是指將圖形作沿x x軸方向伸長或緊縮軸方向伸長或緊縮, ,或沿或沿y y軸方向伸長或緊縮的變換矩陣軸方向伸長或緊縮的變換矩陣. .101022xxyy :2xxxTyyy 伸壓變換不是簡單地把平面上的點伸壓變換不是簡單地把平面上的點( (向量向量) “) “向下向下壓壓, ,而是向而是向x x軸或軸或y y軸方向緊縮軸方向緊縮. .1020,0201 2.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換4.4.反射變換矩陣是指將平面圖形變?yōu)殛P于定直線或定反射變換矩陣是指將平面圖形變?yōu)殛P于定直線或定點對稱的平面圖形的變換矩陣點對稱的平面圖形的變換矩陣

8、. .100 1xxyy :xxxTyyy 101 0-1 00 1,0 10 -10 -11 0 2.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換5.5.普通地普通地, ,二階非零矩陣對應的變換把直線變成直線二階非零矩陣對應的變換把直線變成直線. .1212()AAA這種把直線變?yōu)橹本€的變換叫做線性變換這種把直線變?yōu)橹本€的變換叫做線性變換. .或點或點2.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換6.6.旋轉變換矩陣是指將平面圖形圍繞原點逆時針旋轉旋轉變換矩陣是指將平面圖形圍繞原點逆時針旋轉的變換矩陣的變換矩陣. .其中其中稱為旋轉角稱為旋轉角, ,點點O O為旋轉中心為旋轉中心. .cossin

9、cossinsin cossincosxxyxyxyy ( , )P x y( ,)P x yrrcossinxryrcos()coscossinsincossinsin()sincoscossincossinxrrrxyyrrryx 2.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換cossinsin cos0 11 0 xyyx :xxyTyyx 010 1,1 0-1 0 2.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換7.7.投影變換矩陣是指將平面圖形投影到某條直線投影變換矩陣是指將平面圖形投影到某條直線( (或或某個點某個點) )上的矩陣上的矩陣, ,相應的變換為投影變換相應的變換為投影變換.

10、 .101 0 xxyx :xxxTyyx 101 00 0,1 00 01 0 7.7.投影變換矩陣是映射投影變換矩陣是映射, ,但不是一一映射但不是一一映射. .2.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換8.8.切變變換矩陣是指類似于對紙牌實施的變換矩陣切變變換矩陣是指類似于對紙牌實施的變換矩陣. .,(, ):aamA a b A am bTbb 設（），則1 km,0 1bk變換矩陣為2.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換9.9.切變變換矩陣切變變換矩陣 把平面上的點把平面上的點P(x,y)P(x,y)沿沿x x軸方軸方向平移向平移 個單位個單位. .1 k0 1ky10.10

11、.研討平面上的多邊形或直線在矩陣的變換作用后研討平面上的多邊形或直線在矩陣的變換作用后構成的圖形時構成的圖形時, ,只需調查頂只需調查頂( (端端) )點的變化結果即可點的變化結果即可. .旋轉矩陣旋轉矩陣2.3 變換的復合與矩陣的乘法變換的復合與矩陣的乘法1.1.矩陣乘法的法那么是矩陣乘法的法那么是: :111211121111122111121222212221222111222121122222 aabbababababaabbabababab2.2.矩陣乘法矩陣乘法MNMN的幾何意義為對向量延續(xù)實施的兩次幾的幾何意義為對向量延續(xù)實施的兩次幾何變換何變換( (先先TN,TN,后后TM)T

12、M)的復合變換的復合變換. .3.3.矩陣乘法不滿足交換率矩陣乘法不滿足交換率, ,這能夠是學生第一次遇到這能夠是學生第一次遇到乘法不滿足交換率的情況乘法不滿足交換率的情況. .此時此時, ,我們可以從幾何變換我們可以從幾何變換角度進一步明確乘法普通不滿足交換率角度進一步明確乘法普通不滿足交換率, ,在適當時候在適當時候, ,有些特殊幾何變換有些特殊幾何變換( (如兩次延續(xù)旋轉變換如兩次延續(xù)旋轉變換) )滿足交換率滿足交換率. .2.3 變換的復合與矩陣的乘法變換的復合與矩陣的乘法4.4.要求學生從幾何變換角度了解要求學生從幾何變換角度了解AB.AB.5.5.要求學生從幾何變換角度了解矩陣乘法

13、不滿足銷去要求學生從幾何變換角度了解矩陣乘法不滿足銷去率率. .ABACBC若，則不一定有cos -sincosn -sinnsin cossinn cosnn2.3 變換的復合與矩陣的乘法變換的復合與矩陣的乘法6.6.有關轉移矩陣有關轉移矩陣. .假設某市的天氣分為晴和陰兩種形狀假設某市的天氣分為晴和陰兩種形狀, ,假設今天晴假設今天晴, ,那那么明天晴的概率為么明天晴的概率為 , ,陰的概率為陰的概率為 , ,假設今天陰那么假設今天陰那么明天晴的概率為明天晴的概率為 , ,陰的概率為陰的概率為 , ,這些概率可以經過這些概率可以經過察看某市以往幾年每天天氣的變化趨勢來確定察看某市以往幾年每

14、天天氣的變化趨勢來確定, ,通常通常將用矩陣來表示的這種概率叫做轉移矩陣概率將用矩陣來表示的這種概率叫做轉移矩陣概率, ,對應對應的矩陣為轉移矩陣的矩陣為轉移矩陣, ,而將這種以當前形狀來預測下一而將這種以當前形狀來預測下一時段不同形狀的概率模型叫做馬爾可夫鏈時段不同形狀的概率模型叫做馬爾可夫鏈, ,假設清晨假設清晨天氣預告報告今天陰的概率為天氣預告報告今天陰的概率為 , ,那么明天的天氣預那么明天的天氣預告會是什么告會是什么? ?后天呢后天呢? ?34141323122.3 變換的復合與矩陣的乘法變換的復合與矩陣的乘法 M 晴 陰 晴= 陰今天明天31 4312 432.3 變換的復合與矩陣

15、的乘法變換的復合與矩陣的乘法1122121231113 13432241211124 432241124N 清晨的天氣預報今天陰的概率為 ，則今天晴的概率為 ，于是今天的天氣可用來刻畫，因此明天的天氣可用來刻畫，即明天晴的概率為，陰的概率為。2.3 變換的復合與矩陣的乘法變換的復合與矩陣的乘法3116113 43288241211127 4324288161127288288后天的天氣可用來刻畫，即后天晴的概率為，陰的概率為。7. 7. 轉移矩陣每列的元素的和應該為轉移矩陣每列的元素的和應該為1,1,否那么做乘法否那么做乘法時時, ,容易出問題容易出問題. .2.4 逆變換與逆矩陣逆變換與逆矩

16、陣2 2課文從課文從“走過去、走過去、“走回來的生動籠統(tǒng)的話語中走回來的生動籠統(tǒng)的話語中引入了逆矩陣和逆變換這樣安排讓學生在輕松氣氛中掌引入了逆矩陣和逆變換這樣安排讓學生在輕松氣氛中掌握握“找到回家的路的本質是知矩陣找到回家的路的本質是知矩陣A A，能否找到一個，能否找到一個矩陣矩陣B B，使得延續(xù)進展的兩次變換的結果與恒等變換的結，使得延續(xù)進展的兩次變換的結果與恒等變換的結果一樣也便于學生更好的了解逆矩陣，從而為例果一樣也便于學生更好的了解逆矩陣，從而為例1 1的順的順利處理打下根底利處理打下根底3 3例例1 1的設計起著承上啟下的作用，所舉的幾個例子也是的設計起著承上啟下的作用，所舉的幾個

17、例子也是學生熟知的，學生可以從幾何變換的角度借助直觀找到答學生熟知的，學生可以從幾何變換的角度借助直觀找到答案所以，例案所以，例1 1的目的在于協(xié)助學生從幾何的角度了解逆的目的在于協(xié)助學生從幾何的角度了解逆矩陣的意義，并為后續(xù)學習積累豐富的感性認識矩陣的意義，并為后續(xù)學習積累豐富的感性認識1.1.對于二階矩陣對于二階矩陣A,B,A,B,假設有假設有AB=BA=E,AB=BA=E,那么稱那么稱A A是可逆的是可逆的,B,B稱為稱為A A的逆矩陣的逆矩陣. .2.4 逆變換與逆矩陣逆變換與逆矩陣4 4既然有些矩陣存在逆矩陣，那么，什么樣的矩陣存在既然有些矩陣存在逆矩陣，那么，什么樣的矩陣存在逆矩陣

18、呢？課本從映射角度給出解釋，讓籠統(tǒng)的問題更逆矩陣呢？課本從映射角度給出解釋，讓籠統(tǒng)的問題更貼近學生實踐貼近學生實踐5 5矩陣矩陣 的行列式為的行列式為 , ,那么假設那么假設 那么矩陣那么矩陣 存在逆矩陣存在逆矩陣. . bc da bc daadbc b0c da bc da6.矩陣能否可逆的判別矩陣能否可逆的判別幾何解釋行列式代數解釋映射觀點 2.4 逆變換與逆矩陣逆變換與逆矩陣7.逆矩陣的求解逆矩陣的求解幾何變換方法待定系數方法公式法行列式方法 a bc d dbadbc adbccaadbc adbc8.矩陣矩陣的逆矩陣為的逆矩陣為 2.4 逆變換與逆矩陣逆變換與逆矩陣9.“先穿襪子后

19、穿鞋先穿襪子后穿鞋“先脫鞋子后脫襪子處理了學生先脫鞋子后脫襪子處理了學生能夠能夠會出現(xiàn)的認知妨礙學生可以借助于此更好地了解公式會出現(xiàn)的認知妨礙學生可以借助于此更好地了解公式AB-1=B-1A-1 10新教材的螺旋上升體系隨處可見，課本在本節(jié)中就通新教材的螺旋上升體系隨處可見，課本在本節(jié)中就通過證明命題過證明命題“知知A，B，C為二階矩陣，且為二階矩陣，且AB=AC，假設矩，假設矩陣陣A存在逆矩陣，那么存在逆矩陣，那么B=C而既做到前后章節(jié)間的呼應，而既做到前后章節(jié)間的呼應，又要求學生會用逆矩陣的知識解釋二階矩陣的乘法何時滿又要求學生會用逆矩陣的知識解釋二階矩陣的乘法何時滿足消去率足消去率11.

20、11.逆矩陣與二元一次方程組親密相關，用逆矩陣的知識逆矩陣與二元一次方程組親密相關，用逆矩陣的知識了解二元一次方程組的求解過程是為了讓學生更好的認識了解二元一次方程組的求解過程是為了讓學生更好的認識兩者，了解它們間的相互為用、相輔相成兩者，了解它們間的相互為用、相輔相成. .2.4 逆變換與逆矩陣逆變換與逆矩陣12.2.4 逆變換與逆矩陣逆變換與逆矩陣12.AX=B X= A-1B 13.AXC=B X= A-1BC-1 14.2.4 逆變換與逆矩陣逆變換與逆矩陣15.用二階矩陣和行列式研討二元一次方程組的解的情用二階矩陣和行列式研討二元一次方程組的解的情況并不比消元法優(yōu)越多少況并不比消元法優(yōu)

21、越多少.但是但是,當方程組中的未知元很當方程組中的未知元很多時多時,矩陣就變成了研討它的一個強有力的工具矩陣就變成了研討它的一個強有力的工具.2.5 特征值與特征向量特征值與特征向量1.在本節(jié)開場部分，課本安排了兩個學生熟知的伸壓變換在本節(jié)開場部分，課本安排了兩個學生熟知的伸壓變換，并給出了變換前后的圖形，其目的在于讓學生借助于感，并給出了變換前后的圖形，其目的在于讓學生借助于感性了解在矩陣的作用下某些向量的性了解在矩陣的作用下某些向量的“不變性，從而為學不變性，從而為學生生學習特征值和特征向量打下堅實根底學習特征值和特征向量打下堅實根底2.3.將矩陣的特征值與特征向量概念轉換成矩陣與列向量的

22、將矩陣的特征值與特征向量概念轉換成矩陣與列向量的乘法表示來了解，其目的在于引出矩陣的特征多項式課乘法表示來了解，其目的在于引出矩陣的特征多項式課本沒有對特征多項式作展開討論，其意圖是僅僅讓學生將本沒有對特征多項式作展開討論，其意圖是僅僅讓學生將之作為一個工具之作為一個工具2.5 特征值與特征向量特征值與特征向量4.5.2.5 特征值與特征向量特征值與特征向量2.5 特征值與特征向量特征值與特征向量6.一個特征值對應著多個特征向量一個特征值對應著多個特征向量.7.有了特征值和特征向量的知識有了特征值和特征向量的知識,我們就可以方便地計算我們就可以方便地計算多次變換的結果多次變換的結果.22.5

23、特征值與特征向量特征值與特征向量2.5 特征值與特征向量特征值與特征向量投影變換投影變換2.6 矩陣的簡單運用矩陣的簡單運用1.只需求學生對高階矩陣有一個感性認識只需求學生對高階矩陣有一個感性認識.2.經過本節(jié)的學習經過本節(jié)的學習,讓學生了解到矩陣來源于實踐生活需求讓學生了解到矩陣來源于實踐生活需求.3.課本引見了矩陣在數學領域內的運用課本引見了矩陣在數學領域內的運用,也引見了它在經濟也引見了它在經濟學領域、密碼學領域、生物學領域的運用學領域、密碼學領域、生物學領域的運用.2.6 矩陣的簡單運用矩陣的簡單運用2.6 矩陣的簡單運用矩陣的簡單運用2.6 矩陣的簡單運用矩陣的簡單運用2.1 二階矩

24、陣與平面向量二階矩陣與平面向量2.2 幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換2.3 變換的復合與矩陣的乘法變換的復合與矩陣的乘法2.4 逆矩陣與逆變換逆矩陣與逆變換2.5 特征值與特征向量特征值與特征向量2.6 矩陣的簡單運用矩陣的簡單運用 學習總結報告學習總結報告主要內容主要內容1.本專題只對詳細的二階方陣加以討論本專題只對詳細的二階方陣加以討論,而不討論普通而不討論普通mn階矩陣以及階矩陣以及(aij)方式的矩陣方式的矩陣.教學建議教學建議2.矩陣的引入要從詳細的實例開場矩陣的引入要從詳細的實例開場,經過詳細的實例讓學生經過詳細的實例讓學生認識到認識到,某些幾何變換可以用矩陣表示某些幾何變換

25、可以用矩陣表示,豐富學生對矩陣幾豐富學生對矩陣幾何意義的了解何意義的了解,并引導學生用映射的觀念來認識矩陣并引導學生用映射的觀念來認識矩陣,解線解線性方程組性方程組.不提倡先講矩陣不提倡先講矩陣,后講變換后講變換.3.要求從圖形的變換直觀地了解矩陣的乘法要求從圖形的變換直觀地了解矩陣的乘法,并經過詳細的并經過詳細的實例讓學生了解矩陣乘法的運算率實例讓學生了解矩陣乘法的運算率.4.在新課講解過程中適當地復習映射和一一映射在新課講解過程中適當地復習映射和一一映射.教學建議教學建議5.應經過大量實例應經過大量實例,借助立體幾何圖形的三視圖來研討平面借助立體幾何圖形的三視圖來研討平面圖形的幾何變換圖形

26、的幾何變換,這樣會讓學生感到生動這樣會讓學生感到生動,單純的平面幾何單純的平面幾何變換比較籠統(tǒng)變換比較籠統(tǒng).6.可以將伸壓變換與數學可以將伸壓變換與數學4中的三角變換結合起來中的三角變換結合起來,表達知表達知識的螺旋上升識的螺旋上升.7.留意伸壓變換和伸縮變換的異同留意伸壓變換和伸縮變換的異同.8.在證明二階非零矩陣對應的變換把直線變?yōu)橹本€在證明二階非零矩陣對應的變換把直線變?yōu)橹本€(或點或點)時時,學生能夠會感到困難學生能夠會感到困難,教師可以先復習定比分點的有關教師可以先復習定比分點的有關知識知識.自一部分內容不要求掌握自一部分內容不要求掌握,只需求學生可以直觀地了只需求學生可以直觀地了解線性變換把直線變成直線解線性變換把直線變成直線(或點或點).教學建議教學建議9.切變變換從幾何上可以這樣了解切變變換從幾何上可以這樣了解:堅持圖形面積大小不堅持圖形面積大小不變變,而點間間隔和線間角可以改動而點間間隔和線間角可以改動,且點沿坐標軸運動的變且點沿坐標軸運動的變換換.這些不要求學生掌握這些不要求學生掌握,只需求學生能結合圖形只需求學生能結合圖形,用書上的用書上的方式直觀描畫方式直觀描畫.10.對于矩陣乘法滿足結合率對于矩陣乘法滿足結合率,可讓學生本人動手驗證可讓學生本人動手驗證.教學建議教學建議11.行列式知識只限于二階行列式，它僅僅是作為一個工