[理學]高等數(shù)學同濟大學上第5章定積分ppt課件

1、第五章積分學積分學不定積分不定積分定積分定積分定積分 第一節(jié)一、定積分問題舉例一、定積分問題舉例二、二、 定積分的定義定積分的定義三、三、 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定積分的概念及性質(zhì) 第五章 一、定積分問題舉例一、定積分問題舉例1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由延續(xù)曲線)0)()(xfxfy，軸及x以及兩直線bxax,所圍成 , 求其面積 A .?A機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )(xfy 矩形面積ahhaahb梯形面積)(2bah1xix1ixxabyo處理步驟處理步驟 :1) 大化小大化小.在區(qū)間 a , b 中恣意插入 n 1 個分

2、點bxxxxxann1210,1iiixx用直線ixx 將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形;2) 常代變常代變.在第i 個窄曲邊梯形上任取作以,1iixx為底 ,)(if為高的小矩形, 并以此小梯形面積近似替代相應窄曲邊梯形面積,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 3) 近似和近似和.niiAA1niiixf1)(4) 取極限取極限. 令, max1inix那么曲邊梯形面積niiAA10limniiixf10)(lim機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xabyo1xix1ixi2. 變速直線運動的路程變速直線運動的路程設(shè)某物體作直線運

3、動, ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在運動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s.處理步驟處理步驟:1) 大化小大化小., ,1iiitt任取將它分成, ),2, 1(,1nittii在每個小段上物體經(jīng)2) 常代變常代變.,)(代替變速以iv得iiitvs)(,1,21個分點中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni知速度機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 n 個小段過的路程為3) 近似和近似和.iniitvs1)(4) 取極限取極限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述兩個問題的共性: 處理問題的方法步驟一樣 :“大化小 , 常代變 , 近似和 , 取極限 所

4、求量極限構(gòu)造式一樣: 特殊乘積和式的極限機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 abxo二、定積分定義二、定積分定義 ( P225 ),)(上定義在設(shè)函數(shù)baxf的若對,ba任一種分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi時只要0max1inixiniixf1)(總趨于確定的極限 I , 那么稱此極限 I 為函數(shù))(xf在區(qū)間,ba上的定積分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此時稱 f ( x ) 在 a , b 上可積 .記作機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 baxxfd)(iniixf10)(lim積分上限積分下限被積函數(shù)被

5、積表達式積分變量積分和稱為積分區(qū)間,ba定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) , 而與積分變量用什么字母表示無關(guān) , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定積分的幾何意義定積分的幾何意義:Axxfxfbad)(,0)(曲邊梯形面積baxxfxfd)(,0)(曲邊梯形面積的負值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面積的代數(shù)和A機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 o1 xyni定理定理1.上連續(xù)在函數(shù),)(baxf.,)(可積在baxf定理定理2.,)(上有界在函數(shù)baxf且只需有限個延續(xù)點 可積的充分條件可積的充分條

6、件:(證明略)例例1. 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.d102xx解解: 將 0,1 n 等分, 分點為niix ), 1 ,0(ninix1,nii取),2, 1(ni機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 .,)(可積在baxf2xy iiiixxf2)(則32nio1 xyniiinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn2xy 注 目錄 上頁 下頁 前往 終了 注注 利用利用,133) 1(233nnnn得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1

7、(233nnnn1131312233兩端分別相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例2. 用定積分表示以下極限用定積分表示以下極限:ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 x01ni 1ni闡明闡明:機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 , ,)(baCxf設(shè),d)(存在

8、則baxxf根據(jù)定積分定義可得如下近似計算方法:), 1 ,0(nixiaxi,nabx), 1 ,0()(niyxfii記baxxfd)(. 1xyxyxyn110)(110nnabyyy將 a , b 分成 n 等份: abxoyix1ix(左矩形公式)(21nnabyyy(右矩形公式)baxxfd)(. 2xyxyxyn21baxxfd)(. 3xyyii211)()(21110nnyyyynab(梯形公式)11ni為了提高精度, 還可建立更好的求積公式, 例如辛普森機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 abxoyix1ix公式, 復化求積公式等, 并有現(xiàn)成的數(shù)學軟件可供調(diào)用.三、定積分的

9、性質(zhì)三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 為常數(shù))bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4證證:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010= 右端ab機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5證證: 當當bca時,因)(xf在,ba上可積 ,所以在分割區(qū)間時, 可以永遠取 c 為分點 , 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixfabc0令ba

10、xxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 abc當 a , b , c 的相對位置恣意時, 例如,cba那么有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 6. 假設(shè)在假設(shè)在 a , b 上上0)(1iinixf那么.0d)(xxfba證證:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推論推論1. 假設(shè)在假設(shè)在 a , b 上上, )()(xgxf那么xxfbad)(xxgbad)(機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 推論推論2

11、.xxfbad)(xxfbad)(證證:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7. 設(shè)設(shè), )(min, )(max,xfmxfMbaba那么)(d)()(abMxxfabmba)(ba 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例3. 試證試證:.2dsin120 xxx證證: 設(shè)設(shè))(xf,sinxx那么在),0(2上 , 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2, 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx機動 目錄 上

12、頁 下頁 前往 終了 8. 積分中值定理積分中值定理, ,)(baCxf若那么至少存在一點, ,ba使)(d)(abfxxfba證證: :,)(Mmbaxf別為上的最小值與最大值分在設(shè)那么由性質(zhì)7 可得Mxxfabmbad)(1根據(jù)閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba點使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.性質(zhì)7 目錄 上頁 下頁 前往 終了 oxbay)(xfy 闡明闡明:.都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解為baxf故它是有限個數(shù)的平均值概念的推行.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 積分中值定理對abxxfbad)(因nab

13、fabniin)(lim11)(1lim1niinfn例例4. 計算從 0 秒到 T 秒這段時間內(nèi)自在落體的平均速度. 解解: 知自在落體速度為知自在落體速度為tgv 故所求平均速度v2211TgT2TgTttg0d01T機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 otgv vTt221TgS 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定積分的定義 乘積和式的極限2. 定積分的性質(zhì)3. 積分中值定理機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 矩形公式 梯形公式延續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式近似計算01xn1n2nn 1思索與練習思索與練習1. 用定積分表示下述極限 :nnnnnIn) 1(sin2sinsin1lim解解:10si

14、nlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn) 1( 0 x或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 思索思索: 如何用定積分表示下述極限 nnnnnnIn) 1(sinsin2sin1lim提示提示:nknnkI1sinlim1nnnnnsin1limnnnn) 1(sin1lim0dsin1xx極限為 0 !機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2. P233 題33. P233 題8 (2) , (4)題8(4) 解: 設(shè), )1ln()(xxxf那么xxf111)( 1 ,0(x,0)(xf 1 ,0(,0)0()(xfxf0d)(1

15、0 xxf即xxxxd)1 (lnd1010機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 作業(yè)作業(yè) P233 2 (2) , 4 6 (3) , (4) ; 7(3) ; 8 (1) , (5) 第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù) 三、牛頓三、牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式 一、引例一、引例 第二節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 微積分的根本公式 第五章 一、引例一、引例 在變速直線運動中, 知位置函數(shù))(ts與速度函數(shù))(tv之間有關(guān)系:)()(tvts物體在時間間隔,21TT內(nèi)經(jīng)過的路程為)()(d)(1221TsTsttvTT這種積分與原

16、函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性 .機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 .)()(的原函數(shù)是這里tvts)(xfy xbaoy)(xxhx二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù), ,)(baCxf那么變上限函數(shù)xattfxd)()(證證:, ,bahxx那么有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定理定理1. 1. 假設(shè)假設(shè).,)(上的一個原函數(shù)在是baxf,)(baCxf闡明闡明:1) 定理 1 證明了延續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2)

17、變限積分求導:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf同時為經(jīng)過原函數(shù)計算定積分開辟了道路 .機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx)sin(2cosxex例例1. 求求0limxtextd1cos22x解解:原式0limx00 x2e21闡明 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例2. 確定常數(shù) a , b , c 的值, 使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax時,0c. 0 b00原式 =)1ln(coslim20

18、xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21c ttf txfxd)()(0例例3. ,0)(,),0)(xfxf且內(nèi)連續(xù)在設(shè)證明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù) . 證證:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，（在xF只需證0)( xF機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 20d)(ttfxxfx)()( )(xf)0(x三、牛頓三、牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式上的一個原在是連續(xù)函數(shù)設(shè),)()(baxfxF)()(d

19、)(aFbFxxfba( 牛頓 - 萊布尼茲公式) 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 證證: 根據(jù)定理 1,)(d)(的一個原函數(shù)是xfxxfxa故CxxfxFxad)()(,ax 令, )(aFC 得因此)()(d)(aFxFxxfxa,bx 再令得)()(d)(aFbFxxfba記作)(xFab)(xFab定理定理2.函數(shù) , 那么例例4. 計算計算.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213) 1arctan(3arctan3127例例5. 計算正弦曲線計算正弦曲線軸所圍成上與在xxy, 0sin的面積 . 解解:0dsinxxAxcos0112)4(機動 目錄 上頁 下頁

20、 前往 終了 yoxxysin例例6. 汽車以每小時汽車以每小時 36 km 的速度行駛的速度行駛 ,速停車,2sm5a解解: 設(shè)開場剎車時辰為設(shè)開場剎車時辰為,0t那么此時辰汽車速度0v)(10sm)(sm3600100036剎車后汽車減速行駛 , 其速度為tavtv0)(t510當汽車停住時,0)(tv即,0510 t得(s)2t故在這段時間內(nèi)汽車所走的間隔為20d)(ttvs20d)510(tt22510tt (m)1002)(36hmk剎車, 問從開場剎到某處需求減設(shè)汽車以等加速度機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 車到停車走了多少間隔? 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié), )()(, ,)(xfxF

21、baCxf且設(shè)那么有1. 微積分根本公式xxfbad)(積分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理)(abf牛頓 萊布尼茲公式2. 變限積分求導公式 公式 目錄 上頁 下頁 前往 終了 作業(yè)作業(yè)第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 P240 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 123234)(2xxxf備用題備用題解：解：1. 設(shè),d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求).(xf定積分為常數(shù) ,d)(10axxf設(shè)bxxf20d)(abxxxf2)(2, 那么10d)(xxfa33x22bxax20120d)(xxfb

22、33x22bxax202ab2231ab4238,31a34b故運用積分法定此常數(shù) .機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2.求解：解：20dsin2sinxxnxIn的遞推公式(n為正整數(shù)) . 由于,dsin) 1(2sin201xxxnIn因此1nnII20d) 12cos(2xxn20dsinsin) 12cos(2xxxxn12) 1(21nn1nnII12) 1(21nn所以), 3 ,2(n2dcos2201xxI其中機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 第三節(jié)不定積分機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 一、定積分的換元法一、定積分的換

23、元法 換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法定積分的換元法和 分部積分法 第五章 一、定積分的換元法一、定積分的換元法 定理定理1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù), ,)(baCxf單值函數(shù))(tx滿足:1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t證證: 所證等式兩邊被積函數(shù)都延續(xù)所證等式兩邊被積函數(shù)都延續(xù), 因此積分都存在 ,且它們的原函數(shù)也存在 .,)()(的一個原函數(shù)是設(shè)xfxF是的原函數(shù) , 因此有那么baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 那么闡明闡明: :1)

24、 當 1 時收斂 ; p1 時發(fā)散 .,因此, 當 p 1 時, 反常積分收斂 , 其值為;11pap當 p1 時, 反常積分發(fā)散 . 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例3. 計算反常積分計算反常積分. )0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 二、無界函數(shù)的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分引例引例:曲線曲線xy1所圍成的1x與 x 軸, y 軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作10dxxA其含義可了解為 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02xy10A1xy機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定義定義2

25、. 設(shè)設(shè), ,()(baCxf而在點 a 的右鄰域內(nèi)無界,0取存在 ,xxfxxfbabad)(limd)(0這時稱反常積分xxfbad)(收斂 ; 假設(shè)上述極限不存在,就稱反常積分xxfbad)(發(fā)散 .類似地 , 假設(shè), ),)(baCxf而在 b 的左鄰域內(nèi)無界,xxfxxfbabad)(limd)(0假設(shè)極限baxxfd)(lim0數(shù) f (x) 在 a , b 上的反常積分, 記作那么定義機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 那么稱此極限為函 假設(shè)被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個第一類 闡明闡明: ,)(,)(外連續(xù)上除點在若bcacbaxf而在點 c 的無界函數(shù)的積分又稱作第二類反常

26、積分, 無界點常稱鄰域內(nèi)無界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220為瑕點(奇點) .例如,xxxd11112xxd) 1(11機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 延續(xù)點,而不是反常積分. 那么本質(zhì)上是常義積分, 那么定義留意留意: 假設(shè)瑕假設(shè)瑕點點,)()(的原函數(shù)是設(shè)xfxF的計算表達式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF那么也有類似牛 萊公式的假設(shè) b 為瑕點, 那么假設(shè) a 為瑕點, 那么假設(shè) a , b 都為瑕點, 那么, ),(bac那么xxfba

27、d)()()(cFbF)()(aFcF可相消嗎可相消嗎?機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 112dxx211111x下述解法能否正確: , 積分收斂例例4. 計算反常積分計算反常積分. )0(d022axaxa解解: 顯然瑕點為顯然瑕點為 a , 所以所以原式0arcsinaax1arcsin2機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例5. 討論反常積分討論反常積分112dxx的收斂性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常積分112dxx發(fā)散 .例例6. 證明反常積分證明反常積分baqaxx)(d證證: 當當 q = 1 時時,當 q 1 時收斂 ; q1 時

28、發(fā)散 .baaxxdbaax ln當 q1 時baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以當 q 1 時, 該廣義積分收斂 , 其值為;1)(1qabq當 q 1 時, 該廣義積分發(fā)散 .機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例7.解：解：,)2() 1() 1()(32xxxxxf設(shè)求.d)(1)(312xxfxfI)(20 xfxx為與 的無窮延續(xù)點, 故 I 為反常xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI202d)(1)(xxfxf322d)(1)(xxfxf積分.)(arctanxf)(arctanxf02)(arctanxf23222273