《高等數(shù)學》電子課件（自編教材）：第二章 第4節(jié) 隱函數(shù)及參數(shù)方程求導

1、1一、隱函數(shù)的導數(shù)二、對數(shù)求導法三、參數(shù)方程求導四、相關變化率五、小結第四節(jié) 隱函數(shù)及參數(shù)方程求導2定義定義: :.)(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導?隱函數(shù)求導法則隱函數(shù)求導法則: :用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導.xxyeysin2如如?dxdy如如何何求求一、隱函數(shù)的導數(shù)3例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導數(shù)的導數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對x0

2、 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 4例例2 2.,)23,23(,333線通過原點線通過原點在該點的法在該點的法并證明曲線并證明曲線的切線方程的切線方程點點上上求過求過的方程為的方程為設曲線設曲線CCxyyxC 解解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過原點顯然通過原點.53例例221dxydxeyy

3、求求已知已知,解：解：求導求導兩邊對兩邊對xyxeeyyyyyxeey1yey2222)()()(yyeyyeyyy 22222)()()(yyeeyyeeyyyyy 3223)()(yyey6例例4 4.)1 , 0(, 144處的值處的值在點在點求求設設yyxyx 解解求求導導得得方方程程兩兩邊邊對對x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求導得求導得兩邊再對兩邊再對將方程將方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy7觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexx

4、xy 方法方法: :先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù)方法求出導數(shù).-對數(shù)求導法對數(shù)求導法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個函數(shù)相乘和冪指函多個函數(shù)相乘和冪指函xvxu二、對數(shù)求導法8例例5 5解解 142) 1( 3111)4(1) 1(23xxxexxxyx所以等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對x142)1(3111 xxxyy.,)()(yexxxyx求求設設234119例例6 6解解.),0(sinyxxyx 求求設設等式兩邊取對

5、數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxylnsinln 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy所以)sinln(cossinxxxxxx 107例例.,)12(2dxdyxxxyxxx求求解：解：,)12(21xxxy令令對數(shù)求導得：對數(shù)求導得：) 1)(2(412ln)12(232221xxxxxxxxxdxdyx,2xxxy 令令對數(shù)求導得：對數(shù)求導得：xxyxlnln2xexxlnlnln) 1(ln12xxxxxxxxdxdyxdxdydxdydxdy21所以一般地一般地可用對數(shù)求導法?？捎脤?shù)求導法。)()()(xvxuxf11.,)

6、()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關系間的函數(shù)關系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty42xxy21所以消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導消參困難或無法消參如何求導?t三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)如如)cos(5)( 32ttyetxt?dxdy如何求12),()(1xttx 具有單調連續(xù)的反函數(shù)具有單調連續(xù)的反函數(shù)設函數(shù)設函數(shù))(1xy所以, 0)(,)(),( ttytx 且且都可導都可導再設函數(shù)再設函數(shù)由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得dxd

7、tdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx13,)()(二階可導二階可導若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd )()(ttdxd )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即dxdtttdtd)()( dtdxttdtd1)()( 14例例8 8解解dtdxdtdydxdyttcos1sintaatacossin2cos12sin2tdxdy所以. 1.方程處的切線在求擺線2)cos1 ()sin(ttayttax.),12(,2ayaxt時當所求切線

8、方程為所求切線方程為) 12(axay)22(axy即15例例9 9解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導數(shù)表示的函數(shù)的二階導數(shù)求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 )tan(tdxddxdttdtd)tan(dtdxtdtd1)tan(1610例例),(01sin3232xfyytettxy確定確定設設點的切線方程。點的切線方程。求曲線的對應求曲線的對應0t解解求導求導第二個方程對第二個方程對

9、t,sin1costetedtdyyydxdtdtdydxdydtdxdtdy 1261sin1costteteyy, 1, 30yxt因為,20edxdyt所以切線方程切線方程)3(21xey17.,)()(變化率稱為相關變化率變化率稱為相關變化率這樣兩個相互依賴的這樣兩個相互依賴的之間也存在一定關系之間也存在一定關系與與從而它們的變化率從而它們的變化率之間存在某種關系之間存在某種關系與與而變量而變量都是可導函數(shù)都是可導函數(shù)及及設設dtdydtdxyxtyytxx 相關變化率問題相關變化率問題: :已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?四、相關變化

10、率18例例1111解解?,500./140,500率率是是多多少少觀觀察察員員視視線線的的仰仰角角增增加加米米時時當當氣氣球球高高度度為為秒秒米米其其速速率率為為上上升升米米處處離離地地面面鉛鉛直直一一汽汽球球從從離離開開觀觀察察員員則則的仰角為的仰角為觀察員視線觀察員視線其高度為其高度為秒后秒后設氣球上升設氣球上升, ht500tanh求導得上式兩邊對tdtdhdtd5001sec2,/140秒米因為dtdh2sec,5002米時當h)/(14. 0分弧度所以dtd仰角增加率仰角增加率 米米500米米50019例例1212解解?,20,120,4000,/803水面每小時上升幾米水面每小時上

11、升幾米米時米時問水深問水深的水槽的水槽頂角為頂角為米米形狀是長為形狀是長為水庫水庫秒的體流量流入水庫中秒的體流量流入水庫中米米河水以河水以則則水庫內水量為水庫內水量為水深為水深為設時刻設時刻),(),(tVtht234000)(htV 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對 tdtdhhdtdV 38000,/288003小時米因為dtdV小時小時米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米時所以當 h20五、小結隱函數(shù)求導法則隱函數(shù)求導法則: : 直接對方程兩邊求導直接對方程兩邊求導;對數(shù)求導法對數(shù)求導法: : 對方程兩邊取對數(shù)對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)的求按隱函數(shù)的求導法則求導導法則求導;參數(shù)方程求導參數(shù)方程求導: 實質上是利用復合函數(shù)求導法則實質上是利用復合函數(shù)求導法則;相關變化率相關變化率: : 通過函數(shù)關系確定兩個相互依賴的通過函數(shù)關系確定兩個相互依賴的變化率變化率; ; 解法解法: : 通過建立兩者之間的關系通過建立兩者之間的關系, , 用鏈用鏈式求導法求解式求導法求解. .練習與思考題練習與思考題解答解答不對不對 xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 22222、求下列函數(shù)的導數(shù))01,0,0(xba