排列、組合、二項(xiàng)式定理ppt課件

1、陳列陳列組合組合二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理第九章第九章：t./ ；:；2一一. .兩個(gè)根本原理兩個(gè)根本原理加法原理：加法原理： 做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n類方法類方法第第1類方法中類方法中有有m1種不同的方法種不同的方法 第第2類方法中類方法中有有m2種不同的方法種不同的方法 第第n類方法中類方法中有有mn種不同的方法種不同的方法 那么完成這件事共有那么完成這件事共有Nm1+m2+mn種不同的方種不同的方法法(不論哪一類方法中的哪一種方法都能獨(dú)立完成這件事不論哪一類方法中的哪一種方法都能獨(dú)立完成這件事) 了解了解: 前提：做一件事完成它有前提：做一件事完成它有n類方法類方法在這在

2、這n類方法中選用任何一種方法都可完成這件事類方法中選用任何一種方法都可完成這件事完成這件事的各種方法是相互獨(dú)立的、互斥的完成這件事的各種方法是相互獨(dú)立的、互斥的,：t./ ；:；2一一. .兩個(gè)根本原理兩個(gè)根本原理乘法原理：乘法原理： 做一件事完成它需求分做一件事完成它需求分n n個(gè)歩驟：個(gè)歩驟： 做第做第1歩歩有有m1種不同的方法種不同的方法做第做第2歩歩有有m2種不同的方法種不同的方法做第做第n歩歩有有mn種不同的方法種不同的方法 那么完成這件事共有那么完成這件事共有N Nm1m1m2m2mnmn種不同的方法種不同的方法 需求依次完成一切歩驟才干完成這件事，而完成需求依次完成一切歩驟才干完

3、成這件事，而完成每一個(gè)歩驟各自有假設(shè)干方法，即各歩驟不可短少每一個(gè)歩驟各自有假設(shè)干方法，即各歩驟不可短少 了解了解: 兩個(gè)根本原理的區(qū)別：兩個(gè)根本原理的區(qū)別：)()(串聯(lián)乘法原理并聯(lián)加法原理一一. .兩個(gè)根本原理兩個(gè)根本原理附加：附加： 抽屜原理：抽屜原理： 把把n個(gè)不同物體放入個(gè)不同物體放入m個(gè)抽屜里的放入方法有個(gè)抽屜里的放入方法有mn種種？這樣的復(fù)數(shù)共有多少個(gè)為非負(fù)整數(shù)且、，其中復(fù)數(shù)例 , 5|. 1zbabiaz確定不同映射的個(gè)數(shù)可以到求從集合例 BA,A. 2fedBdcba一一. .兩個(gè)根本原理兩個(gè)根本原理多少個(gè)不同的三位數(shù)？張排放在一起，可組成將其中與、與、與、與張卡片的正反面分別

4、有例3 , 765432104 . 3.3543210. 4整除的四位數(shù)可組成多少個(gè)能被、用數(shù)字例.)()(,4 , 3 , 3, 0. 5222數(shù)所表示的不同的圓的個(gè)時(shí)求方程：、當(dāng)例rbyaxMrbaM二二. .陳列及其運(yùn)用陳列及其運(yùn)用陳列定義：陳列定義： 從從n n個(gè)不同元素中，任取個(gè)不同元素中，任取m(nm)m(nm)個(gè)元個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做素，按照一定的順序排成一列，叫做從從n n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m m個(gè)元素的一個(gè)個(gè)元素的一個(gè)陳列陳列( (樹(shù)圖樹(shù)圖). ). 問(wèn)：一個(gè)陳列指什么？問(wèn)：一個(gè)陳列指什么？陳列數(shù)：陳列數(shù)： 從從n n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中

5、取出m(nm)m(nm)個(gè)元素的一個(gè)元素的一切陳列的個(gè)數(shù)，叫做從切陳列的個(gè)數(shù)，叫做從n n個(gè)不同元素中取個(gè)不同元素中取出出m m個(gè)元素的陳列數(shù)，個(gè)元素的陳列數(shù)， 問(wèn)：一切陳列指什么？問(wèn)：一切陳列指什么？ 陳列數(shù)公式：陳列數(shù)公式： 從從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的陳個(gè)元素的陳列數(shù)，記為列數(shù)，記為mnP)!(!)1()2)(1(mnnmnnnnPmn!123)2)(1(nnnnPnn1! 0 規(guī)定：規(guī)定： 常用方法：常用方法： (1)直接法 (2)間接法：間接法： 處置處置“至多或至多或“至少一類問(wèn)題非常有效求其反面至少一類問(wèn)題非常有效求其反面(3)優(yōu)選法：優(yōu)選法： 部分元素要排在

6、某些特殊位置時(shí)要優(yōu)先予以思索。部分元素要排在某些特殊位置時(shí)要優(yōu)先予以思索。 (4)排除法：排除法： 反面情形較為簡(jiǎn)單，可計(jì)算反面情形再?gòu)囊磺星樾畏疵媲樾屋^為簡(jiǎn)單，可計(jì)算反面情形再?gòu)囊磺星樾沃袦p去中減去. . (5)捆綁法：捆綁法： 部分元素要連排在一同時(shí)，可將它們陳列后視為部分元素要連排在一同時(shí)，可將它們陳列后視為一個(gè)元素再和其它陳列一個(gè)元素再和其它陳列( (相鄰問(wèn)題相鄰問(wèn)題). ). (6)插空法：插空法： 某些元素要求隔開(kāi)或順序有規(guī)定時(shí)，可先排其他某些元素要求隔開(kāi)或順序有規(guī)定時(shí)，可先排其他元素元素(不相鄰問(wèn)題不相鄰問(wèn)題)例例2.7人排成一排，其中甲乙兩人不相鄰的排人排成一排，其中甲乙兩人不

7、相鄰的排 法有多少？法有多少？例例1.知集合知集合A=a1,a2,a3,B=b1,b2,b3,b4,b5,b6,假設(shè)假設(shè)A中的不同元素對(duì)應(yīng)到中的不同元素對(duì)應(yīng)到B中的不同象，那么中的不同象，那么這樣的映射個(gè)數(shù)其有這樣的映射個(gè)數(shù)其有( )A. 3 B. 20 C . 64 D. 120例例3.7名師生站成一排照相留念，其中教師名師生站成一排照相留念，其中教師1人，男生人，男生4人，女生人，女生2人，在以下情況下，各人，在以下情況下，各自不同站法多少種？自不同站法多少種？(1).兩名女生必需相鄰而站兩名女生必需相鄰而站.(2).4名男生互不相鄰名男生互不相鄰.(3).假設(shè)假設(shè)4名男生身高都不等且男生

8、按從高究名男生身高都不等且男生按從高究竟的一種順序站竟的一種順序站.(4).教師不站中間，女生不站兩端教師不站中間，女生不站兩端.(5).女生甲不站左端，女生乙不站右端女生甲不站左端，女生乙不站右端.例例5.知甲組有知甲組有2n人，乙組有人，乙組有n+1人，設(shè)從甲組人，設(shè)從甲組中選出中選出3人分別參與數(shù)理化三科競(jìng)賽人分別參與數(shù)理化三科競(jìng)賽(每科限每科限一人參與一人參與)的選法數(shù)是的選法數(shù)是x，從乙組中選出，從乙組中選出4人站人站成一排照相的站法數(shù)是成一排照相的站法數(shù)是y，假設(shè)，假設(shè)x=2y,求求n、x、y.例例4.由由1、2、3、4、5組成沒(méi)有反復(fù)數(shù)字的五組成沒(méi)有反復(fù)數(shù)字的五位數(shù)位數(shù)120個(gè)，

9、把這些五位數(shù)從小到大的順序陳個(gè)，把這些五位數(shù)從小到大的順序陳列起來(lái)。列起來(lái)。 (1).43251是第幾個(gè)數(shù)是第幾個(gè)數(shù)? (2).寫出第寫出第93個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)?二二. .組合及其運(yùn)用組合及其運(yùn)用組合定義：組合定義： 從從n n個(gè)不同元素中，任取個(gè)不同元素中，任取m(nm)m(nm)個(gè)元個(gè)元素并成一組，叫做從素并成一組，叫做從n n個(gè)不同元素中取個(gè)不同元素中取出出m m個(gè)元素的一個(gè)組合個(gè)元素的一個(gè)組合( (樹(shù)圖樹(shù)圖). ). 問(wèn)：一個(gè)組合指什么？問(wèn)：一個(gè)組合指什么？組合數(shù)：組合數(shù)： 從從n n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m(nm)m(nm)個(gè)元素的一個(gè)元素的一切組合的個(gè)數(shù)，叫做從切組合的個(gè)數(shù)，叫做

10、從n n個(gè)不同元素中取個(gè)不同元素中取出出m m個(gè)元素的組合數(shù)，個(gè)元素的組合數(shù)， 問(wèn)：一切組合指什么？問(wèn)：一切組合指什么？ 組合數(shù)公式：組合數(shù)公式： 從從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組個(gè)元素的組合數(shù)，記為合數(shù)，記為mnC)!( !) 1()2)(1(mnmnmmnnnnPPCmmmnmn10nnnCC規(guī)定：規(guī)定：組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)： 定理定理1：mnnmnCC定理定理2：11mnmnmnCCC排列排列組合組合順序問(wèn)題順序問(wèn)題 與元素的順序有關(guān)與元素的順序有關(guān)與元素的順序無(wú)關(guān)與元素的順序無(wú)關(guān)相同相同 與與相異相異ab與與ba是不同的排列是不同的排列abc與與abd是

11、不同的排列是不同的排列abd與與abd是相同的排列是相同的排列ab與與ba是相同的組合是相同的組合abc與與abd是不同的組合是不同的組合公式公式規(guī)定規(guī)定陳列與組合關(guān)系：陳列與組合關(guān)系：)!(!mnnPmn)!( !mnmnPPCmmmnmn1! 0 10nnnCC例例1.從從4個(gè)不同元素個(gè)不同元素a、b、c、d中取出中取出3個(gè)元個(gè)元素的陳列與組合關(guān)系：素的陳列與組合關(guān)系：組合組合 陳列陳列 cba abcacbbcabaccabcba dba dca abdadbbdabaddabdba acdadccdacaddacdca dcb bcdbdccdbcbddbcdcb mnCmnPmmmn

12、mnPCP例例1.91.9人分往人分往3 3處勞動(dòng)，假設(shè)處勞動(dòng)，假設(shè)(1)(1)甲處要甲處要4 4人，乙處要人，乙處要3 3人，丙處要人，丙處要2 2人，有幾種分法人，有幾種分法. .(2)(2)一處要一處要4 4人，一處要人，一處要3 3人，一處要人，一處要2 2人，有幾種分法人，有幾種分法. .例例2.2.從從4 4名男生和名男生和5 5名女生中任選出名女生中任選出3 3名，其中至少男女名，其中至少男女生各一名，那么不同取法有生各一名，那么不同取法有 ( ) ( )A.140 B.80 C.70 D.35A.140 B.80 C.70 D.35例例3.3.在在100100件產(chǎn)品中，有件產(chǎn)品

13、中，有4 4件次品，現(xiàn)恣意抽出件次品，現(xiàn)恣意抽出5 5件，件，其中至少有其中至少有1 1件是次品的抽法有多少？件是次品的抽法有多少？例例4.4.從四面體頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共從四面體頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共1010個(gè)點(diǎn)中任取個(gè)點(diǎn)中任取4 4個(gè)不共個(gè)不共面的點(diǎn)，不同取法有面的點(diǎn)，不同取法有 ( ) ( )A.150A.150種種 B.147 B.147種種 C.144 C.144種種 D.141 D.141種種例例5.105.10名優(yōu)秀學(xué)生名額分到名優(yōu)秀學(xué)生名額分到6 6個(gè)班，每班至少一個(gè)名額個(gè)班，每班至少一個(gè)名額的分法有多少種？的分法有多少種？例例6.116.11名學(xué)生中有名學(xué)生中有5 5名只會(huì)英語(yǔ)，名只會(huì)

14、英語(yǔ)，4 4名只會(huì)日語(yǔ)，名只會(huì)日語(yǔ)，2 2人人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，從中選出既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，從中選出4 4人參與英語(yǔ)競(jìng)賽，人參與英語(yǔ)競(jìng)賽，4 4人人參與日語(yǔ)競(jìng)賽有多少種不同的選參與日語(yǔ)競(jìng)賽有多少種不同的選 法？法？例例7.7.四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1 1、2 2、3 3、4 4的四個(gè)盒的四個(gè)盒 中那么中那么4 4個(gè)有一個(gè)是空盒的放法有多少種個(gè)有一個(gè)是空盒的放法有多少種. .例例8.8.從從1 1、2 2、3 3、4 4、9 9九個(gè)數(shù)字中，選出九個(gè)數(shù)字中，選出3 3個(gè)不同個(gè)不同的數(shù)字作為的數(shù)字作為y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c的系數(shù)且的系數(shù)且abcabc，這種系

15、數(shù)有，這種系數(shù)有多少種多少種例例9.(9.(走路問(wèn)題走路問(wèn)題)( )(方法方法: :數(shù)格子數(shù)格子) )如圖在某如圖在某城市中城市中MM、N N兩地之間有整齊的道路網(wǎng)，兩地之間有整齊的道路網(wǎng)，假設(shè)規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿假設(shè)規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中道路前進(jìn)，那么圖中道路前進(jìn)，那么MM到到N N不同的走法不同的走法共有：共有：A.25 B.15 C.13 D.10A.25 B.15 C.13 D.10例例10.(10.(組生長(zhǎng)方形問(wèn)題組生長(zhǎng)方形問(wèn)題)( )(方法方法: :數(shù)線數(shù)線) )如上圖可組成多少如上圖可組成多少個(gè)長(zhǎng)方形個(gè)長(zhǎng)方形. .MN三三. .二項(xiàng)式定理及其運(yùn)用二項(xiàng)式定理及其運(yùn)

16、用nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba1110)(一一. .二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式項(xiàng)數(shù)項(xiàng)數(shù) 楊輝三角楊輝三角二二. .二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)rrnrnrbaCT1是第幾項(xiàng)是第幾項(xiàng)? ?是第是第r+1r+1項(xiàng)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)rnC三三. .二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的中間項(xiàng)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的中間項(xiàng)n n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí): :中間項(xiàng)為中間項(xiàng)為第第n n為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí): :中間項(xiàng)為中間項(xiàng)為第第21212112121 nnnnnnnbaCTT即2221212nnnnnbaCTn項(xiàng)，即項(xiàng)，項(xiàng)或第12121nn212121121 nnnnnnbaCT或中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

17、最大中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大四四. .二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù) 的性質(zhì)的性質(zhì)nxxf)()( 1rnC首先構(gòu)建一個(gè)函數(shù)式首先構(gòu)建一個(gè)函數(shù)式nnnnnnnnxCxCxCxCCxxf3322101)()(nnnnnnnCCCCCx2113210時(shí)則當(dāng)).(01123210nnnnnnnCCCCCx)().(時(shí)則當(dāng)1531420221nnnnnnnCCCCCC.)(得由nnnnnnnniCiCiCiCCiix33221013)().(時(shí)當(dāng))sin(cos)sin(cos4424422nininnnnnnrrnrnnnnnnnnxbCbxaCxbaCbxaCaCbxaxf)()()( 2222110nnxa

18、xaxaxaa332210結(jié)論：結(jié)論：42126420nCCCCnnnnncos).(42227531nCCCCnnnnnsin).(五五.區(qū)別區(qū)別“二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)式展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)式展開(kāi)式中“某項(xiàng)的系某項(xiàng)的系數(shù)數(shù)例如例如nCCCnnnnn求若例218722212221.(1)求展開(kāi)式：求展開(kāi)式：的展開(kāi)式求例8211)(.x六六.二項(xiàng)式定理題型二項(xiàng)式定理題型443322104323xaxaxaxaax)(.若例2312420)()(aaaaa求 4283狀例P.22AB, A15Bxn求和為，偶數(shù)項(xiàng)之展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)之和為已知例)(.(2)求證整除問(wèn)題：求證整除問(wèn)題：.)(:.整除能被求證例64 983122Nnnn?.天是星期幾再過(guò)今天是星期二例1002,2(3)證明恒等式證明恒等式1nn3n2n1n2CC3C2C:1nnn求證例 .nnCnnn22nn22n21n20n2CCC(C:2!)!()()()().求證例(4)求近似問(wèn)題求近似問(wèn)題8599980 2 (1.003) (1).:0.001)(1.).().(精確到求近似值例組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)的運(yùn)用組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)的運(yùn)用 定理定理1：mnnmnCC定理定理2：11mnmnmnCCC例例1：填空：填空 CCC(1).C