解三角形(教案)精

1、解三角形適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級(jí)高中二年級(jí)適用區(qū)域廣東省課時(shí)時(shí)長（分鐘）60 知識(shí)點(diǎn)1 正弦定理及其應(yīng)用2 余弦定理及其應(yīng)用3. 三角形面積公式的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)掌握解三角形的題型，總結(jié)歸納解題方法教學(xué)重點(diǎn)正弦定理余弦定理綜合應(yīng)用，解三角形教學(xué)難點(diǎn)正弦定理余弦定理綜合應(yīng)用，解三角形教學(xué)過程一、 復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1內(nèi)角和定理；2正弦定理；3余弦定理；二、知識(shí)講解考點(diǎn) 1 內(nèi)角和定理：在中，；面積公式 : ；在三角形中大邊對(duì)大角，反之亦然. 考點(diǎn) 2 正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它的所對(duì)角的正弦的比相等. 形式一： ( 解三角形的重要工具 ) 形式二： ( 邊角轉(zhuǎn)化的重要工具 ) 形式三：形式四：，考點(diǎn) 3 余

2、弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍 . 形式一：( 解三角形的重要工具 ) 形式二：三、 例題精析【例 1】【題干】在中，若，則. 【解析】正弦定理的直接應(yīng)用【答案】：【例 2】【題干】在 abc中，已知= ，= ，b=45 ，求 a、c和. 【解析】：正弦定理的應(yīng)用【答案】 b=45 90且sinb b，abc有兩解. 由正弦定理得 sina= = = ，則 a為 60或 120.當(dāng) a=60 時(shí)，c=180 -(a+b)=75，c= = = = . 當(dāng) a=120時(shí)，c=180 - (a+b)=15，c= = = = . 故在abc中，a=

3、60 ，c=75 ， c= 或 a=120 ，c=15 ，= 【例 3】【題干】設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為. 已知，. （）求的周長；（）求的值. 解題思路：本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式和余弦定理，同時(shí)考查基本運(yùn)算能力【解析】：（）的周長為. （），故為銳角，. 【注】常利用到的三角公式兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：【例 4】 設(shè)的內(nèi)角 a、b、c的對(duì)邊長分別為、，且 3 +3 -3 =4 . () 求 sina 的值；()求的值. 【解析】：（）由余弦定理，得，又，故. （）原式 = . 【例 5】在abc中，內(nèi)角 a，b，c的對(duì)邊分別為，c已知（i ）求的值；（ii ）若 c

4、osb= ，abc的周長為 5，求的長?！窘馕觥浚海ǎ┯烧叶ɡ?，設(shè)則所以即，化簡可得又，所以因此（）由得由余弦定得及得所以又從而因此 b=2?！舅伎肌康降住熬唧w什么情況下邊化角，什么情況下角化邊”【例 6】在中，內(nèi)角 a、b、c的對(duì)邊長分別為、，已知，且求 b. 解題思路：對(duì)已知條件 (1) 左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的，可以考慮余弦定理；而對(duì)已知條件(2) 化角化邊都可以?！窘馕觥浚悍ㄒ唬涸谥校瑒t由正弦定理及余弦定理有: 化簡并整理得：. 又由已知. 解得. 法二: 由余弦定理得 : . 又，. 所以又，即由正弦定理得，故由，解得. 【思考】面對(duì)解三角形，可以考慮正弦定理，也可以考慮余弦定理，

5、兩種方法只是計(jì)算量上的差別。四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1. （1）abc中，=8，b=60 ，c=75 ，求; （2）abc中，b=30 ，=4，c=8，求 c 、a、a. 【解析】（ 1）由正弦定理得. b=60 ，c=75 ，a=45 ，b=4 . （2）由正弦定理得sinc= =1. 又30 c150，c=90 .a=180 - (b+c)=60，= =4 . 2. 在abc中，、分別是角 a，b，c的對(duì)邊，且=- . （1）求角 b的大??；（2）若= ，+ =4，求abc的面積 . 【解析】（ 1）由余弦定理知： cosb= ，cosc= . 將上式代入=- 得: =- 整理得 : 2+ 2

6、- 2=- cosb= =- b 為三角形的內(nèi)角， b=. （2）將= ，+ =4，b= 代入2= 2+ 2-2 cosb，得2=( + )2-2 -2 cosb 2=16-2 ，=3. sabc=sinb= . 【鞏固】1. 在abc中，a、b、c 分別是角 a、b、c的對(duì)邊，且 8sin2 2cos2a7（1）求角 a的大?。唬?）若 a，bc3，求 b 和 c 的值【解析】：（ 1）abc180，90 sin由 8sin2 2cos2a7，得 8cos2 2cos2a7 4(1 cosa)2(2cos2a1)7，即(2cosa1)20 cosa 0 a180，a60（2）a，a60，由余

7、弦定理知 a2b2c22bccosa， 3 b2c2bc(bc)2 3bc93bcbc2又 bc3，b1，c2 或 b2，c12. 設(shè)abc的內(nèi)角 a，b，c的對(duì)邊分別為，b，c，且 a= ，c=3b.求：（）的值；（） cotb+cot c 的值. 解題思路：求的值需要消去角和b；三角求值問題一般先考慮尋找角之間的關(guān)系【解析】：（）由余弦定理得，解得. （）【解法一】：由正弦定理和（）的結(jié)論得故【解法二】：由余弦定理及（）的結(jié)論有故同理可得從而【拔高】1. 中，所對(duì)的邊分別為，. （1）求；（2）若，求. 【解析】： (1) 因?yàn)?，即，所以，即，? 所以，或( 不成立 ). 即， 得，所以

8、 . 又因?yàn)椋瑒t，或（舍去）得(2) ，又， 即，得課程小結(jié)1正弦定理的應(yīng)用2余弦定理的應(yīng)用課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1. 已知abc中，則。2. 在中，若，則 a= 。3. 已知，分別是 abc的三個(gè)內(nèi)角 a，b，c所對(duì)的邊，若=1，= ， a+c=2b ，則 sinc=. 4. 在中，=15，=10，a=60 ，則= a b c d 5. 在abc中，角 a、b、c的對(duì)邊分別為、，若( 2+ 2-b2)tanb= ，則角 b的值為a. b. c. 或 d. 或6. 在abc中，內(nèi)角 a，b，c的對(duì)邊分別是，若，則 a=（）（a）（b）（c ）（d ）7. 在中，三個(gè)角的對(duì)邊邊長分別為，則的值為 .

9、【鞏固】8. 在中，角的對(duì)邊分別為，。（）求的值；（）求的面積 . 9. 在中，（）求 ab的值。（）求的值?！景胃摺?0. 已知的周長為，且（i ）求邊的長；（ii ）若的面積為，求角的度數(shù)11在中，角、所對(duì)應(yīng)的邊分別為、，且滿足（i ）求角的值；（ii ）若，求的值【參考答案】1. 2.1 3. 1 【解析】由 a+c=2b 及 a+ b+ c=180知，b =60由正弦定理知，即由知，則，4.d 【解析】根據(jù)正弦定理可得解得，又因?yàn)?，則，故 b為銳角，所以，故 d正確. 5. d 6.a 【解析】由由正弦定理得，所以 cosa= = ，所以 a=300 7. 8【解析】（） a、b、c為abc的內(nèi)角，且，. （）由（）知，又，在 abc中，由正弦定理，得. abc的面積