固體物理習(xí)題及答案

1、固體物理第一章習(xí)題及參考答案1題圖 11 表示了一個(gè)由兩種元素原子構(gòu)成的二維晶體，請(qǐng)分析并找出其基元，畫(huà)出其布喇菲格子，初基元胞和ws 元胞，寫(xiě)出元胞基矢表達(dá)式。解：基元為晶體中最小重復(fù)單元，其圖形具有一定任意性（不唯一）其中一個(gè)選擇為該圖的正六邊形。把一個(gè)基元用一個(gè)幾何點(diǎn)代表，例如用b 種原子處的幾何點(diǎn)代表 （格點(diǎn)） 所形成的格子即為布拉菲格子。初基元胞為一個(gè)晶體及其空間點(diǎn)陣中最小周期性重復(fù)單元，其圖形選擇也不唯一。其中一種選法如圖所示。ws 也如圖所示。左圖中的正六邊形為慣用元胞。2.畫(huà)出下列晶體的慣用元胞和布拉菲格子，寫(xiě)出它們的初基元胞基矢表達(dá)式，指明各晶體的結(jié)構(gòu)及兩種元胞中的原子個(gè)數(shù)和

2、配位數(shù)。(1) 氯化鉀（ 2）氯化鈦（3）硅（4）砷化鎵（5）碳化硅（ 6）鉭酸鋰（7）鈹（8）鉬（9）鉑解：名稱(chēng)分子式結(jié)構(gòu)慣用元胞布拉菲格子初基元胞中原子數(shù)慣用元胞中原子數(shù)配位數(shù)氯化鉀kcl nacl 結(jié)構(gòu)教材圖 117（b）教材 fcc圖 112 2 8 6 氯化鈦ticl 氯化銫結(jié)構(gòu)圖 118 s.c 2 2 8 硅si 金剛石圖 119 f.c.c 2 8 4 砷化鎵gaas 閃鋅礦圖 120 f.c.c 2 8 4 碳化硅sic 閃鋅礦圖 120 f.c.c 2 8 4 鉭酸鋰litao3鈣鈦礦圖 1-21 s.c 5 5 2.6.12 鈹be hcp 圖 124 簡(jiǎn)單六角2 6 1

3、2 鉬mo bcc b.c.c 1 2 8 鉑pt fcc f.c.c 1 4 12 基矢表示式參見(jiàn)教材（1 5） 、 （16） 、 （17）式。11.對(duì)于六角密積結(jié)構(gòu)，初基元胞基矢為1a=jia3(2jiaa3(22求其倒格子基矢，并判斷倒格子也是六角的。解：j正空間倒空間ji i (a) (b) 由倒格基失的定義，可計(jì)算得3212aab=a2)31(jijiaaab31(22132kcaab22213正空間二維元胞（初基）如圖（a）所示，倒空間初基元胞如圖（b）所示（1）由21bb 、組成的倒初基元胞構(gòu)成倒空間點(diǎn)陣，具有c6操作對(duì)稱(chēng)性，而c6對(duì)稱(chēng)性是六角晶系的特征。（2）由21aa 、構(gòu)成

4、的二維正初基元胞，與由21bb 、構(gòu)成的倒初基元胞為相似平行四邊形，故正空間為六角結(jié)構(gòu)，倒空間也必為六角結(jié)構(gòu)。12用倒格矢的性質(zhì)證明，立方晶格的（hcl）晶向與晶面垂直。證：由倒格矢的性質(zhì)，倒格矢321blbkbhghkl垂直于晶面（h、k、l） 。由晶面向定義（ h、k、l）晶向，可用矢量a表示。a321alakah，倒格基矢的定義)(2321aab)(2132aab)(2213aab在立方晶格中，可取321aaa、相互垂直且321aaa,則可得知11|ba,22|ba, 33|ba, 且1b=|2b|=3b設(shè)iiab=m（為常值，且有量綱，即不為純數(shù)）則malakahmgh k l）321

5、(a則h k lg與a平行。證畢若以上正、倒基矢，換為正、倒軸矢，以上證明仍成立，則可用于fcc 和 bcc 晶格。13.若軸矢cba、構(gòu)成簡(jiǎn)單正交系，證明。晶面族（h、k、l）的面間距為2222)()()(1clbkahhkld證 1：把原點(diǎn)選在該面族中任意一晶面上任一點(diǎn)，設(shè)相鄰晶面分別與正交系cba、交于lckbha、處，同一晶面族中，相鄰晶面的面間矩相同，故只要求得原點(diǎn)與相鄰晶面的距離即可。由平面的截距式方程，可把該晶面方程寫(xiě)為；1lckbhazyx又由點(diǎn)面間矩離的公式，可求得原點(diǎn)與該晶面的距離d=222)()()(1clbkah由該式可知，面指數(shù)（h、k、l）為小值的晶面族，面間距d

6、大， ，面間距d 大，則相鄰二個(gè)面上的原子間的作用力就小，致使沿著該方向容易解理（劈裂）。證 2：若正空間基矢為簡(jiǎn)單正交，由倒格基矢的定義jjba=2ij，則對(duì)應(yīng)的倒格基矢321bbb、也構(gòu)成正交系。晶面族（ h k l）對(duì)應(yīng)的倒格矢321blbkbhghkl因?yàn)?21bbb、相互正交。所以hklg2232221)()()(lbkbhb=(22222)()()()321alakah（注：這里aa、1ba2ca3）由倒格矢的性質(zhì)dhkl=322)()()(12321alakahhklgthe end 16、用 x 光衍射對(duì)al 作結(jié)構(gòu)分析時(shí)，測(cè)得從(111)面反射的波長(zhǎng)為1.54? 反射角為=1

7、9.20求面間距d111。解：由布拉格反射模型，認(rèn)為入射角反射角由布拉格公式2dsin =d=sin2n對(duì)主極大取 n=1 d=02.19sin254.1=2.34(? ) 17試說(shuō)明： 1勞厄方程與布拉格公式是一致的；2勞厄方程亦是布里淵區(qū)界面方程；解： 1由坐標(biāo)空間勞厄方程：2)(0kkrl與正倒格矢關(guān)系2hlkr比較可知：若0kkkh成立即入射波矢0k，衍射波矢k之差為任意倒格矢hk，則k方向產(chǎn)生衍射光，0kkkh式稱(chēng)為倒空間勞厄方程又稱(chēng)衍射三角形。k khk0 現(xiàn)由倒空間勞厄方程出發(fā)，推導(dǎo)blagg 公式，彈性散射0kk由倒格子性質(zhì)，倒格矢hk垂直于該晶面族。所以，hk的垂直平分面必與

8、該晶面族平行。由圖可得知： |hk| 2ksin sin4 (a) 又若 |hk| 為該方向的最短倒格矢，由倒格矢性質(zhì)有：|hk| d2若hk不是該方向最短倒格失，由倒格子周期性 |hk| n|hk| d2.n （b）比較（ a） 、 （ b）二式可得 2dsinn即為 blagg 公式。2 、倒空間勞厄方程hkkk0又稱(chēng)衍射三角形，由上圖可知因?yàn)槭菑椥陨⑸?|k| |0k| 該衍射三角形為等腰三角形，hk又為倒格矢，即hk二端均為倒格點(diǎn)。所以，入射波從任一倒格點(diǎn)出發(fā)，若指到任一倒格矢的中垂直面上時(shí)，才有可能滿足衍射三角形，又由布里淵區(qū)邊界的定義，可知，布里淵區(qū)邊界即為倒格矢中垂直面，所以原命

9、題成立。18在圖 149（b）中，寫(xiě)出反射球面p、q兩點(diǎn)的倒格矢表達(dá)式以及所對(duì)應(yīng)的晶面指數(shù)和衍射面指數(shù)。解：由圖149（b）所示，1b,2b0p 倒格矢 31b2b對(duì)應(yīng)的衍射晶面指數(shù)（3， 1）化為（ 3，1）0q 倒格矢 21b對(duì)應(yīng)衍射晶面指數(shù)（2， 0）化為（ 1， 0）19求金剛石的幾何結(jié)構(gòu)因子，并討論衍射面指數(shù)與衍射強(qiáng)度的關(guān)系。解：每個(gè)慣用元胞中有八個(gè)同類(lèi)原子，其坐標(biāo)為000, 21210, 21021, 02121414141, 434341, 434143, 414343結(jié)構(gòu)因子shkl)(2lwkvhuief=)()()()(21lkhihlilkikhieeeef)33()33

10、()33(222lkhilkhilkhieee前四項(xiàng)為fcc 的結(jié)構(gòu)因子，用ff表示從后四項(xiàng)提出因子)(2lkhieshkl ff)()()()(12lkilhikhilkhieeeefff+ff)(2lkhieff1+)(2lkhie衍射強(qiáng)度i2hkls2h k ls)()(22211lkhilkhifeef=)()(2222lkhilkhifeef用尤拉公式2hklsf2)(2cos12lkhf討論1. 當(dāng) h、k、l 為奇異性數(shù)（奇偶混雜）時(shí)ff=0 所以2hkls0 2當(dāng) h、 k、l 為全奇數(shù)時(shí)22232)4(22fffsflkh3當(dāng) h、k、l 全為偶數(shù)，且h+k+l 4n (n

11、為任意整數(shù) ) 2222.64164) 11(2fffsflkh當(dāng) h.k,l 全為偶數(shù)，但h+k+l4n 則 h+k+l 2(2n+1) 0)11(222.fslkh補(bǔ)充 1.說(shuō)明幾何結(jié)構(gòu)因子sh和坐標(biāo)原點(diǎn)選取有關(guān)，但衍射譜線強(qiáng)度和坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)。解：幾何結(jié)構(gòu)因子shrsief式中： f 為元胞內(nèi)第個(gè)原子的散射因子。r為元胞內(nèi)第個(gè)原子的位矢若新坐標(biāo)系相對(duì)原坐標(biāo)系有一位移r則)(rrsihefs shrsie由于一般rsie1 所以nhss即幾何結(jié)構(gòu)因子與坐標(biāo)原點(diǎn)選取有關(guān)。而衍射譜線強(qiáng)度正比與幾何結(jié)構(gòu)因子模的平方i22)(hhhrsihrsihhsssesess（所以譜線強(qiáng)度與坐標(biāo)原點(diǎn)選取無(wú)關(guān)。

12、固體物理 第二章 習(xí)題及參考答案1已知某晶體兩相鄰原子間的互作用能可表示成nmrbraru)(1) 求出晶體平衡時(shí)兩原子間的距離；(2) 平衡時(shí)的二原子間的結(jié)合能；(3) 若取 m=2,n=10,兩原子間的平衡距離為3?,僅考慮二原子間互作用則離解能為4ev，計(jì)算 a 及 b 的值；（4）若把互作用勢(shì)中排斥項(xiàng)b/rn改用玻恩梅葉表達(dá)式exp(-r/p), 并認(rèn)為在平衡時(shí)對(duì)互作用勢(shì)能具有相同的貢獻(xiàn)，求n 和 p 間的關(guān)系。解： (1)平衡時(shí)010100nmrbnramrru得ambnrmn0mnambnr1)(0(2)平衡時(shí)把 r0表示式代入u(r) u(r0)=mnnmnmambnbambna

13、)()(=mnmnmnmnnmmnbamnabnm)()(（3）由 r0表示式得：81)5(10310ab若理解為互作用勢(shì)能為二原子平衡時(shí)系統(tǒng)所具有的能量，由能量最小原理，平衡時(shí)系統(tǒng)能量具有極小值， 且為負(fù)值； 離解能和結(jié)合能為要把二原子拉開(kāi)，外力所作的功， 為正值， 所以，離解能結(jié)合能互作用勢(shì)能，由u(r)式的負(fù)值，得101021019)103()103(106.14ba化簡(jiǎn)為80101039104.6ba略去第二項(xiàng)a=5.76 102上式代入a 值得b=7.55 10-75(4)由題意得ex (-r0/ )br-n* ln r0/ =lnbnlnr0nlnror0/ lnb/0lnln0r

14、nbr又解： *式兩邊對(duì)r0求導(dǎo)，得：/ex (-r0/ ) bnr-n+1, 與*式比較得：n/r0 =1/得： r0 = n2.n 對(duì)離子組成的nacl 晶體相互作用勢(shì)能為rerbnrun024)(1)證明平衡原子間距為nebrn20104(2)證明平衡時(shí)的互作用勢(shì)能為)11(4)(0020nrneru(3)若試驗(yàn)試驗(yàn)測(cè)得nacl 晶體的結(jié)合能為765kj/mol, 晶格常數(shù)為5.63 10-10m，計(jì)算 nacl晶體的排斥能的冪指數(shù)n，已知 nacl 晶體的馬德隆常數(shù)是1.75 證：（1）2021)1(4)(reenbndrdun)4(1202nrbnren令00rrdrdu得20104

15、ebnrn證畢（2）把以上結(jié)果代入u(r)式，并把r 取為 r01120112020)(4)()(402440nnebnebnebnebnru= n)11(4002nre若認(rèn)為結(jié)合能與互作用能符號(hào)相反，則上式乘“”證畢（3）由（ 2）之結(jié)論整理可得)(400022rurenenn式中阿氏常數(shù)n6.0 1023電子電量e=1.6 10-19庫(kù)侖真空介電常數(shù)0=8.85 10-12法/米若題中r0為異種原子的間矩，r00.5 5.63 1010m u(r0)=-765000j/mol （平衡時(shí)互作用勢(shì)能取極小值，且為負(fù)，而結(jié)合能為正值）馬德隆常數(shù)=1.75 2000)(411enrurn8.811

16、3823510121056.275.1100.61065,71082.21085.814.343如果把晶體的體積寫(xiě)成vnr3式中 n 是晶體中的粒子數(shù)；r 是最近鄰粒子間距；是結(jié)構(gòu)因子，試求下列結(jié)構(gòu)的值(1) fcc (2) bcc (3) nacl (4) 金剛石解：取一個(gè)慣用元胞來(lái)考慮結(jié)構(gòu)v0n0 r0fcc a3 4 a2222bcc a32 a232334nacl a38 2a1 金剛石a38 a4323384證明：由兩種離子組成的，間矩為r0的一維晶格的馬德隆常數(shù) ln 2 . 證：由馬德隆常數(shù)的定義jja1其中同號(hào)離子取“” ，異號(hào)離子取“” 。若以一正離子為參考點(diǎn)，則2 ( 1+

17、1/3 +1/5+ .+121n+ .) （1/2 + 1/4 + .+n21+ ）(a) 又由冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式ln(1+x) = x 22x+.)1.(43143nxxxnn(b) 令 x=1 則（ b）式即為（ a）式括號(hào)中的式子所以=2ln(1+1)=2ln2 證畢晶格振動(dòng)部分習(xí)題及參考解答9.設(shè)有一雙子鏈最近鄰原子間的力常數(shù)為和 10 ，兩種原子質(zhì)量相等，且最近鄰距離為a/2，求在 q=0,q=a處的(q).并定性畫(huà)出色散曲線。m m 10m m _ 22aa解：已知21)cos2(1212221212qamma(1) 21)cos2(12122212120amm(2) 由題意21011

18、0代入（ 1）式得21)cos20100(111222qamma=21)cos20101(11qamm=21)cos20101(11qam當(dāng) q=0 時(shí)0)1111(02mqa當(dāng) q=a時(shí)mmaqa2)911(2把2=101=10 代入（ 2）式得21)cos20101(1120qam當(dāng) q=0 時(shí)mq22020時(shí)aqmaq202010.設(shè)三維晶格的光學(xué)格波在q=0 的長(zhǎng)波極限附近有i(q)=0aq2（a0） ，求證光學(xué)波頻率分布函數(shù) (格波密度函數(shù) )為： g()=)1(31si24v2321)(0aii0g()=0 i0 證：由格波密度函數(shù)的定義已知，對(duì)一支格波在di區(qū)間格波數(shù)為g (i)

19、di=qddviii3)2(在長(zhǎng)波極限下等頻率面為球面則g(i)di=dqqv234)2(當(dāng)i0時(shí)因?yàn)閝2aqi)(0aqqi)(0dq=2121)(2)(0qaqdii所以g(i)=2121)(214)2(003iiaav=2321204)(avi由模式密度的物理意義，取其絕對(duì)值而當(dāng)i0時(shí)因?yàn)閕0aq2所以 aq2=0i又因?yàn)閍 0 q20 (因?yàn)?q 本身為實(shí)數(shù) ) 所以上式右邊必滿足0i即不存在i0的格波則則g(i)=0 又因?yàn)槿S晶體中共要有3（s1）支光學(xué)格波所以光學(xué)波頻率分布函數(shù)為：g2321203314)()(avisii0g()=0 011求一維單原子鏈的格波密度函數(shù)；若用德拜

20、模型，計(jì)算系統(tǒng)的零點(diǎn)能。解： (1)設(shè)一維單原子鏈長(zhǎng)lna，a 為原子間距， n 為原子數(shù)，在aqa區(qū)域內(nèi) q 只能取 n 個(gè)值， dq 間距內(nèi)的格波數(shù)為f(q)dq=dqldqnadqan222色散關(guān)系為2sin4qam(1) )cos1(22qam=22m(1-cosqa) (2) 其中m=21)4(m由于對(duì)應(yīng)于q, 取相同的值， （色散關(guān)系的對(duì)稱(chēng)性 ，則 d 區(qū)間的格波數(shù)為g()d 2dqdnaddqna2(3) 由色散關(guān)系（ 2）可得：2 d =22amsinqa dq qaaqaadqdmm222cos14sin4=222ma代入 (3)可得：g()=222mn(4) (2)在德拜模

21、型下，色散關(guān)系為線性pq pdqd代入 (3)式得；g()=pplna(5) 則零點(diǎn)能為：e零dldgpdd221)(00=pdl42(6) 又因?yàn)閚ldldgpdpdd00)(得：nldp(7) 代入（ 6）式得：e零=anqknndbd44412 試用平均聲子數(shù)n（1)1kte證明： 對(duì)單式格子， 波長(zhǎng)足夠長(zhǎng)的格波平均能量為kt；當(dāng) tqd時(shí)，大約有多少模式被激發(fā)？并證明此時(shí)晶體比熱正比于(3)dqt。解：?jiǎn)问礁褡觾H有聲學(xué)格波，而對(duì)聲學(xué)波波長(zhǎng)入足夠長(zhǎng)，則很低對(duì)滿足tkb1的格波把tbkwe泰勒展開(kāi)，只取到一次項(xiàng)tbkwe1（1tkwb） 1tkwb，平均聲子數(shù)n（1)1kte，所以wtkn

22、b而屬于該格波的聲子能量為當(dāng) td時(shí)，可使用德拜模型，格波密度函數(shù)為教材（372）g(w)=23223v只有tkb的格波才能激發(fā)，已激發(fā)的格波數(shù)可表示為：dgatbk)(0332)(2tkvb由上已知，此時(shí)格波平均能量為kbt 則晶格熱容可表示為tktkvtcbbv)(232333242tvkb把（ 375）式31)6(2vnd及dbdqk代入整理為：cv12nkb3)(dqt所以晶格比熱正比于（3)dqt得證13.對(duì)于金剛石、zns、單晶硅、金屬cu、一維三原子晶格，分別寫(xiě)出(1) 初基元胞內(nèi)原子數(shù)；(2). 初基元胞內(nèi)自由度數(shù)(3).格波支數(shù) ; (4). 聲學(xué)波支數(shù)(5).光學(xué)波支數(shù)解：

23、金剛石zns si cu 一維三原子晶格初基元胞內(nèi)原子數(shù)2 2 2 1 3 初基元胞內(nèi)自由度數(shù)6 6 6 3 3 格波支數(shù)6 6 6 3 3 聲學(xué)波支數(shù)3 3 3 3 1 光學(xué)波支數(shù)3 3 3 0 2 14.證明在極低溫度下，一維單式晶格的熱容正比于t . 證：在極低溫度下，可用德拜模型，q 點(diǎn)密度為2lgd區(qū)間格波數(shù)為g()d2dlddqlwqdw12所以格波密度函數(shù)g()l只有tkb的格波才能被激發(fā)，已激發(fā)的格波數(shù)為；atkldgbtkb)(0由第 12 題已證，在極低溫度下，一維單式格子主要是長(zhǎng)聲波激發(fā)對(duì)滿足kt1 的格波能量為kbt。則晶格熱容為tlktktlktcbbbv22即熱容正

24、比于t。15.nacl 和 kcl 具有相同的晶體結(jié)構(gòu)。其德拜溫度分別為320k 和 230k。kcl 在 5k 時(shí)的定容熱容量為3.810-2j.mol-1.k-1，試計(jì)算nacl 在 5k 和 kcl 在 2k 時(shí)的定容熱容量。解：設(shè) nacl 和 kcl 晶體所包含的初基元胞數(shù)相等，均為n，td，可用德拜模型（德拜溫度分別為nacl320k，kcl 230k）利用cv=qnk(2403)1()xxdedxexqttdqtqd1. 積分上限近似可取為、則有154)1(2240 xxedxex34)(512dbvqtnkc對(duì) kcl ：t5k 時(shí)cv3.8x10-2當(dāng) t 2k 時(shí)23311

25、024.012588.325vvcc(j.mol-1.k-1) 對(duì) nacl：t=5k 時(shí)3310311311)320()230(8.3)()(2xddvvqqcc 1.41x10-2(j.mol-1.k-1) 固體物理晶體缺陷習(xí)題參考解答1.設(shè) uf為費(fèi)侖克爾缺陷形成能證明在溫度t 時(shí)，達(dá)到熱平衡的晶體中費(fèi)侖克爾缺陷的數(shù)目為：nfn n1eufkbt2式中 n 和 n分別為晶體的原子格點(diǎn)總數(shù)和間隙位置數(shù)，解：已知n：晶體的原子格點(diǎn)數(shù)，n：間隙位置數(shù)ufu1+u其中 u1：空位形成能u：填隙缺陷形成能可知，溫度為t 時(shí)，某一格點(diǎn)上形成空位的幾率為nneukbt11(1) 某一間隙位置上形成填隙

26、原子的幾率為nneukbt1(2) 費(fèi)侖克爾缺陷是形成填隙原子一空位對(duì)，即n1n=uf 其幾率為 (1)(2): tbkennnn)u1u(111又 u1+u1=ufnf=nn1eufkbt22.已知某晶體肖特基缺陷的形成能是1ev，問(wèn)溫度從t290k 到 t1000k 時(shí)，肖特基缺陷增大多少倍？解：由式n1=neukbt11n2=neukbt12=nn21=eukbtt12111()=)11(121ttbkue代入數(shù)據(jù)： u11ev 1.60 10-19(j) t1=290kkb=1.3810-23(j/k) t2=1000k =exp1 60101 38101290110001923.ex

27、p(28.4)= 2.1(倍) the end 3.已知銅金屬的密度為8.93g/cm3，原子量為63.54，它在 1000k 及 700k 時(shí)自擴(kuò)散系數(shù)分別為 1.6510-11及 3.431015 cm2/s，又知空位鄰近的原子跳入空位必須克服的勢(shì)壘高度為0.8ev。試求(1) 1000k 及 700k 的銅金屬中的空位濃度，(設(shè)自擴(kuò)散完全由空位機(jī)制所引起)。(2) 已知形成一個(gè)填隙原子所需要的能量約為4ev，結(jié)算接近熔點(diǎn)1300k 時(shí)填隙原子的濃度及空位的濃度。解：(1)由教材 (4-41)式，在空位機(jī)制中d1d01e- e1/kbt e1=u1+e1由題意已知t1000 時(shí)d11.65

28、10-11 t1=700k 時(shí)d1=3.4310-15代入上式得：d1d01e- e1/kbt (1) d1=d01e- e1/kbt(2) (1)/(2) 得：ddeekb111170011000()代入數(shù)據(jù)得：4.81103=41029.4bkeekb1.3810-23(j/k) 兩邊取自然對(duì)數(shù)得：8.478e13.111019e1=2.7261019（j）=1.70ev (1ev1.6010-19j) u1=e1e1=1.700.8=0.9ev=1.44610-19j 又由空位濃度：nn11eukbt1t=1000k 時(shí)10001038.110446.1112319enn=e-10.52

29、.75105 t=700k 時(shí)nn11=3.06107(2) t=1300k 時(shí)，空位濃度nn113.1110-4e24ev n2間隙數(shù)填隙原子濃度：22nn=tbkue2= e41 6101 381013001923.3.2110164.求體心立方、面心立方六角密集三種晶體的伯格斯矢量的濃度和方向。解：伯格斯矢量又稱(chēng)滑移矢量b ，其模為滑移方向的平衡原子間距，方向?yàn)榛品较颉Ｓ山滩?p117 f.c.c 的滑移方向?yàn)?b =)(2jiab.c.c 的滑移方向?yàn)?baijk2()5.已知余誤差函數(shù)erf(z) 在 z 很小時(shí)， （z 0.5） 可以近似地寫(xiě)為erf(z), 現(xiàn)將一硅片置于130

30、0的鋁蒸汽中，使鋁擴(kuò)散進(jìn)入硅片。如果要求硅片距表面的0.01cm 深處的濃度是表面濃度的 35%,問(wèn)擴(kuò)散需多長(zhǎng)的時(shí)間？鋁在硅中的擴(kuò)散系數(shù)由題圖41 給出。解：由式 (4-34) c=co1-erf(z)由題意0.35=ccd t010 012.dt =1020 652.=7.710-3dt=0.59 10-4 由圖可查得，t13000c1573k 時(shí) lnd 10(cm2/s) d0.4510-4t=0 59100 451044. 1.3 第五章金屬自由電子論1電子在每邊長(zhǎng)為l 的方盒子中運(yùn)動(dòng)，試用索末菲量子自由電子模型和周期性邊界條件求出它的最低的四個(gè)能級(jí)的所有波函數(shù)，繪出這四個(gè)能級(jí)的能量和

31、簡(jiǎn)并度。解：由教材（ 518）式.電子能量不考慮 .nxnynz0. e0 的情況，則最小能量分別對(duì)應(yīng)于：（ nx、ny、nz）為（ 1,0,0） (0,1,0) (0,0,1) 簡(jiǎn)并度： 3 （1,1,0） ,(1,0,1) (0,1,1) 簡(jiǎn)并度： 3 （ 1,1,1）簡(jiǎn)并度： 1 2222222zyxnnnlme22122lme 222222lme （ 2,0,0） ， （0,2,0） ， （0,0,2）簡(jiǎn)并度： 3 波函數(shù)分別為：ee1 ee2ee3ee4 2限制在邊長(zhǎng)為二維正方行勢(shì)阱中的n 個(gè)自由電子，電子能量為（與第六章16 題相同）試求： （1）能量從e de 之間的狀態(tài)數(shù)（2）

32、t0 時(shí)費(fèi)米能量的表示式解： （1）解 1：在二維情況下，每個(gè)k 點(diǎn)在倒二維空間占的面積為（2/l）2, k 點(diǎn)面密度為323223lme 422224lme rkirkiyxelel31231111rkiyel3131rkkjkiyyel)(3231rjkikiyxel)(3211rkkjkizxel)(3221rkizel23431)(2).(222yxyxkkmkke22)2(lrkkjkikizyxel)(3311rjkirikiyxelel2342)2(3411,1考慮電子自旋，在k 單位面積內(nèi)電子態(tài)總數(shù)為(電子態(tài)密度 ) 對(duì)題示的電子，等能面為園，k 空間半徑為22|mek的園內(nèi)電

33、子態(tài)數(shù)目為態(tài)密度de 間隔的電子狀態(tài)數(shù)dzgde 解 2：(2) t=0 時(shí)電子把 e 0 v 0 這樣兩塊金屬中的電子分別具有附加的靜電勢(shì)能為 -ev 0 它們發(fā)射的電子數(shù)分別變成平衡時(shí)由此得ev ev所以接觸電勢(shì)差 vv（ 1/e ） （ ）( 注意 v表面原子數(shù)，在近鄰近似下，所以可以以方便為原則選擇邊界條件，可使用玻恩卡曼周期邊界條件，而且使用玻恩卡曼周期邊界條件給出了較多的信息，對(duì)后續(xù)的討論帶來(lái)方便。若采取零邊界條件，原則上講也是允許的，但不能給出有用的信息。5. 一維單原子鏈色散關(guān)系是怎樣的？相速度vp等于什幺？=4212mqasinvp=q6. 一維格波波矢q 的的取值范圍是什幺

34、？q 在第一 b、z 內(nèi)取值數(shù)是多少？q的取值范圍：為保證唯一性，g 在第一 b.z 內(nèi)取值，即aqaq在第一 b.z 內(nèi)取值數(shù)為n（初基元胞數(shù)） 。7 一維格波波矢q 有哪些特點(diǎn)？q不連續(xù)（準(zhǔn)連續(xù)） ；均勻分布；密度n al228. 一維雙原子鏈的色散關(guān)系是怎樣的？2121222121212mmqa(cos)9. 在三維晶體中，格波獨(dú)立的q點(diǎn)數(shù)，聲學(xué)波支數(shù)，光學(xué)波支數(shù)，格波總支數(shù)分別等于多少？獨(dú)立的 q點(diǎn)數(shù)晶體的初基元胞數(shù)n；格波個(gè)數(shù) 晶體原子振動(dòng)自由度數(shù)，3ns 個(gè)；格波支數(shù) 3s （初基元胞內(nèi)原子振動(dòng)的自由度數(shù)）其中3 支聲學(xué)波， 3(s-1) 支光學(xué)波。10. 定性地講，聲學(xué)波和光學(xué)波

35、分別描述了晶體原子的什幺振動(dòng)狀態(tài)？定性地講，聲學(xué)波描述了元胞質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，光學(xué)波描述了元胞內(nèi)原子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。描述元胞內(nèi)原子不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是二支格波最重要的區(qū)別。11. 格波模式密度g()的定義是什幺，g()是如何表示的？模式密度g()的定義：?jiǎn)挝活l率間隔的格波數(shù)。g=giii 為格波支號(hào)；對(duì)每支格波)()2(3qdsvgiqi面等12.在一般情況下，求解格波模式密度g()的困難是什幺？在一般情況下，求解格波模式密度g()的困難往往是并不知道色散關(guān)系iq()，所以無(wú)法求出iq()的梯度，另外若等 面的形狀不規(guī)則，它的積分也不好求出。13. 晶格振動(dòng)的色散曲線有哪些對(duì)稱(chēng)性？(1) iq() =inq

36、g()(2) iq() =()q(3) 還具有與晶體結(jié)構(gòu)相同的對(duì)稱(chēng)性。14. 討論晶格振動(dòng)的系統(tǒng)能量時(shí)為什幺要引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)qq(t)？為了消去交叉項(xiàng)，便于數(shù)學(xué)處理和看出物理意義(簡(jiǎn)諧格波間相互獨(dú)立)。15. 討論晶格振動(dòng)時(shí)，進(jìn)行了量子力學(xué)修正，引入了量子諧振子的能量表示，在此過(guò)程中，把什幺能量表示為諧振子的能量？把一個(gè)格波的能量表示為一個(gè)量子諧振子能量，而不是把任一個(gè)原子的振動(dòng)能量表示為一個(gè)諧振子能量。16. 什么叫聲子？聲子是量子諧振子的能量量子17. 討論晶格振動(dòng)時(shí)的量子力學(xué)修正體現(xiàn)在什幺地方？體現(xiàn)在把諧振子能量用量子諧振子能量表示。并不是體現(xiàn)在引入格波，格波用諧振子等效，q不連續(xù)等方面。

37、18 聲子有哪些性質(zhì)？(1) 聲子是量子諧振子的能量量子；(2) 3ns 格波與 3ns 個(gè)量子諧振振子一一對(duì)應(yīng)；(3) 聲子為玻色子；(4) 平衡態(tài)時(shí)聲子是非定域的；(5) 聲子是準(zhǔn)粒子遵循能量守恒321準(zhǔn)動(dòng)量選擇定則)(321hgqqq(6) 非熱平衡態(tài)，聲子擴(kuò)散伴隨著熱量傳導(dǎo)；(7) 平均聲子數(shù)11ktwen19.什么是晶格振動(dòng)的einsten 模型和 debye 模型？einsten 模型：設(shè)晶體中所有原子獨(dú)立地以相同頻率e振動(dòng)。debye 模型：設(shè)晶體為各向同性連續(xù)彈性媒質(zhì),晶體中只有3 支聲學(xué)波。20. 解釋二模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較的原因。（重點(diǎn)）分別討論在高溫、 低溫條件下實(shí)驗(yàn)結(jié)果和

38、兩個(gè)模型計(jì)算結(jié)果的異同，參見(jiàn)教材相應(yīng)章節(jié)。21. 有人定性地認(rèn)為，德拜溫度d是經(jīng)典概念與量子概念解釋比熱的分界線，你的看法如何？德拜頻率dg()的最高頻率；愛(ài)因斯坦頻率eg( )中最可幾頻率；德拜溫度d與德拜頻率d相對(duì)應(yīng)。d成為經(jīng)典概念與量子概念解釋比熱的分界線，是因?yàn)榻?jīng)典理論認(rèn)為：諧振子能量按自由度均分即認(rèn)為所有波格均激發(fā)，而當(dāng) td時(shí)，出現(xiàn)格波凍結(jié)，按經(jīng)典理論處理造成較大的誤差，而當(dāng) td時(shí)，不出現(xiàn)格波凍結(jié)，按經(jīng)典理論處理造成的誤差也就相對(duì)較小了。22. 熱膨脹系數(shù)v是如何表示的？v=k vcv式中：格林愛(ài)森系數(shù)；k：體彈性模量；v：晶體體積；cv：晶體的熱容23. 熱傳導(dǎo)系數(shù)（熱導(dǎo)率是如

39、何表示的？=13c v lv式中： cv:單位體積熱容；v:聲子平均速率；l：聲子平均自由程。24. 什幺叫 n 過(guò)程和 u 過(guò)程？以三聲子過(guò)程為例：321)(321hgqqqgh=0 n 過(guò)程gh0 u 過(guò)程25. 為什幺說(shuō)光學(xué)支一般對(duì)熱導(dǎo)貢獻(xiàn)??？因?yàn)椋?1)溫度不太高時(shí) (td)光學(xué)支先凍結(jié)，對(duì)cv貢獻(xiàn)小(2)光學(xué)支v小，v的物理意義是聲子運(yùn)動(dòng)的平均速率，而聲子的運(yùn)動(dòng)攜帶著能量的傳播， 因此v的意義應(yīng)與能量傳播的速度相對(duì)應(yīng)，能速 vg=ddq, 光學(xué)支色散曲線 q 平坦， vg較小，即v較小。(3)光學(xué)支小的 q 大，易于發(fā)生u 過(guò)程，而 u 過(guò)程將造成熱阻。26. 有人說(shuō)，熱容cv是聲子

40、密度的度量，你的看法如何？由熱膨脹系數(shù)v.熱導(dǎo)率的表示式可知v cv cv，而由v、的物理意義可知，v、均應(yīng)與聲子密度相關(guān)，考察v、 的表示式，只有認(rèn)為cv 表示聲子的密度，所以在相同溫度下，認(rèn)為熱容cv是晶體中聲子密度的度量是可以的。27. 為什幺說(shuō)“晶格振動(dòng)”理論是半經(jīng)典理論？首先只能求解牛頓方程，并引入了格波，而且每個(gè)格波的能量可用諧振子能量來(lái)表示。之后進(jìn)行了量子力學(xué)修正，量子力學(xué)修正體現(xiàn)在諧振子能量不用經(jīng)典諧振子能量表示式，而用量子諧振子能量表示式。28簡(jiǎn)述晶格振動(dòng)理論中簡(jiǎn)諧近似的成功之處和局限性。答：成果地得出格波（聲學(xué)格波、光學(xué)格波）及其相應(yīng)的色散曲線，引入了聲子，并成果地解釋了熱

41、容。其局限性主要表現(xiàn)為不能解釋熱膨脹、熱傳導(dǎo)等現(xiàn)象。29. 什么是聲子的準(zhǔn)動(dòng)量？為什么稱(chēng)它們是“準(zhǔn)”動(dòng)量，而不直接稱(chēng)為動(dòng)量？答：聲子是準(zhǔn)粒子，1q 是聲子的準(zhǔn)動(dòng)量。準(zhǔn)動(dòng)量1q 具有動(dòng)量的量綱，但聲子間相互作用滿足準(zhǔn)動(dòng)量選擇定則)(321hgqqq其中 gh是晶體的任意倒格矢。第四部分固體能帶論1. 固體能帶論的兩個(gè)基本假設(shè)是什么? 答： (1) 絕熱近似，原子實(shí)的影響用周期勢(shì)場(chǎng)等效，把多體問(wèn)題化為多電子問(wèn)題。 (2) 單電子近似，把其余電子對(duì)某一電子作用也用等效的平均勢(shì)場(chǎng)表示，把多電子問(wèn)題簡(jiǎn)化為單電子問(wèn)題。2. 固體能帶論的基本思路是怎樣的？答：用絕熱近似和單電子近似，把原子實(shí)及其它電子的影響

42、用等效的周期勢(shì)場(chǎng))(rv來(lái)表示，進(jìn)而求解s方程，并用量子力學(xué)的微擾論求出固體中電子的波函數(shù)和能量。關(guān)鍵是等效的周期勢(shì)場(chǎng))(rv該如何表示。3. 固體中電子狀態(tài)的主要特征有哪些？答：用周期勢(shì)場(chǎng))(rv等效相互作用之后(1) 由孤立原子的能級(jí)變成固體的能帶；（2）出現(xiàn)電子的共有化； (3) 由周期邊界條件波矢k取值不連續(xù)klnblnblnb112233其中l(wèi)1,l2,l30， 1,2,n1,n2,n3為a1、 a2、 a3方向初基元胞數(shù)。4. 什么叫 bloch 定理？答：晶體中的電子波函數(shù)是由晶格周期性調(diào)制的調(diào)幅平面波，即：(k. r ) u(k. r )ei kr u(k. r ) u(kr,

43、rn)另一種表示：（kr,rn）rkie(k r,)5. 由 bloch 定理有哪些結(jié)論和推論？答:(1) a.(kr.)2代表電子出現(xiàn)的幾率，具有正晶格周期性。 b.但(k r.) 本身不具有正晶格周期性。c.(k r.) 本身具有倒格子周期性(k r.) ( kgrn,) gn：任意倒格矢(2) a. 能量具有倒格子周期性即 en(k)=e(kgn).b. 因電子能量為物理的實(shí)在，也具有正晶格周期性。c. 同一能帶對(duì)k 0 的點(diǎn)具有反對(duì)稱(chēng)性，e( k ) e(- k )d.e( k ) 具有與正晶格相同的對(duì)稱(chēng)性。6在第一 b、z 內(nèi)波矢k的取值，k點(diǎn)數(shù)，k點(diǎn)密度。答： k ln11blnb

44、lnb1222333，第一 b .z 內(nèi)獨(dú)立的k點(diǎn)數(shù)為 n（初基元胞數(shù)） ，每個(gè)k點(diǎn)在倒空間所占體積為 (2)3/v, k 點(diǎn)密度為v()237能態(tài)密度d是如何定義的？答：對(duì)給體積的晶體，單位能量間隔的電子狀態(tài)數(shù)。(1) 若能帶不交疊：ee+de二等能面間電子狀態(tài)數(shù)dz=2v()23dkeededzd(en)de， d=dzde223vdsekeekn()()等面 (2)若能帶交疊 d(e)=nd(en)8. 試計(jì)算自由電子的能態(tài)密度d 。解： emk222等能面為球面得 d2123)2(222emvdedz但并不能說(shuō)e 電子數(shù)9. 特魯多模型及其成功與不足之處有哪些？假設(shè)： (1) 價(jià)電子構(gòu)

45、成“自由電子氣”，無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)與原子實(shí)碰撞，滿足經(jīng)典的玻爾茲曼分布；(2)兩次碰撞間，電子不受力的作用，電子能量只有動(dòng)能；(3) 電子與原子實(shí)的碰撞過(guò)程用平均自由程l和平均自由時(shí)間等自由氣體熱運(yùn)動(dòng)的術(shù)語(yǔ)表征。成功之處：較好地解釋了金屬的導(dǎo)電、熱導(dǎo)現(xiàn)象。不足： (1) 忽略了原子實(shí)周期勢(shì)場(chǎng)和電子間的相作用。 (2)不能正確解釋金屬的比熱。10. 特魯多模型的“自由電子氣”與無(wú)限大真空中自由電子能量有何異同？答：相同之處：均設(shè)勢(shì)場(chǎng)v( r )=0 則 emk222不同之處： 特魯多模型中的自由電子氣，除假設(shè)的與原子實(shí)碰撞外，還要受到邊界的反射，由周期邊界條件k不連續(xù)。11. 索末菲的“自由電子費(fèi)米

46、氣”模型與特魯多模型的異同。答：相同之處： (1)v(r )=cons (可假設(shè)為零 )(2) 碰撞圖象（3）在晶體邊界均碰撞( 散射 ) （4）滿足周期邊界條件。不同之處：索末菲模型 (1) 求解 s方程，而不是牛頓方程；(2) 滿足費(fèi)米狄拉克分布，而不是經(jīng)典的玻氏分布；(3) 滿足泡利不相容原理。12. 費(fèi)米分布函數(shù)的表示式和物理意義是什么？若能量為e的狀態(tài)是電子可以占據(jù)的狀態(tài)，則在熱平衡條件下，電子占據(jù)該狀態(tài)的幾率：f(e,t)=11)(tkeebfe式中 ef稱(chēng)為費(fèi)米能級(jí)， eef時(shí)， f=12所以 ef是標(biāo)志電子在能級(jí)上填充水平的重要參量。ex: 若 ef處在允許帶中，該晶體是導(dǎo)體還

47、是絕緣體？導(dǎo)體。13. 電子密度分布的意義是什么？溫度 t 時(shí)，能量e附近單位能量間隔的電子數(shù)。(e，t)=d(e)f(e，t) 系統(tǒng)中電子總數(shù) n 0d(e)f(e ，t)de14. 什么叫費(fèi)米面？費(fèi)米面：在k空間 eef的等能面。費(fèi)米半徑kf: 在設(shè) v( r ) 常數(shù)的模型中 e=mk222等能面為球面則 ef=mkf222, kf稱(chēng)費(fèi)米波矢，費(fèi)米半徑。費(fèi)米速度f(wàn): 若認(rèn)為電子的費(fèi)米能全為動(dòng)能 ef=122mf費(fèi)米溫度tf: 若設(shè) ef=kbtf tf稱(chēng)為費(fèi)米溫度。15. 簡(jiǎn)述無(wú)限大真空自由電子，晶體中特魯多模型，索未菲模型，近自由電子模型的關(guān)系。答：無(wú)限大空間邊界條件周期性)1(2)s

48、方 程泡 利 不 相 容費(fèi) 米 分 布(3)周期勢(shì)場(chǎng)微擾(4) k為連續(xù)自由電子氣取分離值k自由電子費(fèi)米氣近自由電子16. 按 n.f.e 模型，晶體中的能隙是如何解釋的？答：能隙 2 vn vn為 v( r ) 的展開(kāi)系數(shù)，能隙為不同電荷分布的勢(shì)能差。電子分布分別為：- sim2ax cos2ax 17. 按近自由電子模型能求解哪些問(wèn)題，近自由電子近似的零級(jí)近似如何??？它主要能計(jì)算哪些物理量？答：零級(jí)近似為無(wú)限大真空中自由電子，故它適用于金屬中的價(jià)電子，利用 n.f.e 模型主要可計(jì)算禁帶寬度。18. 按緊束縛模型能求解哪些問(wèn)題，緊束縛近似的零級(jí)近似如何?。克饕苡?jì)算哪些物理量？答：為孤立

49、原子中的電子狀態(tài)的組合，故它主要適用于絕緣體，主要可計(jì)算s帶的能帶寬度。19. 什么叫接觸電勢(shì)差？答：任意兩種不同的物質(zhì)a.b 相接觸可能產(chǎn)生電荷，并分別產(chǎn)生電勢(shì)va、vb這種電勢(shì)稱(chēng)為接觸電勢(shì)，其差稱(chēng)為接觸電勢(shì)差。20. 產(chǎn)生接觸電勢(shì)差的原因是什么？答：二種不同材料的逸出功，費(fèi)米能級(jí)不同，在緊密接觸之后二種材料的費(fèi)米能級(jí)將取齊，導(dǎo)致接觸勢(shì)壘和接觸電勢(shì)差，關(guān)鍵理解二種材料緊密接觸后費(fèi)米能級(jí)要取齊的原因。 ex：t 0，各材料ef1、 ef2之下的能級(jí)均填滿，又是緊密接觸，若ef1 ef2. 則電子自發(fā)地從“ 1”流相向“ 2” ，直至電子填充取平，其物理意義即為ef1=ef2。21. 兩塊同種金屬的溫度不同，接觸后溫度未達(dá)到相等前，是否存在電勢(shì)差?為什么？答: 兩塊同種金屬，溫度分別為t1和 t2，且 t1t2在這種情況下，溫度為t1的金屬中有較多的電子的處于高于溫度平衡時(shí)的費(fèi)米能級(jí)e0f的狀態(tài)兩塊金屬接觸后，系