二項(xiàng)分布的期望和方差的詳細(xì)證明

1、*、幾fl如第i次試驗(yàn)成功右議Xi=：0如第i次試驗(yàn)失敗二項(xiàng)分布的期望的方差的證明山西大學(xué)附屬中學(xué)韓永權(quán) hyq616離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布：在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在 n次 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)E是一個(gè)隨機(jī)變量.如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是 P,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事 件恰好發(fā)生 k 次的概率是 Pn (& =k) =C：pkqnJ" , ( k=0,1,2|Hn q=1p) 丁是得到隨機(jī)變量E的概率分布如下：匕0123.n 1nPc 0 n Cnq八1n A.Cn pq八2 2 n _2Cn p qc33 n J3Cnp

2、q.c n nCnp qc n n Cn p稱這樣的隨機(jī)變量E服從二項(xiàng)分布，記作EB(n , p)，其中n,p 為參數(shù)，并記 C：pkqJ = b(k ; n, p).1求證：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量，的期望E& = np .證明如下：預(yù)備公式:, kk4kCn =nCnn 4/0 0n10 n J220 n J2kk(n)-(n-k)nn0、(p q)=(5pqcpq Gpq . “p q. cp q )k kn -kkkn-k因方 p( =k)=Cnp(1-p)Cn p qFt ' j l N c 00 n i 11 n i i 力 22 n i i k k n n 0 nE

3、，=0 cnp q 1cnp q 2 cn p q . k cn p q . ncn p q00 n 410 n -220 n -2k4k4(n4)-(n-k)nJn=0、= np(CnpqCn 4 p q 直 p q . q4p q， . Cnp q )= np(p q)n4 =np所以E ' = np方法二：證明：若X B(n,p)，則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功”次數(shù),現(xiàn)在我們來求X的數(shù)學(xué)期望。貝 X =Xi 十X2+. + Xn ,因?yàn)?P(Xi=1) = P , P(Xi =0) = 1 P = q所以 E(Xi) = 0率 q +1* p = p，貝U E(X) = E&

4、#163; Xi = £ E(Xi) = np iWi 4可見，服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是np 需要指出，不是所有的隨機(jī)變量都存在數(shù)學(xué)期望。2求證：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量匕的方差公式D = npq (q = 1 - p)預(yù)備公式：k2Cn =nCni n(n -1)C：Mk2C：=knC；E=n(k-1) 1常= nC：； n(k-1)C：； =nC：； n(n-1)C：M . k2C： = nC：； Mn-DC：方法一：證明：D，= EE2 -(EE)2 n 2- 2 廠 i i n -i-E = ' i Q p q i =0 nn1 n 1 -ii

5、ni -2 i n -i= Cnpq nCnpq ' n(n -1)Cpqi =2i =2nnn 1- i 4 i 4 n X 0 n 42 i -2 i -2 n 4= npq np' Cn4p q -npCnM n(n-1)p ' Qp q i 1i =2= npqnJ1 np(p q)nJ -npqnJ n(n _1)p2(p q)nn4n -122 222 22 2=npq np - npq n(n T)p = np n p - np = np(1 - p) n p = npq n p由公式 D(X) = E(X2) -E(X)2 知，D- = E" -(E% )22 22=npq n p - (np) = np(1 - p)i =1,2,Hinn則匚=£匕是n次試驗(yàn)中“成功”的次數(shù)，E(F=0xq+1x p= p , i 4故