武漢大學2018-2019第一學期高等數(shù)學A1期末試題A

1、武漢大學 2018-2019 第一學期高等數(shù)學a1期末試題 a 1、 （9 分）求極限 :01lim ln(1)(1)xxex2、 （9 分）計算反常積分12211dxxx. 3、 （9 分）設函數(shù)( )yy x有方程2sin2xxyye所確定，求(0)y. 4、 （9 分）設函數(shù)( )yy x是方程0yy的解，且當0 x時( )y x是2x的等價無窮小，求( )yy x的表達式。5、 （10 分）已知21sin0( )0 xxf xxaxbx，為可導函數(shù)，其中,a b為常數(shù)，求22ab。6、（9 分） 設函數(shù)f可導，由參數(shù)方程2( )( )xtf tytf t所確定的函數(shù)yy x的導數(shù)212

2、3dytdxt，求滿足ln31f的fx. 7、 （10 分） （1）設函數(shù)( )f x在點0 x處滿足00()0,()0fxfx，證明：點(0, (0)f為曲線( )yf x的拐點。 （2）如果函數(shù)( )f x在點0 x的某鄰域內(nèi)有二階導數(shù)，且(0)0f，0( )( )lim1sinxfxfxx， 試說明點(0, (0)f是否是曲線( )yf x的拐點。8、（10 分） 設函數(shù)( )f x在0 x點附近有定義，且滿足30sin 2( )lim0 xxxf xx（1）求極限202( )lim0 xf xx； （2）試證：若函數(shù)( )f x在0 x點二階可導，則0 x點為函數(shù)( )f x的極小值點

3、。9、 （9 分）設221( )txf xedt，計算定積分10( )xf x dx. 10、 （10 分）已知曲線0sin(0)xytdtx. （1）求該曲線的弧長；（2）證明該曲線與直線,0 xy所圍平面圖形的面積不小于. 11、 （6 分）設函數(shù)fx在區(qū)間0 ,1上二階可導，且(0)(1)0ff. （1）如果0101max( ) min( )0 xxf xf x，證明至少存在一點(0,1)使得( )( )2 ( )fff.（2）如果(0,1)x時( )( )2 ( )fxf xfx，證明fx在(0,1)內(nèi)沒有零點。武漢大學 2018-2019 第一學期高等數(shù)學a1期末試題 a解答1、 （

4、 9 分）求極限 :01lim ln(1)(1)xxex解0011lim ln(1)(1)lim ln(1)xxxexxx5 分001ln(1)limlim011xxxxxx9 分2、 （ 9 分）計算反常積分12211dxxx. 解：1221321111dxdxxxxx 5分2212111()1|2121d xxx 9分或 令2222122441seccostantansin1ttdxxtdtdtttxx5 分241|(12)21sint 9 分3、 （ 9 分）設函數(shù)( )yy x有方程2sin2xxyye所確定，求(0)y. 解：方程兩邊關于x求導得22()xxyyyeyy（1）由方程知

5、0(0)1xy由（ 1）得(0)0y 5分對（ 1）兩邊關于x求導得22222(2)xyyxyxyyyyeyyy (2) 將0, (0)1xy,(0)0y代入（ 2）從而有(0)1y9 分4、 （9 分）設函數(shù)( )yy x是方程0yy的解，且當0 x時( )y x是2x的等價無窮小，求( )yy x的表達式。解：由0yy知其特征方程為30rr，故方程的通解為123xxycc ec e3 分又當0 x時( )y x是2x的等價無窮小，所以有12320lim1xxxcc ec ex從而有1230ccc由洛必達法則知230lim12xxxc ec ex從而有230cc由洛必達法則知230lim12

6、xxxc ec e從而有232cc故有1232,1ccc所以有( )2xxy xee 9分5、 （ 10 分）已知，21sin0( )0 xxf xxaxbx為可導函數(shù)，其中,a b為常數(shù)，求22ab. 解：要使在可導 首先須在連續(xù)即0( )0,0lim( )(0)xf xxxf xfb201limsin0 xbxx即， 4分要使在可導 須( )0,(0)(0)f xxff，即2001sin( )(0)(0)limlim00 xxxf xfxfxx，00( )(0)(0)limlim0 xxf xfaxfaxx則時在可導 從而處處可導0, ( )0,abf xx故220ab 9 分6、 （ 9

7、 分）設函數(shù)f可導，由參數(shù)方程2( )( )xtf tytf t所確定的函數(shù)yy x的導數(shù)2123dytdxt，求滿足ln31f的fx. 解：由( )( )( )(2)( )dyf ttftdxf ttft故有( )( )21( )(2)( )23f ttfttf ttftt 5分即( )2 ( )ftf t所以有2( )tf tce由ln31f得9c從而得2( )9xf xe 9分7、 （ 10 分） （1）設函數(shù)( )f x在點0 x處滿足00()0,()0fxfx，證明：點00(, ()xf x為曲線( )yf x的拐點。 （2）如果函數(shù)( )f x在點0 x的某鄰域內(nèi)有二階導數(shù)，且(0

8、)0f，0( )( )lim1sinxfxfxx，試說明點(0, (0)f是否是曲線( )yf x的拐點。解（ 1）因為000000( )()( )()limlim0 xxxxfxfxfxfxxxxx 2分不妨設0()0fx，故當0 xx時，( )0fx，當0 xx時，( )0fx故曲線過點00(, ()xf x改變符號，故點00(, ()xf x為曲線( )yf x的拐點。 5分（ 2）由0( )( )lim1sinxfxfxx，且0lim sin0 xx，所以0lim( )( )0 xf xfx，而(0)0f，所以有(0)0f， 8分再由00( )( )( )( )limlim(0)(0)

9、1sinxxfxfxfxfxffxx故有(0)1f，由（ 1）知(0, (0)f是曲線( )yf x的拐點。 10分8、 （ 10 分）設函數(shù)( )f x在0 x點附近有定義，且滿足30sin 2( )lim0 xxxfxx（1）求極限202( )limxf xx； （2）試證：若函數(shù)( )f x在0 x點二階可導，則0 x點為函數(shù)( )f x的極小值點。解: （1）由30sin2( )lim0 xxxf xx知，存在0lim0 x使得3sin 2( )xxfxx即23( )sin 2f xxxx，故223002( )2sin 2limlim()xxf xxxxx即23002( )2sin 2

10、limlim()xxf xxxxx3 分又23220001(2 )2sin222cos2242limlimlim333xxxxxxxxxx，所以202( )4lim3xf xx5 分（或33200sin 222( )sin 222( )limlim()0 xxxxxxf xxxf xxxx又23220001(2 )sin2222cos2242limlimlim333xxxxxxxxxx，所以202( )4lim3xf xx）（ 2）由202( )4lim3xfxx知0lim( )2xf x，又函數(shù)( )f x在0 x點二階可導，所以(0)2f，且0( )4lim23xfxx，故(0)0f8 分

11、所以0( )8(0)lim03xfxfx，因此0 x點為函數(shù)( )f x的極小值點。10 分9、 （9 分）設221( )txf xedt，計算定積分10( )xf x dx. 解：10( )xf x dx2421112213000111( ) ()|2222txxf x d xxedtx edx6 分44141100111()|(1)444xxedxee9 分10、 （10 分）已知曲線0sin(0)xytdtx. （1）求該曲線的弧長； （2）證明該曲線與直線,0 xy所圍平面圖形的面積不小于. (1) 解 由弧長公式知該曲線的弧長為22200011sinsin2sincoscos2222

12、xxxxsy dxxdxdx 3分00(sincos)2(sincos )|42222xxxxdx 5分（2） 證明：該曲線與直線,0 xy所圍平面圖形的面積為00(sin)xatdt dx當0 x時，有sinsinxx于是00sinsin1cosxxtdttdtx 8分因此000(sin)(1cos )xatdt dxx dx 10分11、 （6 分）設函數(shù)fx在區(qū)間0 ,1上二階可導，且(0)(1)0ff. （1）如果0101max ( ) min( )0 xxf xf x，證明至少存在一點(0,1)使得( )( )2 ( )fff.（2）如果(0,1)x時( )( )2 ( )fxf xfx，證明fx在(0,1)內(nèi)沒有零點。證明： （1）由題設條件以及0101max( ) min( )0 xxf xf x知，存在12,0,1x x且12xx使得12()()0f xf x，有零點值定理知存在點012(,)(0,1)x