傅里葉變換的基本性質

1、3-5傅里葉變換的基本性質傅里葉變換建立了時間函數(shù)和頻譜函數(shù)之間轉換關系。在實際信號分析中，經常需要對信號的時域和頻域之間的對應關系及轉換規(guī)律有一個清楚而深入的理解。因此有必要討論傅里葉變換的基本性質，并說明其應用。一、線性傅里葉變換是一種線性運算。若fi(t)，F(xiàn)1(j )f2 (thF2(j )則afi (t) bf2(t) aFi(j )1( j )(3-55)其中a和b均為常數(shù)，它的證明只需根據(jù)傅里葉變換的定義即可得出。例3-6 利用傅里葉變換的線性性質求單位階躍信號的頻譜函數(shù)F (j切)。解 因1 1f (t) =U (t) = sgn( t)2 2由式(3-55)得F (，)=、U

2、(t) ； = 1,必 1、sgn( t)； =12" C ) -=二.(,),上2222 j，j，二、對稱性若f (t) F (j，)F ( jt) = 2 二f (一 )(3-56)證明 因為1 二j. tf (t)=F ( j，)e d，2 二二有2：f(t) = F(j ,)ej td .J皿2二f(t) = "F(j .)eJ *d .將上式中變量向換為x,積分結果不變，即7_ixt2二f (t) =F (jx)e dx再將t用缶代之，上述關系依然成立，即2 二f(_,)= F(jx)exdx最后再將x用t代替，則得2itf (-©) =F(jt)edt

3、 =：F(jt)所以F ( jt) l 2 二f (-，)證畢若f (t)是一個偶函數(shù)，即f ( = f (t),相應有f (v) = f (。)，則式(3-56)成為F(jt)2二f( )(3-57)可見，傅里葉變換之間存在著對稱關系，即信號波形與信號頻譜函數(shù)的波形有著互相置換的關系，其幅度之比為常數(shù)2兀。式中的-表示頻譜函數(shù)坐標軸必須正負對調。 例如f (t) =、.(t) F (j ，)=1F ( jt) = J 2 二f (，)= 2 二.(-例3-7若信號f(t)的傅里葉變換為F( jC0"試求f。)。t <”2t A"解將F(j缶)中的切換成t,并考慮F(

4、怎)為。的實函數(shù)，有"2 nAF ( jt) = F (t"0該信號的傅里葉變換由式(3-54)可知為» f 1Cu vIF (t) .' = 2-：A Sa()2根據(jù)對稱性F (t)2二f (，)COT(_ ,) = A Sa()2再將f (-初中的-切換成t ,則得.tf (t) = A Sa( 一)2f(t)為抽樣函數(shù)，其波形和頻譜如圖3-20所示。-./ 20 / 2三、折疊性若f (t)，. f (r )f (_t), . F(_j，)=F( j ，)-F(j，)If (t)為實函數(shù)f (t)為虛函數(shù)(3-58)四、尺度變換性f (t), F(j

5、，)f (at)【F (j當(a為大于零的實常數(shù))(3-59)a a證明因a>0,由¥f (at) J = f (at)e i t'dtJ-=O令X =at，則dx =adt ,代入前式，可得匚f(x)=廣 f (x)e j'/a % = 1F (住)證畢a a a函數(shù)f(at)表示f(t)沿時間軸壓縮(或時間尺度擴展)a倍，而0F(j一)一a則表ZKF (j)沿頻率軸擴展(或頻率尺度壓縮)a倍。該性質反映了信號的持續(xù)時間與其占有頻帶成反比，信號持續(xù)時間壓縮的倍數(shù)恰好等于占有頻帶的展寬倍數(shù)，反之亦然。rE f (t" 0例3-8已知t ：: . / 4

6、t . / 4,求頻譜函數(shù)F (j叨。解前面已討論了的頻譜函數(shù)，且f0 =*F0(j.)=E.%(s)根據(jù)尺度變換性，信號f (t)比亳的時間尺度擴展一倍,即波形壓縮了一半，因此其頻譜函數(shù)1 - F ( j )=F°(j )2 2E-Sa()4兩種信號的波形及頻譜函數(shù)如圖3-21所示。>tf/4 0 /4五、時移性f (t)， F(j，)f(t±t。)" F(jco)ej'0(3-60)此性質可根據(jù)傅里葉變換定義不難得到證明。它表明若在時域f (t)平移時間t0，則其頻譜函數(shù)的振幅并不改變，但其相位卻將改變缶tof (t"例3-9 求0 ：

7、: t .；：飛t <0的頻譜函數(shù)F (。)。解：根據(jù)前面所討論的矩形脈沖信號和傅里葉變換的時移性，有, I -j- " / 2F(，)= e Sa()e2六、頻移性若f (t), F(j，)則f (t)ejot. F j ，二 ,o (3-61)證明匚(f (t)e 士®七= J f (t)ej'dt = J f (t)e W®" dt = F j (耳切0)證畢頻移性說明若信號f (t)乘以e專創(chuàng)，相當于信號所分解的每一指數(shù)分量都乘以e'®，這就使頻譜中的每條譜線都必須平移切0,亦即整個頻譜相應地搬移了切0位置。頻譜搬

8、移技術在通信系統(tǒng)得到了廣泛應用，諸如調幅、同步解調、變頻等過程都是在頻譜搬移的基礎上完成的。頻譜搬移實現(xiàn)原理是將信號f(t)乘以所謂載頻信號co°0t或sin W ,即f (t) cos 溫 r 1 Ifj(；" :0) I牌 F g -：.-. 0) ?2f (t) sin ，0t = j IFj(；." 20) I - F 以* 二 0)2七、時域微分性若f (t). F(j，)則d ' f (t)ndtn, . (j .) F(j，)(3-62)證明 因為1 二i. tf (t)= F (，)ej 'd 2二二兩邊對t求導數(shù)，得k .F (

9、" .)ej td dt 2： 一一：所以df (t)(j，)F(j，)dt同理，可推出nd f (t)n一 (j。)F(jCO)證畢dt例3-10求f(t)=§(n)(t)的頻譜函數(shù)F(e)。解：因為'(t)1由時域微分性F (，)=(S例3-11圖3-22所示信號f(t)為三角形函數(shù)tf (t) = A()2求其頻譜函數(shù)F(jC。解：將f(t)微分兩次后，得到圖3-22(c)所示函數(shù)，其表達式為.121f (t) = I'".) - 、.(t) 、.(t - .)TTT由微分性,f ''(t) .(j，)2 Wf (t)：=l(

10、ej'-2 e')=2 cos ，. -1 1所以22- =Sa ()2. 2(cos : 1). sin (二:/ 2)If (t) 2= (j ' ')(' ' / 2)木 f(t) =A(t/T)(a)(c)(b)圖 3 - 22八、頻域微分性若f (t), F(j，)dF (,)d- n nn d F ( ，)t f (t), . (j) 廠(3-63)d 例3-12求心)=山。)的頻譜函數(shù)Fj)。解：因為1U (t) L F (，)- j''根據(jù)頻域微分性d .1'1tU (t) j 網(wǎng)®) + =j

11、偷)一2- d缶 Ijoo九、時域積分性 若f (th F(j，)則tF ( j ，)f(t)dt. -F(0)、(，)(3-64).二j例3-13根據(jù)&1和積分性求f=U(t)的頻譜函數(shù)。解：因為、. 1又tU (t) =、.(x)dx根據(jù)時域積分性1u (t), 一 二 c ,)j解：f對t求兩次微分后，得11f (t) = 、.(t . / 2) 一一 c.(t 一 . / 2)f''(t). . K"2I2 = jsin()”-2由時域積分性tf (t) = fJ-=02(x)dx ,sin(TO2)二 0、.( ,)=sin()=Sa()2. -22

12、f (t) = f (x)dxrJ-=Osin( j .-.1- .)二Sa(0)c. ( ,)-二( )Sa()j，2(c圖3 - 23(1/ )木 f(t)(-1 / )解：因為十、頻域積分性f (t)-f (r )(0)C.(t)1.一 f (t) 一 F (jx )dx tj(3-65)例 3-15已知f (t)sin( t)t求 Fj) 01 jtsin( t) = (e 2je ” ) 2 '、 .(，一1) 、.(；.-； , 1) 1 = j".' (， 1) _、.(，_ 1) 12 j根據(jù)頻域積分性sin( t)t1 j L.(x i) 一、.(x

13、 i) dx = - U ( i) _u ( i) 11、時域卷積定理fi(t)。 Fi(j .) f2(t)<F2(j，)fi(t) f2(t) Fi(j .)F2(j )(3-66)證明F " (t)f2。)= ££/奇仃2。t)” e j°dt=頃(7)商ZdL* 3 =證畢匚fi (E)F2(g)e 項dE =F2(jco)Jfi(7)e例3-16圖3-24(a)所不'的二角形函數(shù)可看做為兩個如圖3-24(b)所示門函數(shù)G T(t)卷積。試利用時域卷積定理求其頻譜函數(shù)F(")解：因木 f(t)sin(COT一)22= i,

14、Sa()21 f (t) =G (t) G (t)-所以_2F (j，)FSa ()21A一例3-17 一個信號f的希伯特變換f (t)是f (t)和m的卷積，即二 f ()d =(t -)解：因為2sgn( t) 一j -則對稱性2一 2 二 sgn( -，)= -2 二 sgn( ，)jt1 - j sgn( ，)二 t由時域卷積定理1f (t) = f (t) 一. j sgn( ，)F ( j,)二 t即F (j，)- j sgn( ，)F (j)十二、頻域卷積定理若fl(t)， Fi(j .)f2(t) F2(j )則1 fi(t)f2(t)Fi(j ,) F2(j，)(3-67)2

15、 二或fi(t)f2(t), Fi(j2 二 f)F2(j2 二f )例3-18利用頻域卷積定理求f (t) =tU的傅里葉變換F (j"解：因為':.(t h j ，由對稱性''jt 2 " ( _ ) - - 2-(，)有't l j2 二'.(，)u (t)奇(，)上j所以根據(jù)頻域卷積定理f (t) =tu (t)F 0 0= j 2 疝 )k |Jl6 (。)+ =2njo1'1j 二.(，)f I，)=j " Q，)f (，)(一)O0_1F (j，)=j 二.(，)(十三、帕塞瓦爾定理若fi(t)，F(xiàn)i(

16、j .)f2 (thF2(j ):一1：fjt) f 2(t)dt =Fjco) F 2(jco)S (3-68)=2 7：可推廣OO.2Uf1 Idt1 "LI2一 FJ.) d，2：二(3-69)若f1(t)為實函數(shù)，則2=f1 (t)dt1： _ 2一 一 F1 (j，)d，2 7：-(3-70)f1，f2(t)為實函數(shù)，則qQ.f t) f2(t)dtL1 二£JCF1 (j。)F 2( jco)d切(3-71)例 3-19解：因二 22:1Sa ()d =2Sa(，)2 Sa(，)d，-<42 7：-：又2Sa(，)G2(t)由帕塞瓦爾定理可得二一 2溟 3

17、Sa ( ，)d . = G 2 (t)G 2 (t)dt -二-：2 -：十四、奇偶性若 f (t) F (j仍)=F (Wej&> =R( + jX (由)，則(1)當f(t)為實函數(shù)時，則F ()=F ( j。)=F (缶)、R(C0) =R(缶)、' src、>'> (3-72).(,)=頃一 )X (. .) =-X (.，)若f(t)為實偶函數(shù)，即f=f(-),則( 實偶函數(shù))(3-73)F (j )= F( )=R()X ( ) =0若f (t)為實奇函數(shù)，即f=f (一D ,則F ( ")jX(到？(虛奇函數(shù))(3-74)(2)當f(t)為虛函數(shù)，即f(t)=jx時，則F (，) = F (-，).'(')=-(一 )R(，) - -R( -，)(3-75)傅里葉變換的基本性質歸納如表3-3所示。表3-3傅里葉變換的基本性質性質名稱時域頻域1.線性afjt) +bf2(t)aFJ M) +bF2(j。)2.對稱性F (jt)2 兀 f (-©)3.折疊性f (-1)F (j)4.尺度變換性f (at)10F (j ) aa5.時移性f (t ±t°)F (j(c)e6.頻移性e主敘f (t)F j ® 玖。)7.