立體幾何中的向量方法

1、立體幾何中的向量方法1直線的方向向量與平面的法向量的確定(1) 直線的方向向量：l 是空間一直線，a，b 是直線l 上任意兩點，則稱ab為直線l 的方向向量，與 ab平行的任意非零向量也是直線l 的方向向量(2) 平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a， b 是平面 內(nèi)兩不共線向量，n 為平面 的法向量，則求法向量的方程組為n a 0，nb 0.2用向量證明空間中的平行關(guān)系(1) 設(shè)直線l1和 l2的方向向量分別為1和 2， 則 l1 l2(或 l1與 l2重合 )? 1 2? v1 2. (2) 設(shè)直線l 的方向向量為 ， 與平面 共面的兩個不共線向量1和 2， 則 l 或 l? ?存在兩個實數(shù)

2、x， y，使 x1 y2(3) 設(shè)直線l 的方向向量為 ， 平面 的法向量為u， 則 l 或 l? ? u? u 0(4) 設(shè)平面 和 的法向量分別為u1， u2，則 ? u1 u2? u1 u2. 3用向量證明空間中的垂直關(guān)系(1) 設(shè)直線l1和 l2的方向向量分別為1和 2，則 l1 l2? 1 2? 12 0(2) 設(shè)直線l 的方向向量為 ，平面 的法向量為u，則l ? u? v u(3) 設(shè)平面 和 的法向量分別為u1和 u2，則 ? u1 u2? u1 u2 04空間向量與空間角的關(guān)系(1) 設(shè)異面直線l1， l2的方向向量分別為m1， m2，則 l1與 l2所成的角 滿足 cos

3、_|cosm1，m2 |m1 m2|m1| |m2|(2) 設(shè)直線l 的方向向量和平面 的法向量分別為m ，n，則直線l 與平面 所成角 滿足sin |cos m ，n | |m n|m| |n|(3) 求二面角的大小( )如圖，ab， cd 是二面角 l 的兩個面內(nèi)與棱l 垂直的直線，則二面角的大小 _ ab， cd ( )如圖，n1，n2分別是二面角 l 的兩個半平面， 的法向量，則二面角的大小 滿足 |cos | |cos n1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1與 n2的夾角 (或其補角)5點面距的求法如圖，設(shè) ab 為平面 的一條斜線段，n 為平面 的法向量，則b 到平面 的距離d

4、|ab n|n|規(guī)律方法：1.利用空間向量證明平行問題（1）恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵。（2）證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可，這樣就把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量運算。2.利用空間向量證明垂直問題(1) 利用已知的線面垂直的關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，從而將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量運算，其中靈活建系是解題的關(guān)鍵。(2) 其一證明線線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明線

5、面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個向量垂直即可當(dāng)然也可證直線的方向向量與平面法向量平行其三證明面面垂直：證明兩平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可3.利用空間向量解決探索性問題對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：(1) 根據(jù)題目的已知條件進行綜合分析和觀察猜想，找出點或線的位置，然后再加以證明，得出結(jié)論；(2) 假設(shè)所求的點或線存在，并設(shè)定參數(shù)表達已知條件，根據(jù)題目進行求解，若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍，則存在這樣的點或線，否則不存在本題是設(shè)出點g 的坐標(biāo)，借助向量運算，判定關(guān)于p 點的方程是否有解4.求異面直線所成的角可從兩個不同角度求異面直線所成的角，一是幾何法：作證算；二是向量法：把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運算，應(yīng)注意體會兩種方法的特點，“轉(zhuǎn)化”是求異面直線所成角的關(guān)鍵，一般地，異面直線ac， bd 的夾角 的余弦值為cos |ac bd|ac|bd|. 5.利用空間向量求直線與平面所成的角(1) 分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角 )； (2) 通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成