線性代數(shù)的應用案例

1、案例一已知不同商店三種水果的價格、 不同人員需要水果的數(shù)量以及不同城鎮(zhèn)不同人員的數(shù)目的矩陣：商店 A商店 B蘋果橘子梨人員 A人員 B蘋果0.100.15人員 A5103城鎮(zhèn)11000500橘子0.150.20人員 B455城鎮(zhèn) 220001000梨0.100.10第一個矩陣為A ，第二個矩陣為B，而第三個矩陣為C。（ 1）求出一個矩陣，它能給出在每個商店每個人購買水果的費用是多少？（ 2）求出一個矩陣，它能確定在每個城鎮(zhèn)每種水果的購買量是多少？解：（ 1）設該矩陣為 D ，則 D=BA ，即：5100.100.153.0532.30D50.150.202.10451.650.100.10此結(jié)

2、果說明， 人員 A 在商店 A 購買水果的費用為 2.30，人員 A 在商店 B 購買水果的費用為3.50，人員 B 在商店 A 購買水果的費用為1.65，人員 B 在商店 B 購買水果的費用為2.10。（2）設該矩陣為 E，則 E=CB ，即：10005005103E100045520007000125005500140002500011000此結(jié)果說明， 城鎮(zhèn) 1 蘋果的購買量為7000，城鎮(zhèn) 1 橘子的購買量為12500，城鎮(zhèn) 1 梨的購買量為 5500；城鎮(zhèn) 2 蘋果的購買量為14000，城鎮(zhèn) 2 橘子的購買量為25000，城鎮(zhèn) 2 梨的購買量為 11000。題后說明：這是一個矩陣的具

3、體應用問題。其實很顯然在沒有矩陣的知識前，我們也可以解出這一簡單的問題。此題的一般提法是：現(xiàn)有兩個城鎮(zhèn)（城鎮(zhèn)1 和城鎮(zhèn) 2）；城鎮(zhèn) 1 中有人員 A（ 1000 人）和人員 B（ 500 人），城鎮(zhèn)2 中有人員 A （ 2000人）和人員 B（ 1000 人）；人員 A 需蘋果、橘子和梨分別 5、 10 和 3，而人員 B 需蘋果、橘子和梨分別4、 5 和 5；現(xiàn)不妨假設每個城鎮(zhèn)中都有兩個商店（商店A 和商店 B），每個商店內(nèi)的蘋果、橘子和梨的價格均不相同。商店A中蘋果、橘子和梨的價格分別為每斤0.10、0.15 和 0.10，而商店 B 中蘋果、橘子和梨的價格分別為 0.15、0.20、0.

4、10?，F(xiàn)問 :（ 1）每個商店每個人購買水果的費用是多少？（2）每個城鎮(zhèn)每種水果的購買量是多少？解：（ 1）商店 A ：人員 A 購買水果的費用為：50.10100.1530.102.30人員 B 購買水果的費用為：40.1050.1550.101.65大學數(shù)學商店 B:人員 A 購買水果的費用為：50.15 100.203 0.103.05人員 B 購買水果的費用為：40.1550.2050.102.10此時如果用矩陣表示的話，有：商店A商店B人員 A2.303.05人員 B1.652.10顯然答案與用矩陣算出來的是一致的；同理對于（2）也是一樣的。然而， 不難看出利用矩陣求解此問題要簡單明

5、了的多。就此問題而言，數(shù)據(jù)簡單且較少，如果是更為復雜的問題，如：假設這里的城鎮(zhèn)有10 個，商店有50 個的話。 顯然用一般解法是很繁瑣的，而用矩陣求解仍是只需要一個算式即可。案例二某文具商店在一周內(nèi)所售出的文具如下表，周末盤點結(jié)賬，計算該店每天的售貨收入及一周的售貨總賬 .文具星期單價（元）一二三四五六橡皮(個)1585112200.3直尺（把）152018168250.5膠水（瓶）2001215431解由表中數(shù)據(jù)設矩陣1585112200.3，B0.52001215431則售貨收入可由下法算出1515203282000.312.45181222.5AT B0.511

6、61523.31128411.62025321.5所以，每天的售貨收入加在一起可得一周的售貨總賬，即3212.422.523.311.6 21.5123.（3元）案例三大學數(shù)學某工廠檢驗室有甲乙兩種不同的化學原料， 甲種原料分別含鋅與鎂 10%與 20%，乙種原料分別含鋅與鎂 10%與 30%，現(xiàn)在要用這兩種原料分別配制 AB 兩種試劑， A 試劑需含鋅鎂各 2 克， 5 克， B 試劑需含鋅鎂各 1 克， 2 克.問配制 AB 兩種試劑分別需要甲乙兩種化學原料各多少克？解： 設配制 A 試劑需甲乙兩種化學原料分別為 x ，y 克；配制 B 試劑需甲乙兩種化學原料分別為 s，t 克；根據(jù)題意，

7、得如下矩陣方程0.10.1xs210.20.3yt52設 A0.10.1, Xxs, B21，則 XA1B，0.20.3yt52下面用初等行變換求A 1 ，0.10.11010r1111000.20.30110r223010即 A 13010，2010r2 2 r11110 0r1 r2103010012010012010xs3010211010所以 Xt201052100y即配制 A 試劑分別需要甲乙兩種化學原料各10 克，配制 B 試劑需甲乙兩種化學原料分別為 10克，0 克.案例四一百貨商店出售四種型號的T 衫：小號，中號，大號和加大號 .四種型號的 T衫的售價分別為： 22 元， 24

8、 元， 26 元， 30 元 .若商店某周共售出了13 件 T 衫，毛收入為 320 元.已知大號的銷售量為小號和加大號銷售量的總和，大號的銷售收入也為小號和加大號銷售收入的總和，問各種型號的T 衫各售出多少件？解設該 T 衫小號，中號，大號和加大號的銷售量分別為xi (i1,2,3, 4) ，由題意得x1x2x3x41322x124x226x330x4320x1x3x4022x126x330x40下面用初等行變換把A 化成行簡化矩陣大學數(shù)學11111322242630320A0110122026300r222r1, r3r1r422r11111130248340120130224882861

9、11113r 2r3012013024834022488286r32r2r422r21111130120130008800480111113r3r401201300480000881r2 , r318 r41111130120130012000011r32r4r1r41110120120130010200011r22r3r1r3110010010090010200011r1r210001010090010200011所以方程組解得x11x29x32x41因此 T 衫小號，中號，大號和加大號的銷售量分別為1 件， 9 件， 2 件和 1 件.案例五一個牧場， 12 頭牛 4 周吃草 10/3 格

10、爾，21 頭牛 9 周吃草 10 格爾，問 24格爾牧草，多少頭牛 18 周吃完？ (注:格爾牧場的面積單位)解設每頭牛每周吃草量為x ，每格爾草地每周的生長量(即草的生長量 )為y ，每格爾草地的原有草量為a ，另外設 24格爾牧草， z 頭牛 18 周吃完124x10a / 310 / 34 y則根據(jù)題意得219x10a109 y其中 ( x, y, a) 是線性方程組的未知數(shù)z 18x24a2418 y大學數(shù)學144x40 y10a0化簡得189x90 y10a018zx432 y24a0根據(jù)題意知齊次線性方程組有非零解，故r (A)3 ,即系數(shù)行列式144401018990100 ，計

11、算得 z36 .18z43224所以 24 格爾牧草 36 頭牛 18 周吃完案例六田忌和齊王賽馬雙方約定出上、中、下三個等級的馬各一匹進行比賽，比賽共 3 場，勝者得一分，負者 -1 分。已知在同一等級的馬進行賽跑，齊王可穩(wěn)操勝券，另外，齊王的中等馬對田忌的上等馬，或者齊王的下等馬對田忌的中等馬，則田忌贏。 齊王和田忌在排列賽馬出場順序時各取下列6 種策略之一： 上、中、下 上、下、中 中、上、下 中、下、上 下、中、上 下、上、中 若將這 6 種策略從1 到 6 依次編號，則可寫出齊王的贏得矩陣311111131111113111A113111111131111113案例七甲乙兩超市銷售三

12、種奶粉的日銷售量見下表奶粉一奶粉二奶粉三5810甲超市5810抽象為矩陣 A735乙超市735單價與利潤見下表單價利潤151奶粉一151抽象為矩陣 B121奶粉二121202奶粉三202求甲乙兩超市銷售奶粉總收入與總利潤收入利潤甲5158121020371518110233大學數(shù)學乙71531252024171315220581015133由此得矩陣 C AB12371735120202412案例八 - 機床定模型興興機械廠生產(chǎn)甲乙丙三種規(guī)格機床，其價格和成本見下表甲乙丙單價（萬元每臺）765成本（萬元每臺）64.54一月份，工廠收到北京上海和廣東三地的訂購數(shù)量如下表北京上海廣東甲機床（臺）4

13、57乙機床（臺）568丙機床（臺）349請計算各地訂購三種機床的總價值總成本和總利潤各是多少。案例九 -軍事通訊中的加密與解密軍事中通訊中，需要將字符轉(zhuǎn)化成數(shù)字，所以這就需要將字符與數(shù)字一一對應，如：abcd.xyz1234242526如 are 對應的矩陣 B=（1 18 5），如果直接按這種方式傳輸，則很容易被敵人破譯而造成巨大的損失， 這就需要加密， 通常的做法是用一個約定的加密矩陣 A 乘以原信號矩陣 B，傳輸信號時，不是傳輸?shù)木仃?B，而是傳輸?shù)霓D(zhuǎn)換后的矩陣 C=A BT ,收到信號時，再將信號還原。如果敵人不知道加密矩陣， 則他就很難弄明白傳輸?shù)男盘柕暮x。設-101收到的信號為C

14、= 21 27 31T ,并且已知加密矩陣是 A= 011,問111大學數(shù)學原信號 B 是什么？解答：由加密原理知：BT =A -1 C所以先求逆矩陣：-10110 0-101100-10110 001101001101001101011100 101 21 0 10 011-1 1-10001-11 000-110 10-12-1010-12-10 011-110011-110-11從而得到 A -1 = -12-11-110-11214所以BT =A -1C= -1 2-127= 21-113125所以 B=4225 ，信號為 dby.案例十 - 韓信點兵有兵一隊，人數(shù)在 500 到 10

15、00 人之內(nèi)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二問這隊士兵多少人？案例十一 - 商品市場占有率有兩家公司R 和 S 經(jīng)營同類產(chǎn)品，他們相互競爭，每年R 公司保有四分之一的顧客，而四分之三轉(zhuǎn)移到S 公司，每年S 公司保有三分之二的顧客，三分之一轉(zhuǎn)移向R 公司。當產(chǎn)品開始制造時R 公司占有五分之三的市場份額，而S 公司占有五分之二的市場份額，問兩年后，兩家公司占有的市場份額變化怎樣？五年后又怎樣？是否有一組初始市場份額分配數(shù)據(jù)使以后每年市場份額分配額定不變？解答：兩年后市場份額R 和 S 公司分別為31% 和 69%，五年后市場份額R 和 S 公司分別為31%和 69%，R 和 S 兩家公司

16、市場穩(wěn)定的初始份額為十三分之四約為31% 和十三分之九約為69%。案例十二 - 工人工資定價問題現(xiàn)有一個木工、一個電工、一個油漆工三人相互同意彼此裝修他們自己的房子，在裝修之前，他們約定：(1) 沒人總共工作 10 天( 包括給自己家干活在內(nèi) ) ； (2)每人的日工資根據(jù)一般的市價在6080 元之間； (3) 每人的日工資數(shù)應使得每人大學數(shù)學的總收入與總支出相等， 下面的表格是他們工作天數(shù)的分配方案，根據(jù)分配方案表，確定他們每人的日工資 .天數(shù)工種木工電工油漆工在木工家的工作天數(shù)216在電工家的工作天數(shù)451在油漆工家的工作天數(shù)443解：設 x1, x2 , x3 分別表示木工、電工、油漆工的日工資，根據(jù)總收入等于總支出，建立方程組2 x1x26x310 x14x15x2x310 x2整理得齊次線性方程組4x14x23x310x38x1x26x304x15x2x30解出方程組的全部解為4x14x27x3031x1368 ( 其中 k 為任意實數(shù) ).x2k9x31由于日工資在 6080 元之間，故取 k72 ,得日工資分別為x162, x264, x372 .案例十四一制造商生產(chǎn)三種不同的化學產(chǎn)品A、B、C，每種產(chǎn)品都需要經(jīng)過兩種機器M和N的制作。而生產(chǎn)每一噸不同的產(chǎn)品需要使