線性代數(shù)第1章行列式試卷及答案

1、第一章行列式一、單項選擇題1.行列式 D 非零的充分條件是(D )(A) D 的所有元素非零(B) D 至少有 n 個元素非零(C) D 的任何兩行元素不成比例(D) 以 D 為系數(shù)矩陣的非齊次線性方程組有唯一解2二階行列式k12 0 的充分必要條件是（C）2k1A k-1B k 3C k -1 且 k 3D k -1 或 33已知 2 階行列式 a1a2 =m , b1b2=n ,則 b1b2=（B）b1b2c1c2a1c1 a2c2A. m-nB.n-mC.m+nD.- （ m+n ）xyz2 x2 y2z4.設(shè)行列式4031, 則行列式 401（A）11131112B.1C.28A.D.

2、335下列行列式等于零的是(D)321003010316A.321B.010C300D22400113000116201116行列式1011 第二行第一列元素的代數(shù)余子式A21 =（B ）11011110A -2B-1C 1D 23x1kx2x308如果方程組4x2x30 有非零解 ,則 k=（ B）4x2kx30A.-2B.-1C.1D.20ab0a00bB ）9（考研題）行列式cd=（00c00d2B. ad2C. a2d 2b2 c2D. b2 c2a2d 2A. ad bcbc二、填空題1. 四階行列式中帶負(fù)號且含有因子a12 和 a21 的項為a12 a21a33 a44 。2. 行

3、列式111中（ 3，2）元素的代數(shù)余子式 A 32234=_-2_.4916157811113. 設(shè)D09，則 5A14+A24+A44=_ 。2634371575解答： 5A+A+A11111501424=4409023431a210 ，則數(shù) a =_3_.4已知行列式230111ab05若 a,b 是實數(shù)，則當(dāng)a=_ 且 b=_時，有ba00。101ab0ab(a2b2 )解答：ba00a=0, b=0ba101x2236. 設(shè) f (x)12x34，則 x2 的系數(shù)為23。213x 100013000327. 五階行列式00183_ 。020753002600013000321)2 31

4、31解答： 00183(24232020753300261a1a2a38. （考研題）多項式f (x)1a1xa2a3的所有零1a1a2x1a31a1a2a3x2點為x0 ， x21 ， x32。1xbcd9、（考研題）設(shè) f (x)bxcd ，則方程 f (x)0 的根為 x。bcxdbcdx【分析】 f ( x) 是關(guān)于 x 的四次多項式，故方程f (x) 0 應(yīng)有四根，利用行列式的性質(zhì)知， 當(dāng) x b,c,d 時，分別會出現(xiàn)兩行相等的情況，所以行列式為零，故 x b,c,d 是方程的三個根。再將后三列均加到第一列上去可以提取一個公因子為xbcd ，所以當(dāng) x( bcd ) 時，滿足 f

5、(x)0 ，所以得方程的第四根 x(bcd ) 。故方程的四個根分別是：b,c, d , (bcd ) 。二、計算題00010002001、計算 D201200。002013000000002014【 分 析 】 方 法 一 ： 此 行 列 式 剛 好 只 有 n 個 非 零 元 素a1 n 1 , a2 n 2 , an 11 ,ann ，故非零項只有一項：( 1)t a1n 1 a2n2an 11ann ，其中 t( n 1)(n 2)，2(20141)(20142)因此D(1)22014!2014!方法二：按行列展開的方法也行。123423412、計算行列式D。34124123分析： 如

6、果行列式的各行（列）數(shù)的和相同時，一般首先采用的是將各列（行） 加到第一列 （行），提取第一列 （行） 的公因子 (簡稱列 （行 )加法 ).解 這個行列式的特點是各列4 個數(shù)的和為10 ，于是，各行加到第一行，得1234101010101111234123412341D41234121041233412341234123111111110121012116010121004001003210004122222223計算 2232 的值。222n1222120022220200解：22320210222n020n22002102( n2)!=20n2a1000a20a50a604、計算5 階行

7、列式： D00a900 的值。0a70a80a3000a4【分析】仿照上題的思路。a1a2D (a9)a5a6a7a8a3a4a1a2(aa3a49)a5a6a7a8(aa1a2a5a69)3a4a7a4( a 9)a8111111115、計算行列式的值。139271248分析經(jīng)過仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)，這個行列式是個4 階范德蒙行列式的轉(zhuǎn)置，所以利用范德蒙行列式的結(jié)論就可輕松算出行列式的值為240。43000143006、行列式 01430 =。0014300014分析對于此類三對角行列式，一般采用的是遞推法。按第一列展開，有430030004301430(1)211430D5 44D431434D

8、4 3D30143014301400140014故有 D5D43(D4D3 )32 (D3D2 )33(D2D1) 33 (1634)35于是 D5D435(D334)35 (D233)34 35D1 32333435364111x17.求行列式1x1x11的值。1111x1111【分析】利用行列式的性質(zhì)，將第2， 3， 4 列加到第1 列上得111 x 1 x11 x 1111 x 111 x 11 x1 x 1111 x 111 x 111 x x 111xx 1111x 1111 x1111111111x1xx00x0x0xx4xx0x x0x0x0000xabbbbbabbb8、計算

9、n 階行列式bbabb 。Dnbbbabbbbba【分析】行列式特點是各列（各行）元素之和都是a(n1)b ，故可把各行（各列）元素均加至第一行，提出公因子a(n1)b ，然后各行再減去第一行：a(n1) ba(n1) ba( n1)ba(n1)ba ( n1)bbabbbDnbbabbbbbabbbbba1111111111b a bb b0 a b000a(n1)bb b ab ba(n00a b001)bb b ba b000a b0b b bb a0000a ba( n1)b( a b) n 11 a11111a21，其中 a1a2an 09.計算行列式 D n111 an【分析】方法

10、一：利用行列式性質(zhì)，將原行列式化為上三角行列式。1 a111n111 a1 a11a1a20i 1ain1 )0a20 a1a2an (1Dni 1aia10an00an方法二：利用加邊的方法1111111101 a1111a100D n 1 011 a2110a200111 1 an1 0 0 0 an1n1111aii10a100a1a2n100a20an (1)i 1ai0000an111110.計算行列式 Dabcd的值。a 2b 2c 2d 2a 4b 4c 4d 411111abcdx【分析】利用范作范德蒙行列式D1a 2b 2c 2d 2x 2，則行a3b3c3d 3x 3a 4b 4c 4d 4x 4列式 D 就是行列式 D1 元素 x3 的余子式 M 45，即 DM 45又()()()()()()()()()()D1x a x b x c x d d a