典型例題：用放縮法證明不等式

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載用放縮法證明不等式所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對(duì)照證題目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時(shí)要注意放和縮的“ 度” ，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨(dú)用來證明不等式，也可以是其他方法證題時(shí)的一個(gè)重要步驟。下面舉例談?wù)勥\(yùn)用放縮法證題的常見題型。一. “添舍” 放縮通過對(duì)不等式的一邊進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)以達(dá)到解題目的，這是常規(guī)思路。例 1. 設(shè) a，b 為不相等的兩正數(shù)，且a3b3a2b2，求證143 ab。證明：由題設(shè)得 a2abb2ab，于是（ ab）2a2abb2ab，又 ab0，得 ab1，又 ab14（ab）2，而（ab）2ababab14（ab）2，

2、即34（ab）2ab，所以ab43，故有 1ab43。例 2. 已知 a、b、c 不全為零，求證：aabbbbcccacaabc22222232（）證明：因?yàn)閍abbabbababab22222234222（）（），同理bbccbc222，cacaca222。所以aabbbbcccacaabc22222232（）二. 分式放縮一個(gè)分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達(dá)到證題目的。例 3. 已知 a、b、c 為三角形的三邊，求證：12abcbaccab。證明：由于 a、b、c 為正數(shù)，所以abcaabc，bac

3、babc，cabcabc，所以abcbaccabaabcbabccabc 1， 又 a， b， c 為三角形的邊，故 b+ca， 則abc為真分?jǐn)?shù)，則abcaabc2，同理bacbabc2，cabcabc2，學(xué)習(xí)必備歡迎下載故abcbaccabaabcbabccabc2222. 綜合得12abcbaccab。三. 裂項(xiàng)放縮若欲證不等式含有與自然數(shù)n 有關(guān)的 n 項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來解題。例 4. 已知 nn* ，求n2n131211。證明：因?yàn)?，則11213（）（）（）1122123221212nnnnn，證畢。例 5. 已知*nn且) 1n(n3221an，求證：2)1(2)1

4、(2nannn對(duì)所有正整數(shù) n都成立。證明：因?yàn)閚nnn2)1(，所以2) 1n(nn21an，又2)1()1(nnnn，所以2) 1n(21n225232) 1n(n232221a2n，綜合知結(jié)論成立。四. 公式放縮利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡解。例 6. 已知函數(shù)1212)(xxxf，證明：對(duì)于*nn且3n都有1)(nnnf。證明：由題意知)12)(1()12(212211)111 ()1221 (112121)(nnnnnnnnnnnnnnnf，又因?yàn)?nn且3n，所以只須證122nn，又因?yàn)?n21n2)1n(nn1ccccc)11(2nn1nn2n1n0

5、nnn所以1)(nnnf。例 7. 已知2x1)x(f，求證：當(dāng) ab時(shí) fafbab（ ）（ ）。學(xué)習(xí)必備歡迎下載證明：fafbabababab abab（ ）（ ）11111122222222bababa)ba(bababa證畢。五. 換元放縮對(duì)于不等式的某個(gè)部分進(jìn)行換元，可顯露問題的本質(zhì)，然后隨機(jī)進(jìn)行放縮，可達(dá)解題目的。例 8. 已知cba，求證0ac1cb1ba1。證明：因?yàn)閏ba，所以可設(shè)tca，)0ut (ucb，所以0ut則0tuutt1u1t1u1ut1ac1cb1ba1，即0ac1cb1ba1。例 9. 已知 a，b，c為abc 的三條邊，且有222cba，當(dāng)*nn且3n時(shí)，求證：nnncba。證明：由于abc222，可設(shè) a=csina，b=ccosa （a 為銳角） ，因?yàn)?1sina，01cosa，則當(dāng)n3時(shí)， sinsinnaa2，coscosnaa2，所以abcaacaacnnnnnnn(sincos)(sincos)22。六. 單調(diào)函數(shù)放縮根據(jù)題目特征，通過構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)進(jìn)行放縮求解。例 10. 已知 a，br，求證b1ba1aba1ba。證明：構(gòu)造函數(shù))0 x(x1x)x(f，首先判斷其單調(diào)性，設(shè)21xx0，因?yàn)?)x1)(x1(xxx1xx1x)x(f)x(f2121221121，所以21xfxf，所以)x(f在,0上