圓錐曲線方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)8. 圓錐曲線方程知識(shí)要點(diǎn)一、橢圓方程 . 1. 橢圓方程的第一定義：為端點(diǎn)的線段以無軌跡方程為橢圓21212121212121,2,2,2ffffapfpfffapfpfffapfpf橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： i. 中心在原點(diǎn)， 焦點(diǎn)在 x 軸上：)0( 12222babyax. ii. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上：)0( 12222babxay. 一般方程：)0,0( 122babyax. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：12222byax的參數(shù)方程為sincosbyax（一象限應(yīng)是屬于20）. 頂點(diǎn)：),0)(0 ,(ba或)0 ,)(,0(ba. 軸：對(duì)稱軸： x 軸，y軸；長軸長a2，短軸長

2、b2. 焦點(diǎn)：)0,)(0 ,(cc或),0)(, 0(cc. 焦距：2221,2baccff. 準(zhǔn)線：cax2或cay2. 離心率：)10(eace. 焦點(diǎn)半徑：i. 設(shè)),(00yxp為橢圓)0(12222babyax上的一點(diǎn)，21,ff為左、右焦點(diǎn)，則ii.設(shè)),(00yxp為橢圓)0(12222baaybx上的一點(diǎn)，21,ff為上、下焦點(diǎn)，則由橢圓第二定義可知：) 0()(),0()(0002200201xaexxcaepfxexacaxepf歸結(jié)起來為0201,exapfexapf0201,eyapfeyapf學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)“左加右減” . 注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得)sin,

3、cos(ban方程的軌跡為橢圓 . 通徑：垂直于x 軸且過焦點(diǎn)的弦叫做通經(jīng). 坐標(biāo)：),(2222abcabd和),(2abc 共 離 心 率 的 橢 圓 系 的 方 程 ： 橢 圓)0(12222babyax的 離 心 率 是)(22bacace， 方程ttbyax(2222是大于 0 的參數(shù)，)0ba的離心率也是ace我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程. 若 p是橢圓：12222byax上的點(diǎn) .21,ff為焦點(diǎn)，若21pff，則21fpf的面積為2tan2b（用余弦定理與apfpf221可得）. 若是雙曲線， 則面積為2cot2b. 二、雙曲線方程 . 1. 雙曲線的第一定義：的一個(gè)端點(diǎn)

4、的一條射線以無軌跡方程為雙曲線21212121212121,222ffffapfpfffapfpfffapfpf雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：)0,(1),0,(122222222babxaybabyax. 一般方程：)0(122accyax. i. 焦點(diǎn)在 x 軸上：頂點(diǎn)：)0,(),0,(aa焦點(diǎn)：)0,(),0,(cc準(zhǔn)線方程cax2漸近線方程：0byax或asinacos,()bsinbcos(),nyxn的軌跡是橢圓學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)02222byaxii. 焦點(diǎn)在y軸上：頂點(diǎn)：), 0(),0(aa. 焦點(diǎn)：),0(),0(cc. 準(zhǔn)線方程：cay2. 漸近線方程：0bxay或02222bxay

5、，參數(shù)方程：tansecbyax或sectanaybx . 軸yx,為對(duì)稱軸，實(shí)軸長為2a, 虛軸長為 2b，焦距 2c. 離心率ace. 準(zhǔn)線距ca22（兩準(zhǔn)線的距離）；通徑ab22. 參數(shù)關(guān)系acebac,222. 焦點(diǎn)半徑公式：對(duì)于雙曲線方程12222byax（21,ff分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn)）“長加短減”原則：（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號(hào)計(jì)算，而雙曲線不帶符號(hào)）aexmfaexmf0201構(gòu)成滿足amfmf221aexfmaexfm0201aeyfmaeyfmaeymfaeymf02010201等軸雙曲線：雙曲線222ayx稱為等軸雙曲線，其漸近線方

6、程為xy，離心率2e. 共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做yxmmf1f2yxmmf1f2學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)已知雙曲線的共軛雙曲線.2222byax與2222byax互為共軛雙曲線， 它們具有共同的漸近線：02222byax. 共漸近線的雙曲線系方程：)0(2222byax的漸近線方程為02222byax如果雙曲線的漸近線為0byax時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為)0(2222byax. 例如：若雙曲線一條漸近線為xy21且過)21, 3(p，求雙曲線的方程？解：令雙曲線的方程為：)0(422yx，代入)21, 3(得12822yx. 直線與雙曲線的位置關(guān)系：區(qū)域：無切線

7、， 2 條與漸近線平行的直線，合計(jì)2 條；區(qū)域：即定點(diǎn)在雙曲線上，1 條切線， 2 條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條；區(qū)域： 2 條切線， 2 條與漸近線平行的直線，合計(jì)4 條；區(qū)域：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1 條切線，1 條與漸近線平行的直線，合計(jì) 2 條；區(qū)域：即過原點(diǎn)，無切線，無與漸近線平行的直線. 小結(jié)： 1. 過定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有 0、2、3、4 條. 2. 若直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)時(shí)，求確定直線的斜率可用代入”“法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號(hào). 若 p在雙曲線12222byax，則常用結(jié)論yxf1f21234533學(xué)習(xí)必

8、備精品知識(shí)點(diǎn)1：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b. 2： p到焦點(diǎn)的距離為m = n， 則 p到兩準(zhǔn)線的距離比為m n. 簡證：epfepfdd2121= nm. 三、拋物線方程 . 3. 設(shè)0p，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：pxy22pxy22pyx22pyx22圖形yxoyxoyxoyxo焦點(diǎn))0,2(pf)0,2(pf)2,0(pf)2, 0(pf準(zhǔn)線2px2px2py2py范圍ryx,0ryx,00,yrx0, yrx對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)（0，0）離心率1e焦點(diǎn)12xppf12xppf12yppf12yppf注：xcbyay2頂點(diǎn))244(2ababac. )0(22p

9、pxy則焦點(diǎn)半徑2pxpf;)0(22ppyx則焦點(diǎn)半徑為2pypf. 通徑為 2p，這是過焦點(diǎn)的所有弦中最短的. pxy22（或pyx22）的參數(shù)方程為ptyptx222（或222ptyptx）（t為參數(shù)）學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義. 4. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義： 平面內(nèi)到定點(diǎn)f 和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡 . 當(dāng)10e時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)1e時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)1e時(shí)，軌跡為雙曲線；當(dāng)0e時(shí)，軌跡為圓（ace，當(dāng)bac,0時(shí)）. 5. 圓錐曲線方程具有對(duì)稱性. 例如：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)原點(diǎn)的一條直線與雙曲線的交點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的. 因?yàn)榫哂袑?duì)稱性， 所以欲證 ab=cd

10、, 即證ad與 bc的中點(diǎn)重合即可 . 注：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義1到兩定點(diǎn) f1,f2 的距離之和為定值2a(2a|f1f2|)的 點(diǎn) 的軌跡1到兩定點(diǎn)f1,f2 的距離之差的絕對(duì)值為定值 2a(02a|f1f2|)的點(diǎn)的軌跡2與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e 的點(diǎn)的軌跡. （0e1）與定點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡 . 方程標(biāo)準(zhǔn)方程12222byax(ba0) 12222byax(a0,b0) y2=2px 參為離心角）參數(shù)(sincosbyax為離心角）參數(shù)(tansecbyaxptyptx222(t為學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)數(shù)方程參數(shù) ) 范圍a x a，b y b |x| a ，yr x 0 中心原點(diǎn) o（0，0）原點(diǎn) o （0，0）頂點(diǎn)(a,0), (a,0) , (0,b) , (0, b)(a,0), (a,0)(0,0) 對(duì)稱軸x 軸，y 軸；長軸長2a,短軸長 2b x 軸，y 軸; 實(shí)軸長 2a, 虛軸長 2b. x 軸焦點(diǎn)f1(c,0), f2(c,0)f1(c,0),