《空間向量在立體幾何中的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載空間向量在立體幾何中的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)一. 教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)與技能1. 理解并會(huì)用空間向量求線線角、線面角、二面角的余弦值；2. 理解并會(huì)用空間向量解決平行與垂直問題. （二）過程與方法1. 體驗(yàn)用空間向量求線線角、線面角、二面角的余弦值的過程；2. 體驗(yàn)用空間向量解決平行與垂直問題的過程（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀1. 通過理解并用空間向量求線線角、線面角、二面角的余弦值，用空間向量解決平行與垂直問題的過程， 讓學(xué)生體會(huì)幾何問題代數(shù)化， 領(lǐng)悟解析幾何的思想；2. 培養(yǎng)學(xué)生向量的代數(shù)運(yùn)算推理能力；3. 培養(yǎng)學(xué)生理解、運(yùn)用知識(shí)的能力二. 教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：用空間向量求線線角、線面角、二面

2、角的余弦值及解決平行與垂直問題難點(diǎn)：用空間向量求二面角的余弦值三. 教學(xué)方法：情景教學(xué)法、啟發(fā)式教學(xué)法、練習(xí)法和講授法四. 教學(xué)用具：電腦、投影儀五. 教學(xué)設(shè)計(jì)（一）新課導(dǎo)入1. 提問學(xué)生：（1）怎樣找空間中線線角、線面角和二面角的平面角？（2）能否用代數(shù)運(yùn)算來解決平行與垂直問題？（二）新課學(xué)習(xí)1. 用空間向量求線線角、線面角、二面角的余弦值. （1）設(shè)12,ll是兩條異面直線，,a b是1l上的任意兩點(diǎn)，,c d是直線2l上的任意兩點(diǎn)，則12,l l所成的角的余弦值為cdabcdab. （2）設(shè) ab是平面的斜線，且,bbc是斜線 ab 在平面內(nèi)的射影，則斜線 ab 與平面所成的角的余弦值為

3、bcabbcab. 設(shè)n是平面的法向量， ab是平面的一條斜線，則ab與平面所成的角的余弦值為nabnab. 學(xué)習(xí)必備歡迎下載（3）設(shè)12,n n 是二面角l的面,的法向量，則2121nnnn就是二面角的平面角或補(bǔ)角的余弦值 . 例 1：在棱長為a的正方體abcda b c d中， ef 分別是,bc a d的中點(diǎn)，（1）求直線acde與所成角的余弦值 . （2）求直線 ad 與平面b edf 所成的角的余弦值 . （3）求平面b edf 與平面 abcd 所成的角的余弦值 . 分析：啟發(fā)學(xué)生找出三條兩兩垂直的直線ab,ad,aa ，建立空間直角坐標(biāo)系a-xyz ，根據(jù)已知找出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然

4、后寫出相關(guān)向量的坐標(biāo)，并進(jìn)行運(yùn)算就可以得到所求的結(jié)果 . 解： （1）如圖建立坐標(biāo)系，則(0,0, ),( , ,0),(0, ,0),( ,0)2aaa c a adae a. ( , ,),( ,0)2aaca aadea. 15cos,15acdeac deacde. 故acde與所成的角的余弦值為1515. （2）,adeadf所以 ad 在平面b edf 內(nèi)的射影在edf 的平分線上，又b edf 為菱形，db 為edf 的平分線，故直線 ad 與平面bedf 所成的 角 為a d b， 建 立 如 圖 所 示 坐 標(biāo) 系 ， 則(0,0,0),( ,0,),(0, ,0)ab aa

5、da，(0,0),( , )daadbaa a ，3cos,3dadbda dbdadb. 故 ad 與平面b edf 所成角的余弦值為33. da b c d e f g abcx y z 學(xué)習(xí)必備歡迎下載（3）由(0,0,0),(0,0, ),( ,0, ),(0, ,0),( ,0)2aaaa b aa dae a, 所以平面 abcd的法向量為(0,0, )maaa , 下面求平面b edf 的法向量，設(shè)(1, , )ny z，由(, 0),(0,)22aaedaeba，0210nedyzneb，(1,2,1)n. 6cos,6mnn mmn. 所以，平面b edf 與平面 abcd

6、所成的角的余弦值為66. 課堂練習(xí)：1. 如圖，paabc平面，,1,2acbc paacbc，求二面角apbc 的余弦值 . 參考答案：解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系cxyz，取 pb的中點(diǎn) d ，連,dc可證dcpb，作 aepb 于 e，則向量dcea與的夾角的大小為二面角apbc的大小。(1,0,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,1)abcp， d 為 pb的中點(diǎn)，12 1(,)222，在 rt pab中，2213peapebab. 13epb分的比為，32 3123(,)(,)444444eea121(,)222dc，13,22eadcea，a b c p d e x

7、y z 學(xué)習(xí)必備歡迎下載1321,cos,3312dcea dc. 二面角 apcc 的余弦值為33. 引導(dǎo)學(xué)生歸納：用空間向量求二面角的余弦值時(shí)， 是將求二面角的余弦值問題轉(zhuǎn)化為求兩平面的法向量的夾角的余弦值問題，這里要明確：（1）當(dāng)法向量12nn與的方向分別指向二面角內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量12nn與的夾角的大?。唬?）當(dāng)法向量12nn與的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量12nn與的夾角的補(bǔ)角12,n n. 2. 利用向量向量解決平行與垂直問題. 例 2：如圖 , 在直三棱柱abc a1b1c1中，ac 3，bc 4，aa14，5ab, 點(diǎn) d是 ab的

8、中點(diǎn)，（i ）求證： ac bc1；（ii ）求證： a1c/ 平面 cdb1.分析：啟發(fā)學(xué)生找出三條兩兩垂直的直線ca,cb,cc1，建立空間直角坐標(biāo)系c-xyz，根據(jù)已知找出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后寫出相關(guān)向量的坐標(biāo)，并進(jìn)行運(yùn)算就可以得到兩條直線垂直或平行. 解：直三棱柱abc a1b1c1底面三邊長ac 3，bc 4，ab 5，ac 、bc 、c1c兩兩垂直，如圖，以c為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線ca 、cb 、c1c分別為 x 軸、y 軸、z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則c（0,0 ，0） ，a （3,0 ，0） ，c1（0,0 ，4） ，b（0,4，0） ，b1（0,4 ，4） ，d（23，2,0 ）（

9、1）ac（3,0 ，0） ，1bc （0，4,0 ） ，ac?1bc 0，ac bc1. 學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）設(shè) cb1與 c1b的交戰(zhàn)為 e，則 e（0,2 ，2）. de（23，0,2 ） ，1ac （3,0 ，4） ，112deac ，de ac1. de平面 cdb1，ac1平面 cdb1. ac1/ 平面 cdb1. 引導(dǎo)學(xué)生歸納：（1）垂直問題轉(zhuǎn)化為：判定空間向量的數(shù)量積是否為零；（2）平行問題轉(zhuǎn)化為：面面平行線面平行線線平行 . 課堂練習(xí)：2. 在直三棱柱111abca b c中，13,4,5,4acbcabaa, （1）求證1;acbc（2）在 ab上是否存在點(diǎn) d 使得1?

10、accd（3）在 ab上是否存在點(diǎn) d 使得11/accdb平面. 參考答案：解：直三棱柱111abca b c，13,4,5,acbcabac bc cc兩兩垂直，以 c為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線1,ca cb cc分別為x軸 y 軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則1(0,0, 4),(3,0,0),(0,0, 4)cac，1(0,4,0),(0, 4,4)bb. （1）1( 3,0,0),(0, 4,4)acbc，110,acbcacbcacbc. （2）假設(shè)在 ab上存在點(diǎn) d ，使得1accd，則( 3 ,4 ,0)adab其中 01，則(33 ,4,0)d，于是(33 ,4 ,0)cd由于1(

11、3,0,4)ac，且1accd. 所以990 得1，所以在 ab 上存在點(diǎn) d 使得1accd，且這時(shí)點(diǎn) d 與點(diǎn) b重合. （3） 假設(shè)在 ab 上存在點(diǎn) d 使得11/accdb平面， 則(3,4, 0 )a da bc a b x d 1ay z 1b1c學(xué)習(xí)必備歡迎下載其中 01則(33 ,4,0)d，1(33 ,44, 4)b d又1(0, 4, 4).bc由于1(3 ,0,4)ac，11/accdb平面，所以存在實(shí)數(shù)111, ,m nacmb dnbc使成立，(33 )3,(44)40, 444,mmnmn所以12，所以在 ab 上存在點(diǎn) d 使得11/accdb平面，且 d 使 ab 的中點(diǎn) . 引導(dǎo)學(xué)生感悟：空間向量有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)，它可以把幾何圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合， 在解決立體幾何的夾角、 平行與垂直等問題中體現(xiàn)出巨大的優(yōu)越性 . （二）課外作業(yè)1. 如圖, 在直三棱柱 abc a1b1c1中， acb=