滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)-一元二次的解法因式分解教師版

1、元二次方程的解法因式分解知識(shí)精要1. 十字相乘2般地，X (P q)x Pq (X P)(X q)(口十字相乘法的關(guān)鍵：把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)數(shù)的乘積，并且滿足這兩個(gè)數(shù)相加等于一次項(xiàng)系數(shù)；訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中)2 因式分解法解一元二次方程：通過(guò)因式分解使一元二次方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于零的形式，再使兩個(gè)一次式分別等于0,這種解法，叫做因式分解法。一般步驟：(1) 將方程右邊化為0(2) 將方程左邊的二次三項(xiàng)式分解為兩個(gè)一元一次方程(3) 令每一個(gè)因式分別為 0,得到兩個(gè)一元一次方程(4) 分別解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解精解名題例1解方程：(1 ) X23X 0 ；

2、(2) 3x2 2x ；(3)2 X8x0 ；(4)5x24x 02【答案】(1)X 0,x3；(2)2X 0,x23；(3)X0,x8；(4) X0,x45 .例2解方程:(1) X23x2 0 ;(2)2 X2x480 ；(3) X23x540 ;(4)2 X5x500 ；【答案】(1)X 2,X1 ； ( 2) X6, X8 ；(3)X6, X9 ；(4) X5,x10例3.用因式分解法解方程：(1)2x2X 0(2)4x211x(3)X 2 2 2x 4(4)(X3)24x( X 3)0解：(1) 2x2+= (2x+1 ). x=0 或 2x+1=0,1. xi=0 , X2=2(2

3、) 移項(xiàng)，得：4x2-11x=0因式分解，得：X ( 4x-11 ) =0于是，得：x=0或4x-11=0(3) 移項(xiàng)，得(x-2 ) 2-2x+4=0因式分解，得：(x-2 ) (x-2-2(4) (X 3)(x 3 4x)0 (XX 3 0 或 5x 3 0例4.用十字相乘法解下列方程11 x1 = 0 , X2=4(x-2 ) 2-2 (x-2 ) =0)=0 得 x-2=0 或 x-4=0 X1=2 , x2=43)(5x3)03,x235(2) X2 x 5602 4x 31x 4502 3x 22x 2402 X 13x 1202 3x 4x 702 3x 4x 402(8) X

4、7x 1805 將4個(gè)數(shù)a, b, c, d排成2行、列，兩邊各加一條豎直線記成,定義(1) X212x270X 1 X 1ad bc ,上述記號(hào)就叫做 2階行列式若6 ,則X1 x x 1解析：本題中給出了2階行列式定義，讓考生根據(jù)定義規(guī)定的運(yùn)算法則，從x 1x 11 xx16 中,提煉出一元二次方程x 1 x 1x 1 1 x6 ,化簡(jiǎn)、整理，得 2x24, X2.答案：V例 6:解關(guān)于 X 的方程：(a2 b2) x2- 4abx= a2 b2.解： 當(dāng)a - b2 = 0,即丨a I = I b丨時(shí)，方程為4abx= 0. 當(dāng)a= b= 0時(shí)，X為任意實(shí)數(shù).當(dāng)I a I = I b 0

5、時(shí)，X = 0.(2)當(dāng)a2- b2 0,即a+ b 0且a b 0時(shí)，方程為一元二次方程. 分解因式，得(a+ b)x+ (a- b) (a b)x- (a+ b)= 0, a+ b 0 且 a- b0,b aa b Xl =, X2 =a ba b2 2x2 2Xy 5y2 的值X 2 xy 5y說(shuō)明：解字母系數(shù)的方程，要注意二次項(xiàng)系數(shù)等于零和不等于零的不同情況分別求解.本題實(shí) 際上是分三種情況，即 a= b= 0;I a I = I b I 0 :丨a II b I.例7:已知2-Xy - 2y2= 0 ,且X 0, y 0 ,求代數(shù)式剖析：要求代數(shù)式的值，只要求出x、y的值即可，但從已

6、知條件中顯然不能求出，要求代數(shù)式的分子、分母是關(guān)于X、y的二次齊次式，所以知道 X與y的比值也可.由已知 X2-Xy -2y2= 0因式 分解即可得X與y的比值.2 2解：由 X - Xy- 2y = 0,得(X- 2y)( X + y) = 0, X- 2y= 0 或 x+ y = 0, X= 2y 或 X =- y.當(dāng)X= 2y時(shí),X2 2xy 5y2X2 2xy 5y2(2y)2 2 2y y 5y2 5y2(2y)2 2 2y y 5y213y25132 2 2 2 2當(dāng) x=- y時(shí)，X2xy5y( y)2 ( y) y5y2y1.'X22xy5y2( y)22 ( y) y

7、5y4y22說(shuō)明：因式分解法體現(xiàn)了“降次”“化歸”的數(shù)學(xué)思想方法，它不僅可用來(lái)解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程組及有關(guān)代數(shù)式的計(jì)算、證明中也有著廣泛的應(yīng)用.例 8 解方程(X2 1)2- 5(X2- 1) + 4= 0解 我們可以將X2- 1視為一個(gè)整體，然后設(shè) X2- 1 = y,則y2= (x2- 1)2,原方程化為y2 5y + 4=0,解此方程，得 y1= 1, y2= 4.當(dāng) y= 1 時(shí)，X2- 1= 1, X2= 2, x=± . 2 .當(dāng) y= 4 時(shí)，X- 1 = 4, X = 5, x=± .5 .原方程的解為 X1 = 2 , X2=

8、 . 2 , X3 = 5 , X4= . 5 .以上方法就叫換元法，達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.(1) 運(yùn)用上述方法解方程：X4- 3x2- 4 = 0.(2) 既然可以將X2- 1看作一個(gè)整體，你能直接運(yùn)用因式分解法解這個(gè)方程嗎 熱身練習(xí)1.方程 X2- 2x- 3=0 的根是 _X1= 3, X2= -1 .2 .如果 a2- 5ab- 14b2=0 ,貝y 2a_=17/5 或-1/5.5b解析：. a25ab 14b2= 0,( a7b) (a+2b)= 0,2a 3ba = 7b 或 a= 2b. 5b3 .用因式分解法解下列方程(1) X2 3 4 0(2) 2 7x解(

9、1) V 2-3x-4=(x-4 ) (x+1). x-4=0 或 x+ 仁0(2) x2-7x+6= (x-6 ) (x-1 ). x-6=0 或 x-1=0(3) V x2+4x-5= (x+5 ) (x-1 ). x+5=0 或 X-仁04 .適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?7 卡 2a 3b1或55b5260(3) X4x 50( x-4 ) (x+1)=0 X1=4 , X2=-1( x-6 ) (x-1 )=0X1=6, x2=1' ( x+5 ) (x-1 ) =0' X1=-5 , X2=1x2 + - S = U9x(x + 4)=7(X + 4)辰卞-25 -0-10

10、-x2x 202(5x-1)3(1)22x 9x 505.解關(guān)于X的方程：2 2 2 2(1) X 4ax+ 3a = 1 - 2a； (2) X + 5x+ k = 2kx + 5k+ 6 ；2 2 2 2 X 2mx- 8m= 0; (4) X + (2 m+ 1)x+ m+ m= 0.解答(1) X2 4ax + 4a2= a2 2a+ 1, (X 2a)2= (a 1)2, x 2a=± (a 1), X1= 3a 1, X2= a+ 1.2 2 2(2) X + (5 2k)x + k 5k 6= 0, X + (5 2k)x+ ( k+ 1)( k 6) = 0,CX (

11、k+ 1) :X (k 6) = 0, X1 = k + 1, X2= ( k 6).(3) x2 2mx÷m= 92, (x n) 2= (3 n)2x1 = 4m, X2= 2m2(4) X + (2 m+1) x + Vn n+ 1) = 0, (X + m CX + ( n+ 1)= 0, X1 = Vn X2= m- 16.已知 x2+ 3xy 4y2 = 0(y0),試求 X y 的值.X y 解(X + 4y)( X y) = 0, x= 4y 或 X=y當(dāng) X= 4y 時(shí)，M =4yy5; 當(dāng) X= y 時(shí)，Q= I = 0.X y4yy3Xy y y2 2 2 2

12、2 27 .已知(X + y)( X 1 + y ) 12= 0 .求 X + y 的值.2 2 2 2 2 2 2 2 2解(X + y)( X + y 1) 12= o, (X + y) (X + y) 12= 0,(X2 + y2 4)( X2 + y2 + 3) = 0,二 X2+ y2 = 4 或 X2+ y2= 3(舍去)五解方程(1)X2 X ? X2 X 224( 2) X2 IX 6 0解：(1)( X2+ X)( X2+ X2)= 24，整理得(X2+ X)2 2( X2 + X) 24= 0,'( X2+ X 6) ( X2+ X +4) =0.X 2+ X 6

13、= 0. X2+ X +4 = 0 由 X2+ X 6= 0 得 X1 = -3, X2= 2.方程X2+ X +4 = 0無(wú)解.原方程的根是 X= -3或X= 2.(2) X2 X 60 ,即 X2 X 60,解得 X = 3 或 X = -2 (舍去)，X1 = 3, X2= -3原方程的根是 X = 3 或 X= -3.自我測(cè)試2 21. 已知：關(guān)于X的方程 a 2 X ax X1是一元二次方程，求 a 3。22. X 5x因式分解結(jié)果為 _x(x-5 ); 2x X 35x3因式分解的結(jié)果是(x-3 ) (2x-5 ).2 13 .方程 2x 1 2x 1 的根是 1 = - , X2

14、=1._ 24. 二次三項(xiàng)式X2 20x 96分解因式的結(jié)果為_(kāi)(x+12) (x+8);如果令X2 20x 96 0 ,那么它的兩個(gè)根是_X1=-12 , x2=-8 .a2 b25. 已知X 1是一元二次方程ax2 bx 40 0的一個(gè)解，且a b ,求的值2a 2b解：因?yàn)閄 1是一元二次方程 ax2 bx 40 0的一個(gè)解 a 12 b1 400,可知ab40.a2 b2a ba bab4020.2a 2b 2 a b226:用因式分解法解下列方程：2(1) y + 7y+ 6= 0;(2) t(2t 1) = 3(2t 1);(2X- 1)( X- 1) = 1.解：方程可變形為(y

15、+ 1)( y + 6) = 0, y + 1 = 0 或 y+ 6= 0,二 y1=- 1, y2 = 6.1(2) 方程可變形為 t(2t - 1) -3(2 t - 1) = 0,(2t - 1)( t - 3) = 0,2t - 1= 0 或 t - 3= 0, S =2 12= 3.2(3) 方程可變形為 2x -3x = 0. x(2x- 3) = 0, X = 0 或 2x- 3= 0.C 3 X1= 0 , X2 =27;用因式分解法解下列方程6x23.3x 2 . 2x .6解：把方程左邊因式分解為：(2x3)(3x.2)0 2x 30或3x .2.3X1T，X28;用因式分

16、解法解下列方程。2y2 y 15解：移項(xiàng)得：2y2 y 150把方程左邊因式分解得：(2y 5)( y 3)0 2y 50或 y 3053 y12 , y2 3.9;用因式分解法解下列方程(1) 6x2 13x 20 ； (2) 3(2x 1)29( . 3X 2)20 ；解：(1)原方程可變形為1(6x 1)(x 2)0, 6x 10或 X 20, 為 一必 2.6(2)原方程可化為(2 3x3)2 (3-3x 6)2 0 ,即 (23x 3 3、3x 6)(2.3x 3 3- 3x 6) 0 , (5 . 3x、3 6)( . 3 6.3x)0, 5.3x -.3 60 或、3 6. 3x Xi2 .、3 1X212.3.10用因式分解法解方程:(1) 2 5 36 0