八年級秋季班-第4講：一元二次方程的概念及特殊的一元二次方程的解法-教師版

1、13 / 25(C2l 一元二次方程概念及解法D內(nèi)容分析一元二次方程概念及解法是八年級數(shù)學上學期第二章第一節(jié)內(nèi)容，主要對一 元二次方程概念和直接開平方法及因式分解法對一元二次方程進行講解，重點是 一元二次方程概念的理解，難點是開平方法及因式分解法解特殊一元二次方 程.通過本節(jié)課的學習對一元二次方程有個整體的認識，為后面的解方程打下基 礎.模塊一：一元二次方程的概念知識精講例題解析【例1】下列方程中，哪些是一元二二次方程？哪些不是一兀一次方程.(1)2X0;(2)X3 X314 0 ;(3)3 x 2 y 10；(4)4X2x=0;(5)3x2 -X 2 ;3(6)2 axbxC 0, ( a

2、, b為已知數(shù))；(7)(X 3)(x 2) X25 ；(8)(a3) X28(a3).【難度】【答案】(1 )、( 2)、( 5)、(8)是一兀1次方程，其余不是一兀二次方程.【解析】(1)、( 2)、( 5)、(8)化為一般式后滿足'兀二次方程定義，是一兀二次方程；(3)含有兩個未知數(shù)，(4)是分式方程，(6)沒有強調(diào)二次項系數(shù)不為0, ( 7)3 )、( 4 )、( 6 )、( 7)不是化成一般式后，二次項抵消，是一元一次方程故(元二次方程.【總結】本題考查了一元二次方程的概念.【例2】 當k時，方程(k 3)2 kx 60一元二次方程.【難度】【答案】k 3 .【解析】令二次項

3、系數(shù)不為 O ,即k 30,解得：k . 3 .【總結】本題考查了一元二次方程的概念.【例3】方程(X 1)(x2)2的一般形式是,二次項系數(shù)是,常數(shù)項是【難度】【答案】2X 3x 0 ,1,0.【解析】去括號，得：2 X3x 22 ,移項得：X23x0 ,所以二次項系數(shù)是1,常數(shù)項是0.【總結】本題考查了一兀一二次方程的一般形式和各項系數(shù)的相關概念.【例4】 寫出一個滿足條件一次項系數(shù)是3,且有一個根是 1的一元二次方程.【難度】【答案】X 3x 40等.【解析】一次項為3x ,二次項系數(shù)任意定，再把 X 1代入用常數(shù)項配湊.【總結】本題考查了一元二次方程項與系數(shù)的相關概念以及方程的根的概念

4、.【例5】 關于X方程(2m 1)2 3mx 50有一個根是X 1 ,求m的值.【難度】【答案】m 4 .【解析】將X1代入的：(2m 1) 3m 5 0,解得：m 4.【總結】本題考查了方程的解得概念.【例6】 當m取何值時，關于X的方程mm 1 3x x2 mx 2是一元二次方程.【難度】【答案】O或1.2【解析】整理得:m mx1 X2 (m 3)x 20m212時，此時原方程為:(m 1)x2 (m3)x 202m 12由解得：m 1;m 10當m2 11時,此時原方程為：X (2m3)x 20 ,由m21 1 :I解得：m0 .綜上：m1或O .【總結】本題考查了一元二次方程的概念.

5、2 【例7】 若關于X的方程(a 1)a 1 5x 4.(1) 方程為一元二次方程，a的取值是?(2) 方程為一元一次方程，a的取值是?【難度】【答案】(1) a1 ；(2) a 0 .【解析】2(1)令 a12 ,解得：a 1 ;a10a211 ” Q(2) 令,解得：a 0 .a15 0【總結】本題考查了元一次方程的概念.【例8】如果關于X方程ax2 b 0(a 0)有實數(shù)根，試確定a、b應滿足的關系.【難度】【答案】a、b異號或a 0且b 0 .【解析】(1)當a 0時，原方程為一元二次方程，當a、b異號時，原方程有實數(shù)根；(2)當a 0時，原方程為等式，當 b 0時，原方程有無數(shù)解；綜

6、上：當a、b異號時或a 0且b 0時，原方程有實數(shù)根.【總結】本題考查了含參數(shù)方程的分類討論.【例9】關于X方程ax2 bx C 0(a 0)滿足下列兩個等式成立 4a 2b c 0 ,2a 2b C 0 ,試求方程的解.【難度】【答案】x12, 2-/2 .【解析】由(2)2a ( 2)b c 0, ( 2)2a ( 2)b C 0 ,得：原方程的解為：xI2 , x22 .【總結】本題考查了方程的解得概念.【例10】已知方程5m22 I I '.nx 10和mx 3nx 40有共冋的根2，試求n的值【難度】【答案】21 n3220m 2n 10【解析】把X 2代入得：4m 6 n

7、40 '× 5得：32n 21 0解得：n 21 .32【總結】本題考查了方程的解得概念.【例11】若兩個方程X2ax b20和Xbxa 0只有一個公共根，寫出a與b之間的關系.【難度】【答案】a b 1.2mamb0【解析】設這個公共根是m ,則m2bma0將兩個方程相減得：(a b)m(ba)0 ,解得：m 1 ,將m 1代入原方程得：a b 1. 【總結】本題考查了方程的解的概念.【例12】若a是方程2X 2 0的一個根，則代數(shù)式2aa的值是【難度】 【答案】2.【解析】由已知，得：a2 a 2 0, 2移項，得：a a 2.【總結】本題考查了方程的解得概念以及整體代入

8、思想的運用.【例13】 已知關于X的方程3a b 3a2b 1 0是一元二次方程，求 a、b的值.【難度】6442aaaa【答案】5 ； a1 .5 .5 .54b1612bbbb5555【解析】由已知得：ab 2；ab2ab 2a b 1.a b 03a;2b 23a2b1 ；3a2b03a 2b 23a 2b 242解得:【總結】本題考查了含參方程的分類討論.【例14】已知a是方程X2 X 2000 0的一個根，求代數(shù)式20002000"20001 -a的值，用含a的式子表示.【解析】由已知，得：a2兩邊同時除以a ,得:【答案】2 a 2000 0 ,20001 -a,2000

9、a 1 a原式 32000彳 20001a【總結】本題考查了方程的根的概念模塊二：特殊的一元二次方程的解法知識精講1特殊的一元二次方程的解法1.1、特殊的一元二次方程的解法主要有兩種即直接開平方和因式分解.1.2、因式分解法的一般步驟： 將方程右邊化為零； 將方程左邊的二次三項式分解為兩個一次因式的乘積； 令每一個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；分別解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.例題解析【例15】填空：(1)方程(X1)24的根是；(2)方程X28x0的根是；(3)如果方程(Xa)2 k有解，那么k；其解X1 =；X2【難度】【答案】(1)X13 , X21 ；(2)X10

10、,X28 ；(3)0 , X.k a,x2. k a【解析】(1)直接開平方(2)因式分解X 12X(X8) 0X 12X12X0X8 0X13 , X21 ；X0 , X28 ；(3)由原方程有解牟得：k0 .直接開平方:Xak X akX ak. X . ka , X2k a .【總結】本題考查了直接開平方法和因式分解法解一元二次方程.【例16】如果n是方程X2mx n O的根，且n O ,貝U m n的值是（C. 1D.1【難度】【答案】D【解析】將X n代入方程得:2n mn n O,即：n(m n 1) On O ,m n 1 O ,. m n 1 ,故選擇D.【總結】本題考查了方程

11、的解的概念.【例17】方程：(X37)231(X 4)(X 2)O的較小的根是（)33C15A.B.C.D .-4428【難度】【答案】A【解析】提公因式,得:33(X )(xX-)O ,442整理得：（X -）（2 X 5） O,443 5 X1, X24 8T 35 ,故選擇D.48【總結】本題考查了因式分解法解一元二次方程.【例18】 解關于X的方程(用直接開平方方法)(1) 2x2 Xi3, X20 ;5(2) (X 3)(x 3)9 .【難度】【答案】(1) x30,X230(；(1010【解析】(1) 2x2! 3523X10X30103030 X,X21010【總結】本題考查了直

12、接開平方法解一元二次方程2) X 3 2 ,X23.2 .(2)2 X9 92 X18X3 2為32 , x2X. 2(1)3x2.5x 0 ；(2)7x(X 3) 3x 9.【難度】k5 .【答案】(1)為0, X23(2) X13, X237【解析】(1)x(3x . 5)0(2) 7x(x3)3(x 3)X03x5 07x(x3)3(x 3) X10, X23;(X3)(7X 3)X3 0【例19】解關于X的方程(因式分解方法)00 7x 3 0【總結】本題考查了因式分解法解兀二次方程.【例20】解關于X的方程(合適的方法 )(1)21X- X10 ；464(2)(X .2)(4x 1)

13、210(1 4x) 24 0 .(1 -2)2 .【難度】【答案】1(1) X1X2； (2) X11, X2812 2 .【解析】(1)因式分解法(2)直接開方法1 2(X 8)0X2(12)1X -80X212 X 2(1. 2). X1X21 ； ;8 X 1,X212 2 .【總結】本題考查了特殊-兀二次方程的解法,注意重根的寫法！【例21】 解關于X的方程(合適的方法)2【答案】(1) x 35, X2361 ；(2) X1【解析】(1)因式分解法(36 X 35)( X 1)0 36x 35 0X 1035 X, X2361 ；【難度】131,X244(4 X21) 10(14x)

14、24 0(4 X1 12)(4 X12) 0(4 X13)(4x 1)04x 13 0 4x 10131X,X244(2)把4x 1看作一個整體，因式分解(1) 36x X 350;【總結】本題考查了一元二次方程的解法，注意整體意識的建立.14/252C【例22】 解關于X的方程：4.32 X29 .【答案】Xi3( 3X23( . 32)2【解析】直接開平方：2(. 3 .2)x 32( .32) X 3 2( .32) X 3X2解得：Xi【總結】本題考查了直接開平方法解一元二次方程.【例23】解關于X的方程:2 2 2(1) X 2ax a b 0;(2) (a2 b2)X2 4abX

15、(a2 b2)0(3) m22 m2 X 2mx 10 .【難度】【答案】(1) x1 a b , x2 a b ；(2)當 a b 時，x1 _b , x2a b當 a b 0 時，X 0 ;當a b O ,原方程有無數(shù)解；i1(3)當 m 0且m 1 時，Xl , X2mm 1當m O時，X 1 ；當m 1時，X 1 .【解析】(1) X22ax a2 b20x (a b)x (a b). x1a b ,x2a b ；(a2 b2)x2b時，原方程是一元二次方程4abX (a2 b2)(a b)X (aa ba bb)( a XiX2b)X (aa b ；?a bb) 0當a2b20且ab

16、0時，即a b 0時，原方程是一元一次方程X 0；當ab 0,等式恒成立,原方程有無數(shù)解;綜上：當ab 時，X1a b,X2a b0時,0，原方程有無數(shù)解;(3)整理得:(m22m)X (1 2m)X 1當m2元二次方程(m 1)x1mx 1( m 1)x1 011 X1, X2mm 1當m0時,原方程為：X1 0,解得：當m1時，原方程為：X1 0,解得:綜上：i當m0且 m 1 時，XI1X2-mI當m0 時，X 1 ;當m1 時，X 1 ;1mxXX111時，原方程是【總結】本題考查了含參數(shù)一元二次方程的解法,定要分類討論！是一元二次方程時,般利用因式分解法.【例24】已知關于X的一元二

17、次方程（m 2） X23x m220的一個根為0,求m的值.25 / 25.ac,X2 a.aca【解析】（1）移項得：a2 C/ a 0.2 C X a當a、C同號時，x1 aC , x2aac a當a、C異號時，原方程無解;(2)把X看成一個整體，則：X25 X 6 0(X 6)( X 1)0 X 10 X 60 x1 6, X26 .【難度】【答案】m 2 .【解析】由已知得：m 50,即m . 2 ;將X 0代入，得：m(2) X 5 |x| 60.【難度】【答案】（1）當a、C同號時，Xi當a、C異號時，原方程無解;(2)Xi6, X2 20解得：m 2 .又m 2 ,. m 2 .

18、【總結】本題考查了方程解得概念及一元二次方程的概念，對于二次項系數(shù)是參數(shù)的一元次方程首要考慮的是二次項系數(shù)不為0,再根據(jù)題意進行計算.【例25】解關于X的方程：2(1) ax C 0(a0)；【總結】本題考查了特殊一元二次方程的解法.【例26】 解關于X的方程：（a b）2 （a2 b21)x (a b) 0(a b).【答案】X11,X2ab .a b【解析】T ab ,原方程是元二次方程；(ab)x2(a2 b21)x (a b) 0(a(ab)x1x (ab) 0. X11X2 ba b.a【總結】本題考查了含參的一兀二次方程的解法，【難度】b)法進行求解的題目可以嘗試我們下節(jié)課學習的求

19、根公式法.多利用因式分解法， 個別不能用因式分解【例27】方程（2016x）2 2015 2017x 1 0的較大的根是 a,方程2 2016x 2017 0的【難度】【答案】0.【解析】(2016 x)220152017x 102 22016 X(20161)(20161)x20162x2(201621)x 10(20162x1)(x1) 01X21 a ； x12 ,20162017 (a b)0.較小的根為b ,求代數(shù)式（a b）2017的值.X 2016x 20170X201711 0X(X 2017)(x1) 0. x1 2017 , x21 b 【總結】本題考查了特殊一元二次方程的

20、解法，要從系數(shù)中找尋規(guī)律進行求解.隨堂檢測I【習題1】 下列方程中，是一元二次方程的是().12J 222A. x O B. xx10C. xx11 D. xxx1X【難度】【答案】B【解析】A選項是分式方程；C選項等號左邊不是整式，不是一元二次方程，是下學期將會 學到的無理方程；D選項化簡后為X 1 0是一元一次方程；故選擇 B選項.【總結】本題考查了一元二次方程的概念.【習題2】關于X的方程(m 3)x mx 10是不是一兀二次方程?【難度】【答案】不一定.【解析】m 30即m當3時，原方程是元二次方程；m 30即m當3時，原方程是元次方程.【總結】本題考查了-元-一次方程的概念.【習題3

21、】已知關于X的方程(2k 1)x2 4kx (k 1) 0,當k時，此方程為一元二次方程，它的二次項系數(shù)是 , 一次項是 ,常數(shù)項是【難度】【答案】-；2k 1; 4kx; k 1 .2【解析】略.【總結】本題考查了一元二次方程的概念，注意寫項和系數(shù)時要帶著前面的符號.【習題4】 若方程(X a)2 b 0有解，則b的范圍是.【難度】【答案】b 0.【解析】移項，得：(X a)2 b ,由方程有解，得：b O , b 0 .0 ,則下列條件正確的是【總結】本題考查了用直接開平方法解一元二次方程有實數(shù)解的條件.().A. m0 , n0B . m0 , n0C . m 0, n 0【難度】【答案

22、】B【解析】將X0代入,得：m0當m0 , n0 時，X1X20 ,與題意矛盾，故m0 , n0 ,選擇B.【習題5】關于X的方程X2nx m 0兩根中只有一個根為【總結】本題考查了方程的解的概念.【習題6】 方程X2 4與3x2 a的解相同，求a的值.【難度】【答案】12.【解析】由已知得兩個方程是同一個方程，將X24左右兩邊同時乘以 3,得：3x212 , a 12.【總結】本題考查了方程的解的概念.【習題7】用指定的方法解下列方程:(1) 9x236x 364(x21）（直接開平方）；(2) ax2abx beex（因式分解）【答案】Xi8 ,X2XiC,X2a【解析】(1)9(x4x

23、4)4(x1)2(2) a0 ,原方程為一兀二次方程【總結】9(x3(x2)24(x1)2整理得:ax2 (abe)x be 02)2(x1)ax3(x 2)2(x 1) 3(x 2)2(x 1)(axC)(Xb)解得：X18, X2解得:X1CX2 a本題考查了一元二次方程的解法.【習題8】用適當?shù)腏方法解下列方程：(1)(X.2)2(12)2 ;(2)2 XX ；(3)(X3)(x1)5 ；(4)(ba) X2(aC)X C b 0(a b)【難度】【答案】（1）Xl12 2 ,X21 ;(2)X10 ,X21 ；(3)X4 , X22 ；(4)X1Cb , X21 ba【解析】（1）X2

24、(1/2)(2) x2X 0X2 12 ,X2(12),X(X 1)0 ,解得：Xl12 2 ,X21 ;解得：X10 , X2 1 ；(3) 整理得：x2 2x 3 52X 2x 8 0,(X 4)(x 2) 0 ,解得：Xi4, X2 2 ；(4) a b原方程是一元二次方程，2(b a)x (a C)X C b 0(a b),(b a)XX(C b)1(b a)X (C b)(X 1)0,解得：Xi 碁丄，X2 1 b a【總結】本題考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰當選擇. 2 2【習題9】 已知方程3ax bx 1 0和ax 2bx 5 0有共同的根是1 ,求a的值.【難度】【答

25、案】a 1.【解析】將X 1代入，得:3a b 10a 2b 5 0× 2+，得：7a 7 0 ,解得：a 1 .【總結】本題考查了方程的解的概念.【習題10】解關于X的一元二次方程：(2016 X)2 (X 2015)2 1 .【難度】【答案】X1 2016 , X2 2015 .【解析】移項，得：(2016 X)2 1 (X 2015)2,(2016X)21(X 2015)1(X2015),(2016X)2(X2014)(2016x),2(2016x)(X2014)(2016x)0,(2016x)(40302x)0 ,解得：x1 2016, x2 2015 .【總結】本題考查了一

26、元二次方程的解法，當系數(shù)比較大時，要注意尋找規(guī)律進行變型求解.【習題11】已知：若a2 4ab22b . c 3 50成立，求方程2axbxc 0 的解【難度】【答案】X13 , X21 .2【解析】由已知，得：(a 2)2(b 1)2,c 30 , a 2, b1, C 3.則原方程為：2x X 3O ,分解因式，得：(2 X 3)( X 1)0 .解得原方程的解為：X1-,X21 .2【總結】本題考查了幾個非負數(shù)的和為零的應用和一元一一次方程的解法.【習題12】已知關于X的方程aX2bXC0,1bx CX a 0和CX aX b 0有個公共根，求證：這個公共根只能是1.【難度】【答案】略.

27、2 ambmC0【解析】設這個公共根是 m ,則bm2Cma0cm2amb0將三個方程相加得：(a b c)m2 (a b c)m (a b C) 0 ,則(a b c)(m2 m 1) 0 .21 23/ m m 1 (m )0 ,24' a b c 0, 即 1 a 1b C 0 ,這個公共根只能是1 .【總結】本題綜合性較強，主要考查了幾個方程的公共根的概念及應用.課后作業(yè)【作業(yè)1】卜列方程中不一定是一兀二次方程的是().A.(a23)x8(a3)B.2 axbx C0C.(X3)(x 2) x 5D.3x23X572 0【難度】【答案】B【解析】A、C、D選項均符合定義，B選項

28、中未強調(diào)二次項系數(shù)不等于0 ,故選擇B【總結】本題考查了一兀二次方程的概念【作業(yè)2】(1)三個連續(xù)自然數(shù)，前兩個數(shù)的平方和等于第三個數(shù)的平方， 設中間一個為X根據(jù)題意可列方程,化成一般形式為(2)關于X的方程ax bxC(X3)(x 4)是恒等式，則a b C【難度】【答案】2 2(1) (X 1) X(X1)22;x 4x 0 ;(2) 10.【解析】(1)根據(jù)題意得：(X1)22 2X (X 1)化簡，得：2 4x 0 ；(2)化簡得：(a 1)2 (b 1)x (C 12)0由題意，得：a 1，b 1，C 12 , a b C 10.【總結】本題考查了一元二次方程的一般形式及應用.【作業(yè)

29、3】 方程（p2 2）x2 PX q 0是一元二次方程成立的條件是（）.A. P 2B. P 、2C. P 2D. P 0【難度】【答案】C【解析】令P220 ,解得：P 2 .【總結】本題考查了一元二次方程成立的條件.【作業(yè)4】如果方程2 (m 1)x m0的兩個根互為相反數(shù)，那么有（).36 / 25D .以上結論都不對【答案】【解析】當1 20時，代入得:m O ,此時方程為:方程的解為XI 1, X0 ,前后矛盾;設方程的根為Xa, X2a 0）代入得:2 a2 aa(m 1) ma(m 1) m將兩個方程相減得:2a(m1) 0 ,/ a 0 , m解得：m 1 .【總結】本題考查了

30、方程的解的概念.【作業(yè)5】若方程a2b C 0(a0)中,a、b、C 滿足 a b,則方程的根是（).【答案】【解析】【總結】1, 0由已知得:B . -1,12a 1b(1)2a(1)b本題考查了方程的解的概念.1, -1X11,X2D.無法確定1 ,故選擇C .【作業(yè)6】用合適的方法解下列關于X的方程:(1) (12)X2(3 2)x20 ；(2) (X7)(x3) (X 1)(x5)38;(3) (3x5)25(3x 5) 40；(4) x2 ax 2a2 0(a為已知常數(shù)).【難度】【答案】(1)X21 , X22 ;(2)X 4.2 , X242 ；41X2a , X2(3)X13，

31、X23 ；a .【解析】(1)(12)x2(32)x20 ,(2)整理得：2x2640 ,(1X 1(x、2)0 ,2X 32 ,解得：X21 , X22 ；解得：X 4 2 ,X24 2 ；(3)(3x5)25(3x5)40(4)X2ax 2a20(a為已知常數(shù)）3x51X2a3x54Xa(3x:51)(3x54)0 ,(X2a)(x a)0解得X4I_,X21解得:X2a1 , X2a .33，【總結】本題考查了元二一次方程的解法n250的一個根，求n的值.5 0,解得：n 2 .【作業(yè)7】 若X 1是方程x2 2x【難度】【答案】n .2 .【解析】將X 1代入得：12 n2【總結】本題考查了方程的根的概念.【作業(yè)8】解關于X的方程：(2x 當b a 0時，X 當b a 0時，原方程有無數(shù)解.【總結】本題考查了含參方程的分類討論.3x2)a2(12)b2ab(12).【難度】【答案】當b2a且b a時，Xa I2a當b2a 0 時，X43 ；當ba 0 時，X23 ；當ba 0時，原方程有無數(shù)解.bT，X22a ba b【解析】整理得：(2a2 ab b2)2 3a2 (2a2 ab b2) 02abab2abab2 2(2a b)(a b) 3a X當(2ab)(ab)0時，即b2