統(tǒng)計學(xué)抽樣推斷分析法

1、第八章第八章 抽樣推斷分析法抽樣推斷分析法n次。次。特點：特點：n次。次。特點：特點：nN)!(!nNN!)!(!nnNN實驗中發(fā)生該事件的可能實驗中發(fā)生該事件的可能性大小。性大小。若樣本空間中各樣本點出現(xiàn)的可能性大小相同，可若樣本空間中各樣本點出現(xiàn)的可能性大小相同，可用樣本空間中屬于該事件的樣本點個數(shù)與樣本空間用樣本空間中屬于該事件的樣本點個數(shù)與樣本空間中全部樣本點個數(shù)之比來計算。中全部樣本點個數(shù)之比來計算。事件事件A、B之和之和A+B表示事件表示事件A或事件或事件B發(fā)生。發(fā)生。 A+B= AB 事件事件A、B之積之積AB表示事件表示事件A和和事件事件B同時發(fā)生。同時發(fā)生。 AB = AB

2、A、B互不相容表示互不相容表示AB= 幾個幾個互不相容事件中至互不相容事件中至少一個發(fā)生的概率等于這幾個事件各自發(fā)生少一個發(fā)生的概率等于這幾個事件各自發(fā)生的概率之和。的概率之和。AAA、B互相獨立表示事件互相獨立表示事件B發(fā)生發(fā)生與否對事件與否對事件A沒有影響。沒有影響。 幾個幾個互相獨立事件同時互相獨立事件同時發(fā)生的概率等于這幾個事件各自發(fā)生的概率發(fā)生的概率等于這幾個事件各自發(fā)生的概率之積。之積。A、B三、離散型隨機變量的概率分布三、離散型隨機變量的概率分布將離散型隨機變量的所有可能取將離散型隨機變量的所有可能取值及相應(yīng)的概率按順序列成表。值及相應(yīng)的概率按順序列成表。 XX x1 x2 xn

3、 x1 x2 PP p(x1) p(x2) p(xn) p(x1)p(x2) nxnxp(i=1,2, ) 離散型隨機變量的概率分布也可以離散型隨機變量的概率分布也可以用等式表述為：用等式表述為： =iixp1離散型隨機變量的概率分布的性質(zhì)：離散型隨機變量的概率分布的性質(zhì)： 10ixp(i=1,2, )； iixpxXp=)(412121)2(2121212121) 1(412121)0(=+=XpXpXp離散型隨機變量的概率分布還可以離散型隨機變量的概率分布還可以用用來表示。來表示。RxxXpxF=)()()()()()()()()()()()(121221211211221xFxFxXpx

4、XpxXxpxXxpxXpxXxxXpxXp，xx=+=+=有對任意實數(shù)+=)2( 1)21 (43) 10(41)0(0)()(xxxxxXPxFnnqpC00111nnqpC222nnqpC0qpCnnnk 0 1 2 n 0 1 2 n P 四、連續(xù)型隨機變量的概率分布四、連續(xù)型隨機變量的概率分布連續(xù)型隨機變量的概率分布只能用連續(xù)型隨機變量的概率分布只能用來表示。來表示。=xdxxfxXpxF)()()(其中其中f( (x) )是分布函數(shù)是分布函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)，稱為的導(dǎo)數(shù)，稱為密度函數(shù)密度函數(shù)。xxxXxpxxFxxFxfxx+=+=)(lim)()(lim)(00連續(xù)型隨機變量的密度

5、函數(shù)連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)的性質(zhì)：的性質(zhì)：1、f(x)02、3、 =1d xxf=baxxfbXapd)()( a bxP(a Xb)f( (x) )五、隨機變量的數(shù)值特征五、隨機變量的數(shù)值特征常用的有：常用的有：（一）隨機變量的數(shù)學(xué)期望（一）隨機變量的數(shù)學(xué)期望 =iiixpxXE =xxxfXEd)(數(shù)學(xué)期望的兩個重要性質(zhì)：數(shù)學(xué)期望的兩個重要性質(zhì)：)()()()(:,2)()()()()(:,),(,),(),(:,12121212121212121nnnnnnnnXEXEXEXXXEXXXn、XEXEXEXXXEXEXXXXXEXEXEXXXn、=+=+=+=則相互獨立個隨機變量設(shè)則的數(shù)

6、學(xué)期望分別為個隨機變量設(shè) =xxfxXEd222（二）隨機變量的方差（二）隨機變量的方差 =iiixpxXE222方差的兩個重要性質(zhì)：方差的兩個重要性質(zhì)：nXnXnnnXnXXXXXXX、XXXXXXXXXXXXn、nnnnnnniinnnnn=+=+=+=+=+=+=+=)(,)(:,1)(:,2)()()(:,:,12222222122221222221221212112222212122212222121則若則相互獨立設(shè)則方差分別為相互獨立個隨機變量設(shè)六、正態(tài)分布六、正態(tài)分布 最重要的連續(xù)型隨機變量分布最重要的連續(xù)型隨機變量分布 =xxfx222e21稱隨機變量稱隨機變量X服從服從均值均

7、值為為，方差方差為為2 的的正態(tài)分布，記為正態(tài)分布，記為XN(， 2 )。f(x)xf( (x) )5 . 0=1=2=正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線 是該分布的中心，是該分布的中心，是標(biāo)準(zhǔn)差，反映分布的離散是標(biāo)準(zhǔn)差，反映分布的離散程度，程度，越大，分布曲線越平緩，離散程度越大；越大，分布曲線越平緩，離散程度越大；越小，分布曲線越陡峭，分布越集中。越小，分布曲線越陡峭，分布越集中。 =xtxdtdttfxF222e21)()(利用正態(tài)分布函數(shù)可計算正態(tài)分布隨機變量利用正態(tài)分布函數(shù)可計算正態(tài)分布隨機變量X落在落在任意區(qū)間的概率：任意區(qū)間的概率：=baxdxaFbFbXaP222e2

8、1)()()(對于不同的對于不同的和和2都要都要計算上述積分很麻煩。計算上述積分很麻煩。=0，=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，相應(yīng)的隨機變量稱為標(biāo)態(tài)分布，相應(yīng)的隨機變量稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量，用準(zhǔn)正態(tài)隨機變量，用Z表示，即表示，即ZN(0，1) 。 22e21zzf= =ztdtzF22e21落在落在任意區(qū)間的概率。任意區(qū)間的概率。正態(tài)分布函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)設(shè)XN(， 2 )，令，令Z= X1)()()0()(0)()()(:2222222=XEXEZEZXEXEZE則即：即：ZN( (0，1) ) 。XN(，2 )X(-a，+a )Z= XX(-a，+a )

9、,(aa)(-21-1aFX(-a，+a )XN(175，42 )171179Z= 4175XX(171，179 )(-1，1 )1-21-F(1)=0.682768270171179總體分布的數(shù)量特征。總體分布的數(shù)量特征。定義在樣本空間上的一個函數(shù)，定義在樣本空間上的一個函數(shù)，也稱也稱樣本指標(biāo)樣本指標(biāo)。本身也是隨機。本身也是隨機變量。變量。樣本統(tǒng)計量的概率分布。樣本統(tǒng)計量的概率分布。二、重復(fù)抽樣分布樣本平均數(shù)的分布樣本平均數(shù)的分布 )(8581281088868485121086422222222元元=+=+=NXXXNXX樣本變樣本變量量46810124456786567898678910

10、1078910111289101112樣本工時平均工資樣本工時平均工資(元元)頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率411/25522/25633/25744/25855/25944/251033/251122/251211/25合計合計251 =ffxxE)( 8112211310495847362514251元=+= 487386285184251222222+=ffxExx18122811381048958822222+24 元= )(2 元=x從理論上推導(dǎo)樣本平均數(shù)的分布：從理論上推導(dǎo)樣本平均數(shù)的分布：nxxxxxxx樣本為nXXXXXXnnN+=,:)(:,:212121其平均數(shù)為的容量為標(biāo)準(zhǔn)差為其平均數(shù)

11、為設(shè)總體變量XXnnxExExEnnxxxExEXNXxExExEnnniin=+=+=1)()()(1)()(1)()()(2121121nXxnXXnnxxxnxxxnnxxxxXxxxXxxxnnnnn)()()()(1)()()(1)(1)()()()()()(,2222221222122212222221221=+=+=+=同分布且都與相互獨立重復(fù)抽樣下結(jié)論：結(jié)論： nxx=n1樣本成數(shù)的分布樣本成數(shù)的分布PXP= )1 (2PPP=結(jié)論：結(jié)論： nPPnPPnPpp=11PXpEP=)( %41002 . 08 . 01=nPPp三、不重復(fù)抽樣分布樣本平均數(shù)的分布樣本平均數(shù)的分布

12、)(8581281088868485121086422222222元元=+=+=NXXXNXX樣本變樣本變量量46810124-567865-789867-91010789-1112891011-x樣本工時平均工資樣本工時平均工資 (元元)頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率522/20622/20744/20844/20944/201022/201122/20合計合計201 )( 82112104948472625201元=+=ff xxE 48728628520122222+=ffxExx281128104894882222+23元= )(3 元=x結(jié)論：結(jié)論： =1)(2NnNnXxx注意：注意：NnNnN

13、11樣本成數(shù)的分布樣本成數(shù)的分布結(jié)論：結(jié)論：PXpEP=)( =11NnNnPPpp注意：注意： %96. 11000040014002 . 08 . 01111=NnnppNnNnPPp四、大數(shù)定理與中心極限定理大數(shù)定理大數(shù)定理,21nxxxX2 XxEi= 22=ix11lim1=Xxnpniin大數(shù)定理應(yīng)用于成數(shù)指標(biāo)：大數(shù)定理應(yīng)用于成數(shù)指標(biāo)：1lim=pnmpn中心極限定理中心極限定理xX XXx,21nxxxX2 XxEi= 22=ixnxxnii=1nXN2, XXE= 22=XxXx),(2pPN注意：注意：)25,550(2Nx%04.54=)2 . 14 . 0- (=)253

14、025550-2510- (=)580540(ZPxPxP)19,760(2Nx%785. 1=) 1 . 2(=)194019076-(=)800(ZPxPxP比較：比較：)380,760(2N%46=)0.105(=)38040380076-(=)800(ZPXPXP)024. 0 ,06. 0(2N%3 .20)-0.83()83. 0-024. 00.06-(%)4(=ZPpPpP用樣本統(tǒng)計量來估計總體參數(shù)，用樣本統(tǒng)計量來估計總體參數(shù)，有有點估計點估計和和區(qū)間估計區(qū)間估計兩種。兩種?？茖W(xué)的抽樣估計方法應(yīng)具備的三個基本條件科學(xué)的抽樣估計方法應(yīng)具備的三個基本條件:直接以樣本統(tǒng)計量的取值作為

15、相直接以樣本統(tǒng)計量的取值作為相應(yīng)總體參數(shù)的估計值，又稱應(yīng)總體參數(shù)的估計值，又稱定值定值估計估計。優(yōu)點優(yōu)點:缺點缺點:評價估計量優(yōu)良性的三個標(biāo)準(zhǔn)：評價估計量優(yōu)良性的三個標(biāo)準(zhǔn)：1、無偏性：、無偏性：樣本統(tǒng)計量的期望值等于被估計樣本統(tǒng)計量的期望值等于被估計的總體參數(shù)。的總體參數(shù)。=E如：如： XxE=2、一致性：、一致性：當(dāng)樣本的單位數(shù)充分大時，樣本當(dāng)樣本的單位數(shù)充分大時，樣本統(tǒng)計量也充分靠近總體參數(shù)。統(tǒng)計量也充分靠近總體參數(shù)。Pn的一致估計量是則稱若對任意小的正數(shù)1lim),0(=1lim, 0:=XxPn根據(jù)大數(shù)定理如：如：3、有效性：、有效性：作為優(yōu)良估計量，其方差應(yīng)比其作為優(yōu)良估計量，其方差

16、應(yīng)比其它無偏估計量的方差小。它無偏估計量的方差小。更有效但兩個都無偏都可以估計或在總體中任取一單位用樣本平均數(shù)xXnXxXXEXxEXXx=)()()()(,)(222如：如：1212)()(2212總體方差的估計：總體方差的估計：以樣本方差以樣本方差 作為總體方作為總體方差差 的估計量。的估計量。=2211xxnsi=221XXNi原因：原因：重復(fù)抽樣的情況下，樣本方差重復(fù)抽樣的情況下，樣本方差 是總體方差的無偏估計量。是總體方差的無偏估計量。=2211xxnsi證明如下：證明如下： 22222222222211112112111111=+=+=nnnnXxnEXxEnXxnXnxnXxXx

17、EnXxnXxXxXxEnXxXxEnxxnEsEiiiiii注意注意：雖然樣本方差雖然樣本方差 是總體方差的是總體方差的無偏估計量，但樣本標(biāo)準(zhǔn)差無偏估計量，但樣本標(biāo)準(zhǔn)差 并不是總體標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體標(biāo)準(zhǔn)差 的無偏的無偏估計量，只是總體標(biāo)準(zhǔn)差的漸近無偏估計量。估計量，只是總體標(biāo)準(zhǔn)差的漸近無偏估計量。=211xxnsi=2211xxnsi=21XXNi證明如下：證明如下：。XsXsEssn。XsXsXsEsssEXsEsEssYEYEYY的漸近無偏估計量是趨于一致每個樣本的時當(dāng)樣本容量的無偏估計量不是是不同的其標(biāo)準(zhǔn)差對每個樣本有對隨機變量)()()(, 0)(,)()()()()(0)(,)()(

18、)()()(:)()()(,222222222222=根據(jù)給定的置信度要求，指出總根據(jù)給定的置信度要求，指出總體參數(shù)被估計的上限和下限。體參數(shù)被估計的上限和下限。方法方法:特點特點:1)(212=1)(21P置信度的意義：置信度的意義：)()(1=+=XxPxXxPxX),(+xx),(+xxXXX),(+xxxX置信度與允許極限誤差的關(guān)系：置信度與允許極限誤差的關(guān)系：x2,xXN)-P(=)-(=-1xxXxXxP) 1 , 0(,-=N則ZXx令Zx=z)z(=-1ZP稱 1、總體方差已知時：、總體方差已知時：2,xXNx2,xXNx已知置信度已知置信度1-的的區(qū)間估計步驟：區(qū)間估計步驟：

19、xxx),(+xx已知允許極限誤差已知允許極限誤差的區(qū)間估計步驟：的區(qū)間估計步驟： xxx),(+xx645=x 6 . 312=NnnXxx06. 76 . 396. 1=zx26 . 32 . 7=z2、總體方差未知時：、總體方差未知時：nsXxt=)/(,1)/()(nstPnstPXxP)8(9/25.006.31tXnsXxt=95.0)306.29/25.006.31()306.2(=XPtP)1 ,0(50/501600NXnsXxt=95.0)96.150/501600()96.1(=XPtP已知置信度已知置信度1-的的區(qū)間估計步驟：區(qū)間估計步驟：2,pPNpp)(pppz=)

20、,(pppp+49. 04 . 06 . 0)1 ()1 ()(=ppPPP0245. 040049. 0)(=nPpp%8 . 40245. 096. 1=ppzppp),(pppp+已知允許極限誤差已知允許極限誤差的區(qū)間估計步驟：的區(qū)間估計步驟：p43. 025. 075. 0)1 ()1 ()(=ppPPP%4 . 190043. 0)(=nPpp2%4 . 1%8 . 2=ppzp 第五節(jié)第五節(jié) 抽樣推斷誤差的控制抽樣推斷誤差的控制 一、必要樣本單位數(shù)的確定必要的樣本單位數(shù)必要的樣本單位數(shù):影響必要樣本單位數(shù)大小的因素影響必要樣本單位數(shù)大小的因素 :必要樣本單位數(shù)的確定：必要樣本單位數(shù)

21、的確定：1、估計總體平均數(shù)時：、估計總體平均數(shù)時：222=znnzz)1 (22Nnnzz=2222222222zNNznNznz+=2、估計總體成數(shù)時：、估計總體成數(shù)時：22)1 (=PPzn)1 ()1 (222PPzNNPPzn+=注意：注意：)(62512015002)(57620024002222222222222212121戶戶=znzn抽樣設(shè)計的基本原則抽樣設(shè)計的基本原則常用的抽樣組織形式常用的抽樣組織形式:二、抽樣組織設(shè)計對總體的要求：對總體的要求：方法：方法：簡單隨機抽樣的缺點：簡單隨機抽樣的缺點：適用的條件：適用的條件：優(yōu)點：優(yōu)點：方法：方法：kNNNN+=21knnn,21knnnn+=21NnNnNn=2211),2, 1(kiNnNnii=樣本平均數(shù)與抽樣平均誤差的計算：樣本平均數(shù)與抽樣平均誤差的計算：,111211nxxx222221,nxxx,kknkkxxx,21ijijinxx=), 2 , 1(ki=nxnNxNxiiii