主講教師： 黑龍江科技學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程ppt課件

1、 主講教師：蔡吉花主講教師：蔡吉花 黑龍江科技學(xué)院黑龍江科技學(xué)院主要內(nèi)容q泊松過(guò)程的定義泊松過(guò)程的定義q泊松過(guò)程的根本性質(zhì)泊松過(guò)程的根本性質(zhì)q非齊次泊松過(guò)程非齊次泊松過(guò)程q復(fù)合泊松過(guò)程復(fù)合泊松過(guò)程第第3章章 泊松泊松Poisson)過(guò)程過(guò)程復(fù)習(xí)：泊松分布 泊松分布泊松分布 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X 的一切能夠取值為的一切能夠取值為0, 1, 2, 0, 1, 2, ，而取各個(gè)值的概率為而取各個(gè)值的概率為那么隨機(jī)變量那么隨機(jī)變量X X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布，簡(jiǎn)記為的泊松分布，簡(jiǎn)記為 ( ( ) )。)0( , 2 , 1 , 0 ,!e為常數(shù)kkkXPk)( ,)(XDXE3.1 Po

2、isson過(guò)程定義和例子過(guò)程定義和例子1 計(jì)數(shù)過(guò)程的定義定義 稱 N (t), t 0 為計(jì)數(shù)過(guò)程，假設(shè)N (t)表示到時(shí)間t 為止已發(fā)生的“事件A的總數(shù)，且N (t)滿足以下條件：(1) N (t) 0 ，且 N (0) = 0 ; (2) N (t) 取非負(fù)整數(shù)值;(3) 假設(shè) s t ，N (s) N (t) ;(4) 當(dāng)s 0的泊松分布，即對(duì)恣意 s , t 0 ，有, 1 , 0 , ,e!)()()(kstkksXtXPk泊松過(guò)程的另一個(gè)定義定義 稱計(jì)數(shù)過(guò)程 X (t) , t 0 為具有參數(shù) 0 的泊松過(guò)程，假設(shè)它滿足以下條件：(1) X (0) = 0 ; (2) X (t)

3、是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過(guò)程;(3) X (t) 滿足以下兩式：)(2)()()(1)()(hotXhtXPhohtXhtXP泊松過(guò)程的幾個(gè)例子例例1 思索某一交換臺(tái)在某段時(shí)間接到的呼叫令思索某一交換臺(tái)在某段時(shí)間接到的呼叫令X(t)表示交換臺(tái)在表示交換臺(tái)在 0, t 時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，那么那么 X(t), t 0 是一個(gè)泊松過(guò)程。是一個(gè)泊松過(guò)程。例例2 思索來(lái)到某火車站售票窗口購(gòu)買車票的旅客。思索來(lái)到某火車站售票窗口購(gòu)買車票的旅客。假設(shè)記假設(shè)記X(t) 為時(shí)間為時(shí)間 0, t 內(nèi)到達(dá)售票窗口的旅客內(nèi)到達(dá)售票窗口的旅客數(shù)，那么數(shù)，那么 X(t), t 0 是一個(gè)泊松過(guò)程。是一個(gè)

4、泊松過(guò)程。例例3 思索機(jī)器在思索機(jī)器在 (t, t+h 內(nèi)發(fā)生缺點(diǎn)這一事件。假內(nèi)發(fā)生缺點(diǎn)這一事件。假設(shè)機(jī)器發(fā)生缺點(diǎn)，立刻修繕后繼續(xù)任務(wù)，那么設(shè)機(jī)器發(fā)生缺點(diǎn)，立刻修繕后繼續(xù)任務(wù)，那么在在 (t, t+h 內(nèi)機(jī)器發(fā)生缺點(diǎn)而停頓任務(wù)的事件數(shù)內(nèi)機(jī)器發(fā)生缺點(diǎn)而停頓任務(wù)的事件數(shù)構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)過(guò)程，它可以用泊松過(guò)程來(lái)描構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)過(guò)程，它可以用泊松過(guò)程來(lái)描畫。畫。注：注：1. 假設(shè)在不相交的時(shí)間區(qū)間中發(fā)生的事件個(gè)數(shù)是獨(dú) 立的，那么稱計(jì)數(shù)過(guò)程為獨(dú)立增量過(guò)程。2. 假設(shè)在任一時(shí)間區(qū)間中發(fā)生的事件個(gè)數(shù)的分布只依賴于時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度，那么稱計(jì)數(shù)過(guò)程是平穩(wěn)增量過(guò)程。留意：留意：從條件3可知泊松過(guò)程有平穩(wěn)增量，且ttX

5、E)(并稱速率或強(qiáng)度速率或強(qiáng)度單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的事件的平均個(gè)數(shù)單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的事件的平均個(gè)數(shù)其中)(h表示當(dāng)0h時(shí)對(duì)h 的高階無(wú)窮小，定理定理3.1 泊松過(guò)程定義泊松過(guò)程定義1、2等價(jià)的。等價(jià)的。再證：由定義再證：由定義2(3)成立推出定義成立推出定義13(3) ( )p N tk()!kttek定義定義2定義定義1先證：由定義先證：由定義1(3)成立推出定義成立推出定義23例例4顧客到達(dá)某商店服從參數(shù)4人/小時(shí)的泊松過(guò)程，知商店上午9：00開門，試求到9：30時(shí)僅到一位顧客，而到11：30時(shí)總計(jì)已達(dá)5位顧客的概率。解解(0.5)1,(2.5)5)P NN(0.5)1,(2.5)(0.5)4)P

6、 NNN(0.5)1)(2)4)P NP N5 . 041! 1)5 . 04(e244! 4)24(e0155. 0設(shè) 表示在時(shí)間t時(shí)到達(dá)的顧客數(shù)( )N tttDtXX)()(2ttXEtmX)()(均值函數(shù)均值函數(shù)方差函數(shù)方差函數(shù))( , ) 1()()(),(tststXsXEtsRX相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù))( , ),min()()(),(),(tsststmsmtsRtsKXXXX協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù))1()(jje)(ettXXeE2.2 泊松泊松Poisson)過(guò)程的性質(zhì)過(guò)程的性質(zhì)特征函數(shù)特征函數(shù)一、數(shù)字特征證明：設(shè) 是泊松過(guò)程，由定義，當(dāng)故( ),0X t t st( )( )(

7、)( )()E X tX sD X tX sts22( )( )( )(0)( )( )( )(0)( , )( )( )( )( )( )( ) = ( )(0) ( )( )( ) = ( )(0) E( )( )() XXXmtE X tE X tXtDtD X tD X tXtRs tE X s X tE X s X tX sX sE X sXX tX sE X sE X sXX tX sss2 =()()(1)( , )( , )( )( )XXXXstsssstBs tRs tmt mss (2) 時(shí)間間隔與等待時(shí)間設(shè)設(shè) X (t), t 0 是泊松過(guò)程，令是泊松過(guò)程，令X (t)

8、表示表示 t 時(shí)辰事時(shí)辰事件件A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，T1T2T3Tn0W1W2W3Wn-1WntWn 第第n次事件次事件A發(fā)生的時(shí)辰，或稱等待時(shí)間，發(fā)生的時(shí)辰，或稱等待時(shí)間，或者到達(dá)時(shí)間或者到達(dá)時(shí)間Tn 從第從第n-1次事件次事件A發(fā)生到第發(fā)生到第n次事件次事件A發(fā)生的發(fā)生的時(shí)間間隔，或稱第時(shí)間間隔，或稱第n個(gè)時(shí)間間隔個(gè)時(shí)間間隔) 1( 1nTWniin定理定理1證證或則到達(dá)時(shí)間間隔序列，21TT是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且都有相同的均值為/1的指數(shù)分布。事件tT 1的發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)沒有泊松事件在0t，內(nèi)發(fā)生故當(dāng)0t時(shí)，有1( )0P TtP N ttteet!0)(01tTPte1(t)設(shè)

9、N，t0是參數(shù)為 的泊松過(guò)程2、到達(dá)時(shí)間間隔、到達(dá)時(shí)間間隔Tn的分布的分布那么類似地有0,00,1)(1ttetFtT即1T是服從均值為/ 1的指數(shù)分布。又因2T為事件第一次發(fā)生到第二次發(fā)生之間的時(shí)間間隔，|112sTtTP|,(1111sTtssP內(nèi)沒有事件發(fā)生在,(11內(nèi)沒有事件發(fā)生在tssP增量的獨(dú)立性11 ()( )0P N stN s( )(0)0P N tN獨(dú)立增量過(guò)程( )0tP N te可見可見普通地2T也服從均值為/1的指數(shù)分布且2T與1T獨(dú)立同分布。對(duì)1n和0121nssst，,|112211nnnsTsTsTtTP內(nèi)沒有事件發(fā)生在,(1111tssssPnn,|11221

10、1nnsTsTsT內(nèi)沒有事件發(fā)生在,(1111tssssPnn1111()()0nnNP N sstss( )(0)0P N tN( )0tP N te這就證明了到達(dá)時(shí)間間隔序列這就證明了到達(dá)時(shí)間間隔序列 是相互獨(dú)是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且都具有一樣均值為立同分布的隨機(jī)變量序列，且都具有一樣均值為 的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。例例5nT（1n）/1甲、乙兩路公共汽車都經(jīng)過(guò)某一車站，兩路汽車的到達(dá)分別服從10分鐘1輛甲，15分鐘1輛乙的泊松分布。假定車總不會(huì)滿員，試問(wèn)可乘坐甲或乙兩路公共汽車的乘客在此車站所需等待時(shí)間的概率分布及其期望。解解反映甲、乙兩路公共汽車到達(dá)情況的泊松分布下面證明兩路

11、車混合到達(dá)過(guò)程 服從強(qiáng)度為( )N t21的泊松分布在0,t)內(nèi)兩路車混合到達(dá)的總數(shù)為12( )( )( )N tN tNt現(xiàn)實(shí)上2)因此由定理1知公共汽車的到達(dá)時(shí)間間隔服從均值為6分鐘的指數(shù)分布。 再由指數(shù)分布的無(wú)記憶性，這位乘客的等待時(shí)間也服從均值為6分鐘的指數(shù)分布。定理定理3.3其概率密度為證證)(tf)!1()(1ntent，0t由于所以nW的分布函數(shù)為)(tWPtFn( )P N tntnkkekt!)(0t3、等待時(shí)間的分布2nWDnWEnn于是nW的概率密度為)()(tFtftnkkekt)!1()(1tnkkekt)!()(tnent)!1()(1tnkkekt11)!1()(

12、tnkkekt)!()()!1()(1ntent它是它是n個(gè)相互獨(dú)立的服從指數(shù)分布個(gè)相互獨(dú)立的服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量之和的概率密度的隨機(jī)變量之和的概率密度例0 知儀器在 0 , t 內(nèi)發(fā)生振動(dòng)的次數(shù) X(t) 是具有參數(shù)的泊松過(guò)程。假設(shè)儀器振動(dòng)k (k 1)次就會(huì)出現(xiàn)缺點(diǎn)，求儀器在時(shí)辰 t0 正常任務(wù)的概率。解0 , 00 ,)!1()()(1ttktetfktWk故儀器在時(shí)辰故儀器在時(shí)辰 t0 正常任務(wù)的概率為正常任務(wù)的概率為:0d)!1()()(10tktktktetWPP缺點(diǎn)時(shí)辰就是儀器發(fā)生第缺點(diǎn)時(shí)辰就是儀器發(fā)生第k振動(dòng)的時(shí)辰振動(dòng)的時(shí)辰Wk ，服從服從 分布分布:1000!)()(0kn

13、ntntektXP(3) 到達(dá)時(shí)間的條件分布假設(shè)在假設(shè)在0 , t 內(nèi)事件內(nèi)事件A曾經(jīng)發(fā)生一次，確定這一事件曾經(jīng)發(fā)生一次，確定這一事件到達(dá)時(shí)間到達(dá)時(shí)間W1的分布的分布tsteesetXPsXtXPsXPtXPsXtXsXPtXPtXsWPtXsWPtsts)(111)(0)()(1)(1)(0)()(, 1)(1)(1)(,1)(分布函數(shù)：tststsssFtXW , 10 ,/0 , 0)(1)(1分布密度：其它 , 00 ,/1)(1)(1tstsftXW均勻分布均勻分布其它 , 00 ,!)(,(11ttttnntXttfnnn到達(dá)時(shí)間的條件分布定理 設(shè) X (t), t 0 是泊松過(guò)程

14、，知在0, t內(nèi)事件A發(fā)生n次，那么這n次到達(dá)時(shí)間W1 W2 Wn與相應(yīng)于n個(gè)0, t上均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量的順序統(tǒng)計(jì)量有一樣的分布，注注 在在N(t)=n下下 獨(dú)立且同時(shí)服從獨(dú)立且同時(shí)服從(0,t上上的均勻分布。的均勻分布。1 E22niitntW Nn即（t)=n12,.,nW WW)()(ntXksXPknkkntstsC1參數(shù)為參數(shù)為 n 和和 s/t 的的二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布例1 設(shè)在 0 , t 內(nèi)事件A曾經(jīng)發(fā)生 n 次，且0 s t，對(duì)于0 k n ，求在 0 , s 內(nèi)事件A發(fā)生 k 次的概率。)()(,)(ntXPntXksXP)()()(,)(ntXPknsXtXksXP!)

15、()!()(!)()(netknestkestnstknsknknktstsknkn)()!( !)()(nsftXWk例2 設(shè)在 0 , t 內(nèi)事件A曾經(jīng)發(fā)生 n 次，求第k次(k n) 事件A發(fā)生的時(shí)間Wk 的條件概率密度函數(shù)。knkkknkktstsksCntstsknkn1)(1)!()!1(!1Beta分布分布)(ntXhsWsPk)()(,ntXPntXhsWsPk)()()(,ntXPknhsXtXhsWsPk)()()(ntXPknhsXtXPhsWsPkhntXhsWsPkh)(lim0)()()()(ntXPknsXtXPsfkW83211213)2(1) 1 (3)2(2

16、) 1 ()2(13113CXXPXXXP例3 某交換臺(tái)在 0, t 時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)X(t)是一個(gè)泊松過(guò)程，平均每分鐘2次。 (1) 求 2分鐘內(nèi)接到3次呼叫概率；(2) 假設(shè)2分鐘內(nèi)已接到3次，求第2分鐘收到2次呼叫的概率，以及第2次呼叫發(fā)生在第1分鐘內(nèi)的概率。2)( )()(ttmttXEtmXX21d223d)3(3)2(1010210)2(22sssssfXWPXW423e332e! 3)2(3)2( e!)()(XPktktXPtk3 非齊次泊松過(guò)程定義 稱計(jì)數(shù)過(guò)程 X (t) , t 0 為具有騰躍強(qiáng)度函數(shù) (t) 的非齊次泊松過(guò)程，假設(shè)它滿足以下條件：(1) X (0) =

17、 0 ; (2) X (t) 是獨(dú)立增量過(guò)程;(3)(2)()()()(1)()(hotXhtXPhohttXhtXP非齊次泊松過(guò)程的均值和方差函數(shù)為非齊次泊松過(guò)程的均值和方差函數(shù)為:tXXsstDtm0d)()()(非齊次泊松過(guò)程的分布)0( ),()(exp!)()()()(ksmtmksmtmksXtXPXXkXX定理 設(shè) X (t) , t 0 為具有均值函數(shù)的非齊次泊松過(guò)程，那么有tXsstm0d)()()0( ),(exp!)()(ktmktmktXPXkX或者或者ttsstXDtXEtsin15.0)dcos.5(10)()(0設(shè)設(shè) X (t) , t 0 是具有騰躍強(qiáng)度是具有騰

18、躍強(qiáng)度的非齊次泊松過(guò)程。求的非齊次泊松過(guò)程。求 EX(t) 和和 DX(t)。)cos1 (5 .0)(tt例例1例2 設(shè)某路公共汽車從早上5時(shí)到晚上9時(shí)有車發(fā)出。乘客流量如下：5時(shí)平均乘客為200人/時(shí)；5時(shí)至8時(shí)乘客線性添加，8時(shí)到達(dá)1400人/時(shí)；8時(shí)至18時(shí)堅(jiān)持平均到達(dá)率不變；18時(shí)至21時(shí)到達(dá)率線性下降，到21時(shí)為200人/時(shí)。假定乘客數(shù)在不相重疊的時(shí)間間隔內(nèi)是相互獨(dú)立的。求12時(shí)至14時(shí)有2000人來(lái)站乘車的概率，并求出這兩小時(shí)內(nèi)乘客人數(shù)的數(shù)學(xué)期望。P381613 , )13(4001400133 , 140030 , 400200)(tttttt2800400d1d)()7()9(9797tttmmXX28002000!200028002000)7()9(eXXP設(shè)某飛機(jī)場(chǎng)到達(dá)的客機(jī)數(shù)服從的泊松過(guò)程，平均每小時(shí)到達(dá)的客機(jī)數(shù)為5架，客機(jī)共有A,B,C三種機(jī)型，它們承載的客機(jī)數(shù)分別為180人，145人，80人，且這三種飛機(jī)出現(xiàn)的概率相等，求在3小時(shí)內(nèi)到達(dá)機(jī)場(chǎng)的乘客數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。例例3解解( )122( )( ),1()(18014580)1353(3)5*3*1352025(t)D(Y)+( )()?nN tnnnnYnX tX tYE