上海市靜安區(qū)2018屆高三一模數(shù)學(xué)試卷及答案解析

1、第 1頁（共 19頁）2018 年上海市靜安區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試卷一、填空題（ 50 分）本大題共有 10 題，要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得5 分，否則一律得零分1 （5 分）若復(fù)數(shù)（i 是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)a=2 （5 分）若 f（x）為 r上的奇函數(shù)，當(dāng) x0 時，f（x）=log2（2x） ，則 f（0）+f（2）=3 （5 分）一個正三棱錐的四個頂點(diǎn)都在半徑為1 的球面上，其中底面的三個頂點(diǎn)在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是4 （5 分）如圖，在菱形 abcd中，ab=1，dab=60，e為 cd的中點(diǎn)，則的值是5 （5 分）用半徑 1 米的半圓形

2、薄鐵皮制作圓錐型無蓋容器，其容積為立方米6 （5 分）已知 為銳角，且，則 sin =7 （5 分）設(shè)函數(shù) f（x）=sin（x） ，若存在 x0 （1，1）同時滿足以下條件：對任意的 x r，都有 f（x）f（x0）成立；x02+f（x0）2m2，則 m 的取值范圍是8 （5 分）若不等式 x2| x1|+ a 的解集是區(qū)間（ 3，3）的子集，則實數(shù) a 的取值范圍為9 （5 分）已知 f（x）=axb（a0 且 a1，b r） ，g（x）=x+1，若對任意實數(shù)第 2頁（共 19頁）x 均有 f（x）?g（x）0，則的最小值為10 （5 分）如圖，正方形 abcd的邊長為 2，o 為 ad的

3、中點(diǎn)，射線 op從 oa出發(fā)，繞著點(diǎn) o順時針方向旋轉(zhuǎn)至od，在旋轉(zhuǎn)的過程中，記aop為 x（x 0， ） ，op所經(jīng)過正方形 abcd內(nèi)的區(qū)域（陰影部分）的面積s=f（x） ，那么對于函數(shù) f（x）有以下三個結(jié)論：f（）=；任意 x 0， ，都有 f（x）+ f（+x）=4；任意 x1，x2 （， ） ，且 x1x2，都有0其中所有正確結(jié)論的序號是二、選擇題（ 25 分）本大題共有5 題，每題都給出四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)論代號涂黑，選對得5分，否則一律得零分 .11 （5 分） “ 拋物線 y=ax2的準(zhǔn)線方程為y=2” 是“ 拋物線 y=a

4、x2的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合 ” 的（）a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件12 （5 分）已知等比數(shù)列an 前 n 項和為 sn，則下列一定成立的是（）a若 a30，則 a20150b若 a40，則 a20140c若 a30，則 s20150d若 a40，則 s2014013 （5 分）某班班會準(zhǔn)備從含甲、乙的6 名學(xué)生中選取 4 人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，那么不同的發(fā)言順序有（）a336 種b320 種c192 種d144 種第 3頁（共 19頁）14 （5分）已知橢圓 c1，拋物線 c2焦點(diǎn)均在 x 軸上，c1的中心和 c2頂點(diǎn)均為原點(diǎn) o，從每

5、條曲線上各取兩個點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于表中，則c1的左焦點(diǎn)到 c2的準(zhǔn)線之間的距離為（）x324y04abc1d215 （5 分）對于集合 a，定義了一種運(yùn)算 “ ” ，使得集合 a 中的元素間滿足條件：如果存在元素 e a，使得對任意 a a，都有 ea=ae=a，則稱元素 e 是集合 a對運(yùn)算 “ ” 的單位元素例如： a=r ，運(yùn)算 “ ” 為普通乘法；存在1 r，使得對任意 a r，都有 1a=a1=a，所以元素 1 是集合 r對普通乘法的單位元素下面給出三個集合及相應(yīng)的運(yùn)算“ ” ：a=r ，運(yùn)算 “ ” 為普通減法；a= amn| amn表示 mn 階矩陣， m n*，n n*，運(yùn)算

6、“ ” 為矩陣加法；a= x| x? m（其中 m 是任意非空集合），運(yùn)算 “ ” 為求兩個集合的交集其中對運(yùn)算 “ ” 有單位元素的集合序號為（）abcd三、解答題（本題滿分84 分）本大題共有5 題，解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對應(yīng)的題號）內(nèi)寫出必要的步驟16 （12 分）將邊長為1 的正方形 aa1o1o（及其內(nèi)部）繞oo1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長為 ，長為，其中 b1與 c在平面 aa1o1o的同側(cè)（1）求三棱錐 co1a1b1的體積；（2）求異面直線 b1c與 aa1所成的角的大小第 4頁（共 19頁）17 （14分）設(shè)雙曲線 c：，f1，f2為其左右兩個焦點(diǎn)（1）設(shè) o為

7、坐標(biāo)原點(diǎn)， m 為雙曲線 c右支上任意一點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若動點(diǎn) p 與雙曲線 c的兩個焦點(diǎn) f1，f2的距離之和為定值，且cosf1pf2的最小值為，求動點(diǎn) p的軌跡方程18 （20 分）如圖，在海岸線ef一側(cè)有一休閑游樂場，游樂場的前一部分邊界為曲線段 fgbc ，該曲線段是函數(shù)y=asin（x + ） （a0， 0， （0， ） ） ，x 4，0 的圖象，圖象的最高點(diǎn)為b（1，2） 邊界的中間部分為長1 千米的直線段 cd ，且 cdef 游樂場的后一部分邊界是以o 為圓心的一段圓弧（1）求曲線段 fgbc 的函數(shù)表達(dá)式；（2）曲線段 fgbc 上的入口 g距海岸線 ef最近距離為

8、 1 千米，現(xiàn)準(zhǔn)備從入口g修一條筆直的景觀路到o，求景觀路 go長；（3）如圖，在扇形 ode區(qū)域內(nèi)建一個平行四邊形休閑區(qū)ompq，平行四邊形的一邊在海岸線 ef上， 一邊在半徑 od上， 另外一個頂點(diǎn) p在圓弧上， 且poe= ，求平行四邊形休閑區(qū)ompq面積的最大值及此時 的值19 （18 分）設(shè)集合 ma= f（x）| 存在正實數(shù) a，使得定義域內(nèi)任意x 都有 f（x+a）f（x）（1）若 f（x）=2xx2，試判斷 f（x）是否為 m1中的元素，并說明理由；第 5頁（共 19頁）（2）若，且 g（x） ma，求 a 的取值范圍；（3）若（k r） ，且 h（x） m2，求 h（x）的最

9、小值20 （20 分）設(shè)數(shù)列an 滿足： a1=1；所有項 an n*；1=a1a2 anan+1 設(shè)集合 am=n| anm，m n*，將集合 am中的元素的最大值記為bm換句話說， bm是數(shù)列an 中滿足不等式 anm 的所有項的項數(shù)的最大值我們稱數(shù)列 bn 為數(shù)列 an 的伴隨數(shù)列例如， 數(shù)列 1，3，5 的伴隨數(shù)列為 1，1，2，2，3（1）若數(shù)列an 的伴隨數(shù)列為 1，1，1，2，2，2，3，請寫出數(shù)列an ；（2）設(shè) an=3n1，求數(shù)列an 的伴隨數(shù)列bn 的前 100 之和；（3）若數(shù)列 an 的前 n 項和 sn=n+c（其中 c 常數(shù)） ，試求數(shù)列an 的伴隨數(shù)列 bn 前

10、 m 項和 tm第 6頁（共 19頁）2018 年上海市靜安區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試卷參考答案與試題解析一、填空題（ 50 分）本大題共有 10 題，要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得5 分，否則一律得零分1 （5 分）若復(fù)數(shù)（i 是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)a=4【解答】 解：=為純虛數(shù)，解得 a=4故答案為： 42 （5 分）若 f（x）為 r上的奇函數(shù)，當(dāng) x0 時，f（x）=log2（2x） ，則 f（0）+f（2）=2【解答】 解：f（x）為 r上的奇函數(shù)，則 f（x）=f（x） ，即有 f（0）=0，f（2）=f（2） ，當(dāng) x0 時，f（x）=log2（2x） ，f

11、（2）=log2（2+2）=2，則 f（0）+ f（2）=02=2故答案為： 23 （5 分）一個正三棱錐的四個頂點(diǎn)都在半徑為1 的球面上，其中底面的三個頂點(diǎn)在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是【解答】 解：正三棱錐的四個頂點(diǎn)都在半徑為1 的球面上，其中底面的三個頂點(diǎn)在該球的一個大圓上，所以球心是底面三角形的中心，設(shè)球的半徑為 1，所以底面三角形的邊長為a，a=第 7頁（共 19頁）該正三棱錐的體積：故答案為：4 （5 分）如圖，在菱形 abcd中，ab=1，dab=60，e為 cd的中點(diǎn)，則的值是1【解答】 解：在菱形 abcd中，ab=1，bad=60 ，=+，=11cos60 + 1

12、2=1故答案為： 15（5分） 用半徑 1米的半圓形薄鐵皮制作圓錐型無蓋容器， 其容積為立方米【解答】 解：半徑為 1 米的半圓的周長為= ，則制作成圓錐的底面周長為 ，母線長為 1，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則 2r=，即 r=圓錐的高為 h=v= =（立方米）故答案為：6 （5 分）已知 為銳角，且，則 sin =【解答】 解： 為銳角， + （，） ，第 8頁（共 19頁）cos （ +）=，sin（ +）=，則 sin =sin （ +） =sin（ +）coscos（ +）sin=故答案為：7 （5 分）設(shè)函數(shù) f（x）=sin（x） ，若存在 x0 （1，1）同時滿足以下條件：對任意的

13、 x r，都有 f（x）f（x0）成立；x02+f（x0）2m2，則 m 的取值范圍是（， 2）（ 2，+）【解答】 解：根據(jù)題意：對任意的x r，都有 f（x）f（x0）成立由于： x0 （1，1）所以：對 f（x）f（x0）成立，只需滿足f（x）f（x0）min即可由于 f（x）=sin（x） ，所以：由于 x02+f（x0）2m所以當(dāng)，且求出： m24進(jìn)一步求出： m2或 m2故答案為：（， 2）（ 2，+） 8 （5 分）若不等式 x2| x1|+ a 的解集是區(qū)間（ 3，3）的子集，則實數(shù) a 的取值范圍為（， 5【解答】 解：不等式 x2| x1|+ a 等價于 x2| x1| a

14、0，設(shè) f（x）=x2| x1| a，第 9頁（共 19頁）若不等式 x2| x1|+ a 的解集是區(qū)間（ 3，3）的子集，則，求得 a5，故答案為：（， 5 9 （5 分）已知 f（x）=axb（a0 且 a1，b r） ，g（x）=x+1，若對任意實數(shù)x 均有 f（x）?g（x）0，則的最小值為4【解答】 解：f（x）=axb，g（x）=x+1，那么： f（x）?g（x）0，即（ axb） （x+1）0對任意實數(shù) x 均成立，可得 axb=0，x+1=0，故得 ab=1那么：=4，當(dāng)且僅當(dāng) a= ，b=2時取等號故的最小值為 4故答案為： 410 （5 分）如圖，正方形 abcd的邊長為

15、2，o 為 ad的中點(diǎn)，射線 op從 oa出發(fā)，繞著點(diǎn) o順時針方向旋轉(zhuǎn)至od，在旋轉(zhuǎn)的過程中，記aop為 x（x 0， ） ，op所經(jīng)過正方形 abcd內(nèi)的區(qū)域（陰影部分）的面積s=f（x） ，那么對于函數(shù) f（x）有以下三個結(jié)論：f（）=；任意 x 0， ，都有 f（x）+ f（+x）=4；任意 x1，x2 （， ） ，且 x1x2，都有0其中所有正確結(jié)論的序號是【解答】 解：當(dāng) 0 xarctan2 時，f（x）=；第 10頁（共 19頁）當(dāng) arctan2x，在obe中，f（x）=s矩形oabmsome=2=2；當(dāng) x=時，f（x）=2；當(dāng)x arctan2 時，同理可得 f（x）=2

16、當(dāng) arctan2x 時，f（x）=4=4+于是可得：=，正確；對任意 x 0， ，都有 f（x）+ f（+x）=4用換元法，以 x 代替x，可得：f（x）+ f（ x）=4，因此，故正確；不妨設(shè) x1x2，則0? f（x1）f（x2） ，顯然不正確綜上只有：正確故答案為：二、選擇題（ 25 分）本大題共有5 題，每題都給出四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)論代號涂黑，選對得5分，否則一律得零分 .11 （5 分） “ 拋物線 y=ax2的準(zhǔn)線方程為y=2” 是“ 拋物線 y=ax2的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合 ” 的（）a充分不必要條件 b必要不充分條件c充

17、要條件d既不充分也不必要條件【解答】 解：拋物線 y=ax2的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x2=y，第 11頁（共 19頁）則其準(zhǔn)線方程為 y=2，所以 a=雙曲線x2=1的 a=，b=1，c=2，則焦點(diǎn)為（ 0，2） ，拋物線 y=ax2即為 x2=，y 的焦點(diǎn)為（ 0，） ，由題意可得，=2，解得， a=故選： a12 （5 分）已知等比數(shù)列an 前 n 項和為 sn，則下列一定成立的是（）a若 a30，則 a20150b若 a40，則 a20140c若 a30，則 s20150d若 a40，則 s20140【解答】 解：若 a30，則 a1q20，即 a10，a20150；若 q=1，則 s2015=2

18、015a10；若 q1，則 s2015=，由 1q 和 1q2015同號，可得 s20150；由 a40，可得 a2014=a1q20130；a40，不能判斷 s2014的符號，故選 c13 （5 分）某班班會準(zhǔn)備從含甲、乙的6 名學(xué)生中選取 4 人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，那么不同的發(fā)言順序有（）a336 種b320 種c192 種d144 種【解答】 解：根據(jù)題意，分 2 種情況討論，第 12頁（共 19頁）若只有甲乙其中一人參加，有c21?c43?a44=192種情況；若甲乙兩人都參加，有c22?c42?a44=144種情況，則不同的發(fā)言順序種數(shù)192+144=336種，故選：

19、 a14 （5分）已知橢圓 c1，拋物線 c2焦點(diǎn)均在 x 軸上，c1的中心和 c2頂點(diǎn)均為原點(diǎn) o，從每條曲線上各取兩個點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于表中，則c1的左焦點(diǎn)到 c2的準(zhǔn)線之間的距離為（）x324y04abc1d2【解答】 解：由表可知：拋物線c2焦點(diǎn)在 x 軸的正半軸，設(shè)拋物線c2：y2=2px（p0） ，則有=2p（x0） ，據(jù)此驗證四個點(diǎn)知（ 3，2） ， （4，4）在 c2上，代入求得 2p=4，拋物線 c2的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2=4x則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1，0） ，準(zhǔn)線方程為： x=1，設(shè)橢圓 c1：（ab0） ， 把點(diǎn) （2， 0） ，（，） 代入得，解得：，c1的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1；

20、由 c=，左焦點(diǎn)（，0） ，c1的左焦點(diǎn)到 c2的準(zhǔn)線之間的距離1，故選 b第 13頁（共 19頁）15 （5 分）對于集合 a，定義了一種運(yùn)算 “ ” ，使得集合 a 中的元素間滿足條件：如果存在元素 e a，使得對任意 a a，都有 ea=ae=a，則稱元素 e 是集合 a對運(yùn)算 “ ” 的單位元素例如： a=r ，運(yùn)算 “ ” 為普通乘法；存在1 r，使得對任意 a r，都有 1a=a1=a，所以元素 1 是集合 r對普通乘法的單位元素下面給出三個集合及相應(yīng)的運(yùn)算“ ” ：a=r ，運(yùn)算 “ ” 為普通減法；a= amn| amn表示 mn 階矩陣， m n*，n n*，運(yùn)算 “ ” 為

21、矩陣加法；a= x| x? m（其中 m 是任意非空集合），運(yùn)算 “ ” 為求兩個集合的交集其中對運(yùn)算 “ ” 有單位元素的集合序號為（）abcd【解答】 解：若 a=r ，運(yùn)算 “ ” 為普通減法，而普通減法不滿足交換律，故沒有單位元素；a= amn| amn表示 mn 階矩陣， m n*，n n*，運(yùn)算 “ ” 為矩陣加法，其單位元素為全為0 的矩陣；a= x| x? m（其中 m 是任意非空集合），運(yùn)算 “ ” 為求兩個集合的交集，其單位元素為集合m故選 d三、解答題（本題滿分84 分）本大題共有5 題，解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對應(yīng)的題號）內(nèi)寫出必要的步驟16 （12 分）將

22、邊長為1 的正方形 aa1o1o（及其內(nèi)部）繞oo1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長為 ，長為，其中 b1與 c在平面 aa1o1o的同側(cè)（1）求三棱錐 co1a1b1的體積；（2）求異面直線 b1c與 aa1所成的角的大小第 14頁（共 19頁）【解答】 解： （1）連結(jié) o1b1，則 o1a1b1=a1o1b1=，o1a1b1為正三角形，=，=（2）設(shè)點(diǎn) b1在下底面圓周的射影為b，連結(jié) bb1，則 bb1aa1，bb1c為直線 b1c與 aa1所成角（或補(bǔ)角），bb1=aa1=1，連結(jié) bc 、bo、oc ，aob= a1o1b1=， boc=，boc為正三角形，bc=bo=1 ，tanbb1

23、c=1，直線 b1c與 aa1所成角大小為 4517 （14分）設(shè)雙曲線 c：，f1，f2為其左右兩個焦點(diǎn)（1）設(shè) o為坐標(biāo)原點(diǎn)， m 為雙曲線 c右支上任意一點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若動點(diǎn) p 與雙曲線 c的兩個焦點(diǎn) f1，f2的距離之和為定值，且cosf1pf2第 15頁（共 19頁）的最小值為，求動點(diǎn) p的軌跡方程【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 設(shè) m （ x ， y ）， 左 焦 點(diǎn)，= （4 分）=（）對稱軸， （3 分）（ 2 ） 由 橢 圓 定 義 得 ： p 點(diǎn) 軌 跡 為 橢 圓，| pf1|+| pf2| =2a= （4 分）由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)| pf1| =| p

24、f2|時等號成立，b2=4所求動點(diǎn) p的軌跡方程為 （3 分）18 （20 分）如圖，在海岸線ef一側(cè)有一休閑游樂場，游樂場的前一部分邊界為曲線段 fgbc ，該曲線段是函數(shù)y=asin（x + ） （a0， 0， （0， ） ） ，x 4，0 的圖象，圖象的最高點(diǎn)為b（1，2） 邊界的中間部分為長1 千米的直線段 cd ，且 cdef 游樂場的后一部分邊界是以o 為圓心的一段圓?。?）求曲線段 fgbc 的函數(shù)表達(dá)式；（2）曲線段 fgbc 上的入口 g距海岸線 ef最近距離為 1 千米，現(xiàn)準(zhǔn)備從入口g修一條筆直的景觀路到o，求景觀路 go長；（3）如圖，在扇形 ode區(qū)域內(nèi)建一個平行四邊形

25、休閑區(qū)ompq，平行四邊形的第 16頁（共 19頁）一邊在海岸線 ef上， 一邊在半徑 od上， 另外一個頂點(diǎn) p在圓弧上， 且poe= ，求平行四邊形休閑區(qū)ompq面積的最大值及此時 的值【解答】 解： （1）由已知條件，得 a=2，又，又當(dāng) x=1 時，有 y=2sin（+ ）=2，=曲線段 fgbc 的解析式為，x 4，0 （2）由=1得 x=6k+（ 1）k4（k z） ，又 x 4，0 ，k=0，x=3g（3，1） og=景觀路 go長為千米（3）如圖， oc=，cd=1 ，od=2，作 pp1x 軸于 p1點(diǎn)，在 rtopp1中，pp1=opsin =2sin，在omp中，=s平行四邊形ompq=om?pp1=（0，） 當(dāng)時，即時，平行四邊形面積最大值為第 17頁（共 19頁）19 （18 分）設(shè)集合 ma= f（x）| 存在正實數(shù) a，使得定義域內(nèi)任意x 都有 f（x+a）f（x）（1）若 f（x）=2xx2，試判斷 f（x）是否為 m1中的元素，并說明理由；（2）若，且 g（x） ma，求 a 的取值范圍；（3）若（k r） ，且 h（x） m2，求 h（x）的最小值