固體顆粒的群體沉降速度分析

1、固體顆粒的群體沉降速度分析鄭邦民1,夏軍強2（1.武漢大學 河流系，湖北 武漢430072; 2.清華大學 水利系，北京100084）摘要：從流體力學原理出發(fā)，數(shù)值模擬非均勻沙隨機分布對流場的影響，推導出固體顆粒群體沉速的理論解。該公式不僅量綱和諧，濃度變化不超過極限濃度值，能反映含沙量與非均勻沙級配變化對群體沉速的影響，而且可避免其它公式量綱不和諧，計算中出現(xiàn)負值或降得過快的缺點。 采用黃河實測資料對該公式進行了驗證，計算結(jié)果與實測資料基本符合。關(guān)鍵詞：固體顆粒；群體沉速；干擾流核；極限濃度1引言泥沙在靜止的活水中等速下沉時的速度，稱為泥沙的沉降速度。在多沙河流的渾水中，泥沙顆粒的沉降特性比

2、活水中與低含沙水流中復雜。此時泥沙顆粒下沉相互干擾，部分顆?；蛉款w粒成群下沉，其下沉速度稱為群體沉速 *'群 體顆粒沉降特性的研究具有十分重要的意義，它在多沙河流的河床演變分析和泥 沙數(shù)學模型計算中廣泛應用。單個顆粒的沉速與群體沉降可以相差10倍，故50年前有人說泥沙運動嚴格地講只有一個半理論。為此應進一步分析顆粒群體沉降 規(guī)律，使其在實際應用中不致有太大的誤差。本文在研究流體力學粘性流中圓球繞流規(guī)律的基礎(chǔ)上， 得出固體顆粒群體沉 速的理論解，它可反映泥沙濃度與組成對群體沉速的影響。 然后將該公式與現(xiàn)有 的群體沉速公式進行比較，并用黃河實測資料進行驗證。2理論前提Navier_Sto

3、kes方程是流體力學的基本控制方程，它是求解流體力學諸多問 題中普遍應用的方程。對不可壓縮粘性流體，在有勢外力作用下，可得Helmholtz 渦量©方程一 4-(£Tdt上式中*為流速欠量：為哈密頓算子（Hamilton Operator） ； v為流體的運動粘滯系數(shù);t為時間。一般情況下，三維流函數(shù)為向量，它與流速汀有如下關(guān)系丈次乂中。而流速與渦量 Q ,亦呈旋度關(guān)系，即。為了便于數(shù)值計算，它可寫作一般曲線坐標系的張廿*玲=寸野玲。其中量形式：沖 和 。式中ui為逆變分量，Aj為協(xié)變導數(shù)，言為協(xié)變基向量，"皓r爵言 它不一定是正交基，也不一定為單位基。對正交曲線

4、坐標，則有其中Uk為單位正交（局部）基就上的物理分量;H為Lami系數(shù)或標量因子，它 反映微元弧長dd與坐標微元d之間的比，即dSi=H）d&根據(jù)上述關(guān)系，我們可以將渦量方程寫作一般曲線坐標形式或正交曲線坐標 形式，以便丁數(shù)值計算。它可以用來計算形體繞流等外部流動。對丁二維流或在柱坐標、球坐標下的球?qū)ΨQ，軸對稱流動，式 （2）可以簡化。例如，在球坐標下 有 Hi=1、H2=R H3=Rsin 0,可得 ds=dR dS2=d 0、 dS3=Rsin 0 dA上式中R、0、入為球坐標系下的三個坐標線。因軸對稱時合挎誑且物理量汀只在R 0方向上有變化，故有 化=幗 同時可得R、0坐標線上的

5、速 度分量坦i這對小雷諾數(shù)下的圓球繞流，上述沉降分析是合適的。包定流情況有 慣性項畋皿0叩均可忽略。對丁外部繞流，流函數(shù) 頃是無源場，則有礦矽三。，因此可得s-vV = °。此時流函數(shù)訴與渦量C的關(guān)系方程。如果是軸對稱流動，則渦量只有3=Q為標量，流函數(shù)亦只有 仙=小也為標量，而有Q +R n =0(4)即在小雷諾數(shù)時，對軸對稱的圓球繞流，解Navier-Stokes方程，可變?yōu)榻?流函數(shù)小滿足的重調(diào)和方程 2V七=003單個球形顆粒在粘性流中勻速沉降解單個球形細顆粒在粘性流中勻速沉降的速度 3 0,可從流體力學分析得到。單個球形顆粒在粘性流中繞流時，其Stokes流函數(shù)為n =1/

6、4Vsin2 9( a 3/R-(3)式，可得圓球繞流時R、0坐(5-1)3 a R+2R2)。如將球坐標原點放在球心，利用 標線上的流速分量分別為U = if7 cos7也:他日+獸T(5-2)通過對作用丁球面上的壓力積分，可求得圓球所受阻力為3n pdV其中V為球與流體的相對速度，當球體均勻沉降時，有效重力(怡-丫 )兀d3/6阻力相平衡。其中球體半徑為a ,直徑為d。一個球體直徑為d所占的距離為d+l , N個均勻 顆粒占的距離當N(d+l)。一個球體體積為 兀d3/6, N個兀d3/6,所占空間為 N3(d+l)3 ,體積比濃度(mg當l Ad時，則St0;當l T0,均勻沙排列均勻，

7、得 S=0.5236。此為極限濃度Sm的下界，隨機緊密填充可達 S=0.5612,如果為非均勻沙隨機排列，該值還可以再取高一些。如S護0.65,但只要達到這種情況，流體將很難在顆粒間流動，因此，此下極限濃度值也是可用的，隨著 l/d的改變，濃度值變化如表1所示表1濃度Sv隨l/d 變化Table 1 Concentration S v change with the variable l/dl/d1005010752.710.50.30.2Sv0.5 X 10-50.4 X 10-5_ -44X 100.0010.0240.010.06550.1550.23830.303不論如何，只要我們隨機

8、地給出粒徑大小 d與它所在位置，我們可以求得其 它函數(shù)小及阻力值。因為對丁 Stokes解，可以按奇異子線性疊加而得，可數(shù)值 求解。而對丁過渡區(qū)及紊流區(qū)，則非理論可解，而由實驗決定。隨著濃度Sv的增加，顆粒沉速有由過渡區(qū)趨向滯流區(qū)， 紊流區(qū)趨向過渡區(qū)的趨勢，因此重點放 在理論分析滯流區(qū)沉降是合適的。4現(xiàn)有的群體沉速公式目前，對單顆粒泥沙在靜水中的沉降規(guī)律己基本掌握，但對群體顆粒的沉降 規(guī)律還有待丁深入研究。前人對顆粒群體沉速公式的研究，可大致劃分為兩類： 一是粗顆粒均勻沙的沉速，二是含較多細顆粒的非均勻沙沉速 1。(1) Batchelor(1972) 認為球體在低含沙水體中沉降時， 顆粒間及

9、顆粒與周圍 水體的相互影響，其沉速與其在無限活水中沉速的差異， 是平均值不為0的隨機 變量3。他從統(tǒng)計理論出發(fā)，最后推導出低含沙量情況下群體沉速的理論公式3s/ G0=1 - 6.55Sv(7)上式中當SV 0.05時，計算結(jié)果能與實驗值基本符合；當S較大則偏差大建立如下群體沉速公式(8)(2) Richardson 和 Zaki4cos/ 項=(1-Sv)m上式中指數(shù)m與沙粒雷諾數(shù)(Red=30d/旅關(guān)。夏震寰和汪崗對細沙取 m=7時，上 式與試驗資料符合較好5。(3) 王尚毅認為式(8)中當Sv=1時3s=0,這種計算結(jié)果不對6。因此將上式3s/ 詞=(1- 6 &)m(9)上式中

10、m=2.5; 6與泥沙特性有關(guān)，對塘沽淤泥可取6=5.0(4) 錢意穎等人認為群體沉速的減小主要由丁渾水的容重與粘度變化所致, 得出了適用丁層流區(qū)的群體沉速公式7°小危勺巳初(一心7松) (10)上式中丫、格、卬分別為活水、泥沙及渾水的容重。(5) 萬兆惠等人認為細的單顆粒泥沙在活水中下沉時有(乍-丫 )兀d3/6=3洵如。當為渾水時，上式仍成立，不過應以 伽代替 卬，m代替 丫，3s/(1-Sv)代替30。如渾水粘度采用日本森氏公式 m 0=1+3Sv/(1-Sv/0.52), 代入上式可得群體沉速公式83s/ 應=(1-Sv)2/1+3Sv/(1-Sv/0.52)(11)(6)

11、沙玉潔認為在層流區(qū)，主要是渾水的粘度影響泥沙沉速，因此可得如下群體沉速公9(12)上式中d50取mm且對d50在0.010mm附近的非均勻沙適用。(7) 費祥俊認為用非均勻沙的中值粒徑或平均粒徑作為代表粒徑，按均勻沙 方法計算非均勻沙的平均沉速，將會導致較大的誤差。因此應按各粒徑組泥沙所 占的比例，加權(quán)平均后得到非均勻沙的平均沉速公式：10：(13)式中 Pi為第di粒徑組泥沙所占的比例。渾水粘度期與含沙量大小和極限含沙量有關(guān)11 o(8) 張紅武在沙玉活公式基礎(chǔ)上，考慮到沉降過程中一部分活水將依附沙粒 同時下沉，結(jié)合試驗結(jié)果，經(jīng)推導得出如下群體沉速公式幻 /0 =(1-1.25,) 1(14

12、)上式中d50同樣取mm但該式適用范圍比沙玉潔公式大，近些年多用之丁黃河泥 沙數(shù)學模型計算。經(jīng)數(shù)值計算我們發(fā)現(xiàn)，用式 (14)計算群體沉速，必須使。5本文的研究結(jié)果我們認為群體沉降公式在理論上要盡量合理，盡可能地有嚴格的兩相流體力 學的依據(jù)，量綱上要和諧，同時計算結(jié)果要與實測資料基本符合， 才可用丁實際 計算。對丁本文提出的群體沉速公式，作以下分析與論證。5.1顆粒表面流速的分析從泥沙顆粒在渾水中受力情況進行分析：細顆粒泥沙沉降時阻力符合Stokes 公式的單個顆粒沉降規(guī)律，為此多個顆粒的阻力解是可以疊加的，只要是散粒體。我們可以在計算機上，做出隨機變化的有限多個 (10121015個)泥沙顆

13、粒，粒徑為0.100.01mm不均勻隨機分布的泥沙顆粒受流體力的作用，從而得到由丁 泥沙下沉對周圍流場的影響，這一影響并非簡單地打一個(1-S v)的折扣，而是對丁周圍流場的干擾，改變流函數(shù)、流線疏密形狀的結(jié)果。由流速u°公式(5)中，可以看出：當 R=a處，u °=0,當Ra時，0 =90°時， u(=V,這說明顆粒對流場有干擾，顆粒擾動形成流核，遠處 R>10a 時，u 8=V=3 0,流速等于沉速，球體勻速沉降，而當l不太大時，對 u °有一定影響。例如：&日 :+ 4 - 0.74/4 版左) 刀當 l=2 a ,R+l=3 a 時

14、，即 ss/ w=0.74 ;當 l= a 時，R+l=2 a 時，即 3 s/ w=0.577 ;當 l=0.1 a ,R+l=1.1a 時，則3 s/皿=0.131。這些都說明濃度 $的影響實質(zhì)是對流場的影響。流體被干擾 的流核，使其在一定柱狀范圍，要帶動一定量的流體運動，其相對運動速度(沉速)降低了。這一結(jié)果反映于(15)式中。5.2 濃度對群體沉降的影響濃度對顆粒沉降影響的研究，最早是 1906年A.Einstein 從Brown運動得到一階 近似的理論結(jié)果，即 所/ =1+2.5$ "幻。1972年Batchelor等人得到濃度影響的 二階近似理論結(jié)果(球體散顆粒)，相對粘

15、性 毆皿/ p=1+2.5S v+7.6S2 v。本文認為 低濃度 時的粘度改正應小些，高濃度時的粘度改正大些，非線性二階式優(yōu)于指數(shù)關(guān)系。圖1給出了各家相對粘度公式的對比結(jié)果，可以看出Batchelor的二階式居中?？紤]到群體沉降的極限濃度Svm及非均勻沙的顆粒組成的影響，本文給出的泥沙顆粒的群體沉降公式有如下形式(15)叱. Q S&：,.) | J夕冬， 1+L d,*O-OS 100.15 以 20。.25 (UG 0.3b 0. 10陶WWR 5tO A.睥 inft Elatehclorci dlMautLe £( a圖1相對粘度 皿與體積比濃度 Sv關(guān)系(牛頓體)

16、Fig.1 Relationship between relative viscosity皆 andvolumetric concentration S v上式中a為一修正系數(shù)，與混合沙的非均勻程度有關(guān)，對均勻沙，可取a =1當 S較小時，饑對30改正不大，這是合理的，且 3s/ G0值大些。在中等濃度 S 下，則3s/ gjd偏差大些，在高濃度S時，各家差別更大，如(12)式、(14)式很快 降為零。細粒泥沙的30本來就很小，取3s/ 03=0在實用上是不方便的。上式中 的極限濃度Sm,可采用方紅衛(wèi)確定的黃河干支流各站的結(jié)果 3、也可用費祥俊 提出的公式計算5。圖2各家公式 皓/皿的計算結(jié)果

17、Fig.2 Calculated好/ co from different formulas5.3 各家公式比較與分析圖2給出了式(15)、式(10)、式(12)、式(14)在不同濃度下均勻沙 (d=0.030mm)的群體 沉速的變化規(guī)律。由圖可知，沙玉清公式(式12)與張紅武公式(式14)的計 算結(jié)果較為接近。而本文提出的計算公式 (式15)與錢意穎等人(式10)的計算結(jié)果相差不多，但式(15)考慮了極限濃度的影響，這比較符合實際情況。若采用式(15)計算非均勻沙的群體沉速，取d25=0.018mm、d5o=0.030mm> d75=0.042mm,計算結(jié)果見圖2。在相同的中值粒徑和濃度

18、下，泥沙組成偏細，采用式(15)計算的群體沉速可比式(10)小。這是因為細顆粒增多，導致懸浮液體粘性增大，從而使群體沉速降低。因 此式(15)也可反映懸沙組成對群體沉速的影響。從公式形式上看，沙玉活公式(12)及類似公式(14)存在量綱不和諧的問題。 式(12)中 5廚,如要量綱合理，應當是畦J眼M ,其中&為無量綱系數(shù)； V為流速，可用沉速30代替，9為重力加速度。沙玉活利用明茲及趙乃熊試驗結(jié) 果分析了 d50=0.10mm 10mnW均勻顆粒的群體沉速與非均勻沙對比。結(jié)果表明當d50小時3s/ os改正多些；d50大時3s/ os變化小些。 當d50=0.1mm©J 10

19、mn®J 化時，系數(shù)e在301.33間變動。這樣大的變化是難以選用的。公式(14)亦有 此問題。關(guān)丁粒徑d的影響，一般已考慮在 0中。對丁均勻沙而言，滯流區(qū)有0md2, 紊流區(qū)有氣仁康，過渡區(qū)則介丁兩者之間變化。如濃度 S之改變，使CDs與30 在同一區(qū)內(nèi)，則無d之影響。如S之改變使3s由紊流區(qū)變?yōu)檫^渡區(qū)或滯流區(qū)， 則3s/頃中出現(xiàn)d的因素。但也不能認為其因子就是板慶滬。早年 沙 玉活提出的公式(12)及后人在沙”的基礎(chǔ)上提出的公式(14)都沒有給出理論證 明。式(14)反映出均勻沙在同流區(qū) 3s/ gjd的變化，無d之影響。不同區(qū)則 3s/項=6 dr指數(shù)r=1.50之間，有了沙式

20、(12)與張式(14),不難用曲線擬合方 式，給定系數(shù)6與指數(shù)丫。因此，不一定需要在CDs/ G0式中采用如(1-S 口屆淑1MJL25底y這種形式，因為不一定是唯一的，只是近似的經(jīng) 驗表述(擬合)。它們都可能表示，隨著d50之變細，3s/ G0減小這一定性的變化規(guī) 律。天然河道或水庫中的泥沙，多為非均勻沙，其級配影響丁 也之中, d25或d75越小,則3 s/ G0降得越多,反之亦然。5.4 本文公式與實測資料的比較本文采用黃河支流水文站60年代的群體沉速實測資料，對式(15)的計算精 度作進一步的分析。選用的水文站分別為渭河的咸陽站、 華縣站，涇河的張家山 站，北洛河的NFDA頓站。四站共

21、有882組有效的實測數(shù)據(jù)，各站的懸移質(zhì)含沙 量大小及組成變化，如表2所示。表2各站的懸沙特征變化Table 2 Characteristics changes of suspended load at different hydrological stations含沙景：水文站有效數(shù)據(jù)(組)-3S/kg5m中值粒徑d50/mm4 /鞏華縣站4110.14040.003 0.0590.701.51咸陽站2250.14670.003 0.0370.791.50張家山站590.15180.007 0.0730.821.18狀頭站1870.08810.004 0.0520.761.18在此采用費祥俊提

22、出的方法，按各粒徑組泥沙所占的比例，加權(quán)平均后得到 非均勻沙的平均沉速公式。根據(jù)實測資料的率定，取式(15)中的參數(shù)a =1.76圖3給出了實測與計算群體沉速的對比結(jié)果。由圖可知，式(15)的計算結(jié)果與實 測值基本符合。由圖可知，在泥沙組成較細，含沙量較大時，群體沉速較小，計 算值與實測值符合較好。當泥沙組成較粗時，計算值與實測值存在一定的誤差。6結(jié)論本又從流 體力學的基本 原理出發(fā)，得 出非均勻沙的 群體沉速公 式，該公式具有如下特點：反映了濃度（或含沙量）的影響；濃度不超過極限濃度值；引入反映非均勻沙組成對群體沉速的影Fig.3響，它具有幾何平均之意，既反映粒徑的不均勻性，乂具有平均的代表性；計6 4 2 OJO.B U日是混in學一一廿而買治旗俺諷鷹女臥力圖3實測與計算群體沉速的對比結(jié)果Comparison between observed and calculated