湖北省黃岡市2018年秋季高二年級期末考試數(shù)學(理科)試題(解析版)

1、湖北省黃岡市2018 年秋季高二年級期末考試數(shù)學試題（理科）第卷（共 60分）一、選擇題：本大題共12 個小題 ,每小題 5 分,共 60 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 . 1.任意拋兩枚一元硬幣，記事件：恰好一枚正面朝上；：恰好兩枚正面朝上；：恰好兩枚正面朝上；：至少一枚正面朝上；：至多一枚正面朝上，則下列事件為對立事件的是（）a. 與b. 與c. 與d. 與【答案】 d 【解析】【分析】根據(jù)對立事件的定義，逐項判斷即可. 【詳解】因為與 的并事件不是必然事件，因此a錯；至少一枚正面朝上包含恰好兩枚正面朝上，所以與 m不是對立事件，故b錯；因與 是均表示兩枚正面向上

2、，所以與 是相等事件，故c錯；所以選d. 【點睛】本題主要考查對立事件的概念，屬于基礎(chǔ)題型. 2.某同學的6 次數(shù)學測試成績（滿分100 分）進行統(tǒng)計，作出的莖葉圖如圖所示，給出關(guān)于該同學數(shù)學成績的以下說法：中位數(shù)為84；眾數(shù)為85；平均數(shù)為85, ；極差為12. 其中，正確說法的序號是（）a. b. c. d. 【答案】 b 【解析】【分析】由莖葉圖分析中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、極差【詳解】根據(jù)莖葉圖可知，中位數(shù)為，故正確根據(jù)莖葉圖可知，數(shù)據(jù)出現(xiàn)最多的是83，故眾數(shù)為83，故錯誤平均數(shù). 故正確根據(jù)莖葉圖可知最大的數(shù)為91，最小的數(shù)為78，故極差為91-78=13 ，故錯誤綜上，故正確的為故選

3、b 【點睛】本題主要考查了分析莖葉圖中的數(shù)據(jù)特征，較為簡單3.已知雙曲線方程為，則其焦點到漸近線的距離為（）a. 2 b. 3 c. 4 d. 6 【答案】 a 【解析】【分析】先由雙曲線的方程求出焦點坐標，以及漸近線方程，再由點到直線的距離公式求解即可. 【詳解】因為雙曲線方程為，所以可得其一個焦點為, 一條漸近線為, 所以焦點到漸近線的距離為，故選 a. 【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型. 4.點的坐標分別是，直線與相交于點，且直線與的斜率的商是，則點的軌跡是（）a. 直線b. 圓c. 橢圓d. 拋物線【答案】 a 【解析】【分析】設(shè)點 m 坐標，由題意列等量關(guān)系，化簡整

4、理即可得出結(jié)果. 【詳解】設(shè)，由題意可得, 因為直線與的斜率的商是，所以，化簡得，為一條直線 , 故選 a. 【點睛】本題主要考查曲線的方程，通常情況下，都是設(shè)曲線上任一點坐標，由題中條件找等量關(guān)系，化簡整理，即可求解，屬于基礎(chǔ)題型. 5.下列命題中的假命題是（）a. 對于命題，則b. “”是“”的充分不必要條件c. 若命題為真命題，則都是真命題d. 命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”【答案】 c 【解析】【分析】利用命題的否定，判斷a；根據(jù)充要條件判斷b；由復合命題的真假判斷c；由四種命題的逆否關(guān)系判斷d?！驹斀狻繉τ赼:，則，正確；對于 b:滿足“”能推出“”，反之不成立，故b正確；對

5、于 c：若命題為真命題，則有一個真命題即可，故c錯誤；對于 d：命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”，正確；故選 c. 【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，屬于基礎(chǔ)題型. 6.南北朝時期的數(shù)學家祖沖之，利用“割圓術(shù)”得出圓周率的值在 3.1415926 與 301415927 之間，成為世界上第一把圓周率的值精確到7 位小數(shù)的人，他的這項偉大成就比外國數(shù)學家得出這樣精確數(shù)值的時間，至少要早一千年，創(chuàng)造了當時世界上的最高水平.我們用概率模型方法估算圓周率，向正方形及其內(nèi)切圓隨機投擲豆子（豆子大小忽略不計） ，在正方形中的1000 顆豆子中，落在圓內(nèi)的有782 顆，則估算圓周率的值為（）a. 3

6、.118b. 3.148c. 3.128d. 3.141 【答案】 c 【解析】【分析】根據(jù)圓的面積與正方體的面積比，計算圓周率的值即可. 【詳解】設(shè)正方形的邊長為，則內(nèi)切圓的半徑為，由題意得，解得，故選 c 【點睛】本題主要考查幾何概型中的模擬方法估計概率的問題，屬于基礎(chǔ)題型. 7.某調(diào)查機構(gòu)對本市小學生課業(yè)負擔情況進行了調(diào)查，設(shè)平均每人每天做作業(yè)的時間為分鐘，有1200 名小學生參加了此項調(diào)查，調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)用程序框圖處理（如圖），若輸出的結(jié)果是840，若用樣本頻率估計概率，則平均每天做作業(yè)的時間在060 分鐘內(nèi)的學生的概率是（）a. 0.32b. 0.36c. 0.7d. 0.84 【

7、答案】 a 【解析】【分析】由程序框圖和題意，分析該程序的作用，即可求解. 【詳解】 由程序框圖可知：該程序的作用是統(tǒng)計1000 名學生中， 平均每天做作業(yè)的時間不在060 分鐘內(nèi)的學生的人數(shù) . 由輸出結(jié)果為680，則平均每天做作業(yè)的時間在060 分鐘內(nèi)的學生人數(shù)為1000-680=320 ，故平均每天做作業(yè)的時間在060 分鐘內(nèi)的學生的概率是, 故選 a. 【點睛】本題主要考查程序框圖，需要先分析框圖的作用，再結(jié)合題意求解，屬于基礎(chǔ)題型. 8.已知圓，直線上至少存在一點，使得以為圓心， 1 為半徑的圓與圓有公共點，則的取值范圍是（）a. b. c. d. 【答案】 c 【解析】【分析】由題

8、意轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點，運用點到直線距離小于或等于半徑來求解【詳解】圓，整理可得圓，即圓是以（ 4，0）為圓心， 1 為半徑的圓又直線上至少存在一點，使得以為圓心， 1 為半徑的圓與圓有公共點，只需與直線有公共點即可設(shè)圓心（4，0）到直線的距離為d 則,即解得故選 c 【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是要轉(zhuǎn)化為直線與圓相交，然后運用求解，需要掌握解題方法9.2018 年秋季， 我省高一年級全面實行新高考政策，為了調(diào)查學生對新政策的了解情況，準備從某校高一三個班級抽取 10 名學生參加調(diào)查. 已知三個班級學生人數(shù)分別為40 人， 30 人， 30 人. 考慮使用簡單隨機抽樣、分

9、層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學生按三個班級依次統(tǒng)一編號為1,2 ，100；使用系統(tǒng)抽樣，將學生統(tǒng)一編號為1,2 ， 100，并將整個編號依次分為10 段. 如果抽得的號碼有下列四種情況：7,17,27,37,47,57,67,77 ， 87,97 ；3,9,15,33,43,53,65,75,85,95；9,19,29,39,49,59,69,79,89,99,；2,12,22,32,42,52,62,73,83,96.關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是（）a. 都可能為分層抽樣b. 都不能為分層抽樣c. 都可能為系統(tǒng)抽樣d. 都不能為系統(tǒng)抽樣【答案】 a 【解析

10、】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三種抽樣方法得到數(shù)據(jù)的特點是：系統(tǒng)抽樣方法得到的數(shù)據(jù)每個數(shù)據(jù)與前一個數(shù)據(jù)的差都是10，分層抽樣方法得到的數(shù)據(jù)在1-40 之間的有4 個， 4170 之間的有3個， 71100 之間的有3 個；依次分析四組數(shù)據(jù)，即可得出結(jié)果 . 【詳解】對于，既滿足系統(tǒng)抽樣的數(shù)據(jù)特征，又滿足分層抽樣的數(shù)據(jù)特征，所以可能是分層抽樣或系統(tǒng)抽樣；對于，只滿足分層抽樣的數(shù)據(jù)特征，所以可能是分層抽樣；對于，既滿足系統(tǒng)抽樣的數(shù)據(jù)特征，又滿足分層抽樣的數(shù)據(jù)特征，所以可能是分層抽樣或系統(tǒng)抽樣；對于，只滿足分層抽樣的數(shù)據(jù)特征，所以可能是分層抽樣；故選 a. 【點睛】本題主要考查分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，由抽樣方

11、法的特征，即可判斷出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題型. 10.已知在平行六面體中，則的長為（）a. b. c. d. 【答案】 d 【解析】【分析】運用向量表示出，然后平方計算出結(jié)果【詳解】在平行六面體中，,，, 則故選 d 【點睛】本題考查了平行六面體中的長度問題，運用向量將其進行分解，線性表示出要求向量，然后求出結(jié)果，屬于中檔題，需要掌握解題方法11.已知雙曲線，過其左焦點作 軸的垂線，交雙曲線于，兩點，若雙曲線的右頂點在以為直徑的圓內(nèi)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（）a. b. c. d. 【答案】 c 【解析】【分析】先由雙曲線的方程，得出以為直徑的圓的半徑，再由點在圓內(nèi)，可得點到圓心的距離小于半徑

12、，從而可求出結(jié)果 . 【詳解】由于雙曲線，則直線方程為，因此，設(shè)，所以，解之得,得, 因為雙曲線的右頂點在以為直徑的圓內(nèi)，所以，即, 所以，所以，即, 即, 所以離心率, 故選 c. 【點睛】 本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)，由點和圓的位置關(guān)系判斷關(guān)系即可求雙曲線離心率的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題型 . 12.如圖，在四棱錐中，側(cè)面是邊長為4 的正三角形， 底面為正方形， 側(cè)面底面，為平面上的動點，且滿足，則點到直線的最遠距離為（）a. b. c. d. 【答案】 b 【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求出點的軌跡，然后求出點到直線的最遠距離【詳解】以d為原點， da為 x 軸， dc為 y 軸，過

13、 d作平面 abcd的垂線為z 軸，建立空間直角坐標系則,設(shè)，, ，整理得為底面內(nèi)以為圓心，以為半徑的圓上的一個動點則點到直線的最遠距離為故選 b 【點睛】本題考查了運動點的軌跡問題，需要建立空間直角坐標系，結(jié)合題意先求出運動點的軌跡，然后再求出點到線的距離問題第卷（共 90分）二、填空題（每題5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上）13.設(shè)邊長為2 的正方形的中心為，過作平面垂線， 為中點，則與夾角余弦值為_【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標系，分別求出各點坐標，運用向量夾角的計算公式求出結(jié)果【詳解】以 o為原點， ov為 z 軸建立空間直角坐標系則 b(1,1,0),e（0， 0

14、，1） ， v（0，0，2） ，c(-1 ，1，0) 則, 故則與夾角余弦值為【點睛】本題考查了空間向量夾角余弦值，建立空間直角坐標系，運用向量夾角計算公式即可求出結(jié)果，較為基礎(chǔ)14.一個車間為了規(guī)定工作原理，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5 次試驗，收集數(shù)據(jù)如下：零件數(shù)（個）15 20 30 40 50 加工時間（分鐘）65 70 75 80 90 由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程，則估計加工70 個零件時間為_分鐘（精確到0.1 ） 【答案】 101.7 【解析】【分析】結(jié)合題意先求出線性回歸方程，然后再計算出結(jié)果【詳解】由題意可得, ，則線性回歸方程為當時，【點睛】本題考查了求線性

15、回歸方程，然后求出估計結(jié)果，需要掌握解題方法，較為基礎(chǔ)15.有三張卡片編號，卡片上分別寫有數(shù)字1 和 2,1 和 3,2 和 3，甲、乙、丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上上相同的數(shù)字是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之后大于3”，則甲取走的卡片編號為_（填） 【答案】 c 【解析】【分析】先根據(jù)丙的說法推出丙的卡片上寫著1 和 3，或 2 和 3，再由乙的說法， 即可推出乙丙的卡片，進而可確定甲的卡片. 【詳解】由丙的說法可退出，丙的卡片上寫著1 和 3，或 2 和 3；又由乙的說法推出，乙和丙都有1，所以乙的卡片

16、是 1 和 2，丙的卡片是1 和 3，因此甲的卡片是2 和 3，即甲取走的是卡片c.故答案為c. 【點睛】本題主要考查簡單的合情推理，由題中條件進行推理即可得出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題型. 16.給出下列命題，其中所有正確命題的序號是_拋物線的準線方程為；過點作與拋物線只有一個公共點的直線僅有 1 條；是拋物線上一動點，以為圓心作與拋物線準線相切的圓，則此圓一定過定點. 拋物線上到直線距離最短的點的坐標為. 【答案】【解析】【分析】運用直線與拋物線的位置關(guān)系分別判定命題的正確性【詳解】拋物線的標準方程為不是；故錯誤過點作與拋物線只有一個公共點的直線有兩條，一條是過點與拋物線相切的直線，一條是過點平行于

17、軸的直線，故錯誤設(shè), 則以 p為圓心，作與拋物線準線相切的圓的方程為, 化簡可得, 當時恒成立，故此圓一定過定點，故正確設(shè)拋物線上到直線距離最短的點的坐標為則當時，取最小值則拋物線上到直線距離最短的點的坐標為，故正確綜上其中所有正確命題的序號為【點睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，解題時需要進行分類討論，還考查了計算能力，注意解題方法，本題屬于中檔題三、解答題（本大題共 6 小題，共 70 分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. ）17.已知命題：方程表示橢圓，命題. （1）若命題為真，求實數(shù)的取值范圍；（2）若為真，為真，求實數(shù)的取值范圍 . 【答案】（1）（2）【解析】【分析】

18、(1) 由命題為真，可知成立，討論和，即可得出結(jié)果; (2) 由為真，為真可知：為假，為真，進而可求出結(jié)果. 【詳解】（1）命題 為真，當時，；當時，不等式恒成立. 綜上知，. （2）若為真，則且若為真，為真，為假，為真 . . 【點睛】 本題主要考查復合命題的真假，其中常涉及一元二次不等式成立或恒成立的問題，需要結(jié)合題意認真分析，避免失誤即可，屬于基礎(chǔ)題型. 18.（1）已知函數(shù)，其中，求函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過第一、二、三象限的概率；（2）某校早上8:10 開始上課， 假設(shè)該校學生小張與小王在早上7:30 8:00 之間到校， 且每人到該時間段內(nèi)到校時刻是等可能的，求兩人到校時刻相差10 分鐘以

19、上的概率. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先求出函數(shù)的系數(shù)構(gòu)成的數(shù)對的個數(shù)，再求出滿足題意的數(shù)對的個數(shù)，由古典概型的概率公式即可求出結(jié)果; (2) 先設(shè)小張和小王到校時刻分別為，依題意確定的關(guān)系，作出對于圖像，由幾何概型的計算公式，即可求解. 【詳解】（1）設(shè)函數(shù)的系數(shù)構(gòu)成的數(shù)對為，則由題意知數(shù)對可能為：，共 16 種情況 . 要使得函數(shù)的圖象經(jīng)過第一，二，三象限，則需，即符合條件的數(shù)對為，共 3 對. 模型符合古典概型的定義，所以所求事件的概率為. （2）設(shè)小張和小王到校時刻分別為，且. 兩人到校時刻相差10 分鐘等價于，且. 模型符合幾何概型的定義，由圖可知：所以所求事件的概率

20、為. 【點睛】本題主考查古典概型和幾何概型，需要學生熟記列舉法求古典概型概率的方法，以及幾何概型的概率計算公式，屬于基礎(chǔ)題型. 19.如圖，已知在四棱錐中，底面， 點為棱的中點 , （1）試在棱上確定一點，使平面平面，說明理由；（2）若為棱上一點，滿足，求二面角的余弦值 . 【答案】 （1）詳見解析 （2）【解析】【分析】取中點，然后證明面，面即可得證建立空間直角坐標系，求出平面、平面的法向量，運用夾角公式求出二面角的余弦值【詳解】（1）取中點，則中點即所求的點. 理由如下：分別為的中點，. 又面，面.面. 易知四邊形abmp 為平行四邊形，所以，面，面，面. 又，平面平面. （2）由題意知兩

21、兩互相垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則向量，. 由點 在棱上，設(shè)，. 故. 由，得，因此，解得. 即. 設(shè)為平面的法向量，則即. 不妨設(shè)，可得平面的一個法向量為. 取平面的法向量，則. 易知，二面角是銳角，所以其余弦值為. 【點睛】本題考查了面面平行、二面角的余弦值，在證明面面平行時運用其判定定理求證，二面角的余弦值可以建立空間直角坐標系，運用向量夾角公式求出結(jié)果。20.為了了解我市參加2018 年全國高中數(shù)學聯(lián)賽的學生考試結(jié)果情況，從中選取60 名同學將其成績（百分制，均為正數(shù)）分成六組后，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形，回答下列問題：（1）求分數(shù)在內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分

22、布直方圖；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計本次考試成績的眾數(shù)、均值；（3）根據(jù)評獎規(guī)則，排名靠前10% 的同學可以獲獎，請你估計獲獎的同學至少需要所少分？【答案】 （1）詳見解析 （2）眾數(shù)為： 75 和 85，均值為：（3） 88 分【解析】【分析】由頻率分布直方圖即可計算出分數(shù)在內(nèi)的頻率由頻率分布直方圖得到本次考試成績的眾數(shù)，然后計算平均值結(jié)合題意計算出排名靠前10% 的分數(shù)【詳解】 （1）設(shè)分數(shù)在內(nèi)的頻率為， 根據(jù)頻率分布直方圖，則有，可得，分數(shù)在內(nèi)的頻率為0.25. 所以頻率分布直方圖為：（2）由圖知，眾數(shù)為：75 和 85 均值為：. （3）因為分數(shù)在內(nèi)的頻率為0.25 ，內(nèi)的頻率為0.05 ，而所以得分前10% 的分界點應(yīng)在80 至 90 之間 . 設(shè)所求的分界點為，則，解得. 所以得分前10% 的分界點為88，即獲獎的同學至少需要88 分. 【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的實際運用，在解題過程中一定要會分析頻率分布直方圖，并能正確計算出結(jié)果，較為基礎(chǔ)。21.已知圓，直線. （1）若直線與圓交于不同的兩點，當時，求實數(shù)的值；（2）若， 是直線 上的動點，過作圓的兩條切線，切點為，試探究：直線是否過定點 . 若存在，請求出定點的坐標；否則，說明理由. 【答案】 （1）（2）過定點【解析】【分析】