精算原理與實務講義(上)

1、1第一章 導論2精算科學(Actuarial Science) n精算科學是以概率論與數理統(tǒng)計為基礎的，與經濟學、金融學及保險理論相結合的應用與交叉性的學科。在保險和社會保障領域，精算科學通過對風險事件及其損失的預先評價，實現(xiàn)科學的風險管理，為保險和社會保障事業(yè)的財務穩(wěn)健發(fā)展提供基本保障。3保險精算學的基本原理(1) 要素n未來事件n不確定性n財務收支n預先評估(2) 模型和方法n模型：各因素相互關系的數學公式n方法：借助精算模型實現(xiàn)預先評估(3) 精算假設n對未來風險發(fā)生規(guī)律的假設n在過去經驗的基礎上，根據對未來的判斷預先做出4基本精算原理-例n按照收支對等原則 如果1人投保1年期100,0

2、00元壽險，假設1年內死亡概率4.3%，在不考慮保險公司的費用、投資收益、利潤的情況下： 保費=期望損失=100,0000.004 3=430元（忽略利息）5精算師n精算師被稱為金融、保險、投資和風險管理的工程師n通過對風險和損失的預先評價，對風險事件做出預先的財務安排，保證風險經營的財務穩(wěn)健性。6精算師的主要職業(yè)領域n保險公司（壽險、非壽險、健康保險）n養(yǎng)老金計劃n社會保障n銀行、投資、公司財務、金融工程n法律法規(guī)n教育7精算管理控制系統(tǒng)環(huán)境因素（法律、社會、人口、稅收等）風險分析產品設計定價監(jiān)測和分析經驗數據償付能力評估資產負債管理資產評估利潤分析負債評估8怎樣成為精算師n考試制度：英國精

3、算學會、北美壽險精算學、北美非壽險精算學會、美國養(yǎng)老金精算師學會、加拿大精算學會。n教育認可制度：澳大利亞：初級課程認可，高級課程考試；德國、意大利、法國、瑞士、西班牙、荷蘭、巴西、墨西哥等國家主要采取學歷認可制度。n國際精算協(xié)會的精算師后續(xù)教育制度9精算職業(yè)發(fā)展n1775年，英國的公平人壽社團最早將精算師引入保險領域。n1848年，英國在世界上最早成立了精算學會n1889年，美國精算學會n1892年，法國精算學會n1895年，國際精算協(xié)會n2006年，中國精算師協(xié)會10第二章 利息理論11累積函數n累積函數是單位本金的累計額，以 表示。 n其中， ， 。)(ta)0()()(AtAta1)0

4、(a)()0()(taAtA12累積函數a(t)01ta(t)01ta(t)01t 圖2-1 圖2-2 圖2-3na(t)通常為t 的連續(xù)函數，在坐標平面上表現(xiàn)為通過（0，1）點的曲線，如圖2-1和圖2-2所示na(t)為增函數時才能保證總額函數的遞增性和存在正的利息。n有時，當利息定期結算時，也表現(xiàn)為不連續(xù)的階梯函數，在定期內，為常數，定期結算后，上一個臺階，如圖2-3所示。13利息率n利息率n1年內1單位本金的利息就是實際年利息率 以 表示第n個基本計息時間單位的實際利率 ) 1() 1()(1)(nAnAnAnainni)0()0() 1 (1) 1 (1AAAai14單利和復利n單利單

5、利：只在本金上生息n設第t年實際利率it，1年末的累積額為:n n第2年末的累積額為:n當各年利率均為i時，有itta1)()1)(0()0()0() 1 (11iAiAAA1212(2)(0)(1)(0)(0)(1)AAiAiAii)1)(0()(itAtA15單利和復利n復利復利：在本金和利息上生息n設第t年實際利率it，1年末的累積額為:n n第2年末的累積額為:n當各年利率均為i時，有)1)(0()0()0() 1 (11iAiAAA)1)(1)(0()1)(0()1)(0()2(21211iiAiiAiAAniAnA)1)(0()(tita)1 ()(16現(xiàn)值和貼現(xiàn)率17現(xiàn)值和貼現(xiàn)率

6、n在復利下，tti)1 (118現(xiàn)值和貼現(xiàn)率n在單利下，19現(xiàn)值和貼現(xiàn)率n貼現(xiàn)率：單位貨幣在單位時間內的貼現(xiàn)額，單位時間以年度衡量時，成為實際貼現(xiàn)率。 d表示一年的貼現(xiàn)率: dn表示第n年貼現(xiàn)率: iiiiaaAAAd1111) 1 (1) 1 () 1 ()0() 1 ()() 1()()() 1()(nanananAnAnAdn20iiiiiaad111)1 () 1 (1) 1 (iiid11111ddi1可見， di現(xiàn)值和貼現(xiàn)率21現(xiàn)值和貼現(xiàn)率22現(xiàn)值和貼現(xiàn)率23名義利率與名義貼現(xiàn)率n名義利率:一年結算多次的規(guī)定的年利率。 以 表示，m表示結算次數， )(mimmmii11)(24名義

7、利率與名義貼現(xiàn)率n名義貼現(xiàn)率:一年結算多次的規(guī)定的年貼現(xiàn)率。 以 表示，m表示結算次數， ()mdid111mmmdd1 1)(25利息力n利息力：衡量確切時點上利率水平的指標。 定義利息力為，)1ln(11)1 (lim 11 limlim11)(imiimimmmmmmie 1故， e26年金n年金：每隔一個相等的時間間隔的一系列固定數額的收付款方式。 n期首付年金n期末付年金27期首付年金現(xiàn)值1321nna 11n=dn1=28期末付年金現(xiàn)值nna321)1 (n=in1=29期首付年金終值(1)(1)1nnnnsaiid30期末付年金終值nnnias)1(nnii)1 (1iin1)1

8、 (31等額確定年金的終值和現(xiàn)值n年定期的每年1單位元期首付年金、期末付年金的現(xiàn)值和終值間關系圖 32一年多次收付的年金 對于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金現(xiàn)值，以 表示，()1/2/(1) (1)/1/()11111111mmmnmmnnmnmammmmmd )(mna 33一年多次收付的年金 對于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年金現(xiàn)值以 表示，)(mna()1/2/()1111mmmnnnmammmi34一年多次收付的年金 對于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期首付年金在n 年末的終值為，()()1nmmnsd35一年多次收付的年金 對于n

9、年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年金在n 年末的終值為，()()1nmmnsi36永續(xù)年金 定義：收付時期沒有限制，每隔一個間隔永遠連續(xù)收付的年金，相當于前面定期年金當時期n趨于無窮大時的值。 每年一元期末付永續(xù)年金現(xiàn)值為， iaann1lim37永續(xù)年金daann1lim )()(1mmia )()(1mmda 其他永續(xù)年金現(xiàn)值為： 38變額年金變額年金是每次收付額不等的年金常見的有，n每次收付額等差遞增或遞減n每次收付額等比遞增39變額遞增年金如果在n年定期內，第一年末收付1單位元，第2年末收付2單位元，以后每次比上一次遞增1單位元的期末付年金現(xiàn)值以 表示。 （nIa)23()

10、23nnIan 40變額遞增年金21(1) ()123nniIan 21()1nnnnniIanan inaIannn )(dnaaInnn )(兩者相減后得代入上式后得 上述年金期首付時，年金現(xiàn)值為41變額遞減年金當第一年收付n元，以后每隔一年收付額減少一單位元的n年定期遞減的期末付年金為， ianDann)(上述定期遞減年金在期首付時，為 iainaDnn )1 ()( 變額年金的終值是相應年金現(xiàn)值與利率累積系數之積 42等比遞增年金對等比遞增的年金，如果第一年1單位元，以后收付額每年遞增j比例，n年定期的年金現(xiàn)值為：2211211(1)(1)(1)(1)11111nnnnPVjjjjPV

11、diijdiij 設， 上 式 成 為 ：其 中 ，43等額分期償還n等額分期償還債務的方法是在規(guī)定的還款期內每次償還相等數額的還款方式。n每次償還金額為n第k 期末的未償還本金余額 貸款本金是B0 ，是Bk,還款期限為n 年，每年末還款，年實際利率為i 44等額分期償還表 時期時期 付款金額付款金額 支付利息支付利息 償還本金償還本金 未償還貸款未償還貸款余額余額 0 1 R R(1-vn)Rvnk R R(1-vn-k+1) Rvn-k+1 n R R(1-v) Rv0 總計總計 nR innR RainRa1inRa in kRa0inRaB45變額分期償還n變額分期償還指每期償還的金額

12、不等的還款方式。 原始貸款金額為B0 ，第k 期償還的金額為Rk （k=1，2， ,n）46例 2.26一筆金額為nR 元的貸款，年利率為i ，期限為n 年，每年償還R 元本金，其分期償還表如下： 時期時期 付款金額付款金額 支付利息支付利息 償還本金償還本金 未償還貸款未償還貸款余額余額 0 nR1 R (1+in)inRR(n-1)Rk R 1+i(n-k+1) i(n-k+1)R R(n-k)R n R (1+i)iR R0 總計總計 nR +i n(n+1)/2 i n(n+1)/2 nR47償債基金n償債基金的還款方法是借款人在貸款期間分期償還貸款的利息，同時為了能夠在貸款期末一次性

13、償還貸款的本金，定期向一個“基金”供款，使該“基金”在貸款期末的積累值正好等于貸款本金。這一基金稱為償債基金，其基金累計的利率與貸款利率可能相等，也可能不等。48等額償債基金n等額償債基金方法下借款人每期向償債基金的儲蓄金額相等，設為D ，如果該償債基金每期的利率恒為j，n 為貸款期限，當期支付的利息設為I，則借款人每期支付總金額為：n假設償債基金的利率與貸款利率相等，即j =i ，則借款人每期支付總金額為，49變額償債基金n設原始貸款本金為B0 ，貸款利率為i ，償債基金利率為j ，借款人在第k 期末支付的總金額為Rk （k=1，2， ，n），則，第k 期末向償債基金的儲蓄額為(Rk iB0

14、)，償債基金在第n 期末的累積值等于原始貸款本金B(yǎng)0 ，即，n當i= j時，50債券價值n按利息的支付方式，債券可分為零息債券和附息債券兩種。零息債券在債券到期前不支付利息，而是在債券到期時隨本金一次性支付所累計的利息。附息債券由發(fā)行人在到期日前定期支付利息，投資者可定期獲得固定的息票收入。n債券定價原理：債券定價原理：債券的理論價格就是債券未來息票收入的現(xiàn)值和到期償還值的現(xiàn)值之和。n基本符號和概念：基本符號和概念：P債券的理論價格； i投資者要求的收益率或市場利率；F債券的面值；C債券的償還值；r債券的息票率；rF每期的息票收入；g債券的修正息票率；n息票的償還次數；K償還值按收益率i 計算

15、的現(xiàn)值； G債券的基價，51債券價值n基本公式：基本公式：n溢價公式：溢價公式：n基價公式：基價公式：nMakeham公式：公式：52債券的賬面價值n整數息票支付周期的債券價格和賬面值整數息票支付周期的債券價格和賬面值第k 期末的賬面值為：n任意時點的賬面值任意時點的賬面值53第三章 生命表54生命表相關定義n生命表：反映在封閉人口的條件下，一批人從出生后陸續(xù)死亡的全部過程的一種統(tǒng)計表。n封閉人口：指所觀察的一批人只有死亡變動，沒有因出生的新增人口和遷入或遷出人口。 55生命表基本函數nlx：存活到確切整數年齡x歲的人口數，x=0,1,-1。 nndx：在xx+n歲死亡的人數，當n=1時，簡記

16、為dxnnqx：x歲的人在xx+n歲死亡的概率，當n=1時，簡記為qx56生命表基本函數nxnxxldl100 xxdl1112110nxxxx nnxxxxxxxnnxttddddqllqqqqq (1)(2)(3)57生命表基本函數xxxx nx nxdqldllnpx： xx+n歲的存活概率,與nqx相對的一個函數。 當n=1，簡記為px 。xnxxnllp1nxnxqp58生命表基本函數)(22nxxxnnxxnllndnnlL)(211xxxllLnLx：x歲的人在xx+n生存的人年數。人年數是表示人群存活時間的復合單位，1個人存活了1年是1人年，2個人每人存活半年也是1人年，在死亡

17、均勻分布假設下，xx+n歲的死亡人數ndx平均來說存活了n/2年，而活到lx+n歲的人存活了n年，故當n=1時，59n ：x歲人群的平均余壽，表明未來平均存活的時間。當x為0時，表示出生時平均余壽，即出生同批人從出生到死亡平均每人存活的年數。 生命表基本函數1110 xxxxx ttTLLLL 1012xx ix iiTll nTx：x歲的人群未來累積生存人年數。在均勻分布假設下，xe00 xx txtxxxTlep dtdtll60生命表基本函數xnqnxxnnxnxxnxxnxxnqpldllldqxmnqnxmxnxmnxnxmnxnxxnxmxmnqppplllldq：表示x歲的人存活

18、n年并在第n+1年死亡的概率， 或x歲的人在x+nx+n+1歲死亡的概率。：表示x歲的人在x+nx+n+m歲之間死亡的概率。01001xxxxxnxnn mnnnmqmqqqmqp 當時，；當時，；當時，。61生存分布n一、新生兒的生存函數n二、x歲余壽的生存函數n三、死亡力n四、整值平均余壽與中值余壽62nF(x)：新生兒未來存活時間（新生兒的死亡年齡）為x的分布函數。ns(x)：生存函數，它是新生兒活到x歲的概率，以概率表示為xp0。 新生兒在xz歲間死亡的概率，以概率的方式表示為：新生兒的生存函數)0()Pr()(xxXxF ,0f xFxx)0()Pr()(1)(xxXxFxs)()(

19、)()()Pr(zsxsxFzFzXx63新生兒的生存函數生命表函數中的存活人數lx 正是生命表基數l0與x歲生存函數之積，lx=l0s(x)而s(x)曲線形狀如下圖所示，64x歲余壽的生存函數Pr ( )(0)txqT xtt1Pr ( )(0)txtxpqT xtt 以（x）表示年齡是x歲的人，（x）的余壽以T(x)表示nx歲的人在t時間內存活的概率 tpx 當x=0時，T(0)=X ，正是新生兒未來余壽隨機變量。nx歲的人在t時間內死亡的概率tqx65x歲余壽的生存函數n考慮x歲的人的剩余壽命時，往往知道這個人已經活到了x歲 ，tqx實際是一個條件概率)()()()(1)()(|Prxs

20、txsxsxFxFxtFxXxtXxqxt66nx歲的人在x+tx+t+u的死亡概率 ，以概率的方式表示為： x歲余壽的生存函數xutqtxuxtxutxtxtxutxutqpppqqutxTtq)(Pr67整值剩余壽命n定義： 未來存活的完整年數，簡記n概率函數(),( )1,0,1,K XkkT xkk( )x( )K x11Pr()Pr( )1)kxkxkxkxkxx kxkK XkkT xkqqpppqq68死亡力n定義： 的瞬時死亡率，簡記n死亡力與生存函數的關系( )( )ln ( )( )( )xs xf xs xs xs x ( )xx0( )expexpxsx ttxsxs

21、xdspds69死亡力70實際上生命表x歲平均余壽正是T(x)隨機變量的期望值死亡力xe00 ( )xtxx ttxeE T xt pdtp dt71死亡力dtldtxtxx10dtlLtxx10dtlTtxx0n生命表x歲死亡人數dx正是生存人數函數lx+t與死亡力之積在 01上的積分n生命表x歲生存人年數Lx正是生存人數函數lx+t在01上的積分n生命表x歲累積生存人年數Tx正是生存人數函數lx+t在0上的積分72死亡力000000()txtxx ttxtxxtxdpt pdttdtdtp tp dtp dte 對于x歲期望剩余壽命 ，可以證明：0 xe73整值平均余壽與中值余壽 nx歲的

22、整值平均余壽是指x歲未來平均存活的整數年數，不包括不滿1年的零數余壽，它是整值余壽隨機變量K(x)的期望值，以ex表示，xkkkkxxkxqkqpkxKEe00)(74整值平均余壽與中值余壽 1txtxqp22txtxqpxkkxxxxxxxkkpqqqqqqqk013323210由于，所以 75整值平均余壽與中值余壽 )()()(xSxKxT)()()(xSExKExTE21)(xSE1 2xxee由于故，在死亡均勻分布假設下，故，76整值平均余壽與中值余壽 21)()(Pr)()(PrxmxTxmxT5 . 0)()(xsxmxs中值余壽是(x)的余壽T(x)的中值，（x）在這一年齡之前死

23、亡和之后死亡的概率均等于50 %，以m(x)表示x歲的中值余壽，則即， 77非整數年齡存活函數的估計n死亡均勻分布假設n死亡力恒定假設n巴爾杜奇(Balducci) 假設78有關非整數年齡的假設 n使用背景:n生命表提供了整數年齡上的壽命分布,但有時我們需要分數年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個整數生存數據,選擇某種分數年齡的生存分布假定， 估計分數年齡的生存狀況n基本原理:插值法n常用方法n均勻分布假定(線性插值)n常數死亡力假定(幾何插值)nBalducci假定(調和插值)79死亡均勻分布假設)() 1()() 10() 1()()1 ()(xsxstxstxxstxsttxs為整

24、數，xxttqxsxsxstxstxsxsq)()1()()()()(假設死亡在整數年齡之間均勻發(fā)生，此時存活函數是線性的。80死亡均勻分布假設xxyxtyqtqyxstyxsyxsq1)()()(xxtxtqqxsxstxsxsxstxstxs1)1()()() 1()()()( (0t, 0y,0t+y) 81當假設死亡力在xx+1上恒定時， (x為整數，0t1)，死亡力恒定假設 txxttxpdtdln0txtdtpee由死亡力的定義，82死亡力恒定假設2/1xtx 1/2lnxxp 1/2()txtxxtpep若以表示，有此時，83巴爾杜奇(Balducci)假設以意大利精算師巴爾杜奇

25、的名字命名，這一假設是當x為整數，0t1時，生存函數的倒數是t的線性函數，即) 1()()1 ()(1xstxsttxs84巴爾杜奇(Balducci)假設xxxtqttqq)1 (1xxyxtqtytqq)1 (1xtxtqtq)1 (1 （其中，0t1, 0y1, 0t+y1） 此時，85三種假定下的生命表函數函數均勻分布常數死亡力Balluccixtqxtptxyq()Ttx x tf tpxtqute1xtq1ute1(1)xxpt qxxtqyq11(1)xxyqyt qxqueut21(1)xxxpqt qute1txxxtqq11(1)xxqt q1 (1)xxt qtq86生命

26、表的編制n一、生命表編制的一般方法n二、選擇生命表87生命表編制的一般方法 n時期生命表(假設同批人生命表)：采用假設同批人方法編制，描述某一時期處于不同年齡人群的死亡水平，反映了假定一批人按這一時期各年齡死亡水平度過一生時的生命過程。 Dx：某年齡x歲的死亡人數； ： x歲的平均人數，即年初x歲人數與年末x歲人數的平均數，有時也用年中人數代替。 xP88nx歲的中心死亡率 （分年齡死亡率）為，生命表編制的一般方法xmxxxPDm n生命表分年齡中心死亡率 ：生命表分年齡死亡人數在分年齡生存人年數中的比例。 xmxxxLdm 89生命表編制的一般方法xxxLdm xxxxxxxxxqqdldl

27、ldm2222)(211xxxmmq22xmxmxmxm在死亡均勻分布假設下，有，變換后，通常 與 非常接近，實際中常用 近似90選擇生命表n選擇生命表構造的原因n需要構造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。n需要構造終極生命表的原因：選擇效力會隨時間而逐漸消失n選擇生命表的使用91nxnxnxldq選擇生命表函數關系1nxnxnxlldnxnxnxllp1nxnxmnxmldqnxmnxmnxnxmlllq192第四章 多減因表93定義n研究同批人受兩個或兩個以上減因影響陸續(xù)減少的數學模型就是多減因模型。與生命表一樣，多減因模型通常用多減因表的形式

28、表示，稱為多減因表。94多減因表基本函數n ：確切年齡x 歲時，受(1),(2), （m)等m 個減因影響的人數?；蛘哒fx 歲暴露于m 個減因下的人數。n ：xx+n 歲由(k)減因減少的人數，k=1,2, m，當n=1 時，記為n ：xx+n 歲由所有減因減少的總人數，當n=1 時，記為( )Txl( )knxd( )Tnxd( )kxd( )Txd95多減因表基本函數n ：xx+n 歲由（k）減因產生的減少概率，也就是（k）減因使（x）離開 的概率，當n=1 時，記n ：x 歲的人在xx+n 由所有減因導致的減少概率n ：x 歲的人在xx+n 保留在原群體中的概率( )knxq( )Txl

29、( )Tnxq( )Tnxp( )kxq96減因力n與生命表死亡力類似，在多減因下也有減因力，xt 時的總減因力定義為：97中心減力( )( )( )TTxxTxdmLn與中心死亡率的概念類似，在多減因分析中也有總中心減率和分減因中心減率，以 表示總中心減率，定義為，( )Txm( )( )mTkxxkmm( )( )( )112kkxxTxmqm( )( )( )112TTxxTxmqm98n構成多減因表的各個減因都可以依各自獨立的死亡力構成單減因表，把由多減因表的各個減因構成的單減因表稱為聯(lián)合單減因表，它是單獨考慮各個減因時生成的生命表。設聯(lián)合單減因表的存活函數聯(lián)合單減因表( )ktxp9

30、9各減因力的估計n恒定假設下恒定假設下n均勻分布假設下均勻分布假設下100聯(lián)合單減因表的各減因均勻分布假設下的估計101聯(lián)合單減因表的各減因均勻分布假設下的估計n當m=2 時，有，n當m=3時，有，102第五章 人壽保險103傳統(tǒng)人壽保險產品n傳統(tǒng)個人壽險產品的被保險人是單個人，以被保險人在保險期內死亡或生存為保險賠付或給付條件，預先規(guī)定保險金額的水平及其給付方式，并根據經驗生命表和預定利率等預先確定保費水平和保單退?，F(xiàn)金價值。n在實踐中，傳統(tǒng)個人壽險產品又分為定期壽險、終身壽險、兩全保險等。104定期壽險n均衡保費定期壽險均衡保費定期壽險簡稱為定期壽險，保險費在約定的繳費期內均衡繳付，通常繳

31、費期與保險期相同。n遞增保費定期壽險遞增保費定期壽險的保險費在繳費期內遞增，在實踐中常見的遞增保費定期壽險是每年更新定期壽險。n保額遞減定期壽險保額遞減定期壽險的死亡賠付金額隨著已投保時期的延長而降低，保險費通常采取均衡方式。實踐中最常見的保額遞減壽險是以抵押貸款余額為死亡賠付額，以還款期為保險期的定期保險。105兩全保險n定義：定義：在規(guī)定的保險期內，如果被保險人死亡，保險人賠付死亡保險金，如果被保險人在保險滿期存活，保險人給付生存保險金的保險產品。n非分紅保險非分紅保險根據精算假設和規(guī)定的保險金額確定保費和現(xiàn)金價值，投保人不分享公司紅利。n分紅保險分紅保險的投保人每年以紅利方式分享公司利潤

32、的一部分，實際上相當于增加了保險金額，或者在規(guī)定的保險金額下減少了保險費。106死亡年年末賠付壽險精算現(xiàn)值引例：定期壽險假如有100個40歲的人投保了1 000元5年期定期壽險，死亡賠付在死亡年年末。如果預定年利率為3，各年預計的死亡人數為分別為1、2、3、4、5人，這時，每年的賠付支出及其折現(xiàn)值如表4-1所示： 107保單精算現(xiàn)值將各年的賠付現(xiàn)值加總，可以得到發(fā)行100張保單的未來賠付支出現(xiàn)值（元）：123451000 1.032000 1.033000 1.034000 1.035000 1.0313468.48 所以，平均每一保單的未來賠付現(xiàn)值為134.68元。這一現(xiàn)值被稱為這一保單的保

33、單的精算精算現(xiàn)值現(xiàn)值。108n(x) ：x歲開始投保的人 n ：對(x)的1單位元死亡年年末賠付的n年期定期壽險 的精算現(xiàn)值。n ：(x)在x+kx+k+1歲間死亡，年末x+k+1歲上的1單位 元賠付在利率i下折現(xiàn)到投保時的現(xiàn)值。n ：被保險人(x)在x+kx+k+1歲間死亡的概率n ：被保險人(x)在x+kx+k+1歲間死亡產生的死亡 賠付期望現(xiàn)值基本符號1k1: x nA1kxkqxkq1k109定期壽險1: x nA112n11n 1:0nkxxxxkx nkAqqqq定期壽險精算現(xiàn)值在投保時一次性繳清方式的凈保費稱為躉繳凈躉繳凈保費保費， 也就是保單發(fā)行時的精算現(xiàn)值。110終身壽險nA

34、x：對(x)的1單位元死亡年年末賠付的終身壽險的精算現(xiàn)值。由于投保人(x)可能在k=0,1,2上死亡，因此，終身壽險精算現(xiàn)值Ax正是(x)在各年死亡賠付期望現(xiàn)值之和。01kxkkxqA上式的求和上限實際為-x-1其中，是生命表極限年齡，-1是按生命表能夠存活的最大年齡。111生存保險n ：n年純生存保險精算現(xiàn)值。 n定義：n年純生存保險是以滿期被保險人仍然存活為給付條件的生存保險。1:nnxnxkx nk nAqp1:nxA112兩全保險xnnnkxkknxnxnxpqAAA101:= 11n ：對(x)的1單位元n年兩全保險精算現(xiàn)值。n定義：對(x)的1單位元n年兩全保險，是對(x)的n年定

35、期壽險和n年純生存保險的合險。nxA:113n ：對(x)的1單位元m年延期終身壽險的精算現(xiàn)值。n定義：對(x)的1單位元m年延期終身壽險，是從x+m歲起到被保險人終身止的1單位元壽險。延期m年終身壽險xmAmkxkkxmqA1終身壽險可以看成由一個n年定期壽險與一個延期n年終身壽險組合xnnxxAAA:1 114n ：對(x)的1單位元延期m年n年定期壽險的精算現(xiàn)值。n定義：對(x)的1單位元延期m年n年定期壽險是從x+m歲起到x+m+n年的定期壽險。延期m年的n年定期壽險 xnmA11nmmkxkkxnmqAmxnmxAA:11115標準遞增變額壽險n定義：標準遞增的變額壽險，是賠付額bK

36、+1=k+1，k是從投保開始到死亡時存活的整數年數的變額壽險。n(IA)x ：標準遞增的終身壽險的精算現(xiàn)值。n ：標準遞增的n年定期壽險的精算現(xiàn)值。100()(1)kxxxkkkkIAkqA nxIA:1)(1111:00()(1)nnkxxkk n kx nkkIAkqA116標準遞增變額壽險xnnkxknxAnAIA10:1)(11:111)(nkknxnxnxAAnIA從標準遞增定期壽險的意義出發(fā)，可以得出另外兩個不同的公式：11:)()(nxnxnxAnIAIAnn年標準遞增的兩全保險兩全保險：是n年定期遞增壽險精算現(xiàn)值與n年n單位元純生存保險現(xiàn)值之和。其精算現(xiàn)值為， 117標準遞減變

37、額年金nxDA:1)(11111:00()()nnkxkx nx n kkkDAnkqAn定義：變額壽險當bK+1=n-k時，稱為標準遞減的定期壽險。 n ：標準遞減的定期壽險精算現(xiàn)值。118死亡時賠付的壽險精算現(xiàn)值n定期壽險：n終身壽險： n兩全保險：1:0ntx ntxx tApdt0txtxx txApdtiA11111:(1)x nx nx nx nx nx nx nAAAiiAAAA（死亡均勻分布假設下）（死亡均勻分布假設下）119死亡時賠付的壽險精算現(xiàn)值n終身遞增壽險：nn 年定期的死亡時賠付標準遞增壽險： nn 年標準遞減的死亡時賠付壽險：()()xxiIAIA11:()()x

38、nx niIAIA（死亡均勻分布假設下）11:()()xnxniDADA（死亡均勻分布假設下）（死亡均勻分布假設下）120關于 的計算n死亡時給付的壽險相當于把死亡發(fā)生年劃分成m 個相等的部分，在死亡發(fā)生的那個部分的期末給付，并對m 趨于無窮大取極限。若以 表示在死亡發(fā)生的那個m 部分末給付1 單位元的終身壽險現(xiàn)值，則，121遞推公式n壽險現(xiàn)值的遞推公式給出了相鄰年齡上壽險現(xiàn)值的關系，為壽險現(xiàn)值的計算提供了一種工具，也有利于深入理解壽險現(xiàn)值的意義。n對死亡年末賠付的1 單位元的終身壽險，有，122第六章 生存年金123生存年金產品n生存年金是以年金方式在被保險人生存期內的一系列給付，保險費通常

39、采取在投保時一次性繳付的躉繳方式或者在一定時期內的均衡繳付的方式。n生存年金形式：n即期年金（immediate annuities）n延期年金(deferred annuities)n定期確定的生存年金n指數化年金n聯(lián)合生存年金124生存年金精算現(xiàn)值 n純生存保險純生存保險：在約定的保險期滿時，如果被保險人存活將得到規(guī)定的保險金額的保險。 n【例6.1】李明今年20歲，如果他能活到60歲，將能從保險公司得到1 000元的一次性給付。設利率i=6%，試寫出這筆給付在李明20歲時的現(xiàn)值。 1:nxA125解：解：李明從20歲活到60歲的概率是 ，他在60歲獲得這筆給付的期望值是：純生存保險402

40、04020402010000 (1)1000ppp 4020p40402010001.06p這筆給付在李明20歲時的現(xiàn)值通過利率折現(xiàn)得到：60402020877 6710.89195983 992lpl根據附表中國人壽保險業(yè)經驗生命表（19901993年）（男女混合表）的資料得，l20 =983 992，l40=877 671，可以計算得, 所以，這筆給付的現(xiàn)值是：1 0000.891951.06-40=86.72（元）。126一般地：假設某人 x歲時開始投保，經過n年后如果仍然存活將得到k單位元的保險金，（x）存活n年的概率為 ，得到給付金的期望現(xiàn)值為：表明現(xiàn)在x歲的人有l(wèi)x個，每人存入 元

41、，到年末在利率i的作用下，形成的資金正好滿足n年末存活的人每人1元的給付。 以 表示1單位單位元元n年純粹生存保險現(xiàn)值年純粹生存保險現(xiàn)值，即 純生存保險nxpnxnnxnqpk0nxE1: xnA10nnnnxnxnxnxEvpvqvp (1)nxnxx nlEilnxE變換上式得，127與在復利下的現(xiàn)值系數vt和累積系數(1+i)t的作用類似，nEx是在利率和生者利下n年的折現(xiàn)系數， 為在利率和生者利下n年的累積系數。 純生存保險1nxE11(1)nxnxnnxx nlpiElnxxxnllp1它是利率累積因子(1+i)t與生存累積因子之積。128年付一次生存年金的精算現(xiàn)值n定義：生存年金生

42、存年金是以生存為條件發(fā)生給付的年金。如果被保險人在規(guī)定的時期內存活，則發(fā)生年金的收付，否則，停止收付。n一般類型：終身年金、定期年金、延期年金129終身生存年金n【例6.3】 張華今年30歲，從今年起，只要他存活，可以每年年初獲得1000元的給付。計算這一年金的精算現(xiàn)值。12302303001 000+1 0001.091 0001.09=1 0001.09kkkppp解：解： 代入相應的存活概率和利率，就可以計算出這一年金的精算現(xiàn)值。130期首付終身生存年金12001kxxxkxkxkkaEEEp 一般地，對(x)的每年1單位元期首終身生存年金，其精算現(xiàn)值以表示，它是一系列保險期逐步延長的純

43、粹生存保險之和，如下圖所示：其中， 0Ex=1，求和上限實際是-x-1，為方便通常寫成。xa 131期末付終身生存年金1kxkxEa對（x）每年1單位元期末付終身年金，如下圖所示：其精算現(xiàn)值以ax表示： 132定期生存年金nxa: 1xx n:0 xNNDnkxx nkaEx 1x n 1:1xNNDnkxx nkaE n一般地，對（x）的每年1單位元n年定期期首付生存年金，精算現(xiàn)值以 表示， n類似地，對(x)的每年1單位元n年定期期末付生存年金精算現(xiàn)值為：133對（x）的n年延期每年1單位元延期期首付年金的精算現(xiàn)值以延期生存年金xna xxNDxkxnk naExnnxxaaa :nxxn

44、xnaEa n年延期生存年金年延期生存年金: 從計算時點起延遲n年開始收付的生存年金表示。根據定義,顯然，134延期生存年金1nkxkxnEaxnnxxaaa:nxxnxnaEan年延期的期末付終身生存年金現(xiàn)值為：同樣地， 135延期定期生存年金延期定期生存年金：延期年金和定期年金的一種組合形式。對(x)的n年延期m年定期每年1單位元期首付生存年金，是從x+n 起到x+n+m-1的生存年金。其支付情況下圖所示：其精算現(xiàn)值以 或 表示，根據定義,延期定期生存年金xmna :nx ma 1mnnkxkxmnEa 136對(x)的n年延期m年定期每年1單位元期末付生存期末付生存年金年金，是從x+n+

45、1 起到x+n+m的生存年金。其精算現(xiàn)值以延期定期生存年金xmna:nx mamnnkxkxmnEa1或 表示，根據定義： 137期首付年金和期末付年金精算現(xiàn)值的關系式。1xxaa xnnxnxEaa:1 1:1nxnxaa xnxnxnEaa xnxnaa1 xmnxmnaa1 延期定期生存年金138連續(xù)生存年金給付現(xiàn)值n終身連續(xù)生存年金n定期連續(xù)生存年金139連續(xù)生存年金給付現(xiàn)值n延期連續(xù)生存年金n延期定期連續(xù)生存年金140生存年金與壽險的關系141n背景背景：實踐中年金常常是每半年、一季度或一個月支付一次，由于生命表不直接提供非整數年齡的存活概率和死亡概率，必須在一定的假設下近似計算。

46、對（x）的每年給付1元，一年給付m次的期首付終身生存年金，其精算現(xiàn)值以 表示，這一年金在每個 (k=0,1,2,)上收付1/m，直到被保險人死亡為止。年付m次生存年金)(mxa kxm00)(11kxmkmkkxmkmxpmEma 142近似公式()12mxxmmaa()12mxxmmaa()12nxmxxnnmEmaa()12nxmxxnnmEmaan對（x）的每年1單位元，每次1/m的期末付的終身生存年金精算現(xiàn)值n對（x）的n年延期每年1單位元，一年m次收付的期末付生存年金精算現(xiàn)值n對（x）的n年延期每年1單位元一年m次收付的期末付生存年金精算現(xiàn)值n對（x）的每年1單位元，每次1/m的期首

47、付的終身生存年金精算現(xiàn)值143近似公式)1 (21:)(:xnnxmnxEmmaa)1 (21:)(:xnnxmnxEmmaa n對（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算現(xiàn)值為：n對（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算現(xiàn)值為：144當 時，上面的年金稱為終身變額年金。n變額年金變額年金：年金收付的數額隨給付時期的不同而變動。n變額年金的精算現(xiàn)值是一系列收付款在利率和生者利下現(xiàn)值之和。如果對(x)的n年定期生存年金，給付額在年齡x，x+1，x+n-1上分別為 ，則精算現(xiàn)值（Actuarial Present Value，簡記為 APV）為，變額生存年金11,nxxxbbb1)(nxxyxx

48、yxyyxpbAPVxn145n一年給付m次，期首付變額年金精算現(xiàn)值：n一年給付m次，期末付變額年金精算現(xiàn)值：變額生存年金1():1()x nmy xxyy xxyy xAPVbap 1():1()x nmy xxyy xxyy xAPVbap 146如果年金收付額 系列為1，2，3 等差遞增，這一年金稱為標準等差遞增年金，對終身期首付標準遞增年金，其精算現(xiàn)值用 表示，如下圖所示：等差遞增生存年金ybxaI )( 0) 1()(kxkkxpkaI 147n期末付終身標準遞增年金精算現(xiàn)值，n期首付n年定期標準等差遞增年金精算現(xiàn)值n期末付n年定期標準等差遞增年金精算現(xiàn)值等差遞增生存年金1)(kxk

49、kxpkIa1-n0:) 1()(kxkknxpkaI nkxkknxpkIa1:)( 148等差遞增生存年金0 xx ttSN1111121100()txtxtttttxtxtxtttxxxx kxxkkkxxIatvpvpvpvpaaaNSaDD 為了得出數字結果，引入轉換函數，設有，149當變額年金收付額 系列為n，n-1， 1等差遞減時，這時期首付的年金現(xiàn)值以 表示，如下圖所示：等差遞減生存年金 ybnxaD:)( 1-n0:)-()(kxkknxpknaD n1:)-()(kxkknxpknDa期末付的年金現(xiàn)值150設 ，即 上式成為，n實踐中，某些給付確定型養(yǎng)老金計劃和社會養(yǎng)老保險

50、的收付額等比例遞增，這種等比例遞增的年金精算現(xiàn)值有一個簡化計算公式。n如果對(x)的n年定期期首付生存年金，給付額在年齡x，x+1，x+n-1上分別為b，b(1+g)，b(1+g)2，b(1+g)n-1，其精算現(xiàn)值為，1)1 ()(nxxyxxyxyxyxpgbAPVjg11)1 (ggij1jnxnxxyxxyxyxabpbAPV:1)()( （這是一個以利率j計算的給付額為b的確定年金的精算現(xiàn)值）等比例變額生存年金151生存年金遞推公式n可見，對(x)的終身生存年金的躉繳凈保費，等于永續(xù)年金與一系列逐年因死亡不能得到的將來年金部分之差。152第七章 保險費153總保費與凈保費的意義n保險產

51、品的出售價格就是購買保險必須繳付的總保費，或簡稱保費。理論上，保險產品的總保費可以分為性質不同的兩部分，一部分是作為保險金給付來源的保費，稱為凈保費或純保費另一部分是作為保險公司補償費用支出并獲得一定利潤的保費，稱為附加保費。154n設保險金的現(xiàn)值為A，每次凈保費為P，每次1單位的生存年金現(xiàn)值為 ，有：均衡凈保費 a a A=P155一般地，對(x)的1單位元n年定期壽險，保險金在死亡年末賠付，如保險費在t年內繳清(tn)，這時，年繳凈保費用 表示，由收支平衡關系式，有，nxtP:1當繳費期與保險期限相等時，用 表示年繳凈保費，定期壽險年繳凈保費 txnxnxtaAP:11 nxP:111:x

52、 nx nx nAPa156txnxnxtaAAP:11)( nxtPi:111:()x nx nx nAP AanxPi:1凈保費若保險金在被保險人死亡時賠付，t年限期繳費的年繳凈保費以 表示，（在死亡均勻分布假設下） 當t=n時，以 表示年繳凈保費， （在死亡均勻分布假設下） )(:1nxtAP)(:1nxAP157對(x)的死亡年末賠付1單位元終身壽險，如果規(guī)定保費每年一次終身繳付，這時保險費的現(xiàn)值是終身生存年金精算現(xiàn)值，以Px表示這一保險的年繳均衡凈保費，有，終身壽險年繳凈保費xxxAaP xxxaAP 158n死亡時賠付年繳凈保費nn年繳清保費、1元死亡年末賠付終身壽險的年繳凈保費n

53、n年繳清保費、1元死亡時賠付終身壽險的年繳凈保費終身壽險年繳凈保費()xxxxAiP APanxxxnaAP: :()xxnnxx nAiP APa（在死亡均勻分布假設下）實踐中，終身壽險往往采取在n年內繳費的方式。繳費期越多，保險公司收回成本的時間越短，相應的風險就越低。（在死亡均勻分布假設下）159當t=n時，年繳凈保費以 表示，有，采取定期壽險和終身壽險相同的計算方法，很容易給出兩全保險的年繳凈保費計算公式。對(x)的1單位元n年定期兩全保險，如果死亡賠付在死亡年年末，保費在t年內每年一次、均衡繳付，tn，這時，年繳凈保費以 表示。兩全保險年繳凈保費 nxtP:txnxnxtaAP: n

54、xP:nxnxnxaAP: 160兩全保險年繳凈保費txnxnxtaAAP:)( nxnxnxaAAP:)( txnxnxtaAP:11 nt年繳清死亡時賠付兩全保險的年繳凈保費n在上式中，當t=n時的年繳凈保費nn年1元純粹生存保險，t年繳清的年繳凈保費161對（x）的n年延期生存年金，若年金每年支付一次，每次1單位元，保費在t年內繳清(tn)。年繳均衡凈保費以 表示，按照保險金支付與凈保費收入的平衡關系，有，延期年金年繳凈保費 )(xntaP txxnxntaaaP:)( 162表示每年分次等額繳費的年繳凈保費年繳凈保費， 表示每年元繳付次的年金現(xiàn)值，表示保險金現(xiàn)值，以收支平衡原則，有，如

55、果保費每半年、一季、一月等繳付一次，這時未來凈保費現(xiàn)值是一個一年多次收付的生存年金現(xiàn)值。如果以一年多次繳費的凈保費 )(mP)(ma AaPmm)()( )()(mmaAP 163一年次繳費凈保費計算公式 164一年次繳費凈保費計算公式 165一年多次繳費的凈保費n期首期首支付，一年m次繳費的延期生存年金延期生存年金，年繳凈保費：n期末期末支付，一年m次繳費的延期生存年金延期生存年金，年繳凈保費：)(:)()(mnxxnxnmaaap )(:)()(mnxxnxnmaaap 166退還保費保單的凈保費n【例7.10】對(x)的n 年定期壽險，如果被保險人在保險期內死亡，除了賠付10 000 元

56、外，還退還過去已繳凈保費的累積，假設保險賠付在死亡年年末，保險費每年繳付一次，n年付清。計算下面兩種情況下的年繳均衡凈保費。n(1)退還的保費部分不計利息。n(2)退還的保費部分以不同于保單預定利率i 的利率j 復利累計。n(3)退還的保費部分以保單定價預定利率復利累計。167例題解答n(1) 設每年的凈保費為P，如果退還的保費不計息，這時，在被保險人死亡年年末退還的保費部分是過去已繳凈保費的累加，其給付以被保險人死亡為條件，故，構成一個定期遞增的壽險，其收支平衡公式為，168例題解答n(2) 如果退還的保費部分以利率j 計息，退還保費部分的給付額是一個隨被保險人死亡時間變動的年金終值。即，

57、，其現(xiàn)值變量為，169例題解答n(3) 如果退還保費的累積利率等于預定利率，這時在(2)中的E(w)成為，170總保費n在保險精算實務中，傳統(tǒng)的總保費計算方法是將總保費分解為凈保費和附加保費兩部分，在凈保費上，加上補償費用和預防不利偏差的附加保費，形成總保費，這種方法稱為凈保費加成法。隨著精算技術和計算機技術的發(fā)展，考慮更多未來變動因素的現(xiàn)金流量定價法開始使用，在這種方法下，保費不需要分解為凈保費和附加保費，而是按照滿足未來賠付或給付、費用、退保、稅金、紅利等所有可能支出并獲得合理利潤的原則下，根據對未來現(xiàn)金流量的預測確定。171凈保費加成法n固定比例法固定比例法n變動比例法變動比例法n三元素

58、法三元素法172現(xiàn)金流量法n現(xiàn)金流量法是通過對一組保單未來保單年度預期收入和預期支出的估計，研究保單組隨被保險人死亡、退保、分紅、滿期等的過程，在一定的定價策略和利潤目標下，給出保單的定價。在現(xiàn)金流量方法下，對一個保單組，年度收入為保單組的所有保費收入和投資收入，年度支出包括保險賠付、費用、退保、滿期給付、紅利、準備金增加額等，年度利潤就是年度收入與年度支出的差。這樣，n利潤利潤= 保費保費+投資收入投資收入 費用賠付支出退保支出紅利準備金增加費用賠付支出退保支出紅利準備金增加173第八章 責任準備金174準備金的意義n準備金(reserve)：為將來某項支出而預先留存的儲備金，是將來給付支出

59、現(xiàn)值與將來凈保費收入現(xiàn)值之差。 n準備金數額由準備金計算方法、相關的保險法律、法規(guī)、會計實務標準等決定。在保險實踐中，給付準備金的積累保證了保險公司的到期償付能力。 175準備金的種類 n償付能力準備金(Solvency Reserves) ：為評估保險公司的償付能力而計算的準備金。 n收入準備金(Earnings Reserves) ：為評估收入和盈利而計算的準備金。(收益=保費收入+投資收入賠付支出展業(yè)費用維持費用準備金提存)n稅收準備金(Tax Reserves) ：為評估應稅收入或應稅收益而計算的準備金。 176凈保費責任準備金計算方法n未來法（prospective method）

60、：責任準備金是保險人未來的凈責任，用未來給付現(xiàn)值減去未來凈保費現(xiàn)值來衡量。n過去法（retrospective method） ：責任準備金是保險人過去凈保費收入大于賠付支出的部分，用過去凈保費終值減去過去給付的保險金終值計算。 177將來法引例8.1 假如有100個40歲的人同時投保1 000元5年定期壽險，保費在5年內均衡繳付。設預定利率為6，預定死亡率采用CL 90-93表數據，保費繳付在保單年初，保險賠付在保單年末，不考慮費用、退保和分紅等。計算未來5年的預期凈保費收入和預期賠付支出。178解答人均年繳均衡凈保費為，預期凈保費收入、預期賠付支出，如下表所示，404540451460.7