周益春-材料固體力學(xué)課后習(xí)題解答(共87頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章習(xí)題1 證明恒等式證明習(xí)題2 證明若，則證明 ，又因?yàn)樗械闹笜?biāo)都是啞指標(biāo)，所以，即習(xí)題3 已知某一點(diǎn)的應(yīng)力分量，不為零，而，試求過該點(diǎn)和z軸，與x軸夾角為的面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。解 如圖1.1，過該點(diǎn)和z軸，與x軸夾角為的面的法線，其與x軸，y軸和z軸的方向余弦分別為cos，sin，0，則由斜面應(yīng)力公式的分量表達(dá)式，可求得該面上的應(yīng)力為 由斜面正應(yīng)力表達(dá)式，可求得正應(yīng)力為？剪應(yīng)力為習(xí)題4 如已知物體的表面由確定，沿物體表面作用著與其外法線方向一致分布載荷。試寫出其邊界條件。解 物體表面外表面法線的方向余弦為帶入應(yīng)力邊界條件，得習(xí)題5 已知某點(diǎn)以直角坐標(biāo)表示的應(yīng)

2、力分量為，試求該點(diǎn)以柱坐標(biāo)表示的應(yīng)力分量。解 如圖1.2，兩個坐標(biāo)軸之間的方向余弦如下表所示：xyzrcossin0-sincos0z001 注意由應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式，求得利用三角公式可將上面的式子改寫為習(xí)題6 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由應(yīng)力張量給定，式中，為常數(shù)，是某應(yīng)力值，求常數(shù)，以使八面體面上的應(yīng)力張量為零解 由斜面應(yīng)力公式的分量表達(dá)式，知八面體面上應(yīng)力張量為零需滿足如下方程組：解得習(xí)題7 證明（1）應(yīng)力的三個主方向互相垂直；（2）三個主應(yīng)力，必為實(shí)根證明 （1）設(shè)任意兩個不同的主應(yīng)力為、，對應(yīng)的主方向?yàn)?、。根?jù)主應(yīng)力定義有：， 將以上兩式分別點(diǎn)乘和再相減，得是對稱應(yīng)力張量，上式可改寫為所以應(yīng)力的三

3、個主方向互相垂直（2）設(shè)任意兩個不同的主應(yīng)力為、，對應(yīng)的主方向?yàn)?、若為?fù)數(shù)，則為其共軛復(fù)數(shù)，從而方向余弦、互為共軛 與主方向相互垂直矛盾所以三個主應(yīng)力必為實(shí)數(shù)習(xí)題8 證明球形應(yīng)力張量在任意斜面上的剪應(yīng)力為零，且正應(yīng)力為證明 球形應(yīng)力張量，設(shè)任意斜面的方向余弦為由斜面應(yīng)力公式 ，得由斜面正應(yīng)力公式 ，得由斜面剪應(yīng)力公式，得習(xí)題9 求應(yīng)力偏量張量的不變量解 應(yīng)力張量可分解為球形應(yīng)力張量和應(yīng)力偏量張量，應(yīng)力偏量張量，其主應(yīng)力方程為，即上述方程存在非零解的必要條件是系數(shù)行列式為零，即得到關(guān)于的三次代數(shù)方程，其中，和分別為應(yīng)力偏量張量的第一、第二、第三不變量設(shè)，和為應(yīng)力偏量張量的三個主值，則習(xí)題11 設(shè)

4、為二階對稱張量，證明由導(dǎo)出的應(yīng)力一定滿足無體力的平衡方程證明    又關(guān)于，反對稱，關(guān)于，對稱，即滿足無體力的平衡方程，忽略體力下的平衡微分方程習(xí)題12 已知直角坐標(biāo)系中各點(diǎn)的應(yīng)力張量，試求體積力分量解 根據(jù)平衡微分方程，得 對誰偏導(dǎo)的問題得體積力分量為習(xí)題13 如圖1.3所示的三角形截面水壩，材料的比重為，承受著比重為液體的壓力，已求得應(yīng)力解為，試根據(jù)直邊及斜邊上的表面條件確定系數(shù),和解 如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系水壩左側(cè)表面法線的方向余弦為，受外力的作用根據(jù)應(yīng)力邊界條件，在處水壩右側(cè)表面法線的方向余弦為，受外力的作用根據(jù)應(yīng)力邊界條件，在處由上述兩個方程組，得 外力是如

5、何確定的習(xí)題14 如圖1.4所示的三角形截面水壩，其左側(cè)作用著比重為的液體，右側(cè)為自由表面，試寫出以應(yīng)力分量表示的邊界條件。解 如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系水壩左側(cè)表面法線的方向余弦為，受外力的作用根據(jù)應(yīng)力邊界條件，在處水壩右側(cè)表面法線的方向余弦為，受外力的作用根據(jù)應(yīng)力邊界條件，在處第二章習(xí)題1 初始時刻位于的質(zhì)點(diǎn)在某時刻的位置為，其中，求格林應(yīng)變張量的分量。解 采用拉格朗日描述法，得由格林應(yīng)變張量，得習(xí)題2 證明是二階對稱張量的分量，而不是任何張量的分量。證明 （1） ，顯然可得其對稱性對于笛卡爾直角坐標(biāo)系和，各坐標(biāo)軸之間的方向余弦如下表由彈性力學(xué)理論知，恰與張量定義相吻合，是二階對稱張量的

6、分量（2）設(shè)有一剪應(yīng)變張量，其分量取任一矢量，則，但不能縮并為，與假設(shè)是張量矛盾。根據(jù)張量的商判則，不是任何張量的分量。習(xí)題3 為求平面應(yīng)變分量、，將電阻應(yīng)變片分別貼在方向，與成和方向上，測得應(yīng)變值以、表示，試求、解 平面應(yīng)變狀態(tài)下，沿方向，與成和方向上的方向余弦分別為根據(jù)方向線元的工程正應(yīng)變公式，得求得習(xí)題4 假設(shè)體積不可壓縮位移與很小，在一定區(qū)域內(nèi)已知，其中，為常數(shù)，求。解 題目條件適用小變形，得體積不可壓縮， 即習(xí)題5 在平面應(yīng)變狀態(tài)下，使用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)中應(yīng)變分量、位移分量的轉(zhuǎn)換公式，寫出在極坐標(biāo)中的應(yīng)變和位移的關(guān)系式。解 在平面應(yīng)變狀態(tài)下，由應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換公式，得 （1）代入，即 （

7、2） （3） （4）因此， （5） （6）將式（2）-（6）代入式（1），得平面應(yīng)變狀態(tài)下，極坐標(biāo)中的應(yīng)變和位移的關(guān)系式：習(xí)題7 證明由下式確定的應(yīng)變恒滿足變形協(xié)調(diào)方程，。證明 對于單值連續(xù)位移場，并存在三階以上連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時，偏導(dǎo)數(shù)的值與求導(dǎo)順序無關(guān)關(guān)于，對稱；關(guān)于，對稱對于排列符號關(guān)于，反對稱；關(guān)于，反對稱即應(yīng)變恒滿足變形協(xié)調(diào)方程，習(xí)題8 假定物體被加熱至定常溫度場時，應(yīng)變分量為；，其中為線膨脹系數(shù)，試根據(jù)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程確定溫度場的函數(shù)形式。解 由應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，得又定常溫度場應(yīng)滿足拉普拉斯方程，故的函數(shù)形式中不應(yīng)含有高于或等于2次的項(xiàng)溫度場的函數(shù)形式為其中，和均為常數(shù)。習(xí)題9 試導(dǎo)出平面應(yīng)變軸

8、對稱情況下的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程解 軸對稱平面應(yīng)變情況下，應(yīng)變分量為因此，平面應(yīng)變軸對稱情況下的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程為習(xí)題10 在某一平面軸對稱變形情況下，軸向應(yīng)變?yōu)槌?shù)，試確定其余兩個應(yīng)變分量和的表達(dá)式（材料是不可壓縮的）解 平面軸對稱情況下，變形協(xié)調(diào)條件為：當(dāng)材料不可壓縮時，體積應(yīng)變?yōu)榱?，即，代入上式，得解得，式中，C是右邊界條件確定的常數(shù)習(xí)題11 試問什么類型的曲面在均勻變形后會變成球面。解 均勻變形狀態(tài)可表示為其中，為常量設(shè)均勻變形前的坐標(biāo)為，則變形后的坐標(biāo)為曲面在均勻變形后變成球面，即略去剛體位移，當(dāng)、為主軸時，變形前的坐標(biāo)滿足變形前半軸為，的橢球面在均勻變形后會變成球面。特別的，當(dāng)時，表示球面均勻

9、變形后仍為球面。習(xí)題12 若物體內(nèi)各點(diǎn)的位移分量為，其中，均是常數(shù)。試證明，物體內(nèi)所有各點(diǎn)的應(yīng)變分量為常數(shù)（這種變形狀態(tài)稱為均勻變形），并分別證明在均勻變形后的物體內(nèi)有：（1）直線在變形后仍然是直線；（2）相同方向的直線按同樣的比例伸縮；證明 由位移分量求得物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變分量為 （1）即物體內(nèi)所有各點(diǎn)的應(yīng)變分量為常數(shù)（均勻變形）（1）若物體內(nèi)任意一點(diǎn)，變形后變?yōu)樽鴺?biāo)和之間的關(guān)系為 （2）變形前，直線上的點(diǎn)，和滿足 （3）將式（3）代入式（2），并整理，得 （4）式（4）表明直線在均勻變形后仍然是直線（2）變形前連接兩點(diǎn)，的直線長度為，方向余弦為、，變形后的兩對應(yīng)點(diǎn)，的直線長度為，方向余弦為、

10、（圖2.1）將式（2）代入上式，得 （5）將上式兩端除以，得 （7）而 （6）對于方向相同的直線，具有相等的方向余弦、，在均勻變形情況下，由式（6）和（7），知為常數(shù)。即相同方向的直線按同樣的比例伸縮；習(xí)題13 物體的位移對稱于坐標(biāo)原點(diǎn)，試用球坐標(biāo)和笛卡兒坐標(biāo)表示位移分量和應(yīng)變分量。解 位移對稱于坐標(biāo)原點(diǎn)，則任意一點(diǎn)的位移沿半徑向量的方向，并且只是的函數(shù)，其余位移。（1）由球坐標(biāo)系中的應(yīng)變-位移關(guān)系，得（2）笛卡兒坐標(biāo)中式中，因此，由，得-第三章 彈性本構(gòu)關(guān)系和彈性問題的求解習(xí)題習(xí)題1、試?yán)酶飨虍愋岳硐霃椥泽w的廣義虎克定律導(dǎo)出：在什么條件下，理想彈性體中的主應(yīng)力方向和主應(yīng)變方向相重合？解：各

11、向異性理想彈性體的廣義虎克定律為： （a）當(dāng)時，三個互相垂直的應(yīng)力方向?yàn)橹鲬?yīng)力方向。當(dāng)時，三個互相垂直的應(yīng)變方向?yàn)橹鲬?yīng)變方向。在主應(yīng)變方向上，剪應(yīng)力分量為： （b）若使，則式中，具有非零解的條件為 （c）上式即為x，y，z軸同時為應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸的條件。如果材料性能對稱于一個平面，如Oxy平面，則，而且，此時（c）式恒等于零。在此情況下，當(dāng)存在以x，y，z軸為主方向的應(yīng)變狀態(tài)時，其對應(yīng)的剪應(yīng)力分量將成為 （d）若應(yīng)變分量之間滿足，則此點(diǎn)的應(yīng)變主方向和應(yīng)力主方向重合。如果材料性能對稱于Oxy，Oyz，Ozx三個平面，則有，此時（d）式總是滿足的。由此可知，當(dāng)x，y，z軸為應(yīng)變的主方向時，也必定

12、為應(yīng)力的主方向。但是，當(dāng)應(yīng)變主方向和正交軸不重合時，一般它與應(yīng)力的主方向是不重合的。對于各向同性彈性體，不需要任何補(bǔ)充條件，應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向總是重合的。習(xí)題2、對于各向同性彈性體，試導(dǎo)出正應(yīng)力之差和正應(yīng)變之差的關(guān)系式。且進(jìn)一步證明：當(dāng)其主應(yīng)力的大小順序?yàn)闀r，其主應(yīng)變的排列順序?yàn)?。解：各向同性條件下的廣義虎克定律為 將上式中的（1）（2），（2）（3），（3）（1）分別得：即證明：當(dāng)其主應(yīng)力的大小順序?yàn)闀r，其主應(yīng)變的排列順序?yàn)?。且，利用上述正?yīng)力之差和正應(yīng)變之差的關(guān)系式有。習(xí)題3、將某一小的物體放入高壓容器內(nèi)，在靜水壓力作用下，測得體積應(yīng)變，若泊松比=0.3，試求該物體的彈性模量。解：設(shè)為

13、第一應(yīng)力不變量，而，據(jù)各向同性條件下的廣義虎克定律為有：，其中體積應(yīng)變，故有 。 習(xí)題4、在各向同性柱狀彈性體的軸向施加均勻壓力，且橫向變形完全被限制?。ㄈ鐖D所示）。試求應(yīng)力與應(yīng)變的比值（稱為名義楊氏模量，以表示）。解：設(shè)柱體的軸線z軸，。因?yàn)闄M向變形被限制， 所以。據(jù)各向同性條件下的廣義虎克定律圖3-1 得：，將此兩式相減得：，而泊松比的理論取值范圍為，故，將其代入廣義虎克定律得： 從而，得解。習(xí)題5、在某點(diǎn)測得正應(yīng)變的同時，也測得與它成60。和90。方向上的正應(yīng)變，其值分別為，試求該點(diǎn)的主應(yīng)變、最大剪應(yīng)變和主應(yīng)力（，）。解：設(shè)該點(diǎn)的x，y軸向的正應(yīng)變分別為，剪應(yīng)變?yōu)?。任意方向（為與x軸正向

14、的夾角）上的正應(yīng)變?yōu)椋?，所以，解由此三式組成的方程組得該點(diǎn)的，和分別為：,。（1）計(jì)算該點(diǎn)的主應(yīng)變：由、 、和得該點(diǎn)的主應(yīng)變?yōu)椋?，。?）該點(diǎn)的最大剪應(yīng)變。（3）計(jì)算該點(diǎn)的主應(yīng)力：現(xiàn)、，據(jù)向同性條件下的廣義虎克定律得 ，即，所以將、及、代入上面三式得：,。習(xí)題6、根據(jù)彈性應(yīng)變能理論的應(yīng)變能公式，導(dǎo)出材料力學(xué)中桿件拉伸、彎曲及圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)變能公式分別為：。解：（1）桿件拉伸的應(yīng)變能公式推導(dǎo)：設(shè)桿件橫截面積為，彈性模量為，如圖建立坐標(biāo)系。桿件為單向拉伸，只存在軸向的伸長或縮短，軸向纖維間無剪切變形，即。同時軸向纖維間無相互作用力，即。據(jù)彈性應(yīng)變能理論的應(yīng)變能公式（其余分量產(chǎn)生的應(yīng)變能為零）。O圖3

15、-2現(xiàn)在桿件上x處取一微段dx，其體積為，其應(yīng)變能,而整個桿件的拉伸應(yīng)變能為： 而，故 整個桿件的拉伸應(yīng)變能為：（2）桿件彎曲的應(yīng)變能公式的推導(dǎo)：在材料力學(xué)中桿件在外力作用下發(fā)生純彎曲，僅軸向纖維發(fā)生拉伸或壓縮變形（其中中性層以內(nèi)的纖維層受壓縮，中興層以外的纖維層伸長），而軸向纖維之間無相互作用的內(nèi)力，即和。在桿件上沿軸向去取一微段，在此微段的橫截面上取一個微面，在上的應(yīng)力可為相同的，而。，。故，其中只與x有關(guān)。桿件彎曲的撓度為，撓度曲線的曲率為（3）圓軸扭轉(zhuǎn)的變形能公式推導(dǎo)：設(shè)圓軸的軸向?yàn)閦軸。在材料力學(xué)中，圓軸扭轉(zhuǎn)變形后，其橫截面仍為平面，半徑仍為直線，且沿z軸相鄰兩截面的距離不變，故有，

16、。在圓軸軸向z處取一微段，在微段的橫截面（圓截面）上的半徑處取一微面積，上的應(yīng)力可為相同的，那么。據(jù)平衡方程有：而，故，令。，而，故，只與z有關(guān)，即 。習(xí)題7、試推導(dǎo)體積變形應(yīng)變能密度及畸變應(yīng)變能密度的公式分別為：解：應(yīng)變張量可分為球形應(yīng)變張量和應(yīng)變偏量張量之和：，即。其中球形應(yīng)變張量表示體積變形（體積的等向收縮或膨脹），不產(chǎn)生形狀畸變，它由球形應(yīng)力張量所引起，僅產(chǎn)生體積變形應(yīng)變能；而應(yīng)變偏量張量表示形狀畸變，不產(chǎn)生體積變形，它由應(yīng)力偏量張量所引起，僅產(chǎn)生畸變應(yīng)變能。應(yīng)力張量可分為球形應(yīng)力張量和應(yīng)力偏量張量之和：，即，變形應(yīng)變能密度分為體積變形應(yīng)變能密度與畸變應(yīng)變能密度之和，即 其中，。所以無

17、論如何有： ，故 。據(jù)虎克定律有： ，。據(jù)虎克定律有：，習(xí)題8、如圖所示結(jié)構(gòu)，梁AB在A處固支，長為l，截面積為F1，截面慣性矩為I。桿BC在B處與梁鉸接，截面積為F2，。材料彈性模量為E，B點(diǎn)受載荷P的作用，設(shè)梁的壓縮量為，撓度曲線為，和a均為待定的變形參數(shù)?？紤]桿BC的拉伸及梁AB的壓縮與彎曲，用最小勢能原理求B點(diǎn)的水平和垂直位移。l-圖3-3解：梁AB被壓縮，其變形能為。桿BC被拉伸,其變形能為。其中，。梁AB的撓度曲線為，其彎曲變形能為外力功為：?？倓菽転閾?jù)最小勢能原理：，其中可以取任何值，。B點(diǎn)的垂直位移為，水平位移為。習(xí)題9、如圖所示，簡支梁長為l，抗彎剛度為EI，中點(diǎn)受P力作用，

18、支座之間有彈性介質(zhì)支承，其彈性系數(shù)為k（即每單位長介質(zhì)對撓度提供的支反力）。設(shè)撓度曲線為，試分別用李茲法和迦遼金法求梁中點(diǎn)B的撓度。圖3-4解：（1）用李茲法求梁中點(diǎn)B的撓度：撓度曲線為 ，滿足A，C兩點(diǎn)的邊界條件。簡支梁的變形能為：。中點(diǎn)B處彈性支承的反力，彈性支承的變形能為：總變形能為：。外力功為：，總勢能為：，按李茲法有：， ，。（2）用迦遼金法求梁中點(diǎn)B的撓度：將撓度曲線代入y向平衡方程得：，將其代入迦遼金方法的積分式中得：即習(xí)題10、試用李茲法求如圖所示的一端固定、一端自由的壓桿臨界載荷，設(shè)該壓桿的長度圖3-5為l，抗彎剛度為EI（常數(shù)），其撓度曲線為。解：撓度曲線為可以滿足所要求的

19、邊界條件，壓桿失穩(wěn)后的彎曲應(yīng)變能為外力功，其中d為失穩(wěn)后由彎曲引起壓桿頂端處向下的豎直位移：勢能為：。應(yīng)用李茲法有，如果，此方程雖然是滿足了，但是這表示該壓桿保持直的，根本沒有失穩(wěn)，所以。由此得：，此結(jié)果正好是精確解，這是因?yàn)樗O(shè)的撓度曲線正好是失穩(wěn)后的真實(shí)撓度曲線。習(xí)題11、已知如圖所示的半無限彈性體的界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用，試用位移法求位移及應(yīng)力分量。解：一、求位移函數(shù)用位移法求解時，須求出滿足邊界條件及滿足以位移分量表示的平衡方程組：圖3-6M 其中，?？梢哉业綕M足平衡方程組的兩組特解： （a） （b）上述兩組特解的線性組合可作為通解： （c）其中A1和A2由邊界條件來確

20、定,將其代入由位移表示的應(yīng)力得： （d）在邊界上（z=0面），除外力作用點(diǎn)外，前一條件自然滿足，而后一條件由上式的第四式可得： （e）另外假想過M點(diǎn)作一與邊界面平行的面，將半無限彈性體的上部取出，根據(jù)被取部分Z向平衡條件得： （f）將（d）中的代入（f）得，積分此式得： （g）由式(e)、(g)解得 （h） 將A1，A2代入（c）式得位移函數(shù)為： （I）二、求應(yīng)力分量將A1、A2代回(d)，可得應(yīng)力分量的計(jì)算公式： （j）三、討論：1）以上所得應(yīng)力和位移，當(dāng)R增大時應(yīng)力、應(yīng)變值迅速減小，即帶有局部性質(zhì)。2）當(dāng)時，各應(yīng)力分量都趣于無限大，這是因?yàn)榧僭O(shè)外力集中作用在一點(diǎn)的緣故，實(shí)際上載荷不可能加在

21、一個幾何點(diǎn)上，而是分布在一個小面積上，因此實(shí)際應(yīng)力不會是無限大而是相當(dāng)大甚至已進(jìn)入塑性階段。根據(jù)圣維南原理，只要稍離集中力作用點(diǎn)，以上的應(yīng)力與位移公式仍可認(rèn)為是正確的。3）由(j)式可見，當(dāng)z=0時，在彈性半空間的邊界面上有 （k）這說明，邊界面上各點(diǎn)受到純剪切作用。4）當(dāng)r=0，R=z時，即在z軸上的各點(diǎn)，由(j)式可得(l)式。這說明在z軸上各點(diǎn)受到兩向拉伸、一向壓縮，它的主應(yīng)力為（m）式，以絕對值來比較，比徑向及周向應(yīng)力大得多。以上結(jié)果是研究接觸問題的基礎(chǔ)。 （l） （m）習(xí)題12、試用應(yīng)力函數(shù)求解第11題中半無限彈性體的界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用時的位移及應(yīng)力分量，并求水平

22、邊界面上任意一點(diǎn)的沉陷。解：半無限彈性體的界面上承受垂直于界面的集中力P的作用是一個空間軸對稱問題，所有的物理分量都只是r和z的函數(shù)，與無關(guān)。將上述應(yīng)力函數(shù)代入如下求應(yīng)力分量的公式： (a) 其中 (b)得 （c）在邊界上（z=0面），除外力作用點(diǎn)外，前一條件自然滿足，而后一條件由上式的第四式可得： （d）另外假想過M點(diǎn)作一與邊界面平行的面，將半無限彈性體的上部取出，根據(jù)被取部分Z向平衡條件得： （e）將（c）中的代入（e）式并積分得 （f）式(d)中r為任意值，故只有分子為零，即 (g) 由式(f)、(g) 解得C2和C3，將C2和C3代入式(d)得。然后利用虎克定律求出，根據(jù)求出C1。得應(yīng)

23、力分量為 （h）將（h）式 代入以應(yīng)力分量表示的位移公式求出位移為利用上述位移公式求出水平邊界面上任意一點(diǎn)的沉陷為。習(xí)題13、如圖所示，設(shè)有半空間無限大彈性體，單位體積的質(zhì)量為，在水平邊界面上受均布壓力q的作用，試用位移法求位移分量和應(yīng)力分量（并假設(shè)在z=h處w=0）。解：由于對稱（任意鉛直面都是對稱面）試假設(shè)。這樣就得，。因?yàn)榘肟臻g無限大彈性體體力分量所以上述假設(shè)在x，y向滿足以位移表示的平衡微分方程：圖3-7而在z向的平衡微分方程為，簡化后得 （a）積分后得 （b） （c）其中A和B為積分常數(shù)?，F(xiàn)據(jù)邊界條件來確定A和B。將以上的結(jié)果代入以位移分量表示應(yīng)力的物理方程 （d）得 （e）在邊界面

24、上（z=0面），即，代入（e）式得。再回代（e）式得應(yīng)力分量： （f）并由（c）式得z向位移 （g）為了確定常數(shù)B，必須利用位移邊界條件。由于在z=h處w=0，代入（g）式得。再回代（g）式得位移分量：，至此位移分量和應(yīng)力分量全部求出。習(xí)題14、球形容器的內(nèi)半徑為a，外半徑為b，內(nèi)部作用著壓力為Pi，外部壓力為Pe，試用位移法求其應(yīng)力分量（不計(jì)體力）。解：這是一個空間球?qū)ΨQ問題，體力KR=0，由位移分量表示的球?qū)ΨQ平衡微分方程得微分方程解此微分方程得（其中A，B為積分常數(shù)） （a）將代入以位移分量表示應(yīng)力的物理方程得應(yīng)力分量的表達(dá)式： （b） （c）代入如下邊界條件： 求解A和B得 （d）將(

25、d)式代入(a)式得徑向位移。 （e） 將(d)式代入(b)式和(c)式得徑向正應(yīng)力和切向正應(yīng)力（和就是主應(yīng)力）： 第四章 彈性平面問題的習(xí)題習(xí)題1、已知懸臂梁如圖所示，若梁的正應(yīng)力由材料力學(xué)公式給出，試由平衡方程求出及，并檢驗(yàn)該應(yīng)力分量能否滿足從應(yīng)力分量表示的協(xié)調(diào)方程？圖4-1解： （1）由材料力學(xué)公式求正應(yīng)力：而現(xiàn)在 ，解此微分方程得，其中C1，C0為積分常數(shù)由邊界條件確定如下：， 。 。（2）據(jù)彈性力學(xué)平衡方程求及據(jù)彈性力學(xué)平面問題平衡微分方程，不計(jì)體力，即，得 ，由積分此式得，用邊界條件確定待定函數(shù)：，它也滿足。同時，積分此式得，由邊界條件確定待定函數(shù)。故。（3）驗(yàn)證應(yīng)力分量表示的協(xié)調(diào)

26、方程現(xiàn)在不計(jì)體力，即，應(yīng)力分量應(yīng)滿足，即要求 。而現(xiàn)在。故不能滿足協(xié)調(diào)方程。習(xí)題2、如圖所示簡支梁，承受線性分布載荷，試求應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量（不計(jì)體力） 解： （1）選擇應(yīng)力函數(shù)圖4-2載荷q沿x軸呈線性分布，可斷定沿x軸呈線性分布?？闪?且有邊界條件故，解此微分方程得 。這樣，應(yīng)力函數(shù)沿x軸的變化規(guī)律已定，而待定函數(shù)，只是坐標(biāo)y的函數(shù)。（2）檢驗(yàn)域內(nèi)方程把應(yīng)力函數(shù)代入應(yīng)力協(xié)調(diào)方程（無體力）得，上式對于任意x均要滿足，故x的各次冪的系數(shù)為零，即。解這些微分方程得根據(jù)應(yīng)力函數(shù)的性質(zhì)：艾雷應(yīng)力函數(shù)的系數(shù)可確定到只差一個線性函數(shù)的程度（即艾雷應(yīng)力函數(shù)中的一次函數(shù)項(xiàng)并不影響應(yīng)力分量的大?。?，可令，于是

27、（3）檢驗(yàn)邊界條件，確定待定系數(shù)上下邊界為，據(jù)得，由以上兩式分別相加、減得 （a）又據(jù)上下邊界中對x為任意值有得 （b）將（b）中的第1式加、減第3式得 （c）將（b）中的第3式加、減第4式得 （d） （e）由（a）式中的第2式和（c）式得 由（e）式得 K=0。由（a）式中的第1式得根據(jù)外力平衡得，其中，解此方程得R1和R2：在x=0的端面內(nèi)據(jù)得 （f）由第（d）式和第（f）式得。由，由。綜上得： ，應(yīng)力函數(shù)為。習(xí)題3、已知載荷分布如圖所示，即當(dāng)周期分別為（1），如圖4-3（b）所示。（2） ，如圖4-3（d）所示，且取x的偶函數(shù)。（3） ，如圖4-3（e）所示，且取x的奇函數(shù)。試用傅氏級數(shù)

28、寫出的表達(dá)式，并寫出集中載荷情況下的表達(dá)式。圖4-3解：（1）周期為，如圖4-3（b）所示。首先將y軸平移d，于是在新坐標(biāo)系中，將按傅立葉級數(shù)展開成 其中 （n=0，1，2，） （n=1，2，）于是 ，。，如圖4-3（c）所示，令，且當(dāng)時，即為集中載荷的情形，那么（2）設(shè)，如圖4-3（d）所示，且取x的偶函數(shù)。對原來的載荷進(jìn)行偶性延拓后按傅立葉級數(shù)展開成：，其中 （n=0，1，2，），而 （n=1，2，）于是，令，且當(dāng)時，即為集中載荷的情形，那么（3）設(shè)，如圖4-3（e）所示，且取x的奇函數(shù)。對原來的載荷進(jìn)行奇性延拓后按傅立葉級數(shù)展開成：，其中 （n=0，1，2，），而 （n=1，2，）于是，

29、 ，令，且當(dāng)時，即為集中載荷的情形，那么。圖4-4習(xí)題4、連續(xù)板墻的中間一段如圖所示，試用三角函數(shù)形式的應(yīng)力函數(shù)求其應(yīng)力分量。解：先將y軸平移l，得新坐標(biāo)系XoY，在新坐標(biāo)系XoY下將邊界載荷化為三角函數(shù)形式的，周期為,其中。在連續(xù)板墻的上邊界，即Y=h處，利用第3題中的（2）得兩處集中載荷P作用下的 （a）在連續(xù)板墻的下邊界，即Y=0處，在兩處分布載荷q作用下：，其中 （n=0，1，2，），而 （n=1，2，）于是 ，其中據(jù)外力平衡得。 （b）設(shè)三角級數(shù)式的應(yīng)力函數(shù)和相應(yīng)的應(yīng)力分量為 這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和協(xié)調(diào)方程的?，F(xiàn)在利用邊界條件確定待定常數(shù)。（1）由于板墻的幾何形狀及所受載荷

30、均對稱與YoZ平面，有對任何Y值都成立，于是。所以應(yīng)力函數(shù)為其中。相應(yīng)的應(yīng)力分量是： （c） （d） （e）（2）上、下邊的剪應(yīng)力為零，即得 （f） （g）（3）上邊界正應(yīng)力和（a）式得 （h）（4）下邊界正應(yīng)力和（b）式得 （i）由（f）、（g）、（h）、（i）四式中項(xiàng)和項(xiàng)對應(yīng)的系數(shù)相等（其中）得方程組從上述方程組中解出然后代入（c）、（d）、（e）三式中得到新坐標(biāo)系XoY下的應(yīng)力。再進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：因?yàn)閏遠(yuǎn)小于，可以認(rèn)為，即周期可為2。然后以代入新坐標(biāo)系XoY下的應(yīng)力，將新坐標(biāo)系XoY下的應(yīng)力轉(zhuǎn)化為舊坐標(biāo)系xoy下的應(yīng)力 。習(xí)題5、已知復(fù)應(yīng)力函數(shù)，式中c為實(shí)常數(shù)，試求其所代表的應(yīng)力狀態(tài)。解：

31、設(shè)應(yīng)力函數(shù) 。設(shè)。據(jù)第一、第二應(yīng)力組合公式得 ，所以。它可表示為一個矩形板純彎曲純的應(yīng)力狀態(tài)。如圖4-5所示，設(shè)梁寬為1，其中彎矩圖4-5圖4-6習(xí)題6、如圖4-6所示，無限大板中的一點(diǎn)作用有集中力P，試用復(fù)勢求解板中的應(yīng)力和位移。解：設(shè)，而據(jù)第一應(yīng)力組合。現(xiàn)集中力P作用在坐標(biāo)原點(diǎn)O，而原點(diǎn)O是復(fù)勢的孤立奇點(diǎn)，應(yīng)將原點(diǎn)挖去一個小圓域而形成多連通域。則復(fù)勢應(yīng)為。其中外力。而現(xiàn)在為平面應(yīng)力狀態(tài)，為材料的泊松比。故復(fù)勢 （a）將和代入(a)式得 （b）（1）求應(yīng)力分量在極坐標(biāo)中，。其中A，B由(b)式確定，且。（2）求位移分量位移的復(fù)勢表示為其中A，B由(b)式確定，。習(xí)題7、如圖4-7所示，半徑為

32、a的圓板，在其兩側(cè)相對著的等長弧段上作用著壓應(yīng)力p，試求板中的應(yīng)力。解：這是軸對稱問題，宜采用極坐標(biāo)表示。設(shè)復(fù)應(yīng)力函數(shù)（或復(fù)勢）為，則 （a）圖4-7而應(yīng)力邊界條件為 （b）現(xiàn)在 ，將展開成三角級數(shù)形式得，其中即當(dāng)m為奇數(shù)時，當(dāng)m為偶數(shù)時，。故 （c）即，其它在單連通域中，現(xiàn)在孔邊載荷的合力，復(fù)勢和為單值函數(shù)，有。將展開成級數(shù)得 （d）令，將(c),(d)兩式代入(b)式得兩邊對應(yīng)的項(xiàng)的系數(shù)相等得正冪：m=0時,m=1時, 自然成立。m=2時,的偶數(shù)時, 的奇數(shù)時，負(fù)冪：時 綜上得：，； 故 令，并將上述三式代入(a)式，分離實(shí)部和虛部得圖4-8習(xí)題8、試求如圖所示無窮大板承受純剪切載荷時橢圓

33、孔邊的應(yīng)力。解：采用復(fù)變函數(shù)保角變換方法求解此平面應(yīng)力問題。（一）、選擇變換函數(shù)選擇將橢圓孔外域映射成單位圓內(nèi)域的變換函數(shù)：其中，在單位圓周上有，于是 ， ， ， （二）、計(jì)算幾何項(xiàng)：，。而（三）、計(jì)算邊界載荷及由于孔邊界不受外力，故，則，式中A0和B0與無窮遠(yuǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)?，F(xiàn)無窮遠(yuǎn)處為純剪應(yīng)力狀態(tài)，。得，于是，其中函數(shù)在外域解析，其積分為，故（四）、計(jì)算復(fù)勢（五）、返回Z平面（物理平面）由應(yīng)力邊界條件橢圓邊界上的；當(dāng)時，橢圓孔邊的，習(xí)題9、如圖4-9所示，在無窮遠(yuǎn)處承受均勻拉應(yīng)力S作用的無限大板，其中間有一橢圓孔，試用曲線坐標(biāo)（橢圓坐標(biāo)）求橢圓孔邊的應(yīng)力分布。圖4-9解：采用由所導(dǎo)出的橢

34、圓坐標(biāo)，較容易得出橢圓孔的邊界條件，使該問題的求解過程變得較簡單。設(shè)域內(nèi)一點(diǎn)以直角坐標(biāo)表示為：，對應(yīng)的橢圓坐標(biāo)為：。則，所以 （a）當(dāng)為常數(shù)時，(a)式表示相應(yīng)的橢圓參數(shù)方程。令表示直角坐標(biāo)系中的橢圓孔，則應(yīng)有 （b）由(b)式可定出和C。當(dāng)時，即表示無限大的橢圓。對題中的問題選取復(fù)勢： （c）式中A，B均為待定的復(fù)常數(shù)，下面驗(yàn)證復(fù)勢可滿足應(yīng)力和位移邊界條件，并確定復(fù)常數(shù)A，B。當(dāng)時，即；當(dāng)時（即在橢圓孔的邊界上），。由可得：，于是 （d）當(dāng)時，而當(dāng)時，。所以，。由(c)和(d)式可求得，當(dāng)時，因此有。于是，即。這樣就滿足了無窮遠(yuǎn)處的邊界條件，即 。只要再適當(dāng)選取常數(shù)B，使由復(fù)勢確定的應(yīng)力滿足

35、橢圓孔處的邊界條件，問題就得到解決。由 得，注意到，可求得，在橢圓孔上，。因此有。若取，則當(dāng)時有，這樣便滿足了橢圓孔處的邊界條件。因此，本問題的復(fù)勢被確定為。還需檢驗(yàn)由此復(fù)勢得到的位移是否滿足位移單值條件。由位移的復(fù)勢表達(dá)式上式中的K在平面應(yīng)力狀態(tài)下。上式中的雙曲函數(shù)均是以為周期的函數(shù)，因此當(dāng)繞的任一橢圓一周后，位移u，v將恢復(fù)為起始位移值，這就保證了位移的單值性。橢圓孔邊的應(yīng)力可由求得；當(dāng)時，因此。其最大值在長軸的端點(diǎn)，即處，其最大應(yīng)力值為由(b)式可求出和C：代入上式得當(dāng)橢圓逐漸變得扁長時，應(yīng)力也逐漸增大。而當(dāng)a=b時，即對應(yīng)于圓孔情況，。習(xí)題10、如圖所示，由雙曲線ABC和DEF構(gòu)成邊界

36、的板受到沿y軸方向的拉力作用，并在EOB截面上的拉應(yīng)力之合力為有限值。試?yán)们€坐標(biāo)（橢圓坐標(biāo)）求解邊界上的應(yīng)力。解：采用由所導(dǎo)出的橢圓坐標(biāo)，設(shè)域內(nèi)一點(diǎn)以直角坐標(biāo)表示為：，對應(yīng)的橢圓坐標(biāo)為：。則，所以圖4-10 （a）當(dāng)為常數(shù)時，(a)式表示相應(yīng)的雙曲線參數(shù)方程。令表示直角坐標(biāo)系中的雙曲線AB段。則應(yīng)有 （b）同理，令表示直角坐標(biāo)系中的雙曲線BC段，令表示直角坐標(biāo)系中的雙曲線EF段，令表示直角坐標(biāo)系中的雙曲線DE段。只要研究雙曲線的AB段，其它各段完全類似?，F(xiàn)在研究雙曲線的AB段的應(yīng)力狀態(tài)。 由(b)式可定出和C。對題中的問題選取復(fù)勢： （c）式中A，B均為待定的復(fù)常數(shù)，下面驗(yàn)證復(fù)勢可滿足應(yīng)力

37、和位移邊界條件，并確定復(fù)常數(shù)A，B。當(dāng)時，即；當(dāng)時（即在雙曲線的邊界上），。由可得：，于是 （d）當(dāng)時，而當(dāng)，時，；所以，。由(c)和(d)式可求得，只要再適當(dāng)選取常數(shù)B，使由復(fù)勢確定的應(yīng)力滿足雙曲線邊界條件，問題就得到解決。由得，注意到，可求得，在雙曲線邊界上，。因此有。若取，則當(dāng)時有，這樣便滿足了雙曲線邊界條件。因此，本問題的復(fù)勢被確定為。雙曲線邊界應(yīng)力可由求得；當(dāng)時，因此。由(b)式可求出和C：代入上式得習(xí)題11、設(shè)有一個等厚度圓盤，其半徑為，密度為。現(xiàn)以均勻角速度繞其回轉(zhuǎn)軸線z軸回轉(zhuǎn)，試求圓盤中各點(diǎn)的應(yīng)力和位移（不計(jì)圓盤本身重力）。解：圓盤以均勻角速度繞其回轉(zhuǎn)軸線z軸回轉(zhuǎn)，則圓盤的任意

38、一點(diǎn)都有向心加速度，其大小為，因此圓盤的每單位體積上受到的離心力為。故該圓盤可認(rèn)為在體力作用下處于平衡狀態(tài)。由于這是軸對稱物體受軸對稱體力作用，所以應(yīng)力分布是軸對稱的。即應(yīng)力分量及都只是r的函數(shù)，而。于是平衡微分方程為 （a）對（a）式乘以r，組合后得。引入應(yīng)力函數(shù)，并令 （b）由于圓盤只受到回轉(zhuǎn)軸的約束，因此它的位移為軸對稱的，即其徑向位移為，而切向位移為（這里不計(jì)剛體位移）。于是 （c）由（c）中的前兩式消去，得變形協(xié)調(diào)方程為。將代入物理方程，并利用（b）式得到以應(yīng)力函數(shù)表示的變形協(xié)調(diào)方程為 或 （d）解（d）式所表示的微分方程得，上式中A，B為待定的積分常數(shù)。將其代入（b）式得應(yīng)力分量

39、（e）在圓盤中心（r=0）處的應(yīng)力不可能無限大，所以B=0。又由邊界條件得。將A，B代入（e）得應(yīng)力分量的表達(dá)式 （f）最大應(yīng)力在圓盤的中心處：。徑向位移為可由(c)中的第二式及(f)式求得。 （g）在圓盤中心（r=0）處，；發(fā)生最大位移在圓盤的邊緣（r=a）處：圖4-11rr習(xí)題12、如圖4-11所示的楔形體，其頂角為，下端為無限長，在楔頂受有集中力作用，集中力與楔形體的中心線成角，設(shè)單位寬度上受的力為P，試求楔形體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力（不計(jì)體力）。解： 楔形體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力分量決定于，因而各應(yīng)力分量表達(dá)式中只包含這幾個參量。但，應(yīng)力分量的量綱為力長度-2，P的量綱為力長度-1，而無量綱。因次應(yīng)力

40、分量表達(dá)式只可能是的形式，其中N是組成的無量綱的數(shù)量，而應(yīng)力函數(shù)中的r的冪次比應(yīng)力分量表達(dá)式中r的冪次高兩次。因此，應(yīng)力函數(shù)是的某一函數(shù)乘以r的一次冪，即 （a）將(a)式代入以應(yīng)力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)方程得，求解這個常微分方程得，上式中A、B、C、D為積分常數(shù)。代入（a）式得。由于式中前兩項(xiàng)不影響應(yīng)力大小，可以忽略。因此，從而有 （b）由（b）中后兩式能滿足楔形體左右兩面的應(yīng)力邊界條件，在楔形體上任取一個截面，如圓柱面ab，該截面上的應(yīng)力合力必然與楔頂上的P平衡，于是將（b）中的第一式代入上式得積分后得 ，由此得代入（b）式得應(yīng)力分量的解 （c）習(xí)題13、已知如圖4-12所示的半平面體的界面上，承

41、受垂直于界面的集中力P的作用，試求位移及應(yīng)力分量，并求水平邊界面上任意一點(diǎn)的沉陷（不計(jì)體力）。圖4-12解：將第12題中的楔形體的頂角擴(kuò)張為一個平角，就得到本題的半平面體。在半平面體的界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用等價于第12題中的。故在第12題（c）式中命就得到本題的應(yīng)力分量計(jì)算公式 （a）利用坐標(biāo)變換公式得到直角坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量，再將極坐標(biāo)改為直角坐標(biāo)得。下面求位移，先假定為平面應(yīng)力狀態(tài)，將（a）式代入物理方程得應(yīng)變分量再將這些應(yīng)變分量代入幾何方程得解此微分方程組得 （b）其中為積分常數(shù)。由于對稱有，將（b）式代入此式得，于是（b）式為 （c）為了求邊界面上任意一點(diǎn)M向下的鉛直位

42、移，即所謂沉陷，可應(yīng)用（c）式中的第二式，位移是以沿的正方向時為正。因此M點(diǎn)的沉陷為。因?yàn)槌?shù)I取決于鉛直方向的剛體位移，而現(xiàn)在鉛直方向不受限制，所以I和M點(diǎn)的沉陷不能確定。只能求得相對沉陷，在邊界面上取定一基點(diǎn)B,，它離載荷作用點(diǎn)的距離為s。邊界面上任意一點(diǎn)M相對于基點(diǎn)B的沉陷為M點(diǎn)的沉陷減去B點(diǎn)的沉陷，即為簡化后得 。對于平面應(yīng)變情況，將以上應(yīng)變和位移公式中的E換為、即可。圖4-13習(xí)題13、如圖4-13所示的楔形體，其頂角為，下端為無限長，在楔形體的一面受均布壓力q作用，試求楔形體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力（不計(jì)體力）。解：楔形體內(nèi)任意一點(diǎn)的各應(yīng)力分量決定于。根據(jù)量綱分析取應(yīng)力函數(shù)為 （a）將上式代入

43、以應(yīng)力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)方程 得，求解這個常微分方程得，上式中A、B、C、D為積分常數(shù)。代入（a）式得。 （b）從而有 （c）邊界條件要求。將（c）式代入四個邊界條件，得出以A、B、C、D為未知數(shù)的四個線性方程，從此線性方程組中求出A、B、C、D，再將它們代入（c）式得應(yīng)力分量 （d）習(xí)題15、如圖4-14所示，半平面體在其一段邊界上受均布載荷q的作用，試求半平面體中的應(yīng)力 （不計(jì)體力）。圖4-14解：根據(jù)底十三題中半平面體受集中載荷作用時的應(yīng)力分量求解公式： （a）再根據(jù)坐標(biāo)變換公式得到直角坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量 對于本題中均勻分布載荷q以微元載荷代替集中載荷P，則上式相應(yīng)地改為從圖上的幾何關(guān)系可看

44、出，所以 （b）分別積分上式中的三式得圖4-15習(xí)題16、如圖4-15所示的壩體，下端為無限長，左側(cè)承受比重為液體的壓力，壩體材料的比重為，試求應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量。解：應(yīng)用量綱分析方法可以找出多項(xiàng)式解答的各組合項(xiàng)，并由此求出應(yīng)力函數(shù)。壩體中任意一點(diǎn)的應(yīng)力分量由液體壓力和壩體材料的重力引起的。由于應(yīng)力的量綱為力長度-2，比重的量綱為力長度-3，的量綱為長度，而是無量綱的量。因此應(yīng)力分量多項(xiàng)式解答的各個組項(xiàng)只能是，其中F，G，H，I僅是與有關(guān)的系數(shù)，由此可知應(yīng)力分量只可能是的純一次式，而應(yīng)力函數(shù)則是的純?nèi)问?，為此可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為 （a）由此得應(yīng)力分量為 （b）其中A，B，C，D由邊界條件確定的待定系數(shù)。壩體左側(cè)面的邊界條件為 ，將（b）式代入此式得 應(yīng)力分量可寫成 （c）壩體右側(cè)面的邊界條件為將（c）式及代入上式得 因此應(yīng)力函數(shù)為 （d）應(yīng)力分量為。1. 如圖5.1所示的薄壁圓管受拉力和扭矩的作用，試寫出此情況下的Mises條件和Tresca條件。圖5.1解：如圖所示： Mises屈服條件： 即有 Tresca屈服條件： 即有 2已知兩