數(shù)列專題總復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)整理與經(jīng)典例題講解-高三數(shù)學(xué)14頁(yè)

1、數(shù)列專題復(fù)習(xí)一、等差數(shù)列的有關(guān)概念：1、等差數(shù)列的判斷方法：定義法或。如設(shè)是等差數(shù)列，求證：以bn= 為通項(xiàng)公式的數(shù)列為等差數(shù)列。2、等差數(shù)列的通項(xiàng)：或。如(1)等差數(shù)列中，則通項(xiàng)（答：）；（2）首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù)，則公差的取值范圍是_（答：）3、等差數(shù)列的前和：，。如（1）數(shù)列 中，前n項(xiàng)和，則 ，（答：，）；（2）已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和（答：）.4、等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且。提醒：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。（

2、2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，（公差為）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，,（公差為2）5、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.如（1）等差數(shù)列中，則_（答：27）； (4) 若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、 ，也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列. 如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25，前2n項(xiàng)和為100，則它的前3n和為 。（答：225）（5）在等差數(shù)列

3、中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，（這里即）；。如（1）在等差數(shù)列中，S1122，則_（答：2）；（2）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和為80，偶數(shù)項(xiàng)和為75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)（答：5；31）.（6）若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則.如設(shè)與是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為和，若，那么_（答：）(7)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一：由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（

4、函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？如（1）等差數(shù)列中，問(wèn)此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。（答：前13項(xiàng)和最大，最大值為169）；（2）若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n是 （答：4006）（3）在等差數(shù)列中，且，是其前項(xiàng)和，則（ ）A、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0C、都小于0，都大于0D、都小于0，都大于0（答：B）(8)如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 注意：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究.二、等比數(shù)列的有關(guān)概念：1、等比數(shù)列的判斷方法：定義

5、法，其中或。如（1）一個(gè)等比數(shù)列共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則為_(kāi)（答：）；（2）數(shù)列中，=4+1 ()且=1，若 ，求證：數(shù)列是等比數(shù)列。2、等比數(shù)列的通項(xiàng)：或。如等比數(shù)列中，前項(xiàng)和126，求和.（答：，或2）3、等比數(shù)列的前和：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。如（1）等比數(shù)列中，2，S99=77，求（答：44）；（2）的值為_(kāi)（答：2046）；特別提醒：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí)，要對(duì)分和兩種情形討論求解。4、等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，那么A叫做與的等比中項(xiàng)。提醒：不是任何兩數(shù)都有

6、等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)。如已知兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)為A，等比中項(xiàng)為B，則A與B的大小關(guān)系為_(kāi)（答：AB）提醒：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2；（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為，（公比為）；但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為。如有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求此四個(gè)數(shù)。（答：15，,9，3,1或0,4，

7、8,16）5.等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)時(shí)，則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.如（1）在等比數(shù)列中，公比q是整數(shù)，則=_（答：512）；（2）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則 （答：10）。(2) 若是等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列；若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，也是等比數(shù)列。當(dāng)，且為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列 ，是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. 如（1）已知且，設(shè)數(shù)列滿足，且，則. （答：）；（2）在等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，則的值為_(kāi)（答：40）(3)若，則為遞增數(shù)列；若, 則為遞減數(shù)列；若 ，則為遞減數(shù)列；若, 則為遞增數(shù)列；若，則為擺動(dòng)數(shù)列；若，則為常數(shù)列.(4) 當(dāng)時(shí)，這里，但

8、，是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的一個(gè)特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。如若是等比數(shù)列，且，則 （答：1）(5) .如設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則的值為_(kāi)（答：2）(6) 在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，.(7)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為（）， 關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題：若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；若，則是等差數(shù)列；若，則是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號(hào)是 （答：）三、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法一、公式法；等差、等比數(shù)列公式.例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的

9、通項(xiàng)公式。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說(shuō)明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。二、累加法例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。三、累乘法例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。四、取倒數(shù)法例 已知數(shù)列中，其中，且當(dāng)n2時(shí)，求通項(xiàng)公式。解 將兩邊取倒數(shù)得：，這說(shuō)明是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是，公差為2，所以，即

10、.五、待定系數(shù)法例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。六、對(duì)數(shù)變換法例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)數(shù)變換把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。七、迭代法例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。評(píng)注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

11、即先將等式兩邊取常用對(duì)數(shù)得，即，再由累乘法可推知，從而。八、數(shù)學(xué)歸納法例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由及，得。由此可猜測(cè)，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。（1）當(dāng)時(shí)，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，。由此可知，當(dāng)時(shí)等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對(duì)任何都成立。九、換元法例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，則故，代入得。即因?yàn)?，故則，即，可化為，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。十、構(gòu)造等差、等比數(shù)列法 ；.例 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】 【反思?xì)w納】遞推關(guān)系形如“” 適用于待定系數(shù)法或特征根法：令； 在中令，；由得，.例

12、 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】，令 【反思?xì)w納】遞推關(guān)系形如“”通過(guò)適當(dāng)變形可轉(zhuǎn)化為：“”或“求解.十一、不動(dòng)點(diǎn)法例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)椋?。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。四、數(shù)列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和1、 等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式：前個(gè)正整數(shù)的和 前個(gè)正整數(shù)的平方和 前個(gè)正整數(shù)的立方和 公式法求和注意事項(xiàng) （1）弄準(zhǔn)求和項(xiàng)數(shù)的值； （2）等比數(shù)列公比未知時(shí)，運(yùn)用前項(xiàng)和公式要分類。例 已知

13、，求的前n項(xiàng)和.例 設(shè)Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 當(dāng) ，即n8時(shí)，二、錯(cuò)位相減法求和這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列. 求和時(shí)一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比；然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和。例：（2009全國(guó)卷理）在數(shù)列中，（I）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和分析：（I）由已知有利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式: ()（II）由（I）知,=而,又是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型，易得 =三、 倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就

14、是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè).例 求證：證明： 設(shè) 四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例7 求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，解：設(shè) 當(dāng)a1時(shí)， 當(dāng)時(shí)，例：（2010全國(guó)卷2文）（18）（本小題滿分12分）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) 例 求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 則 例 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.解： 六