12年數(shù)學(xué)建模美國(guó)賽葉子的重量解析

1、2012ACassify Leaf Shape and Estimate for Leaf MassAbstract本文主要從四方面建立模型解決問(wèn)題。 針對(duì)第一問(wèn)我們主要應(yīng)用相關(guān)聚類分 析，首先從24個(gè)方面對(duì)樹木進(jìn)行一級(jí)聚類，然后針對(duì)聚類后的樹木類別再分別 從8個(gè)方面對(duì)該樣本樹木的樹葉進(jìn)行二級(jí)聚類分析， 這樣我們便從數(shù)學(xué)角度說(shuō)明 了葉子為什么會(huì)具有各種形狀。針對(duì)第二問(wèn)我們主要應(yīng)用葉序和葉鑲嵌理論研究葉子的分布和葉子形狀之 間的聯(lián)系，根據(jù)前人已經(jīng)證明了的植物的葉片在其實(shí)際的鑲嵌角下， 覆蓋面積最 大，達(dá)到一個(gè)最大曝光率的生長(zhǎng)模式這一結(jié)論， 我們通過(guò)網(wǎng)格數(shù)計(jì)算出下層樹葉 偏轉(zhuǎn)不同角度后它的光合作用

2、面積， 在計(jì)算出總的光合作用曝光率， 從而求出最 佳曝光率,根據(jù)最佳的面積曝光率對(duì)比樹葉的排列，二者存在相關(guān)性。針對(duì)第三問(wèn)， 主要研究樹形與葉形的相關(guān)性， 在這里我們指定3個(gè)指數(shù)，分 別就葉形指數(shù)1、2和樹形指數(shù)進(jìn)行最小二乘法的函數(shù)回歸， 研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)二者 呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)的趨勢(shì)。針對(duì)第四問(wèn)， 在前面我們已經(jīng)對(duì)葉子的形狀進(jìn)行了分類， 故在建立面積估算 的模型時(shí)， 我們能找到一個(gè)具有代表性的葉子進(jìn)行分析， 同時(shí)我們考慮到同一棵 樹葉子的年齡結(jié)構(gòu)，密度，大小的因素，建立了求單片葉片質(zhì)量的權(quán)重函數(shù)，然 后主要采用插值和積分的思想，求出單片葉片的面積，然后利用基于L系統(tǒng)的 植物建模改進(jìn)方法估算參數(shù)， 結(jié)合單

3、片葉片的質(zhì)量， 從而計(jì)算出所有葉片的質(zhì)量。Key words:因子分析R型聚類分析線性回歸葉序和葉鑲嵌理論基于L系統(tǒng)的植物模型Problem backgrounds(introduction)葉片有多種多樣的形狀，例如針形、披針形、橢圓形、條形、扇形等。葉是 樹木暴露在空氣中表面積最大的器官， 和外界環(huán)境的接觸面積也是最大的， 因此， 外界環(huán)境條件對(duì)葉片的形態(tài)結(jié)構(gòu)有明顯的影響， 樹木在進(jìn)化過(guò)程中適應(yīng)不同的生 態(tài)環(huán)境，形成多種生態(tài)類型的葉。在氣候干燥、土壤水分缺乏的干旱環(huán)境中，樹 木為了適應(yīng)干燥的環(huán)境， 旱生樹木葉片的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)主要是朝著降低蒸騰和儲(chǔ)藏水 分兩個(gè)方面發(fā)展。因此旱生樹木的葉通常較小，

4、以減少葉的蒸騰面積。樹木的生長(zhǎng)需要能量， 獲得能量主要是靠他們的葉子。 樹葉在白天進(jìn)行光合 作用，積累有機(jī)物。葉子數(shù)量的增加，有利于有機(jī)物的積累和樹木的生長(zhǎng)。但葉 子數(shù)量的增加葉子重疊的陰影將會(huì)增大， 葉面積指數(shù)降低， 從而減小光合作用對(duì) 有機(jī)物的積累并且增加了呼吸作用對(duì)于有機(jī)物的消耗。 因此在長(zhǎng)期影響下， 樹木 會(huì)在葉子數(shù)量和葉面積指數(shù)兩方面達(dá)到一種均衡。 樹葉的形狀不全是為了使重疊的樹蔭最小化，從而使日光照射最大化，而是為了達(dá)到最優(yōu)化的目標(biāo)粗壯的枝能夠承受較大的壓力， 離分支節(jié)點(diǎn)越遠(yuǎn)的分枝越短越細(xì)。 分枝越細(xì)， 能承受的葉子重量越小， 葉片越小。 離地面同一高度上同一等級(jí)分枝節(jié)間長(zhǎng)度越 大

5、，樹葉的形狀越大。離地面低的分枝上的葉子與它同一等級(jí)的分枝的葉子相比，由于光照強(qiáng)度弱，故為了增強(qiáng)光合作用葉片較大。 因此，樹葉在樹上和樹枝上的 分布會(huì)影響樹葉的形狀。基于這樣的生物學(xué)背景（葉片與樹木的關(guān)系密切相互影響） ，我們建立數(shù)學(xué) 模型來(lái)完成下列題目：“一棵樹的葉子有多重?”怎么能估計(jì)樹的葉子 （或者樹的任何其它部分） 的 實(shí)際重量?怎樣對(duì)葉子進(jìn)行分類?建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)對(duì)葉子進(jìn)行描述和分類。 模型要考慮和回答下面的問(wèn)題：為什么葉子具有各種形狀？葉子之間要是將相互重疊的部分最小化，以便可以最大限度的接觸到陽(yáng)光嗎？樹葉的分布以及樹干和枝杈的體積影響葉子的形狀嗎？ 就輪廓來(lái)講，葉形（一般特征）

6、是和樹的輪廓以及分枝結(jié)構(gòu)有關(guān)嗎？ 你將如何估計(jì)一棵樹的葉子質(zhì)量？葉子的質(zhì)量和樹的尺寸特征 （包括和外形輪 廓有關(guān)的高度、質(zhì)量、體積）有聯(lián)系嗎？）Problem analysis通過(guò)閱讀完題目后，我們將問(wèn)題劃分為四個(gè)小問(wèn)題去解決：對(duì)不同形狀的葉子進(jìn)行分類 研究葉子的分布和葉子形狀之間的聯(lián)系 研究樹的輪廓和葉子的形狀之間的聯(lián)系 計(jì)算所有葉子的質(zhì)量針對(duì)問(wèn)題一， 首先我們從生物學(xué)的角度考慮到， 不同物種的樹葉有多種多樣 的形狀，是環(huán)境長(zhǎng)期影響的結(jié)果， 如果直接從葉結(jié)構(gòu)的指標(biāo)入手對(duì)葉形進(jìn)行分類， 過(guò)程將相當(dāng)繁瑣。在這里我們采用兩次聚類， 分別涉及到樣本樹木本身對(duì)葉形的 影響和葉結(jié)構(gòu)對(duì)樹木的影響。我們首先

7、就24個(gè)指標(biāo)對(duì)樣本樹木進(jìn)行分類，分析 聚為一類的樣本樹木的葉片特點(diǎn)， 然后針對(duì)每一類樣本樹木的葉片的8項(xiàng)指標(biāo)進(jìn) 行二級(jí)聚類，根據(jù)聚類結(jié)果，我們進(jìn)行分析總結(jié)；針對(duì)問(wèn)題二和三，主要是從研 究?jī)煞矫媸挛锏南嚓P(guān)性入手， 研究葉子的分布和葉子形狀之間的聯(lián)系時(shí)主要采用 葉序和葉鑲嵌理論； 研究樹的輪廓和葉子的形狀之間的聯(lián)系時(shí)， 我們主要借助一 些描述樹的輪廓和葉子的形狀的參數(shù)進(jìn)行先處理后擬合， 從而從圖表中觀察相關(guān) 性；針對(duì)問(wèn)題四， 我們先從一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)葉片入手， 利用插值和積分求出單個(gè)葉片的 面積，同時(shí)應(yīng)用基于L系統(tǒng)的植物建模改進(jìn)方法，然后分析相關(guān)系數(shù)來(lái)推算葉 片的個(gè)數(shù)，從而計(jì)算出樹葉的總質(zhì)量。的樹蔭最小化

8、，從而使日光照射最大化，而是為了達(dá)到最優(yōu)化的目標(biāo)粗壯的枝能夠承受較大的壓力，離分支節(jié)點(diǎn)越遠(yuǎn)的分枝越短越細(xì)。分枝越細(xì)，能承受的葉子重量越小，葉片越小。離地面同一高度上同一等級(jí)分枝節(jié)間長(zhǎng)度越 大，樹葉的形狀越大。離地面低的分枝上的葉子與它同一等級(jí)的分枝的葉子相比， 由于光照強(qiáng)度弱，故為了增強(qiáng)光合作用葉片較大。因此，樹葉在樹上和樹枝上的 分布會(huì)影響樹葉的形狀?；谶@樣的生物學(xué)背景（葉片與樹木的關(guān)系密切相互影響），我們建立數(shù)學(xué) 模型來(lái)完成下列題目：“一棵樹的葉子有多重？”怎么能估計(jì)樹的葉子（或者樹的任何其它部分）的 實(shí)際重量？怎樣對(duì)葉子進(jìn)行分類？建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)對(duì)葉子進(jìn)行描述和分類。 模型要考慮和回

9、答下面的問(wèn)題：為什么葉子具有各種形狀？葉子之間要是將相互重疊的部分最小化，以便可以最大限度的接觸到陽(yáng)光嗎？ 樹葉的分布以及樹干和枝杈的體積影響葉子的形狀嗎？就輪廓來(lái)講，葉形（一般特征）是和樹的輪廓以及分枝結(jié)構(gòu)有關(guān)嗎？你將如何估計(jì)一棵樹的葉子質(zhì)量？葉子的質(zhì)量和樹的尺寸特征（包括和外形輪廓有關(guān)的高度、質(zhì)量、體積）有聯(lián)系嗎？）Problem analysis通過(guò)閱讀完題目后，我們將問(wèn)題劃分為四個(gè)小問(wèn)題去解決：對(duì)不同形狀的葉子進(jìn)行分類研究葉子的分布和葉子形狀之間的聯(lián)系研究樹的輪廓和葉子的形狀之間的聯(lián)系計(jì)算所有葉子的質(zhì)量針對(duì)問(wèn)題一，首先我們從生物學(xué)的角度考慮到，不同物種的樹葉有多種多樣 的形狀，是環(huán)境長(zhǎng)

10、期影響的結(jié)果，如果直接從葉結(jié)構(gòu)的指標(biāo)入手對(duì)葉形進(jìn)行分類，過(guò)程將相當(dāng)繁瑣。在這里我們采用兩次聚類， 分別涉及到樣本樹木本身對(duì)葉形的 影響和葉結(jié)構(gòu)對(duì)樹木的影響。我們首先就24個(gè)指標(biāo)對(duì)樣本樹木進(jìn)行分類，分析 聚為一類的樣本樹木的葉片特點(diǎn)，然后針對(duì)每一類樣本樹木的葉片的8項(xiàng)指標(biāo)進(jìn) 行二級(jí)聚類， 根據(jù)聚類結(jié)果， 我們進(jìn)行分析總結(jié)；針對(duì)問(wèn)題二和三，主要是從研 究?jī)煞矫媸挛锏南嚓P(guān)性入手，研究葉子的分布和葉子形狀之間的聯(lián)系時(shí)主要采用 葉序和葉鑲嵌理論；研究樹的輪廓和葉子的形狀之間的聯(lián)系時(shí)， 我們主要借助一 些描述樹的輪廓和葉子的形狀的參數(shù)進(jìn)行先處理后擬合， 從而從圖表中觀察相關(guān) 性；針對(duì)問(wèn)題四，我們先從一個(gè)標(biāo)

11、準(zhǔn)葉片入手，利用插值和積分求出單個(gè)葉片的 面積，同時(shí)應(yīng)用基于L系統(tǒng)的植物建模改進(jìn)方法，然后分析相關(guān)系數(shù)來(lái)推算葉 片的個(gè)數(shù)，從而計(jì)算出樹葉的總質(zhì)量?？倲?shù)/冠長(zhǎng)）,側(cè)枝長(zhǎng)粗比（枝長(zhǎng)/枝底徑），相對(duì)枝徑（枝底徑/胸徑）,冠高比（樹 冠直徑/樹高），冠徑比（樹冠直徑/胸徑），并以樹冠直徑，計(jì)算冠幅面積；以圓 錐體公式，計(jì)算樹冠體積和樹冠表面積。在聚類之前，由于24個(gè)變量，變量維數(shù)較多，操作較為復(fù)雜，因此，我們 先進(jìn)行因子分析，對(duì)24個(gè)變量進(jìn)行降維處理，簡(jiǎn)便操作的同時(shí)不影響聚類結(jié)果。 下面我們根據(jù)這24個(gè)性狀， 用R型聚類法對(duì)所獲數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類， 原理如下：將n株樣本樹木的m個(gè) （m=24性狀數(shù)值表示為矩

12、陣：X譏）%表示第j株樹的第i個(gè)性狀的數(shù)據(jù)令 X?二、Xij和 SiV（Xij-X?）分別表示性狀i在n個(gè)觀測(cè)值中的平均數(shù)和 一y離差，則可將所有的Xij進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)化，得:則相應(yīng)的矩陣為：性狀p與q之間的相關(guān)系數(shù)為:p,q=1.2相關(guān)矩陣為:根據(jù)系統(tǒng)聚類原理，以rpq作為類間參數(shù)，先將m個(gè)性狀各自看做一類,選擇最相似的兩類合并為一類（即合并rpq值最大的兩個(gè)性狀）。如此反復(fù)多次， 直至所有性狀全部聚為一類為止。 那么，新的類間參數(shù)可由類平均法給出。 其公式為：(k 1)1(k)(k)、nSijxj _ XjrpqR = AT A = (rpq)mm=ri21r13Dm3m_r m1由于相關(guān)系

13、數(shù)是相似系數(shù)的一種，因此,量）聚類分析。rm3可以從相關(guān)矩陣出發(fā)，作R型（變同理，我們就有關(guān)樹葉的八項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行二級(jí)聚類：根據(jù)上面樣本樹木的聚類結(jié)果， 我們對(duì)聚成一類的樣本樹木的葉子形態(tài)從這八項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行聚類分析：縱橫軸比(aspectratio)，矩形度(rectangularity)，面積 凹凸比(area convexity)，周長(zhǎng)凹凸比(perimeterconvexity )，球狀性(sphericity)，圓形 度(circularity)，偏心率(eccent ricity)，形狀參數(shù)(form factor)(該八項(xiàng)幾何特征參數(shù)都具有旋轉(zhuǎn)，平移和尺度不變性) 根據(jù)這八項(xiàng)指標(biāo)的聚類結(jié)

14、果，很好的區(qū)分了葉子的形狀。根據(jù)兩次聚類結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)同類樣本樹木的葉片形狀大體相似，說(shuō)明樹木本身的形態(tài)對(duì)著生樹葉的形態(tài)有一定的影響，這一結(jié)論在生物學(xué)角度也是成立 的；同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)，葉片本身的因素，例如葉脈密度，葉片長(zhǎng)度，寬度等對(duì)葉 片的形狀也產(chǎn)生著不容忽視的影響。綜上我們的模型分別從這兩方面就葉片為何 有不同的形狀進(jìn)行了論述。Model 2:葉序和葉鑲嵌理論研究葉子的分布和葉子形狀之間的聯(lián)系葉序：葉在莖上排列的方式稱為葉序。植物體通過(guò)一定的葉序，使葉均勻地、適 合地排列，充分地接受陽(yáng)光，有利于光合作用的進(jìn)行。葉鑲嵌：同一個(gè)枝上的葉不論是那一種葉序，葉總是不相重疊而成鑲嵌狀態(tài)進(jìn)行排列的現(xiàn)象。

15、通過(guò)王科等對(duì)32科64種被子植物分析，得到了葉序和葉鑲嵌的關(guān)系8。我 們 選 取 其 中 具 有 代 表 性 的 ( 三 葉 輪 生 夾 竹 桃 ) 一 組 如 下 ：葉序代表植物相鄰角鑲嵌角輪生夾竹桃12060相鄰角：螺旋周的數(shù)目/葉循環(huán)中的葉數(shù)；鑲嵌角：360/葉循環(huán)中的葉數(shù)。我們經(jīng)過(guò)對(duì)樹葉形狀的分析，假設(shè)一棵樹上的樹葉形狀參數(shù)基本一致， 只是大小 的區(qū)分問(wèn)題。文獻(xiàn)9的方法，已經(jīng)證明了植物的葉片在其實(shí)際的鑲嵌角下，覆蓋面積最大， 達(dá)到一個(gè)最大曝光率的生長(zhǎng)模式。下圖是他們的一個(gè)算法的圖形，通過(guò)網(wǎng)格數(shù)計(jì) 算出下層樹葉偏轉(zhuǎn)不同角度后它的光合作用面積，在計(jì)算出總的光合作用曝光 率。這是示意圖：(a

16、) nnq|e=5srK|e=.2S(cj ang|m45Figure 19這是曝光率圖：rate of coverageFigure 29第一層，第二層往往形成了一個(gè)極大的曝光生長(zhǎng)模式， 第三層在若以第二層 為基準(zhǔn)，應(yīng)該繼續(xù)旋轉(zhuǎn)60,此時(shí)則與第一層重疊（或者說(shuō)第一層遮住了第三 層），所以樹木為了生長(zhǎng)必須增大葉的表面積去接受陽(yáng)光，也就是產(chǎn)生了比例大 的樹葉。但此時(shí)的曝光量是否最佳就成了我們要研究的問(wèn)題了。我們對(duì)其方法進(jìn)行改進(jìn)，將第一層下的樹葉的面積逐漸增大 （觀測(cè)實(shí)物可發(fā)現(xiàn)樹 葉的大小從上到下依次變大），觀測(cè)是否相同樹木上的不同大小樹葉的組合達(dá)到 一個(gè)曝光率最大的問(wèn)題。下圖是我們的示意圖：10

17、0200300Figure 3再通過(guò)計(jì)算面積曝光率可以容易得到此時(shí)的排列方式最優(yōu)。如下所以，這也就解釋了為什么樹木自身的分層會(huì)導(dǎo)致樹葉的大小不同Model 3:研究樹的輪廓和葉子的形狀之間的聯(lián)系首先我們定義了樹形指數(shù)R和葉形指數(shù)ri和 :為自變量，利用最小二乘法進(jìn)行一元線性回歸，通過(guò)觀察P值的大小（與:=0.05 進(jìn)行比較） ，來(lái)判定擬合的優(yōu)度。下面給出擬合好的函數(shù)，并檢驗(yàn)了其準(zhǔn)確性。Table1樹編號(hào)樹形指數(shù)R葉形指數(shù)211.6430.9780.96821.4491.0020.998:31.4041.1121.10941.7001.0141.01551.5651.0161.00761.644

18、1.0231.033樹形指數(shù)R=Height of treeCrow nri11515i呂le ngth width根據(jù)這些指數(shù)，我們研究?jī)蓛勺兞块g的相關(guān)性。分別取ri, 作為因變量，R作Differt Rate of CoverageAngleFigure471.8161.0091.00981.4831.1521.14991.5771.0041.004101.6740.8990.899111.5601.0021.002121.5740.9640.954131.6301.0321.042141.5881.0451.049151.5861.0221.011根據(jù)表1的數(shù)據(jù)分別就R與ri, R與“進(jìn)

19、行相關(guān)性分析，在這里我們采用的是元線性回歸，得到方差表，擬合度檢驗(yàn)表以及圖像，如下：樹形指數(shù)與葉形指數(shù)1的相關(guān)性（R與rj：Table2ANOVA平方和 df均方FSig.回歸.0161.0166.805.022殘差.03113.002總計(jì).04714自變量為樹形指數(shù)。系數(shù)未標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)tSig.B標(biāo)準(zhǔn)誤Beta樹形指數(shù)-.445.171-.586-2.609.022（常數(shù)）1.716.2686.406.000葉形揃敦1Figure 5由于上表可以得到：P值為0.022小于0.05，所以拒絕原假設(shè)，顯著相關(guān)，變量 之間的函數(shù)式擬和度良好，函數(shù)關(guān)系式為：A 0.445R 1.716樹形指

20、數(shù)與葉形指數(shù)1的相關(guān)性（R與r2）：Table3ANOVA平方和df均方FSig.回歸.0151.0155.549.035殘差.03413.003總計(jì).04914自變量為樹形指數(shù)。系數(shù)未標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)tSig.B標(biāo)準(zhǔn)誤Beta樹形指數(shù)-.423.180-.547-2.356.035（常數(shù)）1.680.2825.957.000葉形指數(shù)2Figure 6由于上表可以得到：P值為0.035小于0.05，所以拒絕原假設(shè)，顯著相關(guān)，變量 之間的函數(shù)式擬和度良好，函數(shù)關(guān)系式為： “二-0.423R 1.680綜上兩個(gè)擬合函數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)第一個(gè)函數(shù)的擬合程度更優(yōu)， 因此葉形指數(shù)1與樹 形指數(shù)有顯著的負(fù)相

21、關(guān)。Model 4:計(jì)算所有葉片的質(zhì)量我們?cè)诘谝粏?wèn)中已經(jīng)對(duì)樹木和樹葉進(jìn)行了一個(gè)良好的分類了， 也就是說(shuō)對(duì)于 某一類的樹木，我們可以選取其具有代表性的樹木形狀 （其他樹木形狀與其具有 一定的相似程度）和葉形狀為例來(lái)估算樹葉的總質(zhì)量。對(duì)于樹木：不同種類的樹木具有不同的分枝方式， 復(fù)制的規(guī)律不同。所以我們就分枝方 式進(jìn)行了分析。樹木大致有以下三種分枝方式：A合軸分枝B單軸分枝C假二叉分枝Figure 6由于上表可以得到：P值為0.035小于0.05,所以拒絕原假設(shè)，顯著相關(guān)，變量 之間的函數(shù)式擬和度良好，函數(shù)關(guān)系式為：r20.423R 1.680綜上兩個(gè)擬合函數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)第一個(gè)函數(shù)的擬合程度更優(yōu)，因

22、此葉形指數(shù)1與樹形指數(shù)有顯著的負(fù)相關(guān)。 Model 4:計(jì)算所有葉片的質(zhì)量我們?cè)诘谝粏?wèn)中已經(jīng)對(duì)樹木和樹葉進(jìn)行了一個(gè)良好的分類了， 也就是說(shuō)對(duì)于 某一類的樹木，我們可以選取其具有代表性的樹木形狀 （其他樹木形狀與其具有 一定的相似程度）和葉形狀為例來(lái)估算樹葉的總質(zhì)量。對(duì)于樹木：不同種類的樹木具有不同的分枝方式，復(fù)制的規(guī)律不同。所以我們就分枝方式進(jìn)行了分析。樹木大致有以下三種分枝方式：Figure 6由于上表可以得到：P值為0.035小于0.05,所以拒絕原假設(shè)，顯著相關(guān)，變量 之間的函數(shù)式擬和度良好，函數(shù)關(guān)系式為：r20.423R 1.680綜上兩個(gè)擬合函數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)第一個(gè)函數(shù)的擬合程度更優(yōu)，因

23、此葉形指數(shù)1與樹形指數(shù)有顯著的負(fù)相關(guān)。 Model 4:計(jì)算所有葉片的質(zhì)量我們?cè)诘谝粏?wèn)中已經(jīng)對(duì)樹木和樹葉進(jìn)行了一個(gè)良好的分類了， 也就是說(shuō)對(duì)于 某一類的樹木，我們可以選取其具有代表性的樹木形狀 （其他樹木形狀與其具有 一定的相似程度）和葉形狀為例來(lái)估算樹葉的總質(zhì)量。對(duì)于樹木：不同種類的樹木具有不同的分枝方式，復(fù)制的規(guī)律不同。所以我們就分枝方式進(jìn)行了分析。樹木大致有以下三種分枝方式：a,b，則由積分法得到面積公式為：bbA二af(x)d(x)ag(x)d(x)(1)如圖9(a),圖9(b)插值圖：實(shí)物對(duì)比圖:CrFigure9(b)通過(guò)計(jì)算可以得到樹葉的面積。函數(shù)見附錄1為了減少誤差，選取N片同

24、棵樹相同高度的樹葉，用同樣的方法計(jì)算他們的面 積，然后LeafAreaFigure9gM取他們面積的平均值作為每種樹葉的單片葉片的面積值：(2)由于葉片的年齡結(jié)構(gòu)百分比，大小，密度都存在一定的差異，導(dǎo)致不同層數(shù)的樹 葉的葉面積不相同，因此我們?cè)谶@里將其分為三部分考慮：新年葉，壯年葉，老 年葉，上式已經(jīng)得到壯年葉的單片葉片的面積A，則用同樣的方法可以計(jì)算出新年葉的單片葉片的面積A2，老年葉的單片葉片的面積A3。最后得到整棵樹的單片葉子的平均質(zhì)量為:我們選取了十片葉子（Table5），Table6通過(guò)公式（1）（2）（3），計(jì)算得到了壯年葉片的面積A；同理計(jì)算得到A2，A3下面我們給出一組參數(shù)表，

25、如下AiPiAS1卩2宀2P3(3)Table7變量名稱 | 數(shù)值代入數(shù)據(jù)后，Mtotal=897.1kgWeak nesses and stre ngths of the model我們對(duì)葉形的聚類用了因子分析法，減少了變量的數(shù)目，簡(jiǎn)化我們研究的工作量。我們利用少數(shù)幾個(gè)公共因子去解釋較多個(gè)要觀測(cè)變量中存在的復(fù)雜關(guān)系。 我們運(yùn)用L系統(tǒng)模型抓住了樹木生長(zhǎng)的規(guī)律，較好地估計(jì)了一棵樹的樹葉的質(zhì) 量。對(duì)于單片葉子面積的計(jì)算，考慮了葉片的年齡結(jié)構(gòu)百分比，大小，密度，使 結(jié)果更接近實(shí)際，但是沒(méi)有考慮到葉子的蜷曲的影響。由于時(shí)間緊迫，我們僅對(duì)一些植物進(jìn)行了模擬，沒(méi)有找到大量的數(shù)據(jù)對(duì)我們 的理論進(jìn)行驗(yàn)證。Re

26、fere nee1M一項(xiàng)有趣的觀察一葉形與樹形的相關(guān)呂政濤 山東省萊蕪市2M A Correlation Cluster Analysis of Metasequoia Numerical Characters, LuXudong Li Shunwen Xu Don ghe ng Yan Yiza ng3M西瓜數(shù)量性狀間的相關(guān)聚類分析，崔光泉，山東省德州農(nóng)科所4J中國(guó)西瓜甜瓜，1989,第2期M濕地松數(shù)量性狀間的相關(guān)聚類分析，涂忠虞，潘明建，樊叢梅，邱龍廣 江蘇省林業(yè)N=338564片葉子，則該樹的樹葉總質(zhì)量為:Mtotal科學(xué)研究所6 M Study on simulatingvirtual

27、 growth modeling of Sabian vulgaris姜真杰7 J基于L系統(tǒng)的植物建模方法改進(jìn)，中國(guó)圖像圖形學(xué)報(bào)，20028 M葉序與葉鑲嵌，王科，張淑華，吉林9 M葉片空間分布對(duì)葉片形狀的影響，李正雄，裘哲勇，馮學(xué)蕊，浙江杭州Appendix1 : f1= p1*xA3 + p2*xA2 + p3*x + p4;p1 =-0.000119;p2 =0.04887;p3 =-6.732;p4 =321.9;f(x) = p1*xA3 + p2*xA2 + p3*x + p4p1 = -6.917e-005p2 =0.0128p3 =-0.9604p4 =148第一段上方函數(shù) 0

28、 145p1 = -6.793e-007p2 =0.0003849p3 =-0.07429p4 =5.598p5 =81.26f(x) = p1*xA4 + p2*xA3 + p3*xA2 + p4*x + p5下方函數(shù)f(x) = p1*xA5 + p2*xA4 + p3*xA3 + p4*xA2 + p5*x + p6p1 = 6.377e-008 (-2.975e-006, 3.102e-006)p2=-2.928e-005(-0.001487, 0.001428)p3=0.005018 (-0.2666, 0.2766)p4=-0.3741 (-24.91, 24.16)p5=8.20

29、1(-1065, 1081)p6=278.9(-1.79e+004, 1.845e+004)s1= 1.0732e+004第二段上方函數(shù) 145 221f(x) = p1*xA7 + p2*xA6 + p3*xA5 + p4*xA4 + p5*xA3 + p6*xA2 + p7*x + p8p1 = -2.057e-009p2 =2.681e-006p3 =-0.001492p4 =0.4597p5 =-84.66p6 =9322p7 =-5.68e+005p8 = 1.478e+007s1= 6.8797e+006下方函數(shù)f(x) = p1*xA8 + p2*xA7 + p3*xA6 + p4*xA5 +p5*xA4 + p6*xA3 + p7*xA2 + p8*x + p9; p1 = -4.824e-011p2 = 6.906e-008p3 = -4.309e-005p4 =0.0153p5 =-3.38p6 =476p7 =-4.17e+004p8 = 2.078e+006p9 = -4.51e+007第三段上方函數(shù) 221 26