高等數(shù)學(xué)-第七版-課件-14-2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)

1、一、泰勒級(jí)數(shù)二、初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù) 展開(kāi)式 由泰勒公式知道, 可以將滿(mǎn)足一定條件的函數(shù)表示為一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)的和. 如果能將一個(gè)滿(mǎn)足適當(dāng)條件的函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上表示成一個(gè)冪級(jí)數(shù), 就為函數(shù)的研究提供了一種新的方法. 2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)數(shù)學(xué)分析 第十四章冪級(jí)數(shù)*點(diǎn)擊以上標(biāo)題可直接前往對(duì)應(yīng)內(nèi)容數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社在第六章在第六章3的泰勒定理中曾指出的泰勒定理中曾指出, 若函數(shù)若函數(shù) f 在點(diǎn)在點(diǎn)x0 的某鄰域內(nèi)存在直至的某鄰域內(nèi)存在直至n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)階的連續(xù)導(dǎo)數(shù), 200000()( )()()()()2!fxf xf xfxxxxx這里為這里為( )nRx拉格朗日型余項(xiàng)

2、拉格朗日型余項(xiàng)(1)10( )( )(),(2)(1)!nnnfRxxxn ( )00()()( ),(1)!nnnfxxxRxn其中其中 在在x與與x0之間之間, 稱(chēng)稱(chēng)(1)式為式為 f 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的泰勒公式的泰勒公式. 2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式泰勒級(jí)數(shù)則則后退 前進(jìn) 目錄 退出數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社( )nRx0()nxx由于余項(xiàng)由于余項(xiàng)是關(guān)于是關(guān)于 的高階無(wú)窮小的高階無(wú)窮小, 在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x附近附近 f 可用可用(1)式右邊的多項(xiàng)式來(lái)近似代替式右邊的多項(xiàng)式來(lái)近似代替, 這是泰勒公式帶來(lái)的重要結(jié)論這是泰勒公式帶來(lái)的重要結(jié)論. 再進(jìn)一步再進(jìn)一

3、步, 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f 在在 0 xx處存在任意階導(dǎo)數(shù)處存在任意階導(dǎo)數(shù), 就就可以由函數(shù)可以由函數(shù) f 得到一個(gè)冪級(jí)數(shù)得到一個(gè)冪級(jí)數(shù) 200000()()()()()2!fxf xfxxxxx( )00()(),(3)!nnfxxxn 通常稱(chēng)通常稱(chēng) (3) 式為式為 f 在在 0 xx處的處的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù). 2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式因此因此數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社例例1 由于函數(shù)由于函數(shù)21e,0,( )0,0 xxf xx在在0 x 處的任意階導(dǎo)數(shù)都等于處的任意階導(dǎo)數(shù)都等于0 (見(jiàn)第六章見(jiàn)第六章4 第第 二段末尾二段末尾), ( )(0)0 ,1

4、,2,nfn2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式對(duì)于級(jí)數(shù)對(duì)于級(jí)數(shù)(3)是否能在點(diǎn)是否能在點(diǎn) 0 x附近確切地表達(dá)附近確切地表達(dá) f , 0 x說(shuō)級(jí)數(shù)說(shuō)級(jí)數(shù)(3)在點(diǎn)在點(diǎn) 附近的和函數(shù)是否就是附近的和函數(shù)是否就是 f 本身本身,就是本節(jié)所要著重討論的問(wèn)題就是本節(jié)所要著重討論的問(wèn)題. 這這即即或者或者請(qǐng)先看一個(gè)例子請(qǐng)先看一個(gè)例子. 因此因此 f 在在 0 x 的泰勒級(jí)數(shù)為的泰勒級(jí)數(shù)為 20000.2!nxxxn數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社(,) ( )0S x 顯然它在顯然它在 上收斂上收斂, 且其和函數(shù)且其和函數(shù) . 0 x ( )( )f xS x由由此看到此看到,

5、對(duì)一切對(duì)一切 都有都有 .上例說(shuō)明上例說(shuō)明, 具有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù), 都能收斂于該函數(shù)本身都能收斂于該函數(shù)本身, 那么怎樣的函數(shù)那么怎樣的函數(shù), 其泰勒級(jí)數(shù)才能收斂于它本身呢其泰勒級(jí)數(shù)才能收斂于它本身呢?2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式泰勒級(jí)數(shù)并不泰勒級(jí)數(shù)并不 哪怕在很小的一個(gè)鄰域內(nèi)哪怕在很小的一個(gè)鄰域內(nèi). 定理14.11上等于它的泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù)的充上等于它的泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù)的充 0|xxr對(duì)一切滿(mǎn)足不等式對(duì)一切滿(mǎn)足不等式 的的x,有有 lim( )0,nnRx( )nRx0 x是是f 在點(diǎn)在點(diǎn) 這里這里 泰勒公式的余項(xiàng)泰勒公式的余項(xiàng).設(shè)設(shè) f 在點(diǎn)在點(diǎn)

6、 0 x具有任意階導(dǎo)數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù), 00(,)xr xr那么那么 f 在區(qū)間在區(qū)間分條件是分條件是: 數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社如果如果 f 能在點(diǎn)能在點(diǎn) 0 x的某鄰域上等于其泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù)的某鄰域上等于其泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù),2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式0 x的這一鄰域內(nèi)可展開(kāi)成泰的這一鄰域內(nèi)可展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)勒級(jí)數(shù), 則稱(chēng)函則稱(chēng)函數(shù)數(shù) f 在點(diǎn)在點(diǎn)200000()( )()()()()2!fxf xf xfxxxxx( )00()()(4)!nnfxxxn并稱(chēng)等式并稱(chēng)等式的右邊為的右邊為 f 在在 0 xx處的處的泰勒展開(kāi)式泰勒展開(kāi)式, 或或冪級(jí)數(shù)展開(kāi)

7、式冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式. 數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社( )2(0)(0)(0)(0),1!2!nnffffxxxn稱(chēng)為稱(chēng)為麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù).2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式由級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)可得由級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)可得: 即冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式是唯一的即冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式是唯一的.收斂區(qū)間收斂區(qū)間(,)R R上的和上的和函函數(shù)數(shù), (,)R R上的泰勒展開(kāi)上的泰勒展開(kāi)式式,0nnna x 就是就是 f 在在 則則0nnna x若若 f 為冪級(jí)數(shù)為冪級(jí)數(shù)在在在實(shí)際應(yīng)用上在實(shí)際應(yīng)用上, 主要討論函數(shù)在主要討論函數(shù)在 00 x 處的展開(kāi)式處的展開(kāi)式:數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等

8、教育出版社(1)01( )( )() d ,!xnnnRxftxttn(1)11( )( ),0,(1)!nnnRxfxxn在與之間在與之間(1)11( )()(1),01.!nnnnRxfxxn 2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式從定理從定理14.11知道知道, 下面列出當(dāng)下面列出當(dāng) 00 x 時(shí)的時(shí)的積分型余項(xiàng)、積分型余項(xiàng)、拉格朗日型余項(xiàng)和柯西型余項(xiàng)拉格朗日型余項(xiàng)和柯西型余項(xiàng), 余項(xiàng)對(duì)確定函數(shù)能否展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)余項(xiàng)對(duì)確定函數(shù)能否展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)是極為重要的是極為重要的, 以便于后面的討論以便于后面的討論. 數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社例例2 求下面求下面k次多項(xiàng)式函數(shù)

9、的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式次多項(xiàng)式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.2012( ).kkf xcc xc xc x解解 由于由于( )!,(0)0,nnn cnkfnklim( )0,nnRx總總有有( )2(0)(0)( )(0)(0)2!kkfff xffxxxk即多項(xiàng)式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式就是它本身即多項(xiàng)式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式就是它本身.2012,kkcc xc xc x2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式因而因而數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社例例3 求函數(shù)求函數(shù) f (x) = ex 的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式. 解解 ( )( )( )e ,(0)1(1,2,),n

10、xnfxfn由由于于1e( )(01).(1)!xnnRxxn 顯見(jiàn)顯見(jiàn) | |1e|( )|.(1)!xnnRxxn| |1elim|0,(1)!xnnxn于是對(duì)任何實(shí)數(shù)于是對(duì)任何實(shí)數(shù) x, lim( )0.nnRx因因而而2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式f因因此此的拉格朗日余項(xiàng)為的拉格朗日余項(xiàng)為都有都有數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社14.11由由定定理理得得到到2111e1,(,).1!2!xnxxxxn exy ()3n ()0n x11 O22462 y()2n 2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社例例4

11、 ( )sin ,f xx對(duì)對(duì)于于正正弦弦函函數(shù)數(shù)( )( )sin,1,2,.2nnfxxn1sin+(1)2( )(1)!nnnRxxn ( )sinf xx(,) 所以所以在在上可以展開(kāi)為麥克勞上可以展開(kāi)為麥克勞 ( ).nfRx現(xiàn)現(xiàn)在在考考察察的的拉拉格格朗朗日日型型余余項(xiàng)項(xiàng)林級(jí)數(shù)林級(jí)數(shù):35211sin( 1).3!5!(21)!nnxxxxxn 2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式有有 ,n因因?yàn)闉闀r(shí)時(shí)1|0,(1)!nxn數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社0123456-1-0.500.51xysin(x)n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5y

12、= sin x同樣可證同樣可證(或用逐項(xiàng)求導(dǎo)或用逐項(xiàng)求導(dǎo)), 在在(,) 上有上有242cos1( 1).2!4!(2 )!nnxxxxn 2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社例例5 ( )ln(1)f xx函函數(shù)數(shù)的的各各階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是( )1(1)!( )( 1),(1)nnnnfxx ( )1(0)( 1)(1)!,nnfn 所以所以ln(1)x的麥克勞林級(jí)數(shù)是的麥克勞林級(jí)數(shù)是2341( 1).(5)234nnxxxxxn 用比式判別法容易求得級(jí)數(shù)用比式判別法容易求得級(jí)數(shù)(5)的收斂半徑的收斂半徑1R , 且且 1x 1x 當(dāng)當(dāng)時(shí)收

13、斂時(shí)收斂, 時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散, 2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù)(5)的收斂域的收斂域 ( 1,1 是是 . 下面討論在下面討論在( 1,1 上它的余項(xiàng)的上它的余項(xiàng)的極限極限.數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社當(dāng)當(dāng)01x 時(shí)時(shí), 11( 1)!|( )|(1)!(1)nnnnnRxxn 10().1nn 當(dāng)當(dāng)10 x 時(shí)時(shí), 因因拉格朗日型余項(xiàng)不易估計(jì)拉格朗日型余項(xiàng)不易估計(jì), 故故改改用柯西型余項(xiàng)用柯西型余項(xiàng). 111!|( )|( 1)(1)!(1)nnnnnnRxxnx 111|, 01.11nnxxx 2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式對(duì)拉

14、格朗日型余項(xiàng)對(duì)拉格朗日型余項(xiàng), 有有 此時(shí)有此時(shí)有11(1) 1nxn 數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社10,11,xx 因因故故1|( )0 ().1 |nnxRxnx 所所以以( 1,1 ln(1)x這就證得在這就證得在上上 的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式就是的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式就是(5). 1x ，將將(5)式中式中 x 換成換成 ( )lnf xx 就得到函數(shù)就得到函數(shù) 1x 在在處的泰勒展開(kāi)式處的泰勒展開(kāi)式:21(1)(1)ln(1)( 1),2nnxxxxn 其收斂域?yàn)槠涫諗坑驗(yàn)?(0, 2.2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式101.1x 即即數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出

15、版社例例6 討論二項(xiàng)式函數(shù)討論二項(xiàng)式函數(shù)( )(1)f xx 的展開(kāi)式的展開(kāi)式. 解解 當(dāng)當(dāng) 為正整數(shù)時(shí)為正整數(shù)時(shí), 就是例就是例2.下面討論下面討論 不等于正整數(shù)時(shí)的情形不等于正整數(shù)時(shí)的情形, ( )( )(1)(1)(1),1,2,nnfxnxn ( )(0)(1)(1),1,2,nfnn 于是于是( )f x 的麥克勞林級(jí)數(shù)是的麥克勞林級(jí)數(shù)是2(1)12!xx (1)(1).(6)!nnxn 2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式這時(shí)這時(shí)1R 運(yùn)用比式法運(yùn)用比式法, 可得可得(6)的收斂半徑的收斂半徑. 數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社11(1)()1( )(1),!

16、1nnnnRxxxnx 01. 由比式判別法由比式判別法, 10(1)()| 1,!nnnxxn 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)收收斂斂1(1)()lim0.!nnnxn 2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式在在 內(nèi)考察它的柯西型余項(xiàng)內(nèi)考察它的柯西型余項(xiàng) ( 1,1) 故有故有 11,11,01,1xxx 又又有有且且11.1nx 從而有從而有數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社111| 1,0(1)(1 |)2.xxx 再再當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 有有11(1);xn 于于是是當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)是是與與無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的有有界界量量1 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， 也也有有同同樣樣結(jié)結(jié)論論. .所以在所以在 ( 1,1)( )(1)f

17、 xx 上上的的展展開(kāi)開(kāi)式式為為2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式lim( )0.nnRx,| 1,x 綜綜上上所所述述 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)2(1)(1)12!xxx (1)(1)(7)!nnxn 對(duì)于收斂區(qū)間端點(diǎn)的情形對(duì)于收斂區(qū)間端點(diǎn)的情形, 與與 的取值有關(guān)的取值有關(guān): 數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社11x12 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)得得到到11x2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式(7)1 當(dāng)當(dāng)式式中中時(shí)時(shí)就就得得到到1,( 1,1); 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 收收斂斂域域?yàn)闉?0,( 1,1; 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 收收斂斂域域?yàn)闉?, 1,1. 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 收收斂斂域域?yàn)闉?1( 1),( 1,

18、1).(8)nnxxxx 2311 31 3 51,( 1,1.(9)22 42 4 6xxxx 數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社一般來(lái)說(shuō)一般來(lái)說(shuō), 只有比較簡(jiǎn)單的函數(shù)只有比較簡(jiǎn)單的函數(shù), 根據(jù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的唯一性根據(jù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的唯一性, 2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式間接地求得函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式間接地求得函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式. 其冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式能其冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式能在更多情況下可以從已知的展開(kāi)在更多情況下可以從已知的展開(kāi)通過(guò)變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)通過(guò)變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)前面的展開(kāi)冪級(jí)數(shù)的方法前面的展開(kāi)冪級(jí)數(shù)的方法, 稱(chēng)為稱(chēng)為直接展開(kāi)法直接展開(kāi)法

19、. 用直接展開(kāi)法求得用直接展開(kāi)法求得.式出發(fā)式出發(fā),求積等方法，求積等方法，這就是間接展開(kāi)的根據(jù)這就是間接展開(kāi)的根據(jù).不管用什么方法得到的不管用什么方法得到的冪級(jí)數(shù)的系數(shù)都是一樣的冪級(jí)數(shù)的系數(shù)都是一樣的.數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社2x2x 例例7 以以與與分別代入分別代入(8)與與(9)式式, 可得可得211x211x對(duì)對(duì) (10)、(11)分別逐項(xiàng)求積可得分別逐項(xiàng)求積可得2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式201arctand1xxttxxx3535 nnxn21( 1), 1,1,21 221( 1),( 1,1),(10)nnxx2411 31, ( 1,1)

20、.(11)22 4xx201arcsind1xxtt35711 31 3 5, 1,1.2 32 452 4 67xxxx 數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社11ln(1)( 1)(1,1,nnnxxxn 利利用用，得得111nnnnxxnn 221nnnnxxxnn 2 1,1).(1nnxxxn n ，）(1)ln(1)xx 0 x 例例8 求求 在在處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式式. 1ln(1)1,1)nnxxxn ，1(1)ln(1)(1)()nxnnxxx因此因此2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式解解 熟練掌握某些初等函數(shù)的展開(kāi)式，熟練掌握某些初等函數(shù)的展開(kāi)式

21、，對(duì)于今后用間接方法求冪級(jí)數(shù)展開(kāi)十分方便對(duì)于今后用間接方法求冪級(jí)數(shù)展開(kāi)十分方便. 特別是例特別是例3 例例7的結(jié)果的結(jié)果,數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社2(1)nnxxn n 由由于于的的收收斂斂域域?yàn)闉?-1,1-1,1 ，(1)ln(1) 1,1).xx 嚴(yán)嚴(yán)格格地地講講只只是是它它在在上上的的和和函函數(shù)數(shù)2(1)ln(1), 1,1),(10,1.nnxxxxxn nx ）210,(1)nnxxxn n 而而當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，的的和和是是用類(lèi)似方法可得用類(lèi)似方法可得2111ln2,( 1,1)121nnxxxxn . (13)2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式所以所以數(shù)

22、學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社ln20.0001.例例9 計(jì)算計(jì)算 的近似值的近似值, 精確到精確到 11ln(1)( 1)nnnxxn 1x 解解 可以在展開(kāi)式可以在展開(kāi)式 中令中令 , 得得 11( 1)ln2nnn . 1|( )|1nRxn . 級(jí)數(shù)前級(jí)數(shù)前10000項(xiàng)的和項(xiàng)的和, 2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式13x 得得，121xx ，令令代入代入(13)式式, 32111111ln22.33 321 3nn 有有這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù), 故有故有為了誤差小于為了誤差小于0.0001, 就必須計(jì)算就必須計(jì)算 為此在為此在(13)式中式中收斂得太慢收斂得太慢. 數(shù)學(xué)分析 第十四章 冪級(jí)數(shù)高等教育出版社估計(jì)余項(xiàng)估計(jì)余項(xiàng):212311110221 323 3nnnRnn21242111(21) 333nn 2121213211,(21) 314(21) 3nnnn2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式471100.00014 9 378732R ，取取n=4, 有有 因此因此 3571