通信原理--隨機(jī)過程

1、北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析第 2 章 隨機(jī)信號分析3.1 引言引言3.2 隨機(jī)過程一般描述隨機(jī)過程一般描述3.3 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜3.5 高斯過程高斯過程3.6 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程3.7 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲3.8 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)1北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析3.1 引 言 自

2、然界中事物的變化過程自然界中事物的變化過程確定性過程確定性過程 變化過程可以用一個或幾變化過程可以用一個或幾個時間個時間t的確定函數(shù)來描述。的確定函數(shù)來描述。隨機(jī)過程隨機(jī)過程 變化的過程不可能用一個或幾變化的過程不可能用一個或幾個時間個時間t的確定函數(shù)來描述。的確定函數(shù)來描述。隨機(jī)信號隨機(jī)信號和和隨機(jī)噪聲隨機(jī)噪聲的基本概念的基本概念 隨機(jī)信號：隨機(jī)信號：實(shí)際通信系統(tǒng)中由信源發(fā)出的信息是隨機(jī)的，實(shí)際通信系統(tǒng)中由信源發(fā)出的信息是隨機(jī)的，或者說是不可預(yù)知的，因而攜帶信息的信號也是隨機(jī)的，這種或者說是不可預(yù)知的，因而攜帶信息的信號也是隨機(jī)的，這種具有隨機(jī)性的信號稱為具有隨機(jī)性的信號稱為隨機(jī)信號隨機(jī)信號

3、。 隨機(jī)噪聲：隨機(jī)噪聲：攜帶了信息的信號在傳輸過程中將受到噪聲的污攜帶了信息的信號在傳輸過程中將受到噪聲的污染，而噪聲也是隨機(jī)的染，而噪聲也是隨機(jī)的,稱為稱為隨機(jī)噪聲隨機(jī)噪聲。2北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析3.2 隨機(jī)過程的一般描述 描述隨機(jī)信號的數(shù)學(xué)工具是描述隨機(jī)信號的數(shù)學(xué)工具是隨機(jī)過程隨機(jī)過程。 隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)定義隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)定義： 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的可能結(jié)果為的可能結(jié)果為(t)，試驗(yàn)的樣本空間試驗(yàn)的樣本空間S為為 x1(t), x2(t)， , xn(t),， xi(t)是第是第i次試

4、驗(yàn)的樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)，每次試驗(yàn)的樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)，每次試驗(yàn)得到一個樣本函數(shù)，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體就構(gòu)次試驗(yàn)得到一個樣本函數(shù)，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體就構(gòu)成一隨機(jī)過程，記作成一隨機(jī)過程，記作(t)。兩層含義：兩層含義：隨機(jī)過程隨機(jī)過程(t)在任一時刻都是隨機(jī)變量；在任一時刻都是隨機(jī)變量；隨機(jī)過程隨機(jī)過程(t)是大量樣本函數(shù)的集合。是大量樣本函數(shù)的集合。3北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析x1(t)x2(t)xn(t)ttt樣本空間S1S2Sn(t)tk隨機(jī)過程隨機(jī)過程：無窮多個隨機(jī)函數(shù)的總體在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱作一

5、個：無窮多個隨機(jī)函數(shù)的總體在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱作一個 隨機(jī)函數(shù)的總集隨機(jī)函數(shù)的總集（又稱隨機(jī)過程）（又稱隨機(jī)過程）4北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析其一，它是一個時間函數(shù)；其一，它是一個時間函數(shù)；其二，在固定的某一觀察時刻其二，在固定的某一觀察時刻t1，(t1)是隨機(jī)變量。是隨機(jī)變量。隨機(jī)過程具有隨機(jī)變量和時間函數(shù)的特點(diǎn)。隨機(jī)過程具有隨機(jī)變量和時間函數(shù)的特點(diǎn)。隨機(jī)過程隨機(jī)過程(t)在任一時刻都是隨機(jī)變量；在任一時刻都是隨機(jī)變量；隨機(jī)過程隨機(jī)過程(t)是大量樣本函數(shù)的集合。是大量樣本函數(shù)的集合。3.2.1 隨機(jī)過

6、程基本特征當(dāng)隨機(jī)變量當(dāng)隨機(jī)變量x的取值個數(shù)是的取值個數(shù)是有限有限的或的或可數(shù)無窮個可數(shù)無窮個時，則稱它時，則稱它為為離散隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量；否則，就稱它為；否則，就稱它為連續(xù)隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量，即可能的，即可能的取值充滿某一有限或無限區(qū)間。取值充滿某一有限或無限區(qū)間。5北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析1111111),(),(xtxFtxf 3.2.2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述1 1隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù) 設(shè)設(shè)(t)表示一個隨機(jī)過程，在任意給定的時刻表示一

7、個隨機(jī)過程，在任意給定的時刻t1T， 其取其取值值(t1)是一個一維隨機(jī)變量。是一個一維隨機(jī)變量。一維分布函數(shù)一維分布函數(shù)：隨機(jī)變量：隨機(jī)變量(t1)小于或等于某一數(shù)值小于或等于某一數(shù)值x1的概率的概率即：即：F1(x1,t1)=P(t1）x1 為隨機(jī)過程為隨機(jī)過程(t)的的一維一維分布函數(shù)。分布函數(shù)。一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù) 隨機(jī)過程的隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)（一維分布函數(shù)（或一維概率密度函數(shù)）僅僅描或一維概率密度函數(shù)）僅僅描述了隨機(jī)過程在各個述了隨機(jī)過程在各個孤立時刻孤立時刻的統(tǒng)計(jì)特性。的統(tǒng)計(jì)特性。6北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系

8、第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析 任給兩個時刻任給兩個時刻t1, t2T，則隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量(t1)和和(t2)構(gòu)成一個構(gòu)成一個二元二元隨機(jī)變量隨機(jī)變量(t1), (t2)，把兩個事件把兩個事件(t1) x1)和和(t2) x2)同時出現(xiàn)同時出現(xiàn)的概率定義為二維隨機(jī)變量的概率定義為二維隨機(jī)變量(t)的的二維分布函數(shù)二維分布函數(shù)。F2(x1,x2; t1,t2)=P(t1)x1, (t2)x22121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxf 二維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù)二維分布函數(shù)二維分布函數(shù)n維分布函數(shù)維分布函數(shù)Fn(x1,xn; t1,tn)=P(t1)

9、x1,(tn)xn n維概率密度函數(shù)維概率密度函數(shù)nnnnnnxxxtttxxFtttxxxf .).,.;,().,;.,(212, 121221217北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析2. 2. 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的一維數(shù)字特征隨機(jī)過程的一維數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 設(shè)設(shè)P(xi)(i=1,2,K)是是離散離散隨機(jī)變量隨機(jī)變量(t)的取值的取值xi的概率，的概率，則其數(shù)學(xué)期望為：則其數(shù)學(xué)期望為：)()()(1taxPxtEKiii 對于連續(xù)隨機(jī)變量對于連續(xù)隨機(jī)變量X，設(shè)，設(shè)f

10、 (x)為其概率密度函數(shù)，則其數(shù)為其概率密度函數(shù)，則其數(shù)學(xué)期望為：學(xué)期望為：)()()(tadxxxftE 它本該在它本該在t1時刻求得，但時刻求得，但t1是任意的，所以它是時間是任意的，所以它是時間t 的函數(shù)。的函數(shù)。反映了隨機(jī)變量取值的集中位置（反映了隨機(jī)變量取值的集中位置（均值均值）8北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析方差：方差： 22)()()(tatEtD 隨機(jī)過程的二維數(shù)字特征隨機(jī)過程的二維數(shù)字特征自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù) 用來衡量任意兩個時刻上獲得的隨機(jī)變量的用來衡量任意兩個時刻上獲得的隨機(jī)

11、變量的統(tǒng)計(jì)相關(guān)特性統(tǒng)計(jì)相關(guān)特性)()()()(),(221121tattatEttB 21212122211),;,()()(dxdxttxxftaxtax dxxftat )()()(2自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR 反映了隨機(jī)變量的集中程度反映了隨機(jī)變量的集中程度9北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析二者關(guān)系為二者關(guān)系為)()(),(),(212121tEtEttRttB 如果如果B（t1，t2）和和R（t1，t2）是衡量同一隨

12、機(jī)過程不同時刻是衡量同一隨機(jī)過程不同時刻的相關(guān)程度的，稱為的相關(guān)程度的，稱為自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)和和自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)。 如果是兩個或多個隨機(jī)過程，用如果是兩個或多個隨機(jī)過程，用互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)和和互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)描述不同隨機(jī)過程在不同時刻的相關(guān)程度。描述不同隨機(jī)過程在不同時刻的相關(guān)程度。)()()()(),(221121tattatEttB )()(),(2121ttEttR 引入時間間隔引入時間間隔： 12tt自相關(guān)函數(shù)定義：自相關(guān)函數(shù)定義：)()()( ttER10北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信

13、號分析隨機(jī)信號分析 xaxaaxf其其它它021)(試求下列均勻概率密度函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。試求下列均勻概率密度函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。362)()()(, 042)()(23222aaxdxaxdxxftaxxDaxdxaxdxxxfxEaaaaaaaa 解解：)()()(tadxxxftE 例例11dxxftat )()()(22 自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：)()0()(2tERa )()()( RRb)0()()(RRc 互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：)()()( RRa)0()0()()(RRRb )0()0(21)()(RRRc 0)( R如果如果表示兩個隨機(jī)過程是不

14、相關(guān)（正交的隨機(jī)過程）表示兩個隨機(jī)過程是不相關(guān)（正交的隨機(jī)過程）11北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析3.3 平穩(wěn)隨機(jī)過程3.3.1 3.3.1 定義定義 對于任意的正整數(shù)對于任意的正整數(shù)n和任意實(shí)數(shù)和任意實(shí)數(shù)t1，t2，.，tn，隨機(jī)過程，隨機(jī)過程(t)的的n維概率密度函數(shù)滿足維概率密度函數(shù)滿足),;,(),;,(21212121 nnnnnntttxxxftttxxxf則稱則稱(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程（為平穩(wěn)隨機(jī)過程（嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程或或狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程）. .一維分布函數(shù))(),(),(11111xftx

15、ftxf 二維分布函數(shù)),;,(),;,(1121221212 ttxxfttxxf平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望 adxxxfdxtxxftEta)(),()()(112.3.2 2.3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程的特點(diǎn)平穩(wěn)隨機(jī)過程的特點(diǎn)12北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程的方差212122)(),()()()( dxxfaxdxtxftaxtDt平穩(wěn)隨機(jī)過程的一維概率密度與時間無關(guān)；平穩(wěn)隨機(jī)過程的一維概率密度與時間無關(guān)；二維概率密度只與時間間隔二維概率密度只與時間間隔有關(guān)；有關(guān)；數(shù)學(xué)期望和方差均與時間無關(guān)

16、；數(shù)學(xué)期望和方差均與時間無關(guān)；它的自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔它的自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)。有關(guān)。推論自相關(guān)函數(shù))();,()()(),(21212211111RdxdxxxfxxttEttR 13北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析3.3.3 3.3.3 廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程 定義： 若隨機(jī)過程若隨機(jī)過程(t)的數(shù)學(xué)期望和方差與時間無關(guān)，自相關(guān)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差與時間無關(guān)，自相關(guān)函數(shù)僅是僅是的函數(shù)，則稱它為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。的函數(shù)，則稱它為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。各態(tài)歷

17、經(jīng)性假設(shè)假設(shè) 是一個平穩(wěn)隨機(jī)過程是一個平穩(wěn)隨機(jī)過程)(t 該隨機(jī)過程該隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均（數(shù)學(xué)期望）可用（數(shù)學(xué)期望）可用時間平均時間平均代替代替adttxTtEaTTT 22)(1lim)(14北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析 該隨機(jī)過程該隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)自相關(guān)函數(shù)統(tǒng)計(jì)自相關(guān)函數(shù)可用可用時間自相關(guān)函數(shù)時間自相關(guān)函數(shù)代替代替稱該平穩(wěn)隨機(jī)過程具有稱該平穩(wěn)隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）。（遍歷性）。)()()(1lim)()()(2221RdttxtxTttERTTT “各態(tài)歷經(jīng)”的含義：隨機(jī)過

18、程中的隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)任一實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。過程的所有可能狀態(tài)。 該隨機(jī)過程的該隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)方差統(tǒng)計(jì)方差可用可用時間方差時間方差代替代替222222)(1lim)( TTTdtatxTtE15北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析 試證明隨相信號試證明隨相信號 是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。其中，其中， 是常數(shù)，相位是常數(shù)，相位 是在是在 上均勻分布的隨機(jī)變量。上均勻分布的隨機(jī)變量。)cos()(0 tAt0,A20例2)sinsincoscos)cos()( t

19、tAEtAEta000 )(cos)cos(),( tAtAEttR00)sinsincoscos tEAtEA00 2002002121dtAdtAsinsincoscos 22)()()(tatEt 20)cos( tAE )(cos tEA0221222A 0 )cos(cos 2220002 tEA)cos(cos 222200202 tEAA 022cosA 16北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)和功率譜密度3.4.1 自相關(guān)函數(shù)的意義平穩(wěn)隨機(jī)過程的平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)

20、計(jì)特性統(tǒng)計(jì)特性（如數(shù)字特征等）可通過自相關(guān)（如數(shù)字特征等）可通過自相關(guān) 函數(shù)來描述；函數(shù)來描述；自相關(guān)函數(shù)與平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜特性譜特性有著內(nèi)在的聯(lián)系。有著內(nèi)在的聯(lián)系。3.4.2 自相關(guān)函數(shù)主要性質(zhì) R(0)為為(t)的的平均功率平均功率)()0(2tER R()為為偶函數(shù)偶函數(shù))()( RR)0()(RR )()(2tER 2)()0( RR R(0)為為R()的的上界上界 R()為為(t)的的直流功率直流功率 R(0)-R()為為(t)的的交流功率交流功率( (方差方差) )()()( ttER17北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系

21、電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析3.4.3 平穩(wěn)隨機(jī)過程的頻譜特性 確定信號確定信號f(t)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間有確定的傅的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間有確定的傅 立葉變換關(guān)系。立葉變換關(guān)系。 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程(t)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間也互的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間也互 為傅立葉變換關(guān)系。為傅立葉變換關(guān)系。)()( PR dePRdeRPjj)(21)()()(上式也稱之為上式也稱之為維納維納- -辛欽定理辛欽定理（具體推倒過程詳見（具體推倒過程詳見P17-18）。）。18北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)

22、系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析 例例33 某隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)為某隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)為R()，求功率譜密度。求功率譜密度。 其其它它,02,2)(sR解解: : deRPj)()( 222 dej2212 jejjeejj2422 )2(8 Sa 19北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析求隨機(jī)相位正弦波求隨機(jī)相位正弦波 的自相關(guān)函數(shù)與功率的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度，譜密度， 常數(shù)，常數(shù)， 在（在（0 0，2 2）均勻分布。）均勻分布。)sin()(0 tt0 例例44(1) (1)

23、 先考察先考察(t)是否廣義平穩(wěn)。是否廣義平穩(wěn)。 解解: :)sin()(0 tEtasincoscossin00ttE 0)()(),(2121ttEttR 0cos21 )()(cos000 )(2)(2)(00 P（2）計(jì)算）計(jì)算(t)的功率譜密度的功率譜密度 21)(2cos121)sin()()()(02022 tEtEtatEt20北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析3.53.5 高斯過程 3.3.1 高斯分布概率密度函數(shù)及其特點(diǎn) 一維高斯分布概率密度函數(shù)一維高斯分布概率密度函數(shù) xaxxf2)

24、(exp21)(22 f (x)12Oax 一維高斯分布概率密度函數(shù)的特點(diǎn)一維高斯分布概率密度函數(shù)的特點(diǎn) 對稱于均值對稱于均值 a ; a表示分布中心，表示分布中心，表示集中程度表示集中程度;21)()( aadxxfdxxf1)( dxxf ； 當(dāng)當(dāng)a=0，=1時時，稱稱 f (x) 為為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。的密度函數(shù)。 在在(-，a)單調(diào)上升單調(diào)上升,(a，)單調(diào)下降單調(diào)下降;)2exp(21)(2xxf 21北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析 正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù) axdzazx

25、tPxFx22221)(exp)()(dzexxz 2/221)( 概率積分函數(shù)概率積分函數(shù) 誤差函數(shù)誤差函數(shù)( (互補(bǔ)誤差函數(shù)互補(bǔ)誤差函數(shù)) )與概率積分函數(shù)的關(guān)系與概率積分函數(shù)的關(guān)系 誤差函數(shù)的定義式：誤差函數(shù)的定義式：xzdzexerf022)( 互補(bǔ)誤差函數(shù)：互補(bǔ)誤差函數(shù)：)(1)(xerfxerfc xzdze22 0)0(erf1)(erf)()(xerfxerf1)0(erfc0)(erfc)(2)(xerfcxerfc22北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析 與概率積分函數(shù)的關(guān)系與概率積分函

26、數(shù)的關(guān)系xadzazxFx2)(exp21)(22 dzazxa2)(exp212122 22121axerfxzdzexerf022)( xf (x)12Oax (P47)x adzazxFx2)(exp21)(22 dzazx2)(exp21122 f (x)12Oaxx 2211axerfcxzdzexerfc22)( 23北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析3.5.1 高斯過程的定義 njnkkkkjjjjknnnnaxaxtttxxxf11212122121BB21expB)2(1),;,( 若隨

27、機(jī)過程若隨機(jī)過程(t)的任意的任意n維（維（n=1, 2, ）分布都是正態(tài)分布，）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過程或正態(tài)過程。其則稱它為高斯隨機(jī)過程或正態(tài)過程。其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表維正態(tài)概率密度函數(shù)表示如下：示如下：其中其中: : )(kktEa 22)(kkkatE ( (詳細(xì)敘述見詳細(xì)敘述見P19）24北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析高斯過程的高斯過程的n維分布完全由維分布完全由n個隨機(jī)變量的個隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之間的和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)歸一化協(xié)方差函數(shù)所

28、決定。因此對于高斯過所決定。因此對于高斯過程，只要研究它的程，只要研究它的數(shù)字特征數(shù)字特征就可以了。就可以了。如果過程是如果過程是寬平穩(wěn)的，即其的，即其均值均值與時間無關(guān)，與時間無關(guān)，協(xié)方差協(xié)方差函數(shù)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點(diǎn)無關(guān)，則它的只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點(diǎn)無關(guān)，則它的n維分布也維分布也與時間起點(diǎn)無關(guān)，故它也是與時間起點(diǎn)無關(guān)，故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。的。如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，則即對所有如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，則即對所有jk，有有bjk=0，于是于是3.5.2 高斯過程的特點(diǎn) njjjjaxnjjnnef1222)(12/)2(1 222)(121j

29、jjaxnjje njjxf1)(統(tǒng)計(jì)獨(dú)立25北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析 例例55一一高斯信號，概率密度函數(shù)為高斯信號，概率密度函數(shù)為 。4)10(221)( xexf 1 1、求、求此此信號小于信號小于5V的概率的概率2 2、求此信號大于求此信號大于15V的概率的概率 解解 5)() 5() 1 (dxxfxP0002050999591211. 10215（2）15)()15(dxxfxP15)(1dxxf22121221211axerfaxerf)5 . 2(2121210152121erfe

30、rf000205. 0102115)2(211 axerfc 22121axerfxF)( 2211axerfcxF)(26北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析3.6 窄帶隨機(jī)過程3.6.1 窄帶隨機(jī)過程的定義通信系統(tǒng)示意圖通信系統(tǒng)示意圖窄帶條件窄帶條件 中心頻率為中心頻率為 fc，帶寬為帶寬為f，當(dāng)當(dāng)f fc 時，就可認(rèn)為滿足窄帶條件。時，就可認(rèn)為滿足窄帶條件。 窄帶隨機(jī)過程：窄帶隨機(jī)過程： 當(dāng)隨機(jī)過程的功率譜滿足窄帶條件。當(dāng)隨機(jī)過程的功率譜滿足窄帶條件。窄帶濾波器：窄帶濾波器： 帶通濾波器的傳輸函數(shù)滿足

31、窄帶條件。帶通濾波器的傳輸函數(shù)滿足窄帶條件。 27北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析 fcOS( f )fffcf(a)tOS( f )緩慢變化的包絡(luò) a(t)頻率近似為 fc(b)一個頻率近似為一個頻率近似為fc，包絡(luò)和相位隨機(jī)緩變的正弦波，包絡(luò)和相位隨機(jī)緩變的正弦波)(tx28北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析3.6.2 窄帶過程的數(shù)學(xué)表示用包絡(luò)和相位的變化表示用包絡(luò)和相位的變化表示 用同相分量和正交分量表示用同

32、相分量和正交分量表示 0)()(cos)()( tatttatc ，tttatttatcc sin)(sin)(cos)(cos)()( ttttcscc sin)(cos)()(cos)()(ttatc )(sin)()(ttats 同相分量同相分量正交分量正交分量是包絡(luò)隨機(jī)過程是包絡(luò)隨機(jī)過程)(ta 是相位隨機(jī)過程是相位隨機(jī)過程)(t 29北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析3.6.3 零均值平穩(wěn)高斯窄帶隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 sin)(cos)()(ttttEtEcscc ttEttEcs

33、cc sin)(cos)(0)(tEc 0)(tEs 0)(tE 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù))(),()(),()(),( ssccRttRRttRRttR 互相關(guān)性互相關(guān)性0)0(csR 0)0(scR 即同一時刻即同一時刻 和和 互不相關(guān)或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立互不相關(guān)或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立c s 30北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析)0()0()0(scRRR 222sc )()(2tER 2)()0( RR方差方差 一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，它的同相分量它的同相分量c(t) 和正交分量

34、和正交分量s(t)也是平穩(wěn)高斯過程，也是平穩(wěn)高斯過程， c(t)與與s(t)互不相關(guān)，若為高斯過程則統(tǒng)計(jì)獨(dú)立；互不相關(guān)，若為高斯過程則統(tǒng)計(jì)獨(dú)立； 具有相同的平均功率具有相同的平均功率(均方值均方值)。重要結(jié)論重要結(jié)論31北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析3.6.4 包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性分布函數(shù)分布函數(shù)02exp)(222 aaaaf服從瑞利分布服從瑞利分布 2021)(f服從均勻分布服從均勻分布瑞利分布的特點(diǎn)：瑞利分布的特點(diǎn)：a概率分布的用途：概率分布的用途：在數(shù)據(jù)通信系統(tǒng)中用來求解誤碼率。在數(shù)據(jù)通信系統(tǒng)

35、中用來求解誤碼率。 最大值發(fā)生在最大值發(fā)生在a處。處。 一維分布而言，一維分布而言，a(t(t) )與與(t(t) )是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，即有下式成立：是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，即有下式成立：)()(),( fafaf 32北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析3.6.5 白噪聲白噪聲的定義白噪聲的定義功率譜密度在整個頻域內(nèi)都是均勻分布的噪聲，稱之為白噪聲功率譜密度在整個頻域內(nèi)都是均勻分布的噪聲，稱之為白噪聲. HzWnP/2)(0 白噪聲的自相關(guān)函數(shù)白噪聲的自相關(guān)函數(shù))()( PR維納維納- -辛欽定理辛欽定理)()()(

36、201nPFR )( R)(20 noo)( P20nf 白噪聲的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度白噪聲的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度 33北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析帶限白噪聲帶限白噪聲 fffnP其其余余02)(00 白噪聲被限制在白噪聲被限制在（ f1 ，,f2）之內(nèi)。之內(nèi)。常見的限帶白噪聲有兩種常見的限帶白噪聲有兩種a.a.理想低通型白噪聲理想低通型白噪聲b.b.理想帶通型白噪聲理想帶通型白噪聲 理想低通白噪聲：理想低通白噪聲： 20)()( HPPninR()P(w)帶限白噪聲1/2f0n0/2f0-f0)(

37、)( PFR1 )(2sin200000002000 Sannfdfenfffj 34北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析 理想帶通白噪聲理想帶通白噪聲 其余其余0222)(000BBnP)()( PFR1 22022000002222BBjBBjdenden 00cossinBBBn 35北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析高斯白噪聲高斯白噪聲概率論的中心極限定理：概率論的中心極限定理： N個個統(tǒng)計(jì)獨(dú)立統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變

38、量的隨機(jī)變量之和之和的分布，在的分布，在N的極限情況的極限情況下，趨于下，趨于高斯分布高斯分布，而不考慮每個隨機(jī)變量的具體分布如何。，而不考慮每個隨機(jī)變量的具體分布如何。熱噪聲和散粒噪聲熱噪聲和散粒噪聲瞬時振幅的概率密度瞬時振幅的概率密度是是高斯分布高斯分布。熱噪聲和散粒噪聲是熱噪聲和散粒噪聲是高斯型白噪聲高斯型白噪聲。 如果白噪聲服從高斯分布，則稱之為高斯白噪聲。高斯白噪聲在任意兩個不同的時刻的取值不僅是不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。36北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析3.7 正弦波加窄帶高斯過程)c

39、os()( tAtsc設(shè)信號：設(shè)信號：窄帶高斯噪聲：窄帶高斯噪聲：混合波形：混合波形：同相分量：同相分量：正交分量：正交分量：ttyttxtncc sin)(cos)()(0 )()()(0tntstr sin)(cos)()cos(ttyttxtAccc ttyAttxAcc sin)(sincos)(cos)(cos)(txAtzc )(sin)(tyAtzs 均值為零的窄帶高斯過程均值為零的窄帶高斯過程3.7.1 用同相分量，正交分量描述通信系統(tǒng)示意圖通信系統(tǒng)示意圖)(ts)(tr)(tni正弦波正弦波在在(0,2)均勻分布均勻分布)()(0tnts 37北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工

40、程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析3.7.2 用信號r(t)的包絡(luò)和相位描述)()()(sin)(cos)(2222tztztyAtxAtzsc )()(arctan)(tztztcs 隨機(jī)包絡(luò)隨機(jī)包絡(luò)隨機(jī)相位隨機(jī)相位r(t)的包絡(luò)的概率密度函數(shù)為（的包絡(luò)的概率密度函數(shù)為（具體推導(dǎo)具體推導(dǎo)見見P26-28P26-28）0)()(21exp)/(202222 zAzIAzzzf 廣義瑞利分布廣義瑞利分布萊斯（萊斯（Rice）密度函數(shù)）密度函數(shù)100)(I0A02exp)(222 aaaaf02222zzzzf)exp()( 瑞利分布瑞利分

41、布 兩種極限情況兩種極限情況)(1（小信號）（小信號）38北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析)(2 3AxexIx 20)()(exp)(22221 Azzf2)(exp21)(22 axxf高斯分布高斯分布（大信號）（大信號）r(t)的相位的概率密度函數(shù)的相位的概率密度函數(shù)小信噪比時小信噪比時f()接近于均勻分布接近于均勻分布 2020dffdff)()/(),()(大信噪比時大信噪比時f()主要集中在有用信號相位附近主要集中在有用信號相位附近n f (z)0.50.40.30.20.1r 0nAz(a

42、) 0r 0f ( )(b)0r 1r 139北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析3.8 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)3.8.1 經(jīng)典系統(tǒng)分析的回顧時域時域 確定性信號通過線性系統(tǒng)確定性信號通過線性系統(tǒng))()()(thtftfi0頻域頻域 )()()( HFFi0譜密度之間的關(guān)系譜密度之間的關(guān)系 20)()()( HPPi2.6.2 輸入是平穩(wěn)隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) dthi)()(0)()()(thtti 0需要解決兩個問題：需要解決兩個問題：a a、輸入平穩(wěn)，輸出平穩(wěn)否、輸入平穩(wěn)，輸

43、出平穩(wěn)否? ?b b、輸入、輸出功率譜密度之間的關(guān)系。、輸入、輸出功率譜密度之間的關(guān)系。40北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析3.6.3 輸出隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望)(0t 條件假設(shè)：條件假設(shè)：i(t)平穩(wěn)，平穩(wěn)，Ei(t)為已知，為已知，h(t(t) )為已知為已知, ,00 dthEtEi)()()(0 dtEhi)()()()(tEtEii 根據(jù)平穩(wěn)性假定：根據(jù)平穩(wěn)性假定：（常數(shù)）（常數(shù)）i 00 dhtEi)()()(0Hi dtethHtj0 )()(輸出過程的數(shù)學(xué)期望與t無關(guān)。41北京工商大學(xué)北京工商大學(xué) 信息工程學(xué)院信息工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)系電子科學(xué)與技術(shù)系第第3 3章章 隨機(jī)信號分析隨機(jī)信號分析 的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù))(t0 )()(),( 1010110ttEttR)()()()( dthdthEii1001 d