高等數(shù)學(xué) 格林公式

1、第四節(jié)第四節(jié) 格林公式格林公式一、格林一、格林(Green)公式公式二、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件二、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件三、二元函數(shù)的全微分求解三、二元函數(shù)的全微分求解* 四、曲線積分基本定理四、曲線積分基本定理一、格林公式一、格林公式1. 區(qū)域連通性區(qū)域連通性設(shè)設(shè) D 為平面區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域 , 如果如果 D 內(nèi)任一閉曲線所圍成的內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于部分都屬于 D , 則稱則稱 D 為平面單連通區(qū)域?yàn)槠矫鎲芜B通區(qū)域 , 否則否則稱為復(fù)連通區(qū)域稱為復(fù)連通區(qū)域. .復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域DD2. 正向邊界曲線正向邊界曲線 D+ OxyOxy1L2L D由由L1與與L

2、2連成連成1L2L D由由L1與與L2連成連成邊界曲線邊界曲線 D 的正向的正向: :當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí)當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí), 區(qū)域區(qū)域D總總在他的左邊在他的左邊. . D的正向邊界曲線記為的正向邊界曲線記為: D+.平面單連通區(qū)域平面單連通區(qū)域: 邊界曲線的逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎蜻吔缜€的逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?平面復(fù)連通區(qū)域平面復(fù)連通區(qū)域: 邊界曲線的外圈邊界曲線的外圈, 逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎蚰鏁r(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?邊界曲線的里圈邊界曲線的里圈, 順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎蝽槙r(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?3、格林、格林 (Green ) 公式公式定理定理1 1 設(shè)設(shè) xoy 面上的有界閉區(qū)域面上的有界閉區(qū)域 D 的邊界曲線的邊界曲線

3、 D由有限條光滑或分段光滑的曲線所組成由有限條光滑或分段光滑的曲線所組成, 函數(shù)函數(shù) P(x, y), Q(x, y) 在在 D 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有則有: :)1(d),(d),(dd)( yyxQxyxPyxyPxQD D公式公式(1)叫做叫做格林公式格林公式.格林公式的實(shí)質(zhì)格林公式的實(shí)質(zhì): : 溝通了沿閉曲線的積分與二重積溝通了沿閉曲線的積分與二重積分之間的聯(lián)系分之間的聯(lián)系.4、格林公式的格林公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用簡(jiǎn)單應(yīng)用情形情形1：L是封閉曲線且在是封閉曲線且在L所圍區(qū)域所圍區(qū)域D內(nèi)內(nèi)P、Q無(wú)奇點(diǎn)無(wú)奇點(diǎn), 1) 簡(jiǎn)化第二類曲線積分簡(jiǎn)化第二類曲線積分 的計(jì)算的計(jì)算.

4、. LyQxPdd(奇點(diǎn)奇點(diǎn)：P 或或Q無(wú)定義或偏導(dǎo)不存在或偏導(dǎo)不連續(xù)的點(diǎn)無(wú)定義或偏導(dǎo)不存在或偏導(dǎo)不連續(xù)的點(diǎn)). )2 , 0(),2 , 1(),0 , 0( ,d)2(d)2( 22的正向邊界的正向邊界的的為頂點(diǎn)為頂點(diǎn)是以是以其中其中計(jì)算計(jì)算OABBAOLyxyyxxyxL 例1例1xyoAB12D.2 I則可直接應(yīng)用格林公式則可直接應(yīng)用格林公式. )2 , 0(),2 , 1(),0 , 0( ,d)2(d)2( 22的正向邊界的正向邊界的的為頂點(diǎn)為頂點(diǎn)是以是以其中其中計(jì)算計(jì)算OABBAOLyxyyxxyxL 例1例1xyoAB12D解解,22xyxP 令令,22xyyQ ,2yQx 則

5、則,2xPy 記記L所圍區(qū)域?yàn)樗鶉鷧^(qū)域?yàn)?D , Dyxxydd)22(則原積分則原積分 1022d)22(dxyxyx 10d)44(xx.2 情形情形2：L 是非封閉曲線是非封閉曲線,. , )0 , 0( )0 ,( ,d)cos(d)(sin( 22為任意常數(shù)為任意常數(shù)到到從從為上半圓周為上半圓周其中其中計(jì)算計(jì)算mOaAaxyxLymyexyxmyeLxx 例2例2解解,d),(d),( LyyxQxyxP記原積分記原積分xyOA,cos yeQxx 則則,cosmyePxy D作定向線段作定向線段它與它與L所圍閉區(qū)域記為所圍閉區(qū)域記為 D, ,0:, 0:axyOA OAOALyQx

6、PyQxPdddd則原積分則原積分 Dyxmdd axmx0d281am 221am ).4(812 am可添加輔助線化為情形可添加輔助線化為情形1.2) 簡(jiǎn)化二重積分的計(jì)算簡(jiǎn)化二重積分的計(jì)算. )1 , 0(),1 , 1(),0 , 0( ,dd 2為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域?yàn)轫旤c(diǎn)的三角形區(qū)域是以是以其中其中求求BAODyxeDy 例3例3xyoAB11D解解, 02yxeQP 取取,2yyxePQ 則則 Dyyxedd2 BOABOAyxeyd2 OAyyxed2 10d2xxex10212xe ).1(211 e3) 利用第二類曲線積分可求閉曲線所圍區(qū)域的面積利用第二類曲線積分可求閉曲線所圍區(qū)

7、域的面積.格林公式格林公式: DDyQxPyxyPxQdddd)(.dd Dyx閉區(qū)域閉區(qū)域 D 的面積的面積A 得得取取, 0 xQP DyxAd得得取取, 0, QyP DxyAd得得取取,xQyP DxyyxAdd21. )0()( 2軸所圍成的面積軸所圍成的面積與與計(jì)算拋物線計(jì)算拋物線xaaxyx 例4例4)0 ,(aAo解解,0:, 0: axyOA 直線段直線段, 0:,: axxaxyAO曲線弧曲線弧 DxyAd 0d)(0axxax.612a xyAOOAd)( axxxa0d)(21 DxyyxAdd21 :或或xyyxAOOAdd)(21 xxaxaxaxad)()12(2

8、10 .61d420axxaa 5. 應(yīng)用格林公式時(shí)一定要注意條件應(yīng)用格林公式時(shí)一定要注意條件 DyxyPxQyyxQxyxPdd)(d),(d),( D1) 公式中有向曲線應(yīng)為區(qū)域公式中有向曲線應(yīng)為區(qū)域 D 的的正向正向邊界邊界. . . 2 ,dd 2222取順時(shí)針?lè)较蛉№槙r(shí)針?lè)较蚴菆A周是圓周其中其中計(jì)算計(jì)算xyxLxyxyxyL 例5例5xyO2解解記記 L 所圍閉區(qū)域?yàn)樗鶉]區(qū)域?yàn)?D , 則原積分則原積分 Dyxxydd)(22 22cos203dd .23 204dcos8 解解2) L 是封閉曲線但在是封閉曲線但在L 所圍區(qū)域所圍區(qū)域 D 內(nèi)內(nèi)P、Q有奇點(diǎn)有奇點(diǎn),則則不能直接應(yīng)用

9、不能直接應(yīng)用格林公式格林公式.記記 L 圍成的閉區(qū)域?yàn)閲傻拈]區(qū)域?yàn)?D , ,2222yxxQyxyP 令令則當(dāng)則當(dāng) x 2 + y 2 0 時(shí)時(shí), 有有:22222)(yxxyQx ,yP (1) 當(dāng)當(dāng) (0,0) D 時(shí)時(shí), xyoLD Lyxxyyx22dd Dyxdd0.0 (2) 當(dāng)當(dāng) (0,0) D 時(shí)時(shí), l 取順時(shí)針?lè)较蛉№槙r(shí)針?lè)较?作位于作位于D內(nèi)圓周內(nèi)圓周 l : x 2 + y 2= r 2 ,記記 L 和和 l 所圍成區(qū)域?yàn)樗鶉蓞^(qū)域?yàn)?D1, 則有：則有：L1Drlyxo lLyxxyyxyxxyyx2222dddd 1dd0Dyx,0 lLyxxyyxyxxyyx

10、2222dddd.2 td 02 格林公式格林公式小結(jié)小結(jié): DDyxyPxQyQxPdd)(dd1.格林公式：格林公式：2. 格林公式的應(yīng)用格林公式的應(yīng)用.應(yīng)用格林公式計(jì)算應(yīng)用格林公式計(jì)算 時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)： LyQxPdd1) L必須是封閉曲線必須是封閉曲線, 且二重積分易算出且二重積分易算出. 若若L不封閉不封閉,要添加輔助線使之封閉要添加輔助線使之封閉,且添加部分的線積分易算出且添加部分的線積分易算出.2) P(x,y), Q(x,y) 在所考慮區(qū)域上應(yīng)有連續(xù)偏導(dǎo)在所考慮區(qū)域上應(yīng)有連續(xù)偏導(dǎo). 若存在奇點(diǎn)必須用特殊曲線挖掉奇點(diǎn)若存在奇點(diǎn)必須用特殊曲線挖掉奇點(diǎn).二、二、平面平面曲

11、線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 1 1、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義GyxoL1LBA即即G內(nèi)恒有內(nèi)恒有 LyQxPdd 1ddLyQxP 否則與路徑有關(guān)否則與路徑有關(guān).2.2.定理定理與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條條件件等等價(jià)價(jià)命命題題在在單連通區(qū)域單連通區(qū)域G上上, P(x,y) , Q(x,y) 具有連續(xù)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則以下四個(gè)命題等價(jià)則以下四個(gè)命題等價(jià).,0dd)1(GCyQxP 任意光滑閉曲線任意光滑閉曲線 C.ddd),()3(yQxPuyxuG 使使內(nèi)內(nèi)存存在在在在.)4(內(nèi)內(nèi)每每點(diǎn)點(diǎn)處處成成立立在在G

12、xQyP .dd)2(內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)在在GyQxPL 注注: 定理的兩個(gè)條件缺一不可定理的兩個(gè)條件缺一不可說(shuō)明說(shuō)明: 若曲線積分若曲線積分 與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān), 可記為：可記為： LyQxPdd.ddddyQxPyQxPL BA其中其中A、B分別為曲線分別為曲線L的起點(diǎn)與終點(diǎn)的起點(diǎn)與終點(diǎn).例例4 4為為其中其中計(jì)算計(jì)算LyxxxyL,dd22 yxo(1) 拋物線拋物線 ;10:,:2 xxyL2xy )0,1(A)1 ,1(B(2) 拋物線拋物線 ;10:,:2 yyxL2yx (3) 有向折線有向折線 .:ABOAL 8.3 中中我們已求得沿三條路線都有我們已求得沿三條路線都有

13、 Lyxxyx. 1dd22這里這里P =2xy，Q = x2在整個(gè)平面內(nèi)恒有在整個(gè)平面內(nèi)恒有,2yPxxQ 所以曲線積分與路徑無(wú)關(guān)所以曲線積分與路徑無(wú)關(guān)我們前面已求得：我們前面已求得：當(dāng)當(dāng)(0, 0) D時(shí)時(shí), 0dd22 Lyxxyyx當(dāng)當(dāng)(0, 0) D時(shí)時(shí),2dd22 Lyxxyyx這里這里,2222yxxQyxyP 只有當(dāng)只有當(dāng) x 2 + y 2 0 時(shí)時(shí), 才才有有：22222)(yxxyQx ,yP 即在原點(diǎn)處不滿足定理?xiàng)l件即在原點(diǎn)處不滿足定理?xiàng)l件,故此題中閉曲線積分是否為零與閉曲線是否繞原點(diǎn)有關(guān)故此題中閉曲線積分是否為零與閉曲線是否繞原點(diǎn)有關(guān)應(yīng)用應(yīng)用: 對(duì)某些第二類曲線積分可

14、改變其路徑簡(jiǎn)化計(jì)算對(duì)某些第二類曲線積分可改變其路徑簡(jiǎn)化計(jì)算.oxy)0 , 1()1 , 1(AL解解,),(,2),(422yxyxQxyxyxP 記記xQx2 ,yP 故曲線積分與路徑無(wú)關(guān)故曲線積分與路徑無(wú)關(guān). 取取L1為：為：y = x, x: 01,y = x則有：則有： 1ddLyQxP原積分原積分 1042d)4(xxx.15235134 OABLxy解解,dd LyQxP記原積分記原積分xyxyQxcos262 ,yP 故曲線積分與路徑無(wú)關(guān)故曲線積分與路徑無(wú)關(guān). ,1BAOBL 取取,20:,0: xyOB其中其中, 10:,2: yxBA yQxPBAOBdd)( 原積分原積分

15、 1022d43210yyy .44210322 yyy2222 xyO8BA22解解,),(,),(2222yxyxyxQyxyxyxP 記記22222yxyxyxQx ,yP 故故在上半平面在上半平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)曲線積分與路徑無(wú)關(guān). , 0:,sin22cos22:1 ttytxL取取 1ddLyQxP則原積分則原積分 0d t. 注意注意 :本題本題 L1 不能取不能取 x 軸上有向線段軸上有向線段 AB.xyo )1 , 0(A )2 , 1(B解解,2),(,),(yxeyxQxeyxPyy 記記,yyxPeQ 故曲線積分與路徑無(wú)關(guān)故曲線積分與路徑無(wú)關(guān). 2L1L取取 L1 :

16、 x = 0, ( y:02), L2 : y = 2, (x:01),yQxPLLdd)(21 原積分原積分 10220)d()d2(xxeyy4 )21(2 e.272 e三、二元函數(shù)的全微分求解三、二元函數(shù)的全微分求解1、定義、定義 對(duì)式子對(duì)式子: P(x,y)dx+ Q(x,y)dy, 若存在某個(gè)函若存在某個(gè)函數(shù)數(shù)u(x,y)使使 du = P(x,y)dx + Q(x,y)dy,則稱則稱 P(x,y)dx + Q(x,y)dy 是函數(shù)是函數(shù)u(x,y)的全微分的全微分.若若 P dx + Q dy 在區(qū)域在區(qū)域 G 內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的 的全微分的全微分,dd內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)內(nèi)與

17、路徑無(wú)關(guān)在在則則GyQxPL ,dd,是終點(diǎn)的函數(shù)是終點(diǎn)的函數(shù)當(dāng)起點(diǎn)固定時(shí)當(dāng)起點(diǎn)固定時(shí) LyQxP,d),(d),(),(),(),(00 yxyxyyxQxyxPyxu記記這時(shí)也稱這時(shí)也稱u(x,y)是是P(x,y)dx+ Q(x,y)dy的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù).yxPQ xyo),(00yxA ),(),(00d),(d),(),(yxyxyyxQxyxPyxu則則yyxQxyxPyyxxd),(d),(000 求求 P dx+Q dy原函數(shù)的一個(gè)方法：原函數(shù)的一個(gè)方法： ),(0yxC ),(yxB xyxPyyxQyyxQxyxPyxuxxyyyxyxd),(d),(d),(d),(

18、),(00000),(),( 或或證證 令令,cos,sin2yxQyxP yQxcos 故故 Pdx+Qdy是某個(gè)函數(shù)的全微分是某個(gè)函數(shù)的全微分. ,yP 其一個(gè)原函數(shù)為：其一個(gè)原函數(shù)為： ),()0,0(),(yxyxuyyxxyxdcosd)sin2( yyxxxyxdcosd200 xtt0d2 ymmx0dcos.sin2yxx 問(wèn)：?jiǎn)枺簎(x,y)是唯一的嗎？是唯一的嗎？解解,yP xyQx4 ,23),(22xyxyxP 令令,2),(2yxyxQ 故曲線積分與路徑無(wú)關(guān)故曲線積分與路徑無(wú)關(guān). 20212d8d3yyxx原積分原積分2022134yx .23 法二法二故原函數(shù)存在故

19、原函數(shù)存在. ),()0,0(222d2d)23(),(yxyyxxxyxyxutyttx 022d)23(0,223yxx )2,2()0, 1(223yxx 原積分原積分.23 ,23),(22xyxyxP 令令,2),(2yxyxQ ,yP xyQx4 例例 驗(yàn)證驗(yàn)證22ddyxxyyx 在右半平面在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函內(nèi)存在原函數(shù)數(shù) , 并求出它并求出它. 證證 令令2222,yxxQyxyP 則則22222)(yxxyQx 故當(dāng)故當(dāng)x 0時(shí)時(shí), 原函數(shù)存在原函數(shù)存在. ),()0, 1(),(yxyxu xx1d0)0(.arctan xxyoxy yyxyx022d

20、)0 ,( x)0 , 1(),(yx)0( xPy22ddyxxyyx 問(wèn)：?jiǎn)枺簽槭裁礊槭裁?x0, y0)不取不取(0, 0)?2、二元函數(shù)的、二元函數(shù)的全微分方程全微分方程求解求解(1) 定義定義 若一階微分方程可寫為若一階微分方程可寫為P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0,且滿足且滿足 Qx = Py , 則稱之為則稱之為全微分方程或恰當(dāng)方程全微分方程或恰當(dāng)方程.(2) 解法解法:若若 P(x,y)dx+ Q(x,y)dy = 0 是全微分方程是全微分方程, ,d),(d),(),(),(),(00 yxyxyyxQxyxPyxu取取則微分方程通解為：則微分方程通解為： u (x,

21、y)=C.0d)3(d)3(2323的通解的通解求方程求方程 yyxyxxyx例例3 3解解,3),(23xyxyxP 令令,3),(23yxyyxQ xyQx6 故方程是全微分方程故方程是全微分方程, ),()0, 0(2323d)3(d)3(),(yxyyxyxxyxyxu.23442244Cyxxy 故原方程的通解為故原方程的通解為,2341412244yxxy 則則取取, )0 , 0(),(00 yx yxyyxxyx03023dd)3(,yP .0d)3(d)3(2323的通解的通解求方程求方程 yyxyxxyx例例3 3解解,3),(23xyxyxP 令令,3),(23yxyyx

22、Q xyQx6 故方程是全微分方程故方程是全微分方程, ),()0, 0(2323d)3(d)3(),(yxyyxyxxyxyxu.62244Cyxxy 故原方程的通解為故原方程的通解為,2341412244yxxy 則則取取, )0 , 0(),(00 yx,yP yxmmtytt03023dd)3(解解,2xyPy 則則),(xyQx ,),(2xyyxP 令令),(),(xyyxQ 曲線積分與路徑無(wú)關(guān)曲線積分與路徑無(wú)關(guān),.xyQP 1010dd0yyx.21 ,2)(xyxy 由由,)(2Cxx , 0)0( , 0 C,)(2xx )1 , 1()0,0(22ddyyxxxy原積分原積

23、分第二類曲線積分常用計(jì)算方法小結(jié)第二類曲線積分常用計(jì)算方法小結(jié):1.直接化為定積分計(jì)算直接化為定積分計(jì)算.2.用格林公式用格林公式: (1) L 封閉封閉,且且 D 內(nèi)無(wú)奇點(diǎn)內(nèi)無(wú)奇點(diǎn) (2) L 非封閉：添加輔助線非封閉：添加輔助線 (3) D內(nèi)有奇點(diǎn)：挖去奇點(diǎn)內(nèi)有奇點(diǎn)：挖去奇點(diǎn)3.曲線積分與路徑無(wú)關(guān)時(shí)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)時(shí), 改變積分路徑簡(jiǎn)化計(jì)算改變積分路徑簡(jiǎn)化計(jì)算.思考思考:在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域G內(nèi)內(nèi),若若P(x, y)和和Q(x, y) C(1)(G)(1)如何計(jì)算如何計(jì)算G內(nèi)的內(nèi)的閉閉曲線積分曲線積分(2)如何計(jì)算如何計(jì)算G內(nèi)的內(nèi)的非閉非閉曲線積分曲線積分,xQyP ,非常簡(jiǎn)單非常簡(jiǎn)

24、單但但xQyP ?dd LyQxP?dd LyQxP* * 四、曲線積分基本定理四、曲線積分基本定理定理定理3 3 設(shè)設(shè) = AB是一條光滑或分段光滑的定向曲線是一條光滑或分段光滑的定向曲線, 函數(shù)函數(shù) f(x,y,z) 的偏導(dǎo)數(shù)在的偏導(dǎo)數(shù)在 上連續(xù)上連續(xù), 則有則有).()(dAfBfrf 解法二解法二附注：一、附注：一、Green公式證明公式證明 二、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)定理二、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)定理證明證明*一、一、Green公式證明公式證明定理定理1 1 設(shè)設(shè) xoy 面上的有界閉區(qū)域面上的有界閉區(qū)域 D 的邊界曲線的邊界曲線 D由有限條光滑或分段光滑的曲線所組成由有限條光滑或分段光滑的

25、曲線所組成, 函數(shù)函數(shù) P(x, y), Q(x, y) 在在 D 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有則有: :)1(d),(d),(dd)( yyxQxyxPyxyPxQD D證明證明(1)(1)若區(qū)域若區(qū)域D既是既是x型又是型又是y型型,yxoDab)(1xy )(2xy AB),()(),(21bxaxyxyxD 證明證明(1)(1)若區(qū)域若區(qū)域D既是既是x型又是型又是y型型,yxoD),()(),(21bxaxyxyxD cdCE)(2yx )(1yx ),()(),(21dycyxyyxD DyxxQddxxQyyd)()(21 dcyd dcdcyyyQyyyQd),

26、(d),(12 AB EACCBEyyxQyyxQd),(d),( DyyxQd),( dcyyyQd),(2 cdyyyQd),(1 ,dd DyxxQ同理可證同理可證 DDxyxPyxyPd),(dd兩式相加得兩式相加得.dddd)( DDyQxPyxyPxQ證明證明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D 321dd)(dd)(DDDDyxyPxQyxyPxQyxyPxQDDDdd)()(321 yQxPDDDdd)(321 .dd DyQxP若區(qū)域若區(qū)域D由按段光滑的由按段光滑的閉曲線圍成閉曲線圍成.如圖如圖, 將將D分成三個(gè)既是分成三個(gè)既是 x 型又是型又是 y 型的型的區(qū)域區(qū)域D1, D2, D3.GD3L2LFCE1LAB證明證明(3)(3)由由(2)知知 DyxyPxQdd)()(32 CGAECLCEAFCBALAB)dd(yQxP yQxPDDDdd)(321 .dd