§35函數(shù)的極值與最大值最小值PPT課件

1、3.5 函數(shù)的極值與最大值函數(shù)的極值與最大值 最小值最小值 燕列雅燕列雅 權(quán)豫西權(quán)豫西 王蘭芳王蘭芳 李琪李琪 第第3章章 .)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一個(gè)極小值的一個(gè)極小值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對(duì)于這鄰域內(nèi)的對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)的一個(gè)極大值的一個(gè)極大值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對(duì)于這鄰域內(nèi)的對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)是是內(nèi)有定義內(nèi)有定義在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfxfxfxfxx

2、xxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定義定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).注意注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx為極大點(diǎn)為極大點(diǎn)52,xx為極小點(diǎn)為極小點(diǎn)3x不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn)1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)局部性質(zhì).3) 函數(shù)的最值是函數(shù)的函數(shù)的最值是函數(shù)的全局性質(zhì)全局性質(zhì).2) 對(duì)常見函數(shù)對(duì)常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在極值可能出現(xiàn)在駐點(diǎn)或?qū)?shù)駐點(diǎn)或?qū)?shù) 不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn). 函數(shù)極值的判定法函數(shù)極值的判定法由費(fèi)馬引理可知可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)由費(fèi)馬引理可知可導(dǎo)函

3、數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn). 定理定理 1 (取得極值的充分條件取得極值的充分條件),)(0的某鄰域內(nèi)連續(xù)在設(shè)函數(shù)xxf且在空心鄰域且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù)內(nèi)有導(dǎo)數(shù),0時(shí)由小到大通過(guò)當(dāng)xx(1) )(xf “左左正正右右負(fù)負(fù)” ,;)(0取極小值在則xxf(2) )(xf “左左負(fù)負(fù)右右正正” ,.)(0取極大值在則xxf(證明略證明略)例如例如,2,(,)yxx 3,(,)yxx 而而容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證x=0是是的極小的極小值點(diǎn)值點(diǎn).x=0不不是是的極值點(diǎn)的極值點(diǎn).例例3 求函數(shù)求函數(shù)32) 1()(xxxf的極值的極值 .解解 1) 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)23( )fxx132(1)3xx32553xx2) 求

4、極值可疑點(diǎn)求極值可疑點(diǎn)令令,0)( xf得得12;5x 令令,)( xf得得02x3) 列表判別列表判別x)(xf )(xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是極大值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)，極大值為極大值為0)0(f是極小值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)， 極小值為極小值為52x33. 0)(52f定理定理2(2(第二充分條件第二充分條件) )證證)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 異號(hào)，異號(hào)，與與故故xxfxxf )()(00時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以,函數(shù)函數(shù))(xf在在0

5、x處取得極大值處取得極大值 設(shè)設(shè))(xf在在0 x處具有二階導(dǎo)數(shù)處具有二階導(dǎo)數(shù), ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末(1)(1)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值; ;(2)(2)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. .)()(00 xfxxf 有有)()(00 xfxxf 有有時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有)()(00 xfxxf 有有時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有)()(00 xfxxf 有有異號(hào)，異號(hào)，與與故故xxfxx

6、f )()(00時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有)()(00 xfxxf 有有xxfxxfxfx )()(lim)(0000異號(hào)，異號(hào)，與與故故xxfxxf )()(00時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有)()(00 xfxxf 有有思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1 ,0上上,0)( xf則則, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或) 1 ()0(ff的大小順序是的大小順序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0()

7、1 ()0() 1 ()(ffffD提示提示: 利用利用)(xf 單調(diào)增加單調(diào)增加 ,) 10()()0() 1 (fff及及B設(shè)在設(shè)在則其最值只能則其最值只能在在極值點(diǎn)極值點(diǎn)或或端點(diǎn)端點(diǎn)處達(dá)到處達(dá)到 . .求函數(shù)最值的方法求函數(shù)最值的方法: :(1) 求求 在在 內(nèi)的極值可疑點(diǎn)內(nèi)的極值可疑點(diǎn))(xf),(bamxxx,21(2) 最大值最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf若函數(shù)若函數(shù)f( (x) )在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, ,b 上連續(xù)，上連續(xù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

8、是導(dǎo)數(shù)的又一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是導(dǎo)數(shù)的又一重要重要應(yīng)用應(yīng)用. .特別特別: 當(dāng)當(dāng) 在在 內(nèi)只有內(nèi)只有一個(gè)一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí)極值可疑點(diǎn)時(shí),)(xf,ba 當(dāng)當(dāng) 在在 上上單調(diào)單調(diào)時(shí)時(shí),)(xf,ba最值必在端點(diǎn)處達(dá)到最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.此點(diǎn)取極大此點(diǎn)取極大 值值 , 則也是最大則也是最大 值值 . (小小) 對(duì)應(yīng)用問(wèn)題對(duì)應(yīng)用問(wèn)題 , 有時(shí)可根據(jù)有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義實(shí)際意義判別求出判別求出的的可疑點(diǎn)是否為最大可疑點(diǎn)是否為最大 值點(diǎn)或最小值點(diǎn)值點(diǎn)或最小值點(diǎn) .(小小)若在若在最大利潤(rùn)問(wèn)題最大利潤(rùn)問(wèn)題某制造商制造并出售球形瓶裝的某種酒某制造商制造并出售球形瓶裝的某種酒.瓶子的制造成本是瓶子的制造成本是

9、20.8 r1) 瓶子半徑多大時(shí)，能使每瓶酒獲利最大？瓶子半徑多大時(shí)，能使每瓶酒獲利最大？半徑，單位是厘米半徑，單位是厘米. .（分），（分），2) 瓶子半徑多大時(shí)，每瓶酒的獲利最??？瓶子半徑多大時(shí)，每瓶酒的獲利最小？ 商人可獲利商人可獲利0.2分，分，6厘米，問(wèn)厘米，問(wèn)其中其中r是瓶是瓶子的子的假設(shè)每售出假設(shè)每售出1 1立方厘米的酒，立方厘米的酒，他能制作的瓶子最大半徑為他能制作的瓶子最大半徑為解解 瓶子半徑為瓶子半徑為r，每瓶酒能獲利為，每瓶酒能獲利為 238 . 02 . 034)(rrrp238 . 038 . 0rr2338 . 0rr60 r0)2(8 . 0)(2rrrp當(dāng)當(dāng)0r2時(shí)，時(shí)， 0)( rp；2r6時(shí)，時(shí)，0)( rp由由得得r=2. 故故r=2是的一個(gè)極小值點(diǎn)，所以也是是的一個(gè)極小值點(diǎn)，所以也是最小值點(diǎn)最小值點(diǎn)；r=6時(shí)，時(shí)，p(r)可達(dá)到可達(dá)到最大值最大值.但但p(2)0，說(shuō)明半徑小于或等于，說(shuō)明半徑小于或等于2厘米的瓶裝厘米的瓶裝酒，酒所獲得的利潤(rùn)抵不上瓶子的成本酒，酒所獲得的利潤(rùn)抵不上瓶子的成本.又由又由p(3)=0知，當(dāng)瓶子的半徑達(dá)知，當(dāng)瓶子的半徑達(dá)3cm時(shí)，酒的時(shí)，酒的盈利與瓶子的成本恰好一樣盈利與瓶子的成本恰好一樣. 制造商的盈利越多制造