專題22：第4章解三角形之字母型-備戰(zhàn)2022中考數(shù)學解題方法系統(tǒng)訓練（全國通用）（解析版）

1、22第4章解三角形之字母型學校:_姓名：_班級：_考號：_一、單選題1如圖，在處測得點在北偏東方向上，在處測得點在北偏東方向上，若米，則點到直線距離為（ ）a米b米c米d米【答案】b【解析】【分析】設點到直線距離為米，根據(jù)正切的定義用表示出、，根據(jù)題意列出方程，解方程即可【詳解】解：設點到直線距離為米，在中，在中，由題意得，解得，（米，故選：【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確標注方向角是解題的關鍵2如圖，為了測得電視塔的高度ab，在d處用高為1米的測角儀cd，測得電視塔頂端a的仰角為30°，再向電視塔方向前進100米到達f處，又測得電視塔頂端a的仰角

2、為60°，則這個電視塔的高度ab（單位：米）為（ ）ab51cd101【答案】c【解析】試題分析：設ag=x，分別在rtaeg和rtacg中，表示出cg和ge的長度，然后根據(jù)df=100m，求出x的值，繼而可求出電視塔的高度ah解：設ag=x，在rtaeg中，tanaeg=，eg=x，在rtacg中，tanacg=，cg=x，xx=100，解得：x=50則ab=50+1（米）故選c考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題3一天，小戰(zhàn)和同學們一起到操場測量學校旗桿高度，他們首先在斜坡底部c地測得旗桿頂部a的仰角為45°，然后上到斜坡頂部d點處再測得旗桿頂部a點仰角為37

3、6;（身高忽略不計）已知斜坡cd坡度i=1：2.4，坡長為2.6米，旗桿ab所在旗臺高度ef為1.4米，旗臺底部、臺階底部、操場在同一水平面上則請問旗桿自身高度ab為（）米（參考數(shù)據(jù)：sin37°0.6，cos37°0.8，tan37°0.75）a10.2b9.8c11.2d10.8【答案】b【解析】【分析】如圖，作交的延長線于，延長交的延長線于，作于設，在中，根據(jù)，構造方程解決問題即可【詳解】解：如圖，作dhfc交fc的延長線于h，延長ab交cf的延長線于t，作djat于j由題意四邊形eftb、四邊形dhtj是矩形，bt=ef=1.4米，jt=dh，在rtdch

4、中，cd=2.6米，=，dh=1（米），ch=2.4（米），act=45°，t=90°，at=tc，設at=tc=x則dj=th=（x+2.4）米，aj=（x1）米，在rtadj中，tanadj=0.75，=0.75，解得x=2，ab=atbt=atef=11.21.4=9.8（米），故選：b【點睛】本題考查解直角三角形的應用測量高度問題，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，要熟練掌握仰角，坡度等概念，為中考常見題型二、填空題4永定塔是北京園博園的標志性建筑，其外觀為遼金風格的八角九層木塔，游客可登至塔頂，俯瞰園博園全貌如圖，在a處測得cad30

5、6;，在b處測得cbd45°，并測得ab52米，那么永定塔的高cd約是_米（1.4，1.7，結果保留整數(shù)）【答案】74【解析】【分析】首先證明bdcd，設bdcdx，在rtacd中，由a30°，推出adcd，由此構建方程即可解決問題【詳解】如圖，cdad，cbd45°，cdb90°，cbddcb45°，bdcd，設bdcdx，在rtacd中，a30°，adcd，52+xx，x74（m），故答案為74，【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題5如圖，在一筆直的海岸線上有相距的兩個觀測站，站在站的正東

6、方向上，從站測得船在北偏東的方向上，從站測得船在北偏東的方向上，則船到海岸線的距離是_【答案】【解析】【分析】過點c作cdab于點d，然后根據(jù)等腰三角形和判定和性質以及解直角三角形的應用即可求出答案【詳解】過點c作cdab于點d，根據(jù)題意得：cad=90°-60°=30°，cbd=90°-30°=60°，acb=cbd-cad=30°，cab=acb，bc=ab=4km，在rtcbd中，cd=bcsin60°()船c到海岸線的距離是故答案為：【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質以及解直角三角形的應用方向角問題，

7、解題的關鍵是熟練運用銳角三角函數(shù)的定義三、解答題6如圖，海面上一艘船由西向東航行，在a處測得正東方向上一座燈塔的最高點c的仰角為31°，再向東繼續(xù)航行20m到達b處，側的燈塔的最高點c的仰角為45°，根據(jù)測得的數(shù)據(jù)，計算這座燈塔的高度cd（結果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：sin31°0.52，cos31°0.86，tan31°0.60【答案】cd約為30m【解析】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可得ad=，bd=cd，然后根據(jù)adbd=ab列出方程即可求出結論【詳解】解：在rtadc和rtbdc中，a=31°，cbd=45°ad=，bd=c

8、dadbd=ab解得：cd30答：這座燈塔的高度cd約為30m【點睛】此題考查的是解直角三角形的應用，掌握利用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解決此題的關鍵7如圖所示，在一個坡度的山坡的頂端處豎直立著一個電視發(fā)射塔為測得電視發(fā)射塔的高度，小明站在山腳的平地處測得電視發(fā)射塔的頂端的仰角為40°，若測得斜坡長為米，點到點的水平距離米，求電視發(fā)射塔的高度（參考數(shù)值：，結果保留整數(shù)）【答案】85米【解析】【分析】如圖，根據(jù)坡比設be=x，ec=2x，在rtbec中，根據(jù)勾股定理列出關于x的方程求出be和ce；在中，利用正切的定義求出ae問題得解【詳解】解：如圖，作交dc的延長線于點，在中，設，則，

9、 ， 根據(jù)勾股定理得，解得，（米），（米），（米），在中，（米），答：電視發(fā)射塔的高度約為85米【點睛】本題考查了坡比的概念、仰角概念及銳角三角函數(shù)定義，要求學生能借助仰角、坡比構造直角三角形并結合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形8如圖，一艘漁船以40海里/小時的速度由西向東追趕魚群，在處測得小島在漁船的北偏東方向；半小時后，漁船到達處，此時測得小島在漁船的北偏東方向已知以小島為中心，周圍18海里以內為軍事演習著彈危險區(qū)如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有著彈危險？【答案】如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群有著彈危險，詳見解析【解析】【分析】根據(jù)題意可知，實質是比較c點到ab的距離與18的大小因此作cd

10、ab于d點，求cd的長【詳解】有著彈危險理由如下：作于，根據(jù)題意，在中，答：如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群有著彈危險【點睛】本題考查了方位角問題，三角形的外角性質，等腰三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理的應用等，掌握方位角的概念、熟記含30度角的直角三角形的性質是解題的關鍵9為了維護我國海洋權力，海監(jiān)部門對我國領海實行了常態(tài)化巡航管理如圖，正在執(zhí)行巡航任務的海監(jiān)船以每小時60海里的速度向正東方向航行，在a處測得燈塔p在北偏東方向上，海監(jiān)船繼續(xù)向東航行1小時到達b處，此時測得燈塔p在北偏東方向上（1）求b處到燈塔p的距離；（2）已知燈塔p的周圍50海里內有暗礁，若海監(jiān)船繼續(xù)

11、向正東方向航行是否安全？【答案】（1）b處到燈塔p的距離為60海里；（2）海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的【解析】【分析】（1）作pdab于d求出pab、pba、p的度數(shù)，證得abp為等腰三角形，即可解決問題；（2）在rtpbd中，解直角三角形求出pd的值即可判定【詳解】（1）過點p作pdab于點d，由題意得，ab=60（海里），pab=30°，pbd=60°，apb=pbd-pab=60°-30°=30°=pab，pb=ab=60（海里），答：b處到燈塔p的距離為60海里；（2）由（1）可知apb=pab=30°，pb=ab=60（

12、海里）在rtpbd中，pd=bpsin60°60（海里），海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，正確根據(jù)題意畫出圖形、準確標注方向角、熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關鍵10如圖，某樓房頂部有一根天線，為了測量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點，在點處測得天線頂端的仰角為，從點走到點，測得米，從點測得天線底端的仰角為，已知，在同一條垂直于地面的直線上，米（1）求與之間的距離；（2）求天線的高度（參考數(shù)據(jù)：，結果保留整數(shù)）【答案】（1）之間的距離為30米；（2）天線的高度約為27米【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，bad=90°

13、;，bda=45°，故ad=ab，已知cd=5，不難算出a與c之間的距離（2）根據(jù)題意，在中，利用三角函數(shù)可算出ae的長，又已知ab，故eb即可求解【詳解】（1）依題意可得，在中， ，米， 米，米. 即之間的距離為30米（2）在中，米，（米），米，米由并精確到整數(shù)可得米即天線的高度約為27米 【點睛】（1）本題主要考查等腰直角三角形的性質，掌握等腰直角三角形的性質是解答本題的關鍵（2）本題主要考查三角函數(shù)的靈活運用，正確運用三角函數(shù)是解答本題的關鍵11圖1是某種路燈的實物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，為立柱的一部分，燈臂，支架與立柱分別交于a，b兩點，燈臂與支架交于點c，已知，求支

14、架的長（結果精確到，參考數(shù)據(jù)：，） 【答案】49cm【解析】【分析】過點c作cdmn，垂足為d，分別解acd和bcd，即可得到結果【詳解】解：過點c作cdmn，垂足為d，mac=60°，acb=15°，abc=60°-15°=45°，acd=30°，bcd是等腰直角三角形，ac=40cm，在rtacd中，ad=ac=20cm，cd=cm，在rtbcd中，bc=cm，支架bc的長為49cm【點睛】本題考查了解直角三角形，涉及到等腰直角三角形的判定和性質，含30°的直角三角形的性質，解題的關鍵是添加輔助線，構造特殊直角三角形12

15、如圖，在中，的平分線交于點求的長？【答案】6【解析】【分析】由求出a=30°，進而得出abc=60°，由bd是abc的平分線得出cbd=30°，進而求出bc的長，最后用sina即可求出ab的長【詳解】解：在中， 是的平分線，又 ，在中， ，故答案為：【點睛】本題考查了用三角函數(shù)解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)是解決此類題的關鍵13為了測量某山（如圖所示）的高度，甲在山頂測得處的俯角為，處的俯角為，乙在山下測得，之間的距離為100米已知，在同一水平面的同一直線上，求山高（結果保留根號）【答案】米【解析】【分析】設，由題意可知，cd=100米，即

16、可得，在中，由可得，由此即可求得，即可得山高為米【詳解】解：設，由題意可知：，在中，解得：，山高為米【點睛】本考查了解直角三角形的應用，正確構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形是解決問題的關鍵14一副直角三角板如圖所示放置，點在的延長線上，試cd的長.【答案】155【解析】【分析】過點b作bmfd于點m，根據(jù)題意可求出bc的長度，然后在efd中可求出edf=45°，進而可得出答案【詳解】過點b作bmfd于點m，在acb中，acb=90°，a=60°，ac=10，abc=30°，bc=ac×tan60°=10，abcf，b

17、m=bc×sin30°=10×=5，cm=bc×cos30°=15，在efd中，f=90°，e=45°，edf=45°，md=bm=5，cd=cm-md=15-5【點睛】本題考查了解直角三角形的性質及平行線的性質，難度較大，解答此類題目的關鍵根據(jù)題意建立三角形利用所學的三角函數(shù)的關系進行解答15如圖，在港口a處的正東方向有兩個相距的觀測點b、c，一艘輪船從a處出發(fā)， 北偏東方向航行至d處， 在b、c處分別測得，求輪船航行的距離ad (參考數(shù)據(jù)：，）【答案】20km【解析】【分析】過點作，垂足為，通過解和得和，根據(jù)求

18、得dh，再解求得ad即可【詳解】解：如圖，過點作，垂足為在中，在中，在中，（km）因此，輪船航行的距離約為【點睛】此題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，銳角三角函數(shù)，勾股定理作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵16周日，媽媽帶小嵐到商場的攀巖墻處玩耍如圖，是一攀巖墻，小嵐從攀巖墻底部處向上攀爬，媽媽站在距離攀巖墻的處，當他到達處時，媽媽看向他的仰角為，當他到達墻頂處時，媽媽看向他的仰角為(小嵐媽媽的身高均忽略不計) ，此時攀巖教練開始釋放手中的繩子，使小嵐以的速度下落到處，再減速下落到地面，則他從處下落到處需要多長時間? (結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：) 【答案】小嵐從處下落到處需要【解析】【

19、分析】在中，利用三角函數(shù)解直角三角形可得cd；在中，利用三角函數(shù)解直角三角形可得ad，進而得到ac的長度，即可求解【詳解】解：根據(jù)題意可知，在中，即（m）在中，即答：小嵐從處下落到處需要【點睛】此題主要考查利用三角形函數(shù)解直角三角形，熟練掌握銳角的三角函數(shù)概念是解題關鍵17如圖，利用標桿be測量建筑物的高度，如果標桿be長1.2m，測得ab=1.6m，bc=8.4m，樓高cd是多少？【答案】樓高cd是7.5m【解析】【分析】先根據(jù)題意得出abeacd，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例即可求出cd的值【詳解】解：ebac，dcac，ebdc，abeacd，be=1.2，ab=1.6，bc=8.4，

20、ac=10，cd=7.5答：樓高cd是7.5m【點睛】考點：相似三角形的應用18（本題滿分10分，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分）如圖，表示一段筆直的高架道路，線段表示高架道路旁的一排居民樓已知點到的距離為米，的延長線與相交于點，且，假設汽車在高速道路上行駛時，周圍米以內會受到噪音的影響（1）過點作的垂線，垂足為點如果汽車沿著從到的方向在上行駛，當汽車到達點處時，噪音開始影響這一排的居民樓，那么此時汽車與點的距離為多少米？（2）降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板當汽車行駛到點時，它與這一排居民樓的距離為米，那么對于這一排居民樓，高架道路旁安裝的隔音板至少需要多少米長？（精確

21、到米） （參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）米；（2）米【解析】【分析】（1）聯(lián)結，直接在中利用勾股定理解出即可；（2）從題中可得到的信息是，因此需要安裝的隔音板至少要包含這一段第（1）小題中已解得，故需要求出，在和中用兩次的三角函數(shù)，即可解得和，代入計算即可【詳解】解：（1）連結，由題意得，在中，；（2）由題意知，隔音板至少要從點裝到點在中，在中，答：（1）此時汽車與點的距離為米；（2）高架道路旁安裝的隔音板至少需要米19如圖，一只貓頭鷹蹲在一棵樹ac的b（點b在ac上）處，發(fā)現(xiàn)一只老鼠躲進短墻df的另一側，貓頭鷹的視線被短墻遮住，為了尋找這只老鼠，它又飛至樹頂c處，已知短墻高df=4米，短墻底部d

22、與樹的底部a的距離為2.7米，貓頭鷹從c點觀測f點的俯角為53°，老鼠躲藏處m（點m在de上）距d點3米（參考數(shù)據(jù)：sin37°0.60，cos37°0.80，tan37°0.75）（1）貓頭鷹飛至c處后，能否看到這只老鼠？為什么？（2）要捕捉到這只老鼠，貓頭鷹至少要飛多少米（精確到0.1米）？【答案】(1)能看到；(2)要捕捉到這只老鼠，貓頭鷹至少要飛9.5米.【解析】【分析】(1)根據(jù)貓頭鷹從c點觀測f點的俯角為53°，可知dfg=90°53°=37°，在dfg中，已知df的長度，求出dg的長度，若dg>3，則看不見老鼠，若dg3，則可以看見老鼠；(2)根據(jù)(1)求出的dg長度，求出ag的長度，然后在rtcag中，根據(jù)=sinacg =sin37°，即可求出cg的長度.【詳解】(1)能看到；由題意得，dfg=90