專題22：第4章解三角形之字母型-備戰(zhàn)2022中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國(guó)通用）（解析版）

1、22第4章解三角形之字母型學(xué)校:_姓名：_班級(jí)：_考號(hào)：_一、單選題1如圖，在處測(cè)得點(diǎn)在北偏東方向上，在處測(cè)得點(diǎn)在北偏東方向上，若米，則點(diǎn)到直線距離為（ ）a米b米c米d米【答案】b【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)到直線距離為米，根據(jù)正切的定義用表示出、，根據(jù)題意列出方程，解方程即可【詳解】解：設(shè)點(diǎn)到直線距離為米，在中，在中，由題意得，解得，（米，故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確標(biāo)注方向角是解題的關(guān)鍵2如圖，為了測(cè)得電視塔的高度ab，在d處用高為1米的測(cè)角儀cd，測(cè)得電視塔頂端a的仰角為30°，再向電視塔方向前進(jìn)100米到達(dá)f處，又測(cè)得電視塔頂端a的仰角

2、為60°，則這個(gè)電視塔的高度ab（單位：米）為（ ）ab51cd101【答案】c【解析】試題分析：設(shè)ag=x，分別在rtaeg和rtacg中，表示出cg和ge的長(zhǎng)度，然后根據(jù)df=100m，求出x的值，繼而可求出電視塔的高度ah解：設(shè)ag=x，在rtaeg中，tanaeg=，eg=x，在rtacg中，tanacg=，cg=x，xx=100，解得：x=50則ab=50+1（米）故選c考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題3一天，小戰(zhàn)和同學(xué)們一起到操場(chǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿高度，他們首先在斜坡底部c地測(cè)得旗桿頂部a的仰角為45°，然后上到斜坡頂部d點(diǎn)處再測(cè)得旗桿頂部a點(diǎn)仰角為37

3、6;（身高忽略不計(jì)）已知斜坡cd坡度i=1：2.4，坡長(zhǎng)為2.6米，旗桿ab所在旗臺(tái)高度ef為1.4米，旗臺(tái)底部、臺(tái)階底部、操場(chǎng)在同一水平面上則請(qǐng)問(wèn)旗桿自身高度ab為（）米（參考數(shù)據(jù)：sin37°0.6，cos37°0.8，tan37°0.75）a10.2b9.8c11.2d10.8【答案】b【解析】【分析】如圖，作交的延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，作于設(shè)，在中，根據(jù)，構(gòu)造方程解決問(wèn)題即可【詳解】解：如圖，作dhfc交fc的延長(zhǎng)線于h，延長(zhǎng)ab交cf的延長(zhǎng)線于t，作djat于j由題意四邊形eftb、四邊形dhtj是矩形，bt=ef=1.4米，jt=dh，在rtdch

4、中，cd=2.6米，=，dh=1（米），ch=2.4（米），act=45°，t=90°，at=tc，設(shè)at=tc=x則dj=th=（x+2.4）米，aj=（x1）米，在rtadj中，tanadj=0.75，=0.75，解得x=2，ab=atbt=atef=11.21.4=9.8（米），故選：b【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用測(cè)量高度問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，要熟練掌握仰角，坡度等概念，為中考常見題型二、填空題4永定塔是北京園博園的標(biāo)志性建筑，其外觀為遼金風(fēng)格的八角九層木塔，游客可登至塔頂，俯瞰園博園全貌如圖，在a處測(cè)得cad30

5、6;，在b處測(cè)得cbd45°，并測(cè)得ab52米，那么永定塔的高cd約是_米（1.4，1.7，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】74【解析】【分析】首先證明bdcd，設(shè)bdcdx，在rtacd中，由a30°，推出adcd，由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題【詳解】如圖，cdad，cbd45°，cdb90°，cbddcb45°，bdcd，設(shè)bdcdx，在rtacd中，a30°，adcd，52+xx，x74（m），故答案為74，【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題5如圖，在一筆直的海岸線上有相距的兩個(gè)觀測(cè)站，站在站的正東

6、方向上，從站測(cè)得船在北偏東的方向上，從站測(cè)得船在北偏東的方向上，則船到海岸線的距離是_【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)c作cdab于點(diǎn)d，然后根據(jù)等腰三角形和判定和性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用即可求出答案【詳解】過(guò)點(diǎn)c作cdab于點(diǎn)d，根據(jù)題意得：cad=90°-60°=30°，cbd=90°-30°=60°，acb=cbd-cad=30°，cab=acb，bc=ab=4km，在rtcbd中，cd=bcsin60°()船c到海岸線的距離是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用方向角問(wèn)題，

7、解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義三、解答題6如圖，海面上一艘船由西向東航行，在a處測(cè)得正東方向上一座燈塔的最高點(diǎn)c的仰角為31°，再向東繼續(xù)航行20m到達(dá)b處，側(cè)的燈塔的最高點(diǎn)c的仰角為45°，根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算這座燈塔的高度cd（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：sin31°0.52，cos31°0.86，tan31°0.60【答案】cd約為30m【解析】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可得ad=，bd=cd，然后根據(jù)adbd=ab列出方程即可求出結(jié)論【詳解】解：在rtadc和rtbdc中，a=31°，cbd=45°ad=，bd=c

8、dadbd=ab解得：cd30答：這座燈塔的高度cd約為30m【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握利用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵7如圖所示，在一個(gè)坡度的山坡的頂端處豎直立著一個(gè)電視發(fā)射塔為測(cè)得電視發(fā)射塔的高度，小明站在山腳的平地處測(cè)得電視發(fā)射塔的頂端的仰角為40°，若測(cè)得斜坡長(zhǎng)為米，點(diǎn)到點(diǎn)的水平距離米，求電視發(fā)射塔的高度（參考數(shù)值：，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】85米【解析】【分析】如圖，根據(jù)坡比設(shè)be=x，ec=2x，在rtbec中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程求出be和ce；在中，利用正切的定義求出ae問(wèn)題得解【詳解】解：如圖，作交dc的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，設(shè)，則，

9、 ， 根據(jù)勾股定理得，解得，（米），（米），（米），在中，（米），答：電視發(fā)射塔的高度約為85米【點(diǎn)睛】本題考查了坡比的概念、仰角概念及銳角三角函數(shù)定義，要求學(xué)生能借助仰角、坡比構(gòu)造直角三角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形8如圖，一艘漁船以40海里/小時(shí)的速度由西向東追趕魚群，在處測(cè)得小島在漁船的北偏東方向；半小時(shí)后，漁船到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得小島在漁船的北偏東方向已知以小島為中心，周圍18海里以內(nèi)為軍事演習(xí)著彈危險(xiǎn)區(qū)如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有著彈危險(xiǎn)？【答案】如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群有著彈危險(xiǎn)，詳見解析【解析】【分析】根據(jù)題意可知，實(shí)質(zhì)是比較c點(diǎn)到ab的距離與18的大小因此作cd

10、ab于d點(diǎn)，求cd的長(zhǎng)【詳解】有著彈危險(xiǎn)理由如下：作于，根據(jù)題意，在中，答：如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群有著彈危險(xiǎn)【點(diǎn)睛】本題考查了方位角問(wèn)題，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，掌握方位角的概念、熟記含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵9為了維護(hù)我國(guó)海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對(duì)我國(guó)領(lǐng)海實(shí)行了常態(tài)化巡航管理如圖，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時(shí)60海里的速度向正東方向航行，在a處測(cè)得燈塔p在北偏東方向上，海監(jiān)船繼續(xù)向東航行1小時(shí)到達(dá)b處，此時(shí)測(cè)得燈塔p在北偏東方向上（1）求b處到燈塔p的距離；（2）已知燈塔p的周圍50海里內(nèi)有暗礁，若海監(jiān)船繼續(xù)

11、向正東方向航行是否安全？【答案】（1）b處到燈塔p的距離為60海里；（2）海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的【解析】【分析】（1）作pdab于d求出pab、pba、p的度數(shù)，證得abp為等腰三角形，即可解決問(wèn)題；（2）在rtpbd中，解直角三角形求出pd的值即可判定【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)p作pdab于點(diǎn)d，由題意得，ab=60（海里），pab=30°，pbd=60°，apb=pbd-pab=60°-30°=30°=pab，pb=ab=60（海里），答：b處到燈塔p的距離為60海里；（2）由（1）可知apb=pab=30°，pb=ab=60（

12、海里）在rtpbd中，pd=bpsin60°60（海里），海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，正確根據(jù)題意畫出圖形、準(zhǔn)確標(biāo)注方向角、熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵10如圖，某樓房頂部有一根天線，為了測(cè)量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點(diǎn)，在點(diǎn)處測(cè)得天線頂端的仰角為，從點(diǎn)走到點(diǎn)，測(cè)得米，從點(diǎn)測(cè)得天線底端的仰角為，已知，在同一條垂直于地面的直線上，米（1）求與之間的距離；（2）求天線的高度（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】（1）之間的距離為30米；（2）天線的高度約為27米【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，bad=90°

13、;，bda=45°，故ad=ab，已知cd=5，不難算出a與c之間的距離（2）根據(jù)題意，在中，利用三角函數(shù)可算出ae的長(zhǎng)，又已知ab，故eb即可求解【詳解】（1）依題意可得，在中， ，米， 米，米. 即之間的距離為30米（2）在中，米，（米），米，米由并精確到整數(shù)可得米即天線的高度約為27米 【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵（2）本題主要考查三角函數(shù)的靈活運(yùn)用，正確運(yùn)用三角函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵11圖1是某種路燈的實(shí)物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，為立柱的一部分，燈臂，支架與立柱分別交于a，b兩點(diǎn)，燈臂與支架交于點(diǎn)c，已知，求支

14、架的長(zhǎng)（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，） 【答案】49cm【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)c作cdmn，垂足為d，分別解acd和bcd，即可得到結(jié)果【詳解】解：過(guò)點(diǎn)c作cdmn，垂足為d，mac=60°，acb=15°，abc=60°-15°=45°，acd=30°，bcd是等腰直角三角形，ac=40cm，在rtacd中，ad=ac=20cm，cd=cm，在rtbcd中，bc=cm，支架bc的長(zhǎng)為49cm【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，涉及到等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造特殊直角三角形12

15、如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)求的長(zhǎng)？【答案】6【解析】【分析】由求出a=30°，進(jìn)而得出abc=60°，由bd是abc的平分線得出cbd=30°，進(jìn)而求出bc的長(zhǎng)，最后用sina即可求出ab的長(zhǎng)【詳解】解：在中， 是的平分線，又 ，在中， ，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了用三角函數(shù)解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)是解決此類題的關(guān)鍵13為了測(cè)量某山（如圖所示）的高度，甲在山頂測(cè)得處的俯角為，處的俯角為，乙在山下測(cè)得，之間的距離為100米已知，在同一水平面的同一直線上，求山高（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】米【解析】【分析】設(shè)，由題意可知，cd=100米，即

16、可得，在中，由可得，由此即可求得，即可得山高為米【詳解】解：設(shè)，由題意可知：，在中，解得：，山高為米【點(diǎn)睛】本考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵14一副直角三角板如圖所示放置，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，試cd的長(zhǎng).【答案】155【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)b作bmfd于點(diǎn)m，根據(jù)題意可求出bc的長(zhǎng)度，然后在efd中可求出edf=45°，進(jìn)而可得出答案【詳解】過(guò)點(diǎn)b作bmfd于點(diǎn)m，在acb中，acb=90°，a=60°，ac=10，abc=30°，bc=ac×tan60°=10，abcf，b

17、m=bc×sin30°=10×=5，cm=bc×cos30°=15，在efd中，f=90°，e=45°，edf=45°，md=bm=5，cd=cm-md=15-5【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，難度較大，解答此類題目的關(guān)鍵根據(jù)題意建立三角形利用所學(xué)的三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答15如圖，在港口a處的正東方向有兩個(gè)相距的觀測(cè)點(diǎn)b、c，一艘輪船從a處出發(fā)， 北偏東方向航行至d處， 在b、c處分別測(cè)得，求輪船航行的距離ad (參考數(shù)據(jù)：，）【答案】20km【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，通過(guò)解和得和，根據(jù)求

18、得dh，再解求得ad即可【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為在中，在中，在中，（km）因此，輪船航行的距離約為【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，銳角三角函數(shù)，勾股定理作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵16周日，媽媽帶小嵐到商場(chǎng)的攀巖墻處玩耍如圖，是一攀巖墻，小嵐從攀巖墻底部處向上攀爬，媽媽站在距離攀巖墻的處，當(dāng)他到達(dá)處時(shí)，媽媽看向他的仰角為，當(dāng)他到達(dá)墻頂處時(shí)，媽媽看向他的仰角為(小嵐媽媽的身高均忽略不計(jì)) ，此時(shí)攀巖教練開始釋放手中的繩子，使小嵐以的速度下落到處，再減速下落到地面，則他從處下落到處需要多長(zhǎng)時(shí)間? (結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：) 【答案】小嵐從處下落到處需要【解析】【

19、分析】在中，利用三角函數(shù)解直角三角形可得cd；在中，利用三角函數(shù)解直角三角形可得ad，進(jìn)而得到ac的長(zhǎng)度，即可求解【詳解】解：根據(jù)題意可知，在中，即（m）在中，即答：小嵐從處下落到處需要【點(diǎn)睛】此題主要考查利用三角形函數(shù)解直角三角形，熟練掌握銳角的三角函數(shù)概念是解題關(guān)鍵17如圖，利用標(biāo)桿be測(cè)量建筑物的高度，如果標(biāo)桿be長(zhǎng)1.2m，測(cè)得ab=1.6m，bc=8.4m，樓高cd是多少？【答案】樓高cd是7.5m【解析】【分析】先根據(jù)題意得出abeacd，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出cd的值【詳解】解：ebac，dcac，ebdc，abeacd，be=1.2，ab=1.6，bc=8.4，

20、ac=10，cd=7.5答：樓高cd是7.5m【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用18（本題滿分10分，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分）如圖，表示一段筆直的高架道路，線段表示高架道路旁的一排居民樓已知點(diǎn)到的距離為米，的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)，且，假設(shè)汽車在高速道路上行駛時(shí)，周圍米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響（1）過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)如果汽車沿著從到的方向在上行駛，當(dāng)汽車到達(dá)點(diǎn)處時(shí)，噪音開始影響這一排的居民樓，那么此時(shí)汽車與點(diǎn)的距離為多少米？（2）降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板當(dāng)汽車行駛到點(diǎn)時(shí)，它與這一排居民樓的距離為米，那么對(duì)于這一排居民樓，高架道路旁安裝的隔音板至少需要多少米長(zhǎng)？（精確

21、到米） （參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）米；（2）米【解析】【分析】（1）聯(lián)結(jié)，直接在中利用勾股定理解出即可；（2）從題中可得到的信息是，因此需要安裝的隔音板至少要包含這一段第（1）小題中已解得，故需要求出，在和中用兩次的三角函數(shù)，即可解得和，代入計(jì)算即可【詳解】解：（1）連結(jié)，由題意得，在中，；（2）由題意知，隔音板至少要從點(diǎn)裝到點(diǎn)在中，在中，答：（1）此時(shí)汽車與點(diǎn)的距離為米；（2）高架道路旁安裝的隔音板至少需要米19如圖，一只貓頭鷹蹲在一棵樹ac的b（點(diǎn)b在ac上）處，發(fā)現(xiàn)一只老鼠躲進(jìn)短墻df的另一側(cè)，貓頭鷹的視線被短墻遮住，為了尋找這只老鼠，它又飛至樹頂c處，已知短墻高df=4米，短墻底部d

22、與樹的底部a的距離為2.7米，貓頭鷹從c點(diǎn)觀測(cè)f點(diǎn)的俯角為53°，老鼠躲藏處m（點(diǎn)m在de上）距d點(diǎn)3米（參考數(shù)據(jù)：sin37°0.60，cos37°0.80，tan37°0.75）（1）貓頭鷹飛至c處后，能否看到這只老鼠？為什么？（2）要捕捉到這只老鼠，貓頭鷹至少要飛多少米（精確到0.1米）？【答案】(1)能看到；(2)要捕捉到這只老鼠，貓頭鷹至少要飛9.5米.【解析】【分析】(1)根據(jù)貓頭鷹從c點(diǎn)觀測(cè)f點(diǎn)的俯角為53°，可知dfg=90°53°=37°，在dfg中，已知df的長(zhǎng)度，求出dg的長(zhǎng)度，若dg>3，則看不見老鼠，若dg3，則可以看見老鼠；(2)根據(jù)(1)求出的dg長(zhǎng)度，求出ag的長(zhǎng)度，然后在rtcag中，根據(jù)=sinacg =sin37°，即可求出cg的長(zhǎng)度.【詳解】(1)能看到；由題意得，dfg=90