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1、22第4章解三角形之字母型學(xué)校:_姓名:_班級(jí):_考號(hào):_一、單選題1如圖,在處測(cè)得點(diǎn)在北偏東方向上,在處測(cè)得點(diǎn)在北偏東方向上,若米,則點(diǎn)到直線距離為( )a米b米c米d米【答案】b【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)到直線距離為米,根據(jù)正切的定義用表示出、,根據(jù)題意列出方程,解方程即可【詳解】解:設(shè)點(diǎn)到直線距離為米,在中,在中,由題意得,解得,(米,故選:【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用,掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確標(biāo)注方向角是解題的關(guān)鍵2如圖,為了測(cè)得電視塔的高度ab,在d處用高為1米的測(cè)角儀cd,測(cè)得電視塔頂端a的仰角為30°,再向電視塔方向前進(jìn)100米到達(dá)f處,又測(cè)得電視塔頂端a的仰角
2、為60°,則這個(gè)電視塔的高度ab(單位:米)為( )ab51cd101【答案】c【解析】試題分析:設(shè)ag=x,分別在rtaeg和rtacg中,表示出cg和ge的長(zhǎng)度,然后根據(jù)df=100m,求出x的值,繼而可求出電視塔的高度ah解:設(shè)ag=x,在rtaeg中,tanaeg=,eg=x,在rtacg中,tanacg=,cg=x,xx=100,解得:x=50則ab=50+1(米)故選c考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題3一天,小戰(zhàn)和同學(xué)們一起到操場(chǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿高度,他們首先在斜坡底部c地測(cè)得旗桿頂部a的仰角為45°,然后上到斜坡頂部d點(diǎn)處再測(cè)得旗桿頂部a點(diǎn)仰角為37
3、6;(身高忽略不計(jì))已知斜坡cd坡度i=1:2.4,坡長(zhǎng)為2.6米,旗桿ab所在旗臺(tái)高度ef為1.4米,旗臺(tái)底部、臺(tái)階底部、操場(chǎng)在同一水平面上則請(qǐng)問(wèn)旗桿自身高度ab為()米(參考數(shù)據(jù):sin37°0.6,cos37°0.8,tan37°0.75)a10.2b9.8c11.2d10.8【答案】b【解析】【分析】如圖,作交的延長(zhǎng)線于,延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于,作于設(shè),在中,根據(jù),構(gòu)造方程解決問(wèn)題即可【詳解】解:如圖,作dhfc交fc的延長(zhǎng)線于h,延長(zhǎng)ab交cf的延長(zhǎng)線于t,作djat于j由題意四邊形eftb、四邊形dhtj是矩形,bt=ef=1.4米,jt=dh,在rtdch
4、中,cd=2.6米,=,dh=1(米),ch=2.4(米),act=45°,t=90°,at=tc,設(shè)at=tc=x則dj=th=(x+2.4)米,aj=(x1)米,在rtadj中,tanadj=0.75,=0.75,解得x=2,ab=atbt=atef=11.21.4=9.8(米),故選:b【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用測(cè)量高度問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題,要熟練掌握仰角,坡度等概念,為中考常見題型二、填空題4永定塔是北京園博園的標(biāo)志性建筑,其外觀為遼金風(fēng)格的八角九層木塔,游客可登至塔頂,俯瞰園博園全貌如圖,在a處測(cè)得cad30
5、6;,在b處測(cè)得cbd45°,并測(cè)得ab52米,那么永定塔的高cd約是_米(1.4,1.7,結(jié)果保留整數(shù))【答案】74【解析】【分析】首先證明bdcd,設(shè)bdcdx,在rtacd中,由a30°,推出adcd,由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題【詳解】如圖,cdad,cbd45°,cdb90°,cbddcb45°,bdcd,設(shè)bdcdx,在rtacd中,a30°,adcd,52+xx,x74(m),故答案為74,【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題5如圖,在一筆直的海岸線上有相距的兩個(gè)觀測(cè)站,站在站的正東
6、方向上,從站測(cè)得船在北偏東的方向上,從站測(cè)得船在北偏東的方向上,則船到海岸線的距離是_【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)c作cdab于點(diǎn)d,然后根據(jù)等腰三角形和判定和性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用即可求出答案【詳解】過(guò)點(diǎn)c作cdab于點(diǎn)d,根據(jù)題意得:cad=90°-60°=30°,cbd=90°-30°=60°,acb=cbd-cad=30°,cab=acb,bc=ab=4km,在rtcbd中,cd=bcsin60°()船c到海岸線的距離是故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用方向角問(wèn)題,
7、解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義三、解答題6如圖,海面上一艘船由西向東航行,在a處測(cè)得正東方向上一座燈塔的最高點(diǎn)c的仰角為31°,再向東繼續(xù)航行20m到達(dá)b處,側(cè)的燈塔的最高點(diǎn)c的仰角為45°,根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù),計(jì)算這座燈塔的高度cd(結(jié)果保留整數(shù))參考數(shù)據(jù):sin31°0.52,cos31°0.86,tan31°0.60【答案】cd約為30m【解析】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可得ad=,bd=cd,然后根據(jù)adbd=ab列出方程即可求出結(jié)論【詳解】解:在rtadc和rtbdc中,a=31°,cbd=45°ad=,bd=c
8、dadbd=ab解得:cd30答:這座燈塔的高度cd約為30m【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用,掌握利用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵7如圖所示,在一個(gè)坡度的山坡的頂端處豎直立著一個(gè)電視發(fā)射塔為測(cè)得電視發(fā)射塔的高度,小明站在山腳的平地處測(cè)得電視發(fā)射塔的頂端的仰角為40°,若測(cè)得斜坡長(zhǎng)為米,點(diǎn)到點(diǎn)的水平距離米,求電視發(fā)射塔的高度(參考數(shù)值:,結(jié)果保留整數(shù))【答案】85米【解析】【分析】如圖,根據(jù)坡比設(shè)be=x,ec=2x,在rtbec中,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程求出be和ce;在中,利用正切的定義求出ae問(wèn)題得解【詳解】解:如圖,作交dc的延長(zhǎng)線于點(diǎn),在中,設(shè),則,
9、 , 根據(jù)勾股定理得,解得,(米),(米),(米),在中,(米),答:電視發(fā)射塔的高度約為85米【點(diǎn)睛】本題考查了坡比的概念、仰角概念及銳角三角函數(shù)定義,要求學(xué)生能借助仰角、坡比構(gòu)造直角三角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形8如圖,一艘漁船以40海里/小時(shí)的速度由西向東追趕魚群,在處測(cè)得小島在漁船的北偏東方向;半小時(shí)后,漁船到達(dá)處,此時(shí)測(cè)得小島在漁船的北偏東方向已知以小島為中心,周圍18海里以內(nèi)為軍事演習(xí)著彈危險(xiǎn)區(qū)如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群,是否有著彈危險(xiǎn)?【答案】如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群有著彈危險(xiǎn),詳見解析【解析】【分析】根據(jù)題意可知,實(shí)質(zhì)是比較c點(diǎn)到ab的距離與18的大小因此作cd
10、ab于d點(diǎn),求cd的長(zhǎng)【詳解】有著彈危險(xiǎn)理由如下:作于,根據(jù)題意,在中,答:如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群有著彈危險(xiǎn)【點(diǎn)睛】本題考查了方位角問(wèn)題,三角形的外角性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì),含30度角的直角三角形的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用等,掌握方位角的概念、熟記含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵9為了維護(hù)我國(guó)海洋權(quán)力,海監(jiān)部門對(duì)我國(guó)領(lǐng)海實(shí)行了常態(tài)化巡航管理如圖,正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時(shí)60海里的速度向正東方向航行,在a處測(cè)得燈塔p在北偏東方向上,海監(jiān)船繼續(xù)向東航行1小時(shí)到達(dá)b處,此時(shí)測(cè)得燈塔p在北偏東方向上(1)求b處到燈塔p的距離;(2)已知燈塔p的周圍50海里內(nèi)有暗礁,若海監(jiān)船繼續(xù)
11、向正東方向航行是否安全?【答案】(1)b處到燈塔p的距離為60海里;(2)海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的【解析】【分析】(1)作pdab于d求出pab、pba、p的度數(shù),證得abp為等腰三角形,即可解決問(wèn)題;(2)在rtpbd中,解直角三角形求出pd的值即可判定【詳解】(1)過(guò)點(diǎn)p作pdab于點(diǎn)d,由題意得,ab=60(海里),pab=30°,pbd=60°,apb=pbd-pab=60°-30°=30°=pab,pb=ab=60(海里),答:b處到燈塔p的距離為60海里;(2)由(1)可知apb=pab=30°,pb=ab=60(
12、海里)在rtpbd中,pd=bpsin60°60(海里),海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題,正確根據(jù)題意畫出圖形、準(zhǔn)確標(biāo)注方向角、熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵10如圖,某樓房頂部有一根天線,為了測(cè)量天線的高度,在地面上取同一條直線上的三點(diǎn),在點(diǎn)處測(cè)得天線頂端的仰角為,從點(diǎn)走到點(diǎn),測(cè)得米,從點(diǎn)測(cè)得天線底端的仰角為,已知,在同一條垂直于地面的直線上,米(1)求與之間的距離;(2)求天線的高度(參考數(shù)據(jù):,結(jié)果保留整數(shù))【答案】(1)之間的距離為30米;(2)天線的高度約為27米【解析】【分析】(1)根據(jù)題意,bad=90°
13、;,bda=45°,故ad=ab,已知cd=5,不難算出a與c之間的距離(2)根據(jù)題意,在中,利用三角函數(shù)可算出ae的長(zhǎng),又已知ab,故eb即可求解【詳解】(1)依題意可得,在中, ,米, 米,米. 即之間的距離為30米(2)在中,米,(米),米,米由并精確到整數(shù)可得米即天線的高度約為27米 【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì),掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵(2)本題主要考查三角函數(shù)的靈活運(yùn)用,正確運(yùn)用三角函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵11圖1是某種路燈的實(shí)物圖片,圖2是該路燈的平面示意圖,為立柱的一部分,燈臂,支架與立柱分別交于a,b兩點(diǎn),燈臂與支架交于點(diǎn)c,已知,求支
14、架的長(zhǎng)(結(jié)果精確到,參考數(shù)據(jù):,) 【答案】49cm【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)c作cdmn,垂足為d,分別解acd和bcd,即可得到結(jié)果【詳解】解:過(guò)點(diǎn)c作cdmn,垂足為d,mac=60°,acb=15°,abc=60°-15°=45°,acd=30°,bcd是等腰直角三角形,ac=40cm,在rtacd中,ad=ac=20cm,cd=cm,在rtbcd中,bc=cm,支架bc的長(zhǎng)為49cm【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形,涉及到等腰直角三角形的判定和性質(zhì),含30°的直角三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是添加輔助線,構(gòu)造特殊直角三角形12
15、如圖,在中,的平分線交于點(diǎn)求的長(zhǎng)?【答案】6【解析】【分析】由求出a=30°,進(jìn)而得出abc=60°,由bd是abc的平分線得出cbd=30°,進(jìn)而求出bc的長(zhǎng),最后用sina即可求出ab的長(zhǎng)【詳解】解:在中, 是的平分線,又 ,在中, ,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了用三角函數(shù)解直角三角形,熟練掌握三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)是解決此類題的關(guān)鍵13為了測(cè)量某山(如圖所示)的高度,甲在山頂測(cè)得處的俯角為,處的俯角為,乙在山下測(cè)得,之間的距離為100米已知,在同一水平面的同一直線上,求山高(結(jié)果保留根號(hào))【答案】米【解析】【分析】設(shè),由題意可知,cd=100米,即
16、可得,在中,由可得,由此即可求得,即可得山高為米【詳解】解:設(shè),由題意可知:,在中,解得:,山高為米【點(diǎn)睛】本考查了解直角三角形的應(yīng)用,正確構(gòu)造直角三角形,并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵14一副直角三角板如圖所示放置,點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,試cd的長(zhǎng).【答案】155【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)b作bmfd于點(diǎn)m,根據(jù)題意可求出bc的長(zhǎng)度,然后在efd中可求出edf=45°,進(jìn)而可得出答案【詳解】過(guò)點(diǎn)b作bmfd于點(diǎn)m,在acb中,acb=90°,a=60°,ac=10,abc=30°,bc=ac×tan60°=10,abcf,b
17、m=bc×sin30°=10×=5,cm=bc×cos30°=15,在efd中,f=90°,e=45°,edf=45°,md=bm=5,cd=cm-md=15-5【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì),難度較大,解答此類題目的關(guān)鍵根據(jù)題意建立三角形利用所學(xué)的三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答15如圖,在港口a處的正東方向有兩個(gè)相距的觀測(cè)點(diǎn)b、c,一艘輪船從a處出發(fā), 北偏東方向航行至d處, 在b、c處分別測(cè)得,求輪船航行的距離ad (參考數(shù)據(jù):,)【答案】20km【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作,垂足為,通過(guò)解和得和,根據(jù)求
18、得dh,再解求得ad即可【詳解】解:如圖,過(guò)點(diǎn)作,垂足為在中,在中,在中,(km)因此,輪船航行的距離約為【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題,銳角三角函數(shù),勾股定理作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵16周日,媽媽帶小嵐到商場(chǎng)的攀巖墻處玩耍如圖,是一攀巖墻,小嵐從攀巖墻底部處向上攀爬,媽媽站在距離攀巖墻的處,當(dāng)他到達(dá)處時(shí),媽媽看向他的仰角為,當(dāng)他到達(dá)墻頂處時(shí),媽媽看向他的仰角為(小嵐媽媽的身高均忽略不計(jì)) ,此時(shí)攀巖教練開始釋放手中的繩子,使小嵐以的速度下落到處,再減速下落到地面,則他從處下落到處需要多長(zhǎng)時(shí)間? (結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):) 【答案】小嵐從處下落到處需要【解析】【
19、分析】在中,利用三角函數(shù)解直角三角形可得cd;在中,利用三角函數(shù)解直角三角形可得ad,進(jìn)而得到ac的長(zhǎng)度,即可求解【詳解】解:根據(jù)題意可知,在中,即(m)在中,即答:小嵐從處下落到處需要【點(diǎn)睛】此題主要考查利用三角形函數(shù)解直角三角形,熟練掌握銳角的三角函數(shù)概念是解題關(guān)鍵17如圖,利用標(biāo)桿be測(cè)量建筑物的高度,如果標(biāo)桿be長(zhǎng)1.2m,測(cè)得ab=1.6m,bc=8.4m,樓高cd是多少?【答案】樓高cd是7.5m【解析】【分析】先根據(jù)題意得出abeacd,再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出cd的值【詳解】解:ebac,dcac,ebdc,abeacd,be=1.2,ab=1.6,bc=8.4,
20、ac=10,cd=7.5答:樓高cd是7.5m【點(diǎn)睛】考點(diǎn):相似三角形的應(yīng)用18(本題滿分10分,第(1)小題滿分4分,第(2)小題滿分6分)如圖,表示一段筆直的高架道路,線段表示高架道路旁的一排居民樓已知點(diǎn)到的距離為米,的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn),且,假設(shè)汽車在高速道路上行駛時(shí),周圍米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響(1)過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足為點(diǎn)如果汽車沿著從到的方向在上行駛,當(dāng)汽車到達(dá)點(diǎn)處時(shí),噪音開始影響這一排的居民樓,那么此時(shí)汽車與點(diǎn)的距離為多少米?(2)降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板當(dāng)汽車行駛到點(diǎn)時(shí),它與這一排居民樓的距離為米,那么對(duì)于這一排居民樓,高架道路旁安裝的隔音板至少需要多少米長(zhǎng)?(精確
21、到米) (參考數(shù)據(jù):)【答案】(1)米;(2)米【解析】【分析】(1)聯(lián)結(jié),直接在中利用勾股定理解出即可;(2)從題中可得到的信息是,因此需要安裝的隔音板至少要包含這一段第(1)小題中已解得,故需要求出,在和中用兩次的三角函數(shù),即可解得和,代入計(jì)算即可【詳解】解:(1)連結(jié),由題意得,在中,;(2)由題意知,隔音板至少要從點(diǎn)裝到點(diǎn)在中,在中,答:(1)此時(shí)汽車與點(diǎn)的距離為米;(2)高架道路旁安裝的隔音板至少需要米19如圖,一只貓頭鷹蹲在一棵樹ac的b(點(diǎn)b在ac上)處,發(fā)現(xiàn)一只老鼠躲進(jìn)短墻df的另一側(cè),貓頭鷹的視線被短墻遮住,為了尋找這只老鼠,它又飛至樹頂c處,已知短墻高df=4米,短墻底部d
22、與樹的底部a的距離為2.7米,貓頭鷹從c點(diǎn)觀測(cè)f點(diǎn)的俯角為53°,老鼠躲藏處m(點(diǎn)m在de上)距d點(diǎn)3米(參考數(shù)據(jù):sin37°0.60,cos37°0.80,tan37°0.75)(1)貓頭鷹飛至c處后,能否看到這只老鼠?為什么?(2)要捕捉到這只老鼠,貓頭鷹至少要飛多少米(精確到0.1米)?【答案】(1)能看到;(2)要捕捉到這只老鼠,貓頭鷹至少要飛9.5米.【解析】【分析】(1)根據(jù)貓頭鷹從c點(diǎn)觀測(cè)f點(diǎn)的俯角為53°,可知dfg=90°53°=37°,在dfg中,已知df的長(zhǎng)度,求出dg的長(zhǎng)度,若dg>3,則看不見老鼠,若dg3,則可以看見老鼠;(2)根據(jù)(1)求出的dg長(zhǎng)度,求出ag的長(zhǎng)度,然后在rtcag中,根據(jù)=sinacg =sin37°,即可求出cg的長(zhǎng)度.【詳解】(1)能看到;由題意得,dfg=90
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