備考2022數(shù)學專題16二次函數(shù)的存在性問題（解析版）

1、決勝2020中考數(shù)學壓軸題全揭秘精品專題16二次函數(shù)的存在性問題【典例分析】【考點1】二次函數(shù)與相似三角形問題【例1】已知拋物線與x軸分別交于，兩點，與y軸交于點c（1）求拋物線的表達式及頂點d的坐標；（2）點f是線段ad上一個動點如圖1，設，當k為何值時，.如圖2，以a，f，o為頂點的三角形是否與相似？若相似，求出點f的坐標；若不相似，請說明理由【答案】（1），d的坐標為；（2）；以a，f，o為頂點的三角形與相似，f點的坐標為或【解析】(1)將a、b兩點的坐標代入二次函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法即求出拋物線對應的函數(shù)表達式，可求得頂點；(2)由a、c、d三點的坐標求出，可得為直角三角形，若，則點

2、f為ad的中點，可求出k的值；由條件可判斷，則，若以a，f，o為頂點的三角形與相似，可分兩種情況考慮：當或時，可分別求出點f的坐標【詳解】(1)拋物線過點，解得：，拋物線解析式為；，頂點d的坐標為；(2)在中，為直角三角形，且，f為ad的中點，；在中，在中，若以a，f，o為頂點的三角形與相似，則可分兩種情況考慮：當時，設直線bc的解析式為，解得：，直線bc的解析式為，直線of的解析式為，設直線ad的解析式為，解得：，直線ad的解析式為，解得：，當時，直線of的解析式為，解得：，綜合以上可得f點的坐標為或【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、相似三角形的判定與性

3、質和直角三角形的性質；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題【變式1-1】如圖，拋物線經過，兩點，且與軸交于點，拋物線與直線交于，兩點（1）求拋物線的解析式；（2）坐標軸上是否存在一點，使得是以為底邊的等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由（3）點在軸上且位于點的左側，若以，為頂點的三角形與相似，求點的坐標【答案】（1）；（2）存在，或，理由見解析；（3）或【解析】（1）將a、c的坐標代入求出a、c即可得到解析式；（2）先求出e點坐標，然后作ae的垂直平分線，與x軸交于q，與y軸交于q'，根據垂直平分線的性質可知q、與a、

4、e，q'與a、e組成的三角形是以ae為底邊的等腰三角形，設q點坐標(0,x)，q'坐標(0,y)，根據距離公式建立方程求解即可；（3）根據a、e坐標，求出ae長度，然后推出bae=abc=45°，設，由相似得到或，建立方程求解即可【詳解】（1）將，代入得：，解得拋物線解析式為（2）存在，理由如下：聯(lián)立和，解得或e點坐標為(4,-5)，如圖，作ae的垂直平分線，與x軸交于q，與y軸交于q'，此時q點與q'點的坐標即為所求，設q點坐標(0,x)，q'坐標(0,y)，由qa=qe，q'a= q'e得：，解得，故q點坐標為或（3），當時

5、，解得或3b點坐標為(3,0)，由直線可得ae與y軸的交點為(0,-1)，而a點坐標為(-1,0)bae=45°設則，和相似 或，即或解得或，或【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問題，是中考常見的壓軸題型，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質，以及相似三角形的性質是解題的關鍵【變式1-2】如圖，已知拋物線(m0)與x軸相交于點a，b，與y軸相交于點c，且點a在點b的左側.（1）若拋物線過點（2，2），求拋物線的解析式；（2）在（1）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在一點h，使ah+ch的值最小，若存在，求出點h的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在第四象限內，拋物線上是否存在

6、點m，使得以點a，b，m為頂點的三角形與acb相似？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）點h的坐標為（1，）；（3）當m=時，在第四象限內拋物線上存在點m，使得以點a，b，m為頂點的三角形與acb相似. 【解析】分析：（1）把點（2，2）代入中，解出m的值即可得到拋物線的解析式；（2）由（1）中所得解析式求出點a、b、c的坐標，由題意可知，點a、b關于拋物線的對稱軸對稱，這樣連接bc與對稱軸的交點即為所求的點h，根據b、c的坐標求出直線bc的解析式即可求得點h的坐標；（3）由解析式可得點a、b、c的坐標分別為（-2，0）、（m，0）和（0，2），如下圖，由圖可知ac

7、b和abm是鈍角，因此存在兩種可能性：當acbabm，acbmba，分這兩種情況結合題中已知條件進行分析解答即可.詳解：（1）把點（2，2）代入拋物線，得2=. 解得m=4. 拋物線的解析式為. （2）令，解得.則a（-2，0），b（4，0）. 對稱軸x=-. 中當x=0時，y=2，點c的坐標為（0，2）.點a和點b關于拋物線的對稱軸對稱，連接bc與對稱軸的交點即為點h，此時ah+ch的值最小，設直線bc的解析式為y=kx+b，把b（4，0），c（0，2）代入得： ，解得： ，直線bc的解析式為y=. 當x=1時，y=.點h的坐標為（1，）. （3）假設存在點m，使得以點a，b，m為頂點的三角

8、形與acb相似.如下圖，連接ac，bc，am，bm，過點m作mnx軸于點n，由圖易知，acb和abm為鈍角，當acbabm時，有=，即.a（-2，0），c（0，2），即oa=oc=2，cab=bam=.mnx軸，bam=amn=45°，an=mn. 可設m的坐標為：（x，-x-2）（x0），把點m的坐標代入拋物線的解析式，得：-x-2=.化簡整理得：x=2m，點m的坐標為：（2m，-2m-2）.am=.，ac=，ab=m+2，.解得：m=.m0，m=. 當acbmba時，有=，即.cba=bam，anm=boc=，anmboc，=.bo=m，設on=x，=，即mn=（x+2）.令m（

9、x，）（x0），把m點的坐標代入拋物線的解析式，得=.解得x=m+2.即m（m+2，）.，cb=，mn=，.化簡整理，得16=0，顯然不成立. 綜上所述，當m=時，在第四象限內拋物線上存在點m，使得以點a，b，m為頂點的三角形與acb相似. 點睛：本題是一道二次函數(shù)和幾何圖形綜合的題目，解題的要點有以下兩點：（1）“知道點a、b是關于拋物線的對稱軸對稱的，連接bc與對稱軸的交點即為所求的點h”是解答第2小題的關鍵；（2）“能根據題意畫出符合要求的圖形，知道acb和abm為鈍角，結合題意得到存在：當acbabm，acbmba這兩種可能情況”是解答第3小題的關鍵.【考點2】二次函數(shù)與直角三角形問題

10、【例2】如圖，拋物線的頂點坐標為，圖象與軸交于點，與軸交于、兩點求拋物線的解析式；設拋物線對稱軸與直線交于點，連接、，求的面積；點為直線上的任意一點，過點作軸的垂線與拋物線交于點，問是否存在點使為直角三角形？若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由【答案】(1) ;(2)2;(3)見解析.【解析】（1）可設拋物線解析式為頂點式，把c點坐標代入可求得拋物線解析式；（2）由拋物線解析式可求得a、b坐標，利用待定系數(shù)法可求得直線bc解析式，利用對稱軸可求得d點坐標，則可求得ad2、ac2和cd2，利用勾股定理的逆定理可判定acd為直角三角形，則可求得其面積；（3）根據題意可分dfe=90°

11、和edf=90°兩種情況，當dfe=90°時，可知dfx軸，則可求得e點縱坐標，代入拋物線解析式可求得e點坐標；當edf=90°時，可求得直線ad解析式，聯(lián)立直線ac和拋物線解析式可求得點e的橫坐標，代入直線bc可求得點e的坐標【詳解】解：拋物線的頂點坐標為，可設拋物線解析式為，把代入可得，解得，拋物線解析式為；在中，令可得，解得或，設直線解析式為，把代入得：，解得，直線解析式為，由可知拋物線的對稱軸為，此時，是以為斜邊的直角三角形，；由題意知軸，則，為直角三角形，分和兩種情況，當時，即軸，則、的縱坐標相同，點縱坐標為，點在拋物線上，解得，即點的橫坐標為，點在直線

12、上，當時，當時，點坐標為或；當時，直線解析式為，直線解析式為，直線與拋物線的交點即為點，聯(lián)立直線與拋物線解析式有，解得或，當時，當時，點坐標為或，綜上可知存在滿足條件的點，其坐標為或或或【點睛】考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用已知的頂點坐標，列出方程組，可以求出函數(shù)解析式.【變式2-1】如圖，經過軸上兩點的拋物線（）交軸于點，設拋物線的頂點為，若以為直徑的g經過點，求解下列問題：（1）用含的代數(shù)式表示出的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）能否在拋物線上找到一點，使為直角三角形？如能，求出點的坐標，若不能，請說明理由?！敬鸢浮浚?）點的坐標為,點的坐標為；（2） 拋物線的解析式為；（3）滿足

13、題意的點有三個：、和 【解析】【試題分析】（1）是頂點式，則頂點的坐標為,當x=0,則y=-3m,即點的坐標為；（2）連接cd 、 bc，過點作軸于，如圖所示:根據直徑所對的圓周角是直角，得 ,出現(xiàn)“一線三等角模型”，得 得： ，解得，則拋物線的解析式為.（3）分三種情況分類討論： （圖）顯然與點重合，點坐標為 ；=（圖）作軸于，軸于，根據兩角對應相等，兩三角形相似，得，則，由于點坐標，則，解得：由得坐標： ；=（圖）延長交軸于，作軸于，軸于,同理可證：，則，即,得，點的坐標為，設所在的直線解析式為y=kx+b,用待定系數(shù)法，把m和d（1,4）代入得： 解得：則直線dm的解析式為 ,把代入得：

14、，解得，最后把代入 得,點的坐標為綜上述，點有三個：、和 【試題解析】（1）y是頂點式點的坐標為當x=0時，y= -3m點的坐標為（2） 連接cd 、 bc，過點作軸于，如圖所示：bd是g的直徑dcb=ecd+bco=ecd+edc=bco=edcdec=boc= 拋物線的解析式為（3）能在拋物線上找到一點q，使bdq為直角三角形很明顯，點即在拋物線上，又在g上，這時與點重合點坐標為 如圖，若為，作軸于，軸于同理可證：點坐標化簡得：,解得：（不合題意，舍去），由得坐標： 若為,如圖，延長交軸于，作軸于，軸于,同理可證：則,得，點的坐標為設所在的直線解析式為y=kx+b,把m和d（1,4）代入得

15、： 解得：直線dm的解析式為 ,把代入得：解為：（不合題意，舍去），把代入 得,點的坐標為 綜合上述，滿足題意的點有三個：、和 【方法點睛】本題目是一道二次函數(shù)的綜合題，涉及到頂點坐標，與坐標軸的交點，一線三等角證相似，并且多次運用相似三角形的對應邊成比例，直角三角形的確定（3種情況分類討論），難度較大.【變式2-2】已知拋物線與軸只有一個交點，且與軸交于點，如圖，設它的頂點為b（1）求的值；（2）過a作x軸的平行線，交拋物線于點c，求證：abc是等腰直角三角形；（3）將此拋物線向下平移4個單位后，得到拋物線，且與x軸的左半軸交于e點，與y軸交于f點，如圖請在拋物線上求點p，使得是以ef為直角

16、邊的直角三角形？【答案】（1）m = 2；（2）證明見解析；（3）滿足條件的p點的坐標為（，）或（，）【解析】試題分析：（1）根據拋物線與x軸只有一個交點可知的值為0，由此得到一個關于m的一元一次方程，解此方程可得m的值；（2）根據拋物線的解析式求出頂點坐標，根據a點在y軸上求出a點坐標，再求c點坐標，根據三個點的坐標得出abc為等腰直角三角形；（3）根據拋物線解析式求出e、f的坐標，然后分別討論以e為直角頂點和以f為直角頂點p的坐標試題解析：（1）拋物線y=x2-2x+m-1與x軸只有一個交點，=（-2）2-4×1×（m-1）=0，解得，m=2；（2）由（1）知拋物線的解

17、析式為y=x2-2x+1=（x-1）2，易得頂點b（1，0），當x=0時，y=1，得a（0，1）由1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以c點坐標為：（2，1）過c作x軸的垂線，垂足為d，則cd=1，bd=xd-xb=1在rtcdb中，cbd=45°，bc=同理，在rtaob中，ao=ob=1，于是abo=45°，ab=abc=180°-cbd-abo=90°，ab=bc，因此abc是等腰直角三角形；（3）由題知，拋物線c的解析式為y=x2-2x-3，當x=0時，y=-3；當y=0時，x=-1或x=3，e（-1，0），f（0，-3），即oe=

18、1，of=3第一種情況：若以e點為直角頂點，設此時滿足條件的點為p1（x1，y1），作p1mx軸于mp1em+oef=efo+oef=90°，p1em=efo，得rtefortp1em，則，即em=3p1mem=x1+1，p1m=y1，x1+1=3y1由于p1（x1，y1）在拋物線c上，則有3（x12-2x1-3）=x1+1，整理得，3x12-7x1-10=0，解得，x1，或x2=-1（舍去）把x1代入中可解得，y1=p1（，）第二種情況：若以f點為直角頂點，設此時滿足條件的點為p2（x2，y2），作p2ny軸于n同第一種情況，易知rtefortfp2n，得，即p2n=3fnp2n=

19、x2，fn=3+y2，x2=3（3+y2）由于p2（x2，y2）在拋物線c上，則有x2=3（3+x22-2x2-3），整理得3x22-7x2=0，解得x2=0（舍）或x2把x2代入中可解得，y2p2（，）綜上所述，滿足條件的p點的坐標為：（，）或（，）.【考點3】二次函數(shù)與等腰三角形問題【例3】如圖，已知：二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象與x軸交于a，b兩點，其中a點坐標為（3，0），與y軸交于點c，點d（2，3）在拋物線上（1）求拋物線的表達式；（2）拋物線的對稱軸上有一動點p，求出pa+pd的最小值；（3）若拋物線上有一動點m，使abm的面積等于abc的面積，求m點坐標（4）拋物線的對稱軸上

20、是否存在動點q，使得bcq為等腰三角形？若存在，求出點q的坐標；若不存在，說明理由【答案】（1）yx2+2x3；（2）；（3）點m的坐標為（1，3），（1+，3），（2，3）；（4）存在；點q的坐標為（1，），（1，），（1，0），（1，6），（1，1）【解析】（1）由點a，d的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達式；（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點b的坐標，連接bd，交拋物線的對稱軸于點p，由拋物線的對稱性及兩點之間線段最短可得出此時pa+pd取最小值，最小值為線段bd的長度，再由點b，d的坐標，利用兩點間的距離公式可求出pa+pd的最小值；（3）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特

21、征可求出點c的坐標，設點m的坐標為（x，x2+2x-3），由abm的面積等于abc的面積可得出關于x的一元二次方程，解之即可求出點m的坐標；（4）設點q的坐標為（-1，m），結合點b，c的坐標可得出cq2，bq2，bc2，分bq=bc，cq=cb及qb=qc三種情況，找出關于m的一元二次（或一元一次）方程，解之即可得出點q的坐標【詳解】解：（1）將a（3，0），d（2，3）代入yx2+bx+c，得：，解得：，拋物線的表達式為yx2+2x3（2）當y0時，x2+2x30，解得：x13，x21，點b的坐標為（1，0）連接bd，交拋物線的對稱軸于點p，如圖1所示papb，此時pa+pd取最小值，最小

22、值為線段bd的長度點b的坐標為（1，0），點d的坐標為（2，3），bd3，pa+pd的最小值為3（3）當x0時，yx2+2x33，點c的坐標為（0，3）設點m的坐標為（x，x2+2x3）sabmsabc，|x2+2x3|3，即x2+2x60或x2+2x0，解得：x11，x21+，x32，x40（舍去），點m的坐標為（1，3），（1+，3），（2，3）（4）設點q的坐標為（1，m）點b的坐標為（1，0），點c的坐標為（0，3），cq2（10）2+m（3）2m2+6m+10，bq2（11）2+（m0）2m2+4，bc2（01）2+（30）210分三種情況考慮（如圖2所示）：當bqbc時，m2+41

23、0，解得：m1，m2，點q1的坐標為（1，），點q2的坐標為（1，）；當cqcb時，m2+6m+1010，解得：m30，m46，點q3的坐標為（1，0），點q4的坐標為（1，6）；當qbqc時，m2+4m2+6m+10，解得：m51，點q5的坐標為（1，1）綜上所述：拋物線的對稱軸上存在動點q，使得bcq為等腰三角形，點q的坐標為（1，），（1，），（1，0），（1，6），（1，1）【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質、兩點間的距離公式、三角形的面積、等腰三角形的性質以及解一元二次（或一元一次）方程，解題的關鍵是：（1）由點的坐標，利用待定系

24、數(shù)法求出二次函數(shù)表達式；（2）利用兩點之間線段最短，找出點p的位置；（3）利用兩三角形面積相等，找出關于x的一元二次方程；（4）分bq=bc，cq=cb及qb=qc三種情況，找出關于m的方程【變式3-1】如圖，拋物線與x軸交于點a（1，0）和b（3，0）（1）求拋物線的解析式；（2）若拋物線的對稱軸交x軸于點e，點f是位于x軸上方對稱軸上一點，fcx軸，與對稱軸右側的拋物線交于點c，且四邊形oecf是平行四邊形，求點c的坐標；（3）在（2）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點p，使ocp是等腰三角形？若存在，請直接寫出點p的坐標；若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2）c（4，3）；（3）p

25、（）或（）或（）或（）【解析】試題分析：（1）把點a、b的坐標代入函數(shù)解析式，解方程組求出a、b的值，即可得解；（2）根據拋物線解析式求出對稱軸，再根據平行四邊形的對角線互相平分求出點c的橫坐標，然后代入函數(shù)解析式計算求出縱坐標，即可得解；（3）設ac、ef的交點為d，根據點c的坐標寫出點d的坐標，然后分o是頂角，c是頂角，p是頂角三種情況討論試題解析：（1）把點a（1，0）和b（3，0）代入得，解得，所以，拋物線的解析式為；（2）拋物線的對稱軸為直線x=2，四邊形oecf是平行四邊形點c的橫坐標是4，點c在拋物線上，點c的坐標為（4，3）；（3）點c的坐標為（4，3），oc的長為5，點o是頂

26、角頂點時，op=oc=5，oe=2，所以，點p的坐標為（2，）或（2，-）；點c是頂角頂點時，cp=oc=5，同理求出pf=，所以，pe=，所以，點p的坐標為（2，）或（2， ）；點p是頂角頂點時，點p在oc上，不存在.綜上所述，拋物線的對稱軸上存在點p（2，）或（2，-）或（2，）或（2， ），使ocp是等腰三角形考點：二次函數(shù)綜合題【變式3-2】如圖，拋物線與直線相交于兩點，且拋物線經過點.（1）求拋物線的解析式；（2）點是拋物線上的一個動點（不與點、點重合），過點作直線軸于點，交直線于點.當時，求點坐標； 是否存在點使為等腰三角形，若存在請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由.【答案】

27、（1）y=x2+4x+5；（2）p點坐標為（2，9）或（6，7）；（，）或（4+，48）或（4，48）或（0，5）【解析】試題分析：（1）由直線解析式可求得b點坐標，由a、b、c三點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）可設出p點坐標，則可表示出e、d的坐標，從而可表示出pe和ed的長，由條件可知到關于p點坐標的方程，則可求得p點坐標；由e、b、c三點坐標可表示出be、ce和bc的長，由等腰三角形的性質可得到關于e點坐標的方程，可求得e點坐標，則可求得p點坐標試題解析：（1）點b（4，m）在直線y=x+1上，m=4+1=5，b（4，5），把a、b、c三點坐標代入拋物線解析式可得，解得

28、，拋物線解析式為y=x2+4x+5；（2）設p（x，x2+4x+5），則e（x，x+1），d（x，0），則pe=|x2+4x+5（x+1）|=|x2+3x+4|，de=|x+1|，pe=2ed，|x2+3x+4|=2|x+1|，當x2+3x+4=2（x+1）時，解得x=1或x=2，但當x=1時，p與a重合不合題意，舍去，p（2，9）；當x2+3x+4=2（x+1）時，解得x=1或x=6，但當x=1時，p與a重合不合題意，舍去，p（6，7）；綜上可知p點坐標為（2，9）或（6，7）；設p（x，x2+4x+5），則e（x，x+1），且b（4，5），c（5，0），be=|x4|，ce=，bc=，當b

29、ec為等腰三角形時，則有be=ce、be=bc或ce=bc三種情況，當be=ce時，則|x4|=，解得x=，此時p點坐標為（，）；當be=bc時，則|x4|=，解得x=4+或x=4，此時p點坐標為（4+，48）或（4，48）；當ce=bc時，則=，解得x=0或x=4，當x=4時e點與b點重合，不合題意，舍去，此時p點坐標為（0，5）；綜上可知存在滿足條件的點p，其坐標為（，）或（4+，48）或（4，48）或（0，5）考點：二次函數(shù)綜合題【考點4】二次函數(shù)與平行四邊形問題【例4】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點a（3，0），b（1，0），與y軸相交于（0，），頂點為p（1）求拋物線

30、解析式；（2）在拋物線是否存在點e，使abp的面積等于abe的面積？若存在，求出符合條件的點e的坐標；若不存在，請說明理由；（3）坐標平面內是否存在點f，使得以a、b、p、f為頂點的四邊形為平行四邊形？直接寫出所有符合條件的點f的坐標，并求出平行四邊形的面積【答案】（1）y=x2+x（2）存在，（12，2）或（1+2，2）（3）點f的坐標為（1，2）、（3，2）、（5，2），且平行四邊形的面積為 8【解析】（1）設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，把（3，0），（1，0），（0，）代入求出a、b、c的值即可；（2）根據拋物線解析式可知頂點p的坐標，由兩個三角形的底相同可得要使兩個三角形面積相

31、等則高相等，根據p點坐標可知e點縱坐標，代入解析式求出x的值即可；（3）分別討論ab為邊、ab為對角線兩種情況求出f點坐標并求出面積即可；【詳解】（1）設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，將（3，0），（1，0），（0，）代入拋物線解析式得，解得：a=，b=1，c=拋物線解析式：y=x2+x（2）存在y=x2+x=（x+1）22p點坐標為（1，2）abp的面積等于abe的面積，點e到ab的距離等于2，設e（a，2），a2+a=2解得a1=12，a2=1+2符合條件的點e的坐標為（12，2）或（1+2，2）（3）點a（3，0），點b（1，0），ab=4若ab為邊，且以a、b、p、f為頂點的四邊

32、形為平行四邊形abpf，ab=pf=4點p坐標（1，2）點f坐標為（3，2），（5，2）平行四邊形的面積=4×2=8若ab為對角線，以a、b、p、f為頂點的四邊形為平行四邊形ab與pf互相平分設點f（x，y）且點a（3，0），點b（1，0），點p（1，2） ，x=1，y=2點f（1，2）平行四邊形的面積=×4×4=8綜上所述：點f的坐標為（1，2）、（3，2）、（5，2），且平行四邊形的面積為8【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的幾何應用，分類討論并熟練掌握數(shù)形結合的數(shù)學思想方法是解題關鍵.【變式4-1】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-23

33、x2+bx+c，經過a（0，4），b（x1，0），c（x2，0）三點，且|x2-x1|=5（1）求b，c的值；（2）在拋物線上求一點d，使得四邊形bdce是以bc為對角線的菱形；（3）在拋物線上是否存在一點p，使得四邊形bpoh是以ob為對角線的菱形？若存在，求出點p的坐標，并判斷這個菱形是否為正方形？若不存在，請說明理由【答案】（1）b=-143，c=-4；（2）d（-72，256）；（3）存在一點p（3，4），使得四邊形bpoh為菱形，不能為正方形【解析】試題分析：（1）把a（0，4）代入可求c，運用根與系數(shù)的關系及|x2-x1|=5，可求出b；（2）因為菱形的對角線互相垂直平分，故菱形的

34、另外一條對角線必在拋物線的對稱軸上，滿足條件的d點，就是拋物線的頂點；（3）由四邊形bpoh是以ob為對角線的菱形，可得ph垂直平分ob，求出ob的中點坐標，代入拋物線解析式即可，再根據所求點的坐標與線段ob的長度關系，判斷是否為正方形即可試題解析：（1）拋物線y=-23x2+bx+c，經過點a（0，4），c=4，又由題意可知，x1、x2是方程-23x2+bx-4=0的兩個根，x1+x2=32b，x1x2=6，由已知得(x2-x1)2=25，x12+x22-2x1x2=25，(x1+x2)2-4x1x2=25，94b2-24=25，解得：b=±143，當b=143時，拋物線與x軸的交

35、點在x軸的正半軸上，不合題意，舍去b=-143；（2）四邊形bdce是以bc為對角線的菱形，根據菱形的性質，點d必在拋物線的對稱軸上，又y=-23x2-143x-4=-23(x+72)2+256，拋物線的頂點（-72，256）即為所求的點d；（3）四邊形bpoh是以ob為對角線的菱形，點b的坐標為（6，0），根據菱形的性質，點p必是直線x=3與拋物線y=-23x2-143x-4的交點，當x=3時，y=-23×(-3)2-143×(-3)-4=4，在拋物線上存在一點p（3，4），使得四邊形bpoh為菱形四邊形bpoh不能成為正方形，因為如果四邊形bpoh為正方形，點p的坐標只

36、能是（3，3），但這一點不在拋物線上考點：1二次函數(shù)綜合題；2探究型；3存在型；4壓軸題【變式4-2】如圖，拋物線與直線交于，兩點，直線交軸與點，點是直線上的動點，過點作軸交于點，交拋物線于點.(1)求拋物線的表達式；(2)連接，當四邊形是平行四邊形時，求點的坐標；(3)在軸上存在一點，連接，當點運動到什么位置時，以為頂點的四邊形是矩形？求出此時點的坐標；在的前提下，以點為圓心，長為半徑作圓，點為上一動點，求的最小值.【答案】(1) y=x22x+4；(2) g（2，4）；(3)e（2，0）h（0，1）；【解析】試題分析:（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）先利用待定系數(shù)法求出直線ab

37、的解析式，進而利用平行四邊形的對邊相等建立方程求解即可；（3）先判斷出要以點a，e，f，h為頂點的四邊形是矩形，只有ef為對角線，利用中點坐標公式建立方程即可；先取eg的中點p進而判斷出pemmea即可得出pm=am，連接cp交圓e于m，再求出點p的坐標即可得出結論試題解析：（1）點a（4，4），b（0，4）在拋物線y=x2+bx+c上，拋物線的解析式為y=x22x+4；（2）設直線ab的解析式為y=kx+n過點a，b，直線ab的解析式為y=2x+4，設e（m，2m+4），g（m，m22m+4），四邊形geob是平行四邊形，eg=ob=4，m22m+42m4=4，m=2，g（2，4）；（3）如

38、圖1，由（2）知，直線ab的解析式為y=2x+4，設e（a，2a+4），直線ac：y=x6，f（a，a6），設h（0，p），以點a，e，f，h為頂點的四邊形是矩形，直線ab的解析式為y=2x+4，直線ac：y=x6，abac，ef為對角線，（4+0）=（a+a），（4+p）=（2a+4a6），a=2，p=1，e（2，0）h（0，1）；如圖2，由知，e（2，0），h（0，1），a（4，4），eh=，ae=2，設ae交e于g，取eg的中點p，pe=，連接pc交e于m，連接em，em=eh=，=，=，pem=mea，pemmea，pm=am，am+cm的最小值=pc，設點p（p，2p+4），e（2，

39、0），pe2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，pe=，5（p+2）2=，p=或p=（由于e（2，0），所以舍去），p（，1），c（0，6），pc=，即：am+cm=考點：二次函數(shù)綜合題【達標訓練】一、單選題1將拋物線y=2x21向上平移若干個單位，使拋物線與坐標軸有三個交點，如果這些交點能構成直角三角形，那么平移的距離為（ ）a個單位 b1個單位 c個單位 d個單位【答案】a【解析】試題分析設拋物線向上平移a（a1）個單位，使拋物線與坐標軸有三個交點，且這些交點能構成直角三角形，則有平移后拋物線的解析式為：y=2x21+a，am=a，拋物線y=2x21與y軸的交點m為（0，1），

40、即om=1，oa=amom=a1，令y=2x21+a中y=0，得到2x21+a=0，解得：x=±，b（，0），c（，0），即bc=2，又abc為直角三角形，且b和c關于y軸對稱，即o為bc的中點，ao=bc，即a1=，兩邊平方得：（a1）2=，a10，a1=，解得：a=故選a【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換2如圖，拋物線與軸交于點，點，點是拋物線上的動點，若是以為底的等腰三角形，則的值為（ ）a或b或c或d或【答案】b【解析】作中垂線交拋物線于，（在左側），交軸于點;連接p1d,p2d.易得 ，將代入中得，故選b.當pcd是以cd為底的等腰三角形時,則p點在線段cd的垂直平分線上,由c

41、、d坐標可求得線段cd中點的坐標,從而可以知道p點的縱坐標,代入拋物線解析式可求得p點坐標.二、填空題3如圖，拋物線的頂點為，直線與拋物線交于，兩點是拋物線上一點，過作軸，垂足為如果以，為頂點的三角形與相似，那么點的坐標是_【答案】，【解析】根據拋物線的解析式，易求得a（-1，0），d（1，0），c（0，-1）；則acd是等腰直角三角形，由于apdc，可知bac=90°；根據d、c的坐標，用待定系數(shù)法可求出直線dc的解析式，而abdc，則直線ab與dc的斜率相同，再加上a點的坐標，即可求出直線ab的解析式，聯(lián)立直線ab和拋物線的解析式，可求出b點的坐標，即可得出ab、ac的長在rta

42、bc和rtamg中，已知了bac=agm=90°，若兩三角形相似，則直角邊對應成比例，據此可求出m點的坐標【詳解】易知：a(1,0),d(1,0),c(0,1) ；則oa=od=oc=1 ，adc 是等腰直角三角形，acd=90 ° ,ac=  ；又ab dc ，bac=90 ° ；易知直線bd 的解析式為y=x1 ，由于直線ab dc, 可設直線ab 的解析式為y=x+b, 由于直線ab

43、0;過點a(1,0) ；則直線ab 的解析式為：y=x+1 ，聯(lián)立拋物線的解析式：  ，解得 ,；故b(2,3) ；ap=3  ；rtbac 和rtamg 中,agm=pac=90 ° , 且ba:ac=3 :  =3:1 ；若以a. m 、g 三點為頂點的三角形與bca 相似，則ag:mg=1:3 或3:1 ；設m 點坐標為(m,m 2

44、 1),(m<1 或m>1) 則有：mg=m 2 1 ，ag=|m+1| ；當am:mg=1:3 時,m 2 1=3|m+1|,m 2 1=±(3m+3) ；當m 2 1=3m+3 時,m 2 3m4=0, 解得m=1( 舍去) ，m=4 ；當m 2 1=3m3 時,m 2 +3m+2=0, 解得

45、m=1( 舍去) ，m=2 ；m 1 (4,15),m 2 (2,3) ；當am:mg=3:1 時,3(m 2 1)=|m+1|,3m 2 3=±(m+1) ；當3m 2 3=m+1 時,3m 2 m4=0, 解得m=1( 舍去),m=  ；當3m 2 3=m1 時,3m 2 +m2=0, 解得m=

46、1( 舍去),m= ( 舍去) ；m 3 ( , ). 故符合條件的m 點坐標為：(4,15),(2,3),  ( , ). 故答案為：:(4,15),(2,3),  ( , ).【點睛】本題考查了二次函數(shù)，解題的關鍵是熟練的掌握二次函數(shù)的性質與應用.4如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a0）相交于a（，）和b（4，m），點p是線段ab上異于a、b的動點，過點p作pcx軸于點d，交拋物線于點c當pac為直角三角

47、形時點p的坐標 【答案】（3，5）或（，）【解析】試題分析：由于p點不可能為直角頂點，因此就只有兩種情況：若a為直角頂點，過a作ab的垂線與拋物線的交點即為c點，過c作y軸的平行線與ab的交點即為p點；若c為直角頂點，過a作x軸的平行線與拋物線的另一個交點即為c點，過c作y軸的平行線與ab的交點即為p點解：直線y=x+2過點b（4，m），m=6，b（4，6）將a、b兩點坐標代入拋物線解析式得：，解得：拋物線的解析式為：y=2x28x+6若a為直角頂點，如圖1，設ac的解析式為：y=x+b，將a點代入y=x+b得b=3ac的解析式為y=x+3，由，解得：或（舍去）令p點的橫坐標為3，則縱坐標為5

48、，p（3，5）；若c為直角頂點，如圖2，令，解得：x=或x=（舍去），令p點的橫坐標為，則縱坐標為，p（，）；故答案為（3，5）或（，）考點：二次函數(shù)綜合題5如圖，已知拋物線 與 軸交于a、c兩點，與 軸交于點b，在拋物線的對稱軸上找一點q，使abq成為等腰三角形，則q點的坐標是_. 【答案】q1，q2，q3（2，2），q4（2，3）【解析】先求得點a和點b的坐標，由頂點式知拋物線的對稱軸為直線x=2，設拋物線的對稱軸上的點q的坐標為，分別求得，并用含的代數(shù)式表示的長，分三種情況構造方程求得的值.【詳解】如圖， 拋物線的對稱軸為直線x=2 當y=0時， （x-2）2-1=0 解之：x1=3，x

49、2=1 點a的坐標為（1，0） 當x=0時，y=3 點b（0，3） 設點q的坐標為（2，m）. ab2=32+1=10，bq2=（m-3）2+22=（m-3）2+4，aq2=m2+1， 要使abq為等腰三角形， 當ab2=bq2時，則（m-3）2+4=10, 解之：m1= ， m2= ， 點q1 ， q2. 當bq2=aq2時，則（m-3）2+4=m2+1, 解之：m=2 所以點q2（2，2）； 當ab2=aq2時，則10=m2+1, 解之：m=±3 若m=-3，則點b、a，q在同一直線上， m=-3舍去， 點q4（2，3） 故答案為：，q2，（2，2），（2，3）【點睛】本題考查了

50、二次函數(shù)的圖象與性質、勾股定理、等腰三角形的判定等知識點難點在于符合條件的等腰三角形可能有多種情形，需要分類討論6如圖，拋物線yx2+2x+4與y軸交于點c，點d（0，2），點m是拋物線上的動點若mcd是以cd為底的等腰三角形，則點m的坐標為_【答案】（1+，3）或（1，3）【解析】當mcd是以cd為底的等腰三角形時，則m點在線段cd的垂直平分線上，由c、d坐標可求得線段cd中點的坐標，從而可知p點的縱坐標，代入拋物線解析式可求得m點坐標【詳解】mcd是以cd為底的等腰三角形，點m在線段cd的垂直平分線上，如圖，過m作軸于點e，則e為線段cd的中點，拋物線與y軸交于點c，c(0,4),且d(0

51、,2)，e點坐標為(0,3)，m點縱坐標為3，在中,令,可得,解得，m點坐標為或，故答案為或.【點睛】本題考查的知識點是二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，等腰三角形的性質，解題關鍵是利用等腰三角形三線合一的性質進行解答.7如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知拋物線y=x2+2x+3與x軸交于a，b兩點，點m在這條拋物線上，點p在y軸上，如果四邊形abmp是平行四邊形，則點m的坐標為_【答案】（4，-5）.【解析】根據拋物線y=x2+2x+3與x軸交于a，b兩點，可求出a、b兩點的坐標，進而求出ab的長度，由四邊形abmp是平行四邊形，可知m點在x軸右邊，pm/ab，且pm=ab=4 ，即可求出m點坐

52、標.【詳解】y=x2+2x+3與x軸交于a，b兩點，a（-1，0）；b（3，0）ab=4，四邊形abmp是平行四邊形，ab/pm，pm=ab=4，p點在y軸上，p點橫坐標為4，p點在拋物線y=x2+2x+3上，x=4時，y=-16+8+3=-5，m點的坐標為：（4，-5）.故答案為（4，-5）【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，求出a、b的長度利用ab=pm求出m的橫坐標是解題關鍵.8已知拋物線y（x2）2，p是拋物線對稱軸上的一個點，直線xt分別與直線yx、拋物線交于點a，b，若abp是等腰直角三角形，則t的值為_【答案】0或3或或3±或【解析】首先求出拋物線與直線y=x的交點坐標，再

53、分四種情形列出方程即可解決問題【詳解】解：由題意a（t，t），p（2，m）bt，（t2）2，當點a或b是直角頂點時，|2t|t（t2）2|，解得t3±或2±，當點p是直角頂點時，|t（t2）2|2|2t|，解得t或0或3，綜上所述，滿足條件的t的值為0或3或2±或3±或故答案是：0或3或或3±或【點睛】考查二次函數(shù)的性質、一次函數(shù)的應用、等腰直角三角形的性質、一元二次方程等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，學會構建方程解決問題.9將拋物線向右平移2個單位,得到拋物線的圖象是拋物線對稱軸上的一個動點,直線平行于y軸,分別與直線、拋物線交

54、于點a、若是以點a或點b為直角頂點的等腰直角三角形,求滿足條件的t的值,則 _ .【答案】或或或【解析】根據函數(shù)圖象的平移規(guī)律，將向右平移2個單位,橫坐標減2表示出拋物線的函數(shù)解析式.然后再根據題目條件表示出點a、b的坐標,進而能夠表示出ab的長度與ap的長度,然后根據等腰直角三角形的兩直角邊相等列出方程求解即可.【詳解】解：拋物線向右平移2個單位, 拋物線的函數(shù)解析式為, 拋物線的對稱軸為直線, 直線與直線、拋物線交于點a、b, 點a的坐標為,點b的坐標為, , , 是以點a或b為直角頂點的三角形, , 或, 整理得, 解得, 整理得, 解得, 綜上所述,滿足條件的t值為：或或或, 故答案為：或或或.【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換,等腰直角三角形的性質,根據拋物線與直線的解析式表示出ab、ap或的長,然后根據等腰直角