備考2022數(shù)學專題32 尺規(guī)作圖（解析版）

1、專題32 尺規(guī)作圖問題 專題知識回顧 1.尺規(guī)作圖的定義：只用不帶刻度的直尺和圓規(guī)通過有限次操作，完成畫圖的一種作圖方法尺規(guī)作圖可以要求寫作圖步驟，也可以要求不一定要寫作圖步驟，但必須保留作圖痕跡。2.尺規(guī)作圖的五種基本情況：（1）作一條線段等于已知線段；（2）作一個角等于已知角；（3）作已知線段的垂直平分線；（4）作已知角的角平分線；（5）過一點作已知直線的垂線。3.對尺規(guī)作圖題解法：寫出已知，求作，作法（不要求寫出證明過程）并能給出合情推理。4.中考要求：（1）能完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角，作角的平分線，作線段的垂直平分線.（2）能利用基本作圖作三角形：已

2、知三邊作三角形；已知兩邊及其夾角作三角形；已知兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高作等腰三角形.（3）能過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓.（4）了解尺規(guī)作圖的步驟，對于尺規(guī)作圖題，會寫已知、求作和作法（不要求證明）.專題典型題考法及解析 【例題1】（2019湖南長沙）如圖，rtabc中，c90°，b30°，分別以點a和點b為圓心，大于ab的長為半徑作弧，兩弧相交于m、n兩點，作直線mn，交bc于點d，連接ad，則cad的度數(shù)是（）a20°b30°c45°d60°【答案】b 【解析】根據(jù)內(nèi)角和定理求得bac60°，

3、由中垂線性質(zhì)知dadb，即dabb30°，從而得出答案在abc中，b30°，c90°，bac180°bc60°，由作圖可知mn為ab的中垂線，dadb，dabb30°，cadbacdab30°?！纠}2】（2019山東棗莊）如圖，bd是菱形abcd的對角線，cbd75°，（1）請用尺規(guī)作圖法，作ab的垂直平分線ef，垂足為e，交ad于f；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）條件下，連接bf，求dbf的度數(shù)【答案】見解析。【解析】（1）分別以a.b為圓心，大于ab長為半徑畫弧，過兩弧的交點作直線即可。如圖所示

4、，直線ef即為所求；（2）根據(jù)dbfabdabf計算即可。四邊形abcd是菱形，abddbcabc75°，dcab，acabc150°，abc+c180°，ca30°，ef垂直平分線段ab，affb，afba30°，dbfabdfbe45°【例題3】(2019年貴州安順模擬題)用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，能得出aob=aob的依據(jù)是（）a（sas）b（sss）c（asa）d（aas）【答案】b 【解析】我們可以通過其作圖的步驟來進行分析，作圖時滿足了三條邊對應相等，于是我們可以判定是運用sss，答案可得作圖的步驟：以o為圓心

5、，任意長為半徑畫弧，分別交oa、ob于點c、d；任意作一點o，作射線oa，以o為圓心，oc長為半徑畫弧，交oa于點c；以c為圓心，cd長為半徑畫弧，交前弧于點d；過點d作射線ob所以aob就是與aob相等的角；作圖完畢在ocd與ocd，ocdocd（sss），aob=aob，顯然運用的判定方法是sss【例題4】（2019山東青島）請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡已知：，直線l及l(fā)上兩點a，b求作：rtabc，使點c在直線l的上方，且abc90°，bac【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}考查了作圖復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基

6、本作圖方法解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作先作dab，再過b點作beab，則ad與be的交點為c點如圖，abc為所作 專題典型訓練題 一、選擇題1.（2019廣西北部灣）如圖, 在abc中，ac=bc, a=400 ，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知bcg的度數(shù)為（）a 400 b450 c500 d600【答案】c【解析】利用等腰三角形的性質(zhì)和基本作圖得到cgab，則cg平分acb，利用a=b和三角形內(nèi)角和計算出acb，從而得到bcg的度數(shù)本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作

7、已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）也考查了等腰三角形的性質(zhì)由作法得cgab，ab=ac，cg平分acb，a=b，acb=180°-40°-40°=100°，bcg=acb=50°2.（2019·貴州貴陽）如圖，在abc中，abac，以點c為圓心，cb長為半徑畫弧，交ab于點b和點d，再分別以點b，d為圓心，大于bd長為半徑畫弧，兩弧相交于點m，作射線cm交ab于點e若ae2，be1，則ec的長度是（）a2b3cd【答案】d【解析】利用基本作圖得到ceab，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ac3，然后利用勾股定

8、理計算ce的長由作法得ceab，則aec90°，acabbe+ae2+13，在rtace中，ce3.（2019河北省）根據(jù)圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功找到三角形外心的是（）a b c d【答案】c【解析】三角形外心為三邊的垂直平分線的交點，由基本作圖得到c選項作了兩邊的垂直平分線，從而可用直尺成功找到三角形外心4（2019山東濰坊）如圖，已知aob按照以下步驟作圖：以點o為圓心，以適當?shù)拈L為半徑作弧，分別交aob的兩邊于c，d兩點，連接cd分別以點c，d為圓心，以大于線段oc的長為半徑作弧，兩弧在aob內(nèi)交于點e，連接ce，de連接oe交cd于點m下列結(jié)論中錯誤的是（）aceodeo

9、bcmmdcocdecdds四邊形ocedcdoe【答案】c【解析】利用基本作圖得出角平分線的作圖，進而解答即可由作圖步驟可得：oe是aob的角平分線，ceodeo，cmmd，s四邊形ocedcdoe，但不能得出ocdecd5(2019湖北宜昌)通過如下尺規(guī)作圖，能確定點d是bc邊中點的是( ) a b c d【答案】a 【解析】作線段bc的垂直平分線可得線段bc的中點作線段bc的垂直平分線可得線段bc的中點由此可知，選項a符合條件，故選a6.（經(jīng)典題）作一條線段等于已知線段。已知：如圖，線段a .求作：線段ab，使ab = a .【答案】見解析?！窘馕觥孔鞣ǎ?作射線ap； 在射線ap上截取

10、ab=a .則線段ab就是所求作的圖形。7.（經(jīng)典題）已知三邊作三角形。已知：如圖，線段a，b，c.求作：abc，使ab = c，ac = b，bc = a.【答案】見解析。【解析】作法： 作線段ab = c； 以a為圓心b為半徑作弧，以b為圓心 a為半徑作弧與前弧相交于c； 連接ac，bc。則abc就是所求作的三角形。8.（經(jīng)典題）已知兩邊及夾角作三角形。已知：如圖，線段m，n, .求作：abc，使a=，ab=m，ac=n.【答案】見解析?！窘馕觥孔鞣ǎ?作a=； 在ab上截取ab=m ,ac=n； 連接bc。則abc就是所求作的三角形。9.（經(jīng)典題）做已知線段的中點已知：如圖，線段mn.求

11、作：點o，使mo=no（即o是mn的中點）.【答案】見解析。【解析】作法： 分別以m、n為圓心，大于1/2mn的相同線段為半徑畫弧，兩弧相交于p，q； 連接pq交mn于o則點o就是所求作的的中點。10.（經(jīng)典題）作已知角的角平分線。已知：如圖，aob，求作：射線op, 使aopbop（即op平分aob）。【答案】見解析。【解析】作法： 以o為圓心，任意長度為半徑畫弧， 分別交oa，ob于m，n； 分別以m、為圓心，大于1/2mn的相同線段為半徑畫弧，兩弧交aob內(nèi)于； 作射線op。則射線op就是aob的角平分線。11.（經(jīng)典題）已知兩角及夾邊作三角形。已知：如圖，線段m .求作：abc，使a=

12、，b=,ab=m.【答案】見解析?！窘馕觥孔鞣ǎ?作線段ab=m； 在ab的同旁作a=，作b=，a與b的另一邊相交于c。則abc就是所求作的圖形（三角形）。12.（2019河北模擬題）如圖，已知abc（acbc），用尺規(guī)在bc上確定一點p，使pa+pc=bc，則符合要求的作圖痕跡是（）a b c d【答案】d 【解析】要使pa+pc=bc，必有pa=pb，所以選項中只有作ab的中垂線才能滿足這個條件，故d正確d選項中作的是ab的中垂線，pa=pb，pb+pc=bc，pa+pc=bc13.（2019麗水模擬題）如圖，小紅在作線段ab的垂直平分線時，是這樣操作的：分別以點a，b為圓心，大于線段ab

13、長度一半的長為半徑畫弧，相交于點c，d，則直線cd即為所求連結(jié)ac，bc，ad，bd，根據(jù)她的作圖方法可知，四邊形adbc一定是（）a.矩形 b.菱形 c.正方形 d.等腰梯形【答案】b 【解析】根據(jù)垂直平分線的畫法得出四邊形adbc四邊的關系進而得出四邊形一定是菱形。分別以a和b為圓心，大于ab的長為半徑畫弧，兩弧相交于c、d，ac=ad=bd=bc，四邊形adbc一定是菱形。14.(2019湖南益陽)已知m、n是線段ab上的兩點，ammn2，nb1，以點a為圓心，an長為半徑畫??；再以點b為圓心，bm長為半徑畫弧，兩弧交于點c，連接ac，bc，則abc一定是()a銳角三角形b直角三角形c鈍

14、角三角形d等腰三角形【答案】b 【解析】依據(jù)作圖即可得到acan4，bcbm3，ab2+2+15，進而得到ac2+bc2ab2，即可得出abc是直角三角形如圖所示，acan4，bcbm3，ab2+2+15，ac2+bc2ab2，abc是直角三角形，且acb90°，故選b二、填空題15（2019武漢）如圖，bd是矩形abcd的對角線，在ba和bd上分別截取be，bf，使bebf；分別以e，f為圓心，以大于ef的長為半徑作弧，兩弧在abd內(nèi)交于點g，作射線bg交ad于點p，若ap3，則點p到bd的距離為 【答案】3【解析】結(jié)合作圖的過程知：bp平分abd，a90°，ap3，點p

15、到bd的距離等于ap的長，為3。16（2019濟南）如圖，在rtabc中，c90°，以頂點b為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交ab，bc于點m，n，再分別以點m，n為圓心，大于mn的長為半徑畫弧，兩弧交于點p，作射線bp交ac于點d若a30°，則 【答案】【解析】由作法得bd平分abc，c90°，a30°，abc60°，abdcbd30°，dadb，在rtbcd中，bd2cd，ad2cd，1/2 17. ( 2019甘肅省蘭州市) 如圖， 矩形abcd， bac600. 以點a為圓心，以任意長為半徑作弧分別交ab.ac于點m、n兩點，

16、再分別以點m、n 為圓心，以大于mn的長為半徑作弧交于點p ，作射線ap交bc于點e，若be1，則矩形abcd的面積等于_.【答案】3【解析】 由題可知ap是bac的角平分線bac600baeeac300ae2 be2.abaeb600又aebeac+ecaeaceca300aeec2bc3s矩形abcd318. (2019四川成都）如圖，abcd的對角線ac與bd相交于點o，按以下步驟作圖：以點a為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交ao，ab于點m，n；以點o為圓心，以am長為半徑作弧，交oc于點；以點為圓心，以mn長為半徑作弧，在cob內(nèi)部交前面的弧于點；過點作射線交bc于點e，若ab=8，

17、則線段oe的長為 .【答案】4 【解析】此題考察的是通過尺規(guī)作圖構(gòu)造全等三角形的原理及兩直線平行的判定，連接和，因為，所以，所以，所以，又因為是中點，所以是的中位線，所以，所以.三、填空題19（2019六盤水模擬題）如圖，在abc中，利用尺規(guī)作圖，畫出abc的外接圓或內(nèi)切圓（任選一個不寫作法，必須保留作圖痕跡）【答案】見解析?！窘馕觥糠謩e利用三角形外心的確定方法以及內(nèi)心的確定方法得出圓心位置，進而得出即可。如圖所示：20.（2019石景山二模）下面是小華設計的“作一個角等于已知角的2倍”的尺規(guī)作圖過程已知：aob求作：apc，使得apc=2aob作法：如圖，在射線ob上任取一點c；作線段oc的

18、垂直平分線，交oa于點p，交ob于點d；連接pc；所以apc即為所求作的角根據(jù)小華設計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明（說明：括號里填寫推理的依據(jù)） 證明：dp是線段oc的垂直平分線， op= （ ）o=pcoapc=o+pco（ ）apc =2aob【答案】見解析。【解析】（1）補全的圖形如圖所示：（2）pc；線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等； 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和21.（2019湖北省仙桃市）請僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡（1）如圖，四邊形abcd中，abad，bd，畫出四邊形ab

19、cd的對稱軸m；（2）如圖，四邊形abcd中，adbc，ad，畫出bc邊的垂直平分線n【答案】見解析。【解析】本題考查了軸對稱作圖，根據(jù)全等關系可以確定點與點的對稱關系，從而確定對稱軸所在，即可畫出直線（1）連接ac，ac所在直線即為對稱軸m如圖，直線m即為所求（2）（2）延長ba，cd交于一點，連接ac，bc交于一點，連接兩點獲得垂直平分線n如圖，直線n即為所求22.（2019四川省達州市）如圖，在rtabc中，acb90°，ac2，bc3（1）尺規(guī)作圖：不寫作法，保留作圖痕跡作acb的平分線，交斜邊ab于點d；過點d作bc的垂線，垂足為點e（2）在（1）作出的圖形中，求de的長【

20、答案】見解析?！窘馕觥浚?）利用基本作圖，先畫出cd平分acb，然后作debc于e。如圖，de為所作；（2）利用cd平分acb得到bcd45°，再判斷cde為等腰直角三角形，所以dece，然后證明bdebac，從而利用相似比計算出decd平分acb，bcdacb45°，debc，cde為等腰直角三角形，dece，deac，bdebac，即，de23.（2019廣東）如圖，在abc中，點d是ab邊上的一點（1）請用尺規(guī)作圖法，在abc內(nèi)，求作ade使ade=b，de交ac于e；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若=2，求的值【答案】見解析。【解析】（1）如

21、圖所示，ade為所求.（2）ade=bdebc=2 =224.（2019廣西貴港）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：如圖，已知abc，請根據(jù)“sas”基本事實作出def，使defabc【答案】見解析。【解析】本題考查了作圖復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作也考查了全等三角形的判定先作一個da，然后在d的兩邊分別截取edba，dfac，連接ef即可得到def。如圖，def即為所求25.（2019湖北孝感）如圖，rtabc中，acb

22、90°，一同學利用直尺和圓規(guī)完成如下操作：以點c為圓心，以cb為半徑畫弧，交ab于點g；分別以點g、b為圓心，以大于gb的長為半徑畫弧，兩弧交點k，作射線ck；以點b為圓心，以適當?shù)拈L為半徑畫弧，交bc于點m，交ab的延長線于點n；分別以點m、n為圓心，以大于mn的長為半徑畫弧，兩弧交于點p，作直線bp交ac的延長線于點d，交射線ck于點e請你觀察圖形，根據(jù)操作結(jié)果解答下列問題；（1）線段cd與ce的大小關系是 ；（2）過點d作dfab交ab的延長線于點f，若ac12，bc5，求tandbf的值【答案】見解析?！窘馕觥浚?）由作圖知ceab，bd平分cbf，據(jù)此得123，結(jié)合ceb+

23、32+cde90°知cebcde，從而得出答案；cdce，由作圖知ceab，bd平分cbf，123，ceb+32+cde90°，cebcde，cdce，故答案為：cdce；（2）證bcdbfd得cddf，從而設cddfx，求出ab13，知sindaf，即，解之求得x，結(jié)合bcbf5可得答案bd平分cbf，bccd，bfdf，bcbf，cbdfbd，在bcd和bfd中，bcdbfd（aas），cddf，設cddfx，在rtacb中，ab13，sindaf，即，解得x，bcbf5，tandbf×26.（ 2019廣東模擬題）如圖，點d在abc的ab邊上，且acd=a（

24、1）作bdc的平分線de，交bc于點e（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）的條件下，判斷直線de與直線ac的位置關系（不要求證明）【答案】見解析?！窘馕觥浚?）根據(jù)角平分線基本作圖的作法作圖即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得bde=bdc，根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得a=bde，再根據(jù)同位角相等兩直線平行可得結(jié)論deacde平分bdc，bde=bdc，acd=a，acd+a=bdc，a=bdc，a=bde，deac27.（2019平谷二模）下面是小元設計的“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程已知：如圖1，直線l和l外一點p求作：直線l的垂線，使它經(jīng)過點p作法：如圖2，（1）在直線l上任取一點a； （2）連接ap，以點p為圓心，ap長為半徑作弧，交直線l于點b（點a，b不重合）；（3）連接bp，作a