2^k析因設(shè)計(jì)資料

1、 2k析因設(shè)計(jì)析因設(shè)計(jì)1 引言 有k個因子，每個因子僅有兩個水平。完全重復(fù)共需要2k個觀測值，稱為2k析因設(shè)計(jì)。 基本假定： 因子是固定的 設(shè)計(jì)是完全隨機(jī)化的 滿足正態(tài)性 應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)工作的早期階段，如因子篩選試驗(yàn)(factor screening experiment)2 22設(shè)計(jì) 2個因子，每個因子2個水平。 例如：一個化學(xué)反應(yīng)過程中反應(yīng)物濃度(15%,25%)和催化劑量(1磅,2磅)對反應(yīng)的產(chǎn)出率有影響。每個組合重復(fù)3次。符號表示法 效應(yīng) A代表因子A的效應(yīng)； B代表因子B的效應(yīng)； AB代表AB的交互作用效應(yīng)。 水平 代表因子的低水平； 代表因子的高水平。處理組合及其的試驗(yàn)結(jié)果的總和 處理

2、組合的表示 a代表因子A高B低；a=36+32+32=100 b代表因子A低B高；b=18+19+23=60 ab代表因子A高B高；ab=31+30+29=90 (1)代表因子A低B低；(1)=28+25+27=80效應(yīng)的計(jì)算 一個因子的平均效應(yīng)是這個因子的水平變化產(chǎn)生的響應(yīng)變化在另一因子水平上取平均值。 A的主效應(yīng) A=(1/2n)ab+a-b-(1) B的主效應(yīng) B=(1/2n)ab-a+b-(1) AB的交互作用效應(yīng) AB=(1/2n)ab-a-b+(1) A效應(yīng)是正的，說明反應(yīng)物濃度從低水平增至高水平將增加產(chǎn)出率。反之，B效應(yīng)是負(fù)的，說明催化劑的增加會降低產(chǎn)出率。相對主效應(yīng)來說，交互作

3、用效應(yīng)顯得較小。對照分析法 對照(constract)表示某因子的總效應(yīng)。(未進(jìn)行平均值運(yùn)算的效應(yīng)值) 對照A = ab+a-b-(1) 對照B = ab-a+b-(1) 對照AB= ab-a-b+(1) 三個對照是正交的，即相應(yīng)對照系數(shù)的乘積之和為0。標(biāo)準(zhǔn)順序 Frank Yates提出的Yates順序。 將處理組合沿著a,b,c,d,的順序逐漸增加，每增加一個因子則與前面已有的因子進(jìn)行組合。 例如： (1),a,b,ab,c,ac,ab,abc,d,ad,bd,abd,cd,acd,abd,abcd,效應(yīng)代數(shù)符號表的設(shè)計(jì) 首先，按照標(biāo)準(zhǔn)順序?qū)懗鲆涣刑幚斫M合。 然后，在I列中全部標(biāo)“+”號。

4、 然后，在處理組合中含有相應(yīng)主效應(yīng)處標(biāo)“+”號，否則標(biāo)“-”號。 最后，將相應(yīng)的主效應(yīng)所在列的符號相乘得到相應(yīng)的交互作用列的符號。22設(shè)計(jì)的效應(yīng)代數(shù)符號表 標(biāo)準(zhǔn)順序:(1),a,b,ab 代數(shù)符號對照 對照(constract)表示某因子的總效應(yīng)。 用效應(yīng)的代數(shù)符號表，將相應(yīng)的效應(yīng)列中的符號加到所對應(yīng)的處理組合上，并求和，就得到該效應(yīng)的對照。 如： 對照A=ab+a-b-(1)=90+100-60-80=50 對照B=ab+b-a-(1)=90+60-100-80=-30 對照AB=ab+(1)-a-b=90+80-100-60=10用對照估計(jì)效應(yīng)和計(jì)算平方和 估計(jì)效應(yīng)： 計(jì)算平方和：KAB1

5、-kn21KAB對照2KABkKABn21SS對照計(jì)算效應(yīng) 一個因子的平均效應(yīng)是那個因子的水平變化產(chǎn)生的響應(yīng)變化在另一因子水平上取平均值。 A效應(yīng)是正的，說明反應(yīng)物濃度從低水平增至高水平將增加產(chǎn)出率。反之，B效應(yīng)是負(fù)的，說明催化劑的增加會降低產(chǎn)出率。相對主效應(yīng)來說，交互作用效應(yīng)顯得較小。67. 16010080903212n1AB00. 58010060903212n1B33. 88060100903212n1AABBA對照對照對照對照平方和 對照代表總效應(yīng)，所以對照平方和代表總變異。 對照平方和等于對照的平方除以對照中觀測值中屬于對照系數(shù)平方和的乘積。 SSA= SSB= SSAB= 由于S

6、ST= 所以SSE=SST-SSA-SSB-SSAB= ANOVA分析結(jié)果 結(jié)論：兩個主效應(yīng)是顯著的，因子間無交互作用。與初步判斷一致?；貧w模型 利用最小二乘法擬合回歸模型 線性回歸數(shù)據(jù)：21122222211122110 xxxxxxy兩因素正規(guī)方程組的矩陣形式 Xyn21k10nkn2n12k22211k1211n21,xxx1xxx1xxx1X,yyyy其中yXXX1回歸方程系數(shù)的最小二乘估計(jì)量回歸模型 由于無交互作用，則例題的回歸模型為 y=0+1x1+2x2+ 規(guī)范變量：x1,x2 自然變量：反應(yīng)物濃度，催化劑量 x1=濃度-(濃度低+濃度高)/2/(濃度高-濃度低)/2 x2=催化

7、劑-(催化劑低+催化劑高)/2/(催化劑高-催化劑低)/2 擬合回歸模型： y=27.5+(8.33/2)x1+(-5/2)x2其中，截距是觀測值的總平均，回歸系數(shù)是響應(yīng)因子效應(yīng)估計(jì)量的一半。殘差與模型適合性 反應(yīng)物濃度低水平(x1=-1)，催化劑量低水平(x2=-1)，產(chǎn)量預(yù)測值為 y=27.5+(8.33/2)(-1)+(-5/2)(-1)=25.835 殘差為e1=28-28.835=2.165e2=25-28.835=-0.835e3=27-28.835=1.165 同理可計(jì)算出12個殘差。 正態(tài)概率圖，殘差與預(yù)測產(chǎn)出率的關(guān)系 圖形是令人滿意的，沒有理由懷疑結(jié)論的有效性。響應(yīng)曲面 將規(guī)

8、范變量轉(zhuǎn)換成自然變量后的回歸模型 y= 繪制三維圖形，可見隨反應(yīng)物濃度的增加，催化劑的減少，產(chǎn)量增加。響應(yīng)曲面可以找到過程的潛在改進(jìn)方向，方法為最速上升法。3 23設(shè)計(jì) 3因子，2水平計(jì)算效應(yīng)的代數(shù)符號 首先，按標(biāo)準(zhǔn)順序排序。 然后，標(biāo)出主效應(yīng)列的符號。含有處理組合的效應(yīng)為+，否則為-。 最后，標(biāo)出交互作用效應(yīng)列的符號。相應(yīng)主效應(yīng)列的乘積。 計(jì)算平均效應(yīng)： A=(1/4n)處理組合列乘以相應(yīng)效應(yīng)列符號 =(1/4n)對照A 同理可得其他效應(yīng)值 性質(zhì)： 除列外，每列加號個數(shù)與減號個數(shù)相等 除列外，任意兩列符號乘積之和為零(正交) 列與任一列相乘，該列符號不變，即列是一個單位元素。 任意兩列相乘，

9、得表中另外一列。效應(yīng)的平方和 用對照計(jì)算效應(yīng)的平方和： SS=(對照)2/(8n)例1 晶片蝕刻試驗(yàn) 單晶片等離子蝕刻過程。3個因子：A為電極間隙、B為C2F6氣體流速、C為RF功率。每個因子兩個水平。每個組合重復(fù)2次。實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表。模型評價指標(biāo) R2=SS模型/SS總和 R調(diào)整2=1-(SSE/dfE)(SS總和/DF總和)4 一般性2k設(shè)計(jì) k個因子，每個因子2個水平 共k個主效應(yīng)，Ck2個兩因子交互作用，Ck3個三因子交互作用，1個k因子交互作用。共2k-1個效應(yīng)。 處理組合符號表示： 處理組合標(biāo)準(zhǔn)順序：每出現(xiàn)一個新因子，則與前面各項(xiàng)相乘得到新項(xiàng)。一般步驟1.估計(jì)因子效應(yīng)估計(jì)每個因子和交

10、互作用效應(yīng)，觀察大小和符號，做出初步判斷。2.建立初始模型如果是重復(fù)設(shè)計(jì)，用完全模型。如果不是重復(fù)設(shè)計(jì)，用效應(yīng)的正態(tài)概率圖建立模型3.進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)ANOVA4.改進(jìn)模型將不顯著的效應(yīng)變量去掉。5.分析殘差模型適合性檢查6.解釋結(jié)果圖形分析，如效應(yīng)圖、響應(yīng)曲面圖、等高線圖等。對照的計(jì)算 對照ABK=(a1)(b1) (k1) 原則：對照中包括的因子，則其相應(yīng)項(xiàng)中取“-”號，不包括的則取“+”號。 例：用對照估計(jì)效應(yīng)和計(jì)算平方和 估計(jì)效應(yīng)： 計(jì)算平方和：KABkn22KAB對照2KABkKABn21SS對照5 2k設(shè)計(jì)的單次重復(fù) 2k完全析因設(shè)計(jì)的處理組合數(shù)量大，通?？捎觅Y源只允許做一次重復(fù)。 無

11、重復(fù)的風(fēng)險：不能從模型中將噪音分解出來。無重復(fù)析因設(shè)計(jì) 假定某些高階的交互作用可被忽略，則將它們的均方組合起來用于估計(jì)誤差。 效應(yīng)稀疏原理：多數(shù)系統(tǒng)的主效應(yīng)和低階交互作用處于支配地位，而高階交互作用可被忽略。 方法：檢查效應(yīng)估計(jì)量的正態(tài)概率圖。可被忽略的效應(yīng)會大致落在圖上的一條直線附近；而顯著效應(yīng)則不會落在這一直線上。例2 24設(shè)計(jì)的單次重復(fù) 一個化學(xué)產(chǎn)品的生產(chǎn)過程。可能影響產(chǎn)品滲透率的因子有：溫度(A)、壓強(qiáng)(B)、甲醛濃度(C)、攪拌速度(D)。每個因子取2個水平。單次重復(fù)試驗(yàn)，共16次試驗(yàn)。工程師感興趣的是使?jié)B透率達(dá)到最大。當(dāng)前生產(chǎn)條件下的滲透率為75加侖/小時。當(dāng)前甲醛濃度(C)為高水

12、平。工程師希望盡可能減少甲醛濃度，但會造成滲透率太低。 對照常數(shù)的符號 由對照估計(jì)因子效應(yīng)及平房和。 繪制效應(yīng)的正態(tài)概率圖。沿直線上的效應(yīng)可被忽略，大的效應(yīng)則原理直線，故A、C、D、AC、AD是重要效應(yīng)。 繪制重要效應(yīng)的效應(yīng)圖。 3個主效應(yīng)都是正的。欲最大化滲透率則3個因子均取高水平。 由AC看出，當(dāng)濃度C處于高水平是溫度A的效應(yīng)很小，反之很大，在低濃度、高溫度時效應(yīng)最大。 由AD看出，低溫時攪拌速度D效應(yīng)小，反之有較大正效應(yīng)。因此，當(dāng)A和D處于高水平而C處于低水平時，會得到最好的滲透率。設(shè)計(jì)投影 由于B因子不顯著而且所有與B有關(guān)的交互作用也不可忽略。因此，可將B去掉，將一個單重復(fù)24析因設(shè)計(jì)

13、投影成一個兩次重復(fù)23設(shè)計(jì)。 對數(shù)據(jù)進(jìn)行方差分析，可以得到相同的結(jié)論。 如果有一個2k設(shè)計(jì)的單次重復(fù)，其中h(hk)個因子可被忽略，則原數(shù)據(jù)對應(yīng)于留下的k-h個因子，形成具有2h重復(fù)的兩水平析因設(shè)計(jì)。診斷檢查 回歸方程： 由顯著效應(yīng)的估計(jì)值，得 計(jì)算預(yù)測值 計(jì)算殘差4131431xx2625.16xx2125.18x2625.14x2875. 9x2625.2106.70y 殘差的正態(tài)概率圖 點(diǎn)落在一條直線附近，支持A、C、D、AC、AD是僅有的顯著效應(yīng)的論斷。響應(yīng)曲面 如果要極大化滲透率，A和D應(yīng)取高水平，過程相對于C具有穩(wěn)定性。與交互作用圖的結(jié)果類似。效應(yīng)的半正態(tài)圖 效應(yīng)估計(jì)的絕對值與它們

14、的累積正態(tài)概率的關(guān)系圖。 半正態(tài)圖過原點(diǎn)，接近50%分位點(diǎn)。 易于解釋5. 無重復(fù)析因設(shè)計(jì)的其他方法 代替正態(tài)概率圖來進(jìn)行效應(yīng)顯著性檢驗(yàn)的方法：Lenth方法。析因設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)變換-例3 鉆頭的推進(jìn)速率實(shí)驗(yàn)。24析因設(shè)計(jì)。因子：鉆頭負(fù)荷(A)、流速(B)、旋轉(zhuǎn)速度(C)、泥漿類型(D)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下： 效應(yīng)估計(jì)量的正態(tài)概率圖。 可見，B、C、D、BC、BD需要說明。 殘差的正態(tài)概率圖 顯然，正態(tài)性有問題。 殘差與推進(jìn)速率預(yù)測值的關(guān)系圖 顯然，方差齊性有問題。 選擇對數(shù)變換 y*=lny 變換后效應(yīng)估計(jì)量的正態(tài)概率圖。 只有B、C、D起作用，需要說明。簡化結(jié)構(gòu)。 對數(shù)變換后的殘差的正態(tài)概率圖 圖形

15、令人滿意。 對數(shù)變換后殘差與推進(jìn)速率預(yù)測值的關(guān)系圖 圖形令人滿意 ANOVA結(jié)果 結(jié)論：對于對數(shù)變換，模型僅需B、C、D就足以說明了。 模型的平方和 SS模型=SSB+SSC+SSD =5.345+1.339+0.431=7.115 R2=SS模型/SST=7.115/7.288=0.98 所以該模型解釋了鉆頭推進(jìn)速率中大約98%的變異性。無重復(fù)析因中的位置效應(yīng)和分散效應(yīng)-例4 商用飛機(jī)內(nèi)壁嵌板的生產(chǎn)過程。壓制成形。當(dāng)前生產(chǎn)條件下，嵌板的平均疵點(diǎn)太高（平均5.5個疵點(diǎn)/塊）。設(shè)計(jì)一個24析因設(shè)計(jì)。4個因子：溫度(A)、模壓時間(B)、樹脂流量(C)、壓機(jī)閉合時間(D)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下： 因子效應(yīng)

16、的正態(tài)概率圖 可見，A和C是需要說明的。 分析效應(yīng)圖，可知低溫度和高樹脂流量會減少嵌板疵點(diǎn)的發(fā)生率。 殘差的正態(tài)概率圖沒有顯示異常情況(略)。 殘差與B(模壓時間)的關(guān)系圖 顯然，少的模壓時間會使每塊嵌板的平均點(diǎn)數(shù)有較小的變異性。 去掉D，投影成一個兩次重復(fù)的23析因設(shè)計(jì)。 計(jì)算每個處理組合的平均疵點(diǎn)數(shù)和極差 可見，當(dāng)B處于高水平時的平均極差為4.75，當(dāng)B處于低水平時的平均極差為1.25。 工程師決定，取低的溫度和高的樹脂流量以減少疵點(diǎn)的平均數(shù)，取少的模壓時間以減少每塊嵌板疵點(diǎn)數(shù)的變異性，取少的壓機(jī)閉合時間(對響應(yīng)沒有影響，但可以提高效率)。分散效應(yīng) 如果因子i為正時試驗(yàn)殘差的方差2(i+)

17、與因子i為負(fù)時試驗(yàn)殘差的方差2(i-)，則統(tǒng)計(jì)量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 , 2 , 1iiSiSlnF22*B 分散效應(yīng)Fi*的正態(tài)概率圖 可見，B是與生產(chǎn)過程的分散性有關(guān)的一個重要因子。響應(yīng)的重復(fù)測量-例5 半導(dǎo)體工廠立式氧化爐的實(shí)驗(yàn)。響應(yīng)變量是晶片的氧化物厚度。因子為溫度(A)、時間(B)、壓強(qiáng)(C)、氣流(D)。實(shí)驗(yàn)過程：將4個晶片放到爐中，設(shè)置由實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)要求的實(shí)驗(yàn)條件的過程變量，實(shí)施實(shí)驗(yàn)，測量4個晶片氧化物的厚度。 重復(fù)測量(duplicate measurement)，而非重復(fù)(replicate)實(shí)驗(yàn)。重復(fù)實(shí)驗(yàn)是每次在爐中試驗(yàn)一個晶片。由于4個晶片同時處理，降低了變異性。 用厚度均

18、值作為響應(yīng)變量估計(jì)效應(yīng)。 可見，A、B、C、AB、AC的效應(yīng)較大。 效應(yīng)估計(jì)的正態(tài)概率圖 可見， A、B、C、AB、AC是顯著的。 方差分析結(jié)果為 預(yù)測平均氧化物厚度的模型為 y=399.19+21.56x1+9.06x2-5.19x3+8.44x1x2- 5.13x1x3 殘差分析是滿意的。 等高線圖 如將實(shí)驗(yàn)結(jié)果錯誤的視為重復(fù)，則為一個四次重復(fù)的24析因設(shè)計(jì)。 可見，顯著的效應(yīng)要多很多。 太多的因子被識別為重要因子將導(dǎo)致 試圖處理或優(yōu)化不重要因子造成資源浪費(fèi) 其他感興趣的響應(yīng)增加不必要的變異6 附加中心點(diǎn)設(shè)計(jì) 兩水平析因設(shè)計(jì)模型 含有主效應(yīng)和交互作用 二階響應(yīng)模型jijiijk1jjj0

19、xxxyk1j2jjjjijiijk1jjj0 xxxxy二階效應(yīng)的估計(jì) 在2k析因?qū)嶒?yàn)中，重復(fù)某些點(diǎn)可得到一個獨(dú)立的誤差估計(jì)。 例如：中心點(diǎn)，xi=0(i=1,2,k)處做n次重復(fù)試驗(yàn)。 在設(shè)計(jì)中心處增加重復(fù)試驗(yàn)不影響2k設(shè)計(jì)中通常的效應(yīng)估計(jì)量。附加中心點(diǎn)的22設(shè)計(jì) 在中心點(diǎn)(0,0)處有nC個觀測值的22設(shè)計(jì)。判定方法 如果 很小，則中心點(diǎn)就處于或靠近通過因子點(diǎn)的平面上，故未發(fā)生彎曲。反之，則出現(xiàn)彎曲。CFyy 檢驗(yàn)方法 利用中心點(diǎn)計(jì)算均方誤差 計(jì)算純二次項(xiàng)(彎曲)平方和 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 F=MS純二次項(xiàng)/MSE1nyy1nSSMSC2CiCEE中心點(diǎn)CF2CFCFnnyynnSS純二次項(xiàng) 對例2實(shí)驗(yàn)增加4個中心點(diǎn)，得滲透率為73、75、66、69.4。 純二次項(xiàng)不顯著06.70y75.70yFC中心復(fù)合設(shè)計(jì) Central composite design 在2k設(shè)計(jì)中增加軸試驗(yàn)(axial run)。